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2025年河南师大附中中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲骨文是汉字的早期形式，最早出土于河南省安阳市殷墟下列甲骨文经破译，对应的汉字分别为“泉”，“合”，“禾”，“丰”以下甲骨文中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.年春节假期，河南多地统筹推出了“商都新春奇妙游”“大宋中国年”“穿越盛唐洛阳年”等一城一特色活动，全省接待国内游客万人次，旅游收入亿元亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.如图，直线，相交于点，，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列计算，正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在 中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点若，则的长为( )
A. B. C. D.
6.若为自然数，则的值总能( )
A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除
7.如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接若，且，则的长度是( )
A. B.
C. D.
8.关于的一元二次方程的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
9.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则点的位置在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
10.在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，关于溶液浓度计算的相关信息见表，则下列说法正确的是( )
信息窗
溶质质量溶剂质量溶液质量．
溶液中溶质的质量分数．
在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液．
A. 甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大
B. 当时，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度
C. 当时，分别向水中添加的甲、乙，则乙溶液最终一定能达到饱和状态
D. 当时，的甲饱和溶液所含溶质甲的质量是
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个大小在和之间的整数______．
12.今年春节档电影哪吒之魔童闹海封神第二部：战火西岐射雕英雄传：侠之大者蛟龙行动在网络上持续引发热议，甲、乙两位同学打算去观看这四部电影中的一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为______．
13.在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是______．
14.如图，在扇形中，，，点在半径上，将沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧点是点的对称点，那么的长为______．
15.如图，在中，，点是边上的一点点不与点，重合，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．
当时，点到直线的距离为______；
连接，当时，正方形的边长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：；
化简：．
17.本小题分
为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活动，每个学生必选且只选择一项活动参加，为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
参加五个社团活动人数统计表
社团活动 舞蹈 篮球 象棋 足球 农艺
人数
请根据以上信息，回答下列问题：
抽取的学生共有______人， ______；
从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高单位：如下：
，，，，，，，，则这几名学生身高的中位数是______；
若该校有人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？
18.本小题分
如图，在中，．
尺规作图：作边的垂直平分线，分别交，于点，；保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，若，连接，求的度数．
19.本小题分
如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点、，
求反比例函数与一次函数的解析式；
求点是反比例函数图象上的一点，的面积恰好等于正方形的面积，求点的坐标．
20.本小题分
近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
价格类别 短款 长款
进货价元件
销售价元件
该服装店第一次用元购进长、短两款服装共件，求两款服装分别购进的件数；
第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共件进货价和销售价都不变，且第二次进货总价不高于元服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
21.本小题分
小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
现有一块与中折射率相同的长方体介质，如图所示，点，、、分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点处射入，其折射光线恰好从点处射出，如图，已知，，求截面矩形的面积．
22.本小题分
世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程如图，以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
若火箭第二级的引发点的高度为，
直接写出，的值；
火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
直接写出满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过．
23.本小题分
某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
一拓展探究
如图，在中，，，垂足为．
兴趣小组的同学得出理由如下：
_____
∽
_____
请完成填空： ______； ______；
如图，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
二学以致用
如图，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时求线段的长．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.答案不唯一．
12.
13.
14.
15.； ．
16.解：
；
．
17.解：抽取的学生共有人，
，
即；
故答案为：，；
将，，，，，，，按照从小到大排列是：，，，，，，，，
这几名学生身高的中位数是；
故答案为：；
人，
答：估计全校参加舞蹈社团活动的学生有人．
18.解：如图，直线即为所求；
，，
，
垂直平分线段，
，
，
．
19.【答案】解：点的坐标为，点的坐标为，
，
四边形为正方形，
点的坐标为．
反比例函数的图象经过点，
，解得，
反比例函数的解析式为；
一次函数的图象经过点，，
，
解得，
一次函数的解析式为；
设点的坐标为．
的面积恰好等于正方形的面积，
，
，
解得．
当时，；
当时，．
点的坐标为或
20.解：由题意，设购进短款服装件，购进长款服装件，
．
．
答：长款服装购进件，短款服装购进件．
由题意，设第二次购进件短款服装，则购进件长款服装，
．
．
又设利润为元，
则．
随的增大而减小．
当时，利润最大为：元．
答：当购进件短款服装，件长款服装时有最大利润，最大利润是元．
21.解：，
，
折射率为：；
由题意可得，折射率为，
，
，
四边形是矩形，点是中点，
，，
又，
，
在中，设，，由勾股定理得，，
，
，
，
截面的面积为：．
22.解：经过点，
．
解得：．
经过点，
．
解得：；
由得：
．
火箭运行的最高点是．
．
．
整理得：．
解得：不合题意，舍去，．
由得：．
．
解得：．
．
答：这两个位置之间的距离为；
当时，．
火箭第二级的引发点的坐标为．
设火箭落地点与发射点的水平距离为．
经过点，
．
解得：．
时，火箭落地点与发射点的水平距离超过．
23.解：，
，
故答案为：，；
是直角三角形，
，，
∽，
，
，
由得，
，
，
，
∽，
，
是直角三角形；
，，
∽，
．
．
如图，以点为圆心，为半径作，则，都在上，延长到，使，交于，，，
，则，
，
，
，
点在过点且与垂直的直线上运动，
过点作，垂足为，即为最短的，连接，
，
四边形是矩形，
在中可求得，
．
第1页，共1页

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