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19.(10分)“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法.在因式分解中，我们可以将多项式的
某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的
目的.八(1)班的几名同学在对多项式(m2-3m+2)(m2-3m-4)+9因式分解时用
“换元法”进行解题时发现了几种方法：
【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路。
解：令t=m2-3m,得：(t+2)(t-4)+9=2-2t+1=(t-1)2,
即原式=(m2-3m-1)2
【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路
解：令t=m2-3m+2,得t(t-6)+9=2-6t+9=(t-3)2,
即原式(m2-3m+2-3)2=(m2-3m-1)2
【解法三】小明同学给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换。相较于上一种换元
方法，平均代换保留了相同的部分，取两个因式常数部分的平均值，构成新元。
解：2[(m2-3m+2)+(m2-3m-4)]=m2-3m-1,
令t=m2-3m-1,得(t+3)(t-3)+9=2,
即原式=(m2-3m-1)2
请你阅读以上材料，利用“换元法”的思想，解决以下问题：
远光成长中心
(1)(3分)因式分解：(a2+4a-4)(a2+4a+6)+25.
(2)(3分)小天同学发现多项式(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+16也可以用换元法的思想
因式分解。
解：原式=[(a+1)(a+7)][(a+3)(a+5)]+16
远光成
请你根据小天同学的思路，把上述因式分解的过程补充完整。
(3)(每小题2分，共4分)请直接写出最终结果。
①因式分解：(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)-360=
②因式分解：(x2-1)(x+3)(x+5)+16=
远光成长中
远光入
坐远光成长中心
坐远光成长宁
坐光成长中
2元光成长中心
远光成长中
【八年级数学·第5页（共6页）6】
20.(12分)旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要
求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”
【问题解决】如图1，P是等边△ABC内一点，且PA=3,PB=4,PC=5,若将△PAC绕点A
逆时针旋转后，得到△PAB,
远光成长中
B
图1
图2
图3
元
(1)(2分)则点P与P'之间的距离为PP'=
-,∠APB=
(直接写出答案)
(2)(2分)在(1)的条件下，小明同学在求AB2时思路如下：如图2，过点B作BH⊥AP,
交AP延长线于H,请你根据他的思路，计算AB2=(直接写出答案)
(3)(6分)【类比探究】如图3，点P是正方形ABCD内一点，PA=1,PB=2,PC=3.求∠APB
的度数？请写出完整过程；S正方形sc0=一（直接写出答案)
(4)(2分)【学以致用】如图4，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至△BP'A',连接PP'、A'C,
记A'C与AB交于点D,可知BA'=BA=BC,∠A'BC=∠A'BA+∠ABC=120°，由BP=BP,
∠PBP=6O°，可知△PBP为等边三角形，有PB=PP.故PA+PB+PC=P'A'+P'P+
PC≥A'C,因此，当A'、P'、P、C共线时，如图5，PA+PB+PC有最小值为A'C.
A
0
远光成长中
B
元光
B
Q
图4
图5
图6
请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形ABCD内一点，
Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ,则PA+PD+PQ的最小值为
·（直接写出答案)
坐远光
坐远光成长中配
坐远光成长中
坐光永长中
远光成长白
、远光成长中心
【八年级数学·第6页（共6页）6】

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