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四川省成都市成实外教育集团2025届高三下学期4月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.图中阴影部分用集合符号可以表示为( )
A. B.
C. D.
2.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是( )
A. B. C. D.
3.现有，，，四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在上的函数，则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向向量为，则( )
A. B. C. D.
6.已知锐角，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.设虚数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，数列满足，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 对于随机事件与，，，若，则事件与相互独立
B. 若经验回归方程为，则样本中心点为
C. 数据，，，，，，，，，，，的分位数为
D. 随机变量，当最大，则的取值为
10.已知函数的部分图像如图所示，把函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图像，则( )
A. 为偶函数
B. 的最小正周期是
C. 的图像关于直线对称
D. 将图像向左平移后在上单调递减
11.我国知名品牌小米公司的图具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线、为常数，且则下列有关曲线的说法中正确的是( )
A. 对任意的且，曲线总关于原点对称
B. 当，时，曲线与坐标轴的交点个数为个
C. 当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为
D. 当时，曲线与直线交于，两点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ______．
13.在平行四边形中，，是平行四边形内包括边界一点，，若，当时， ______．
14.在中，，，若当面积取最大值时，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且是与的等差中项．
求角；
若角的角平分线交于，若，求面积的最小值．
16.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
讨论函数在定义域内极值点的个数．
17.本小题分
如图，菱形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
若，证明：平面平面；
若，当三棱锥体积最大时，
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面所成二面角的大小．
18.本小题分
马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用其数学定义为：假设我们的序列状态是，，，，，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球个球的大小形状完全相同记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为
求，；
求；
证明：是等比数列．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，分别以轴和轴为实轴和虚轴建立复平面已知复数，在复平面内满足为定值的点的轨迹为曲线且点在曲线上．
求曲线的平面直角坐标系方程；
若斜率为的直线与曲线交于、两点直线斜率为正，直线、若、重合，直线即为椭圆在点处的切线分别与轴交于、两点，为中点．
证明：为定值；
最大时，将坐标平面沿轴折成二面角，在二面角大小变化过程中，求三棱锥外接球的半径最小时，三棱锥的表面积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以由正弦定理得：．
又因为，所以，
因为所以；
因为角的角平分线交于，
所以，
即，
则，所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最小值为．
16.解：当时，，函数的定义域为且，
令，得，
于是当变化时，，的变化情况如表．
增函数 减函数
故在定义域上有极大值，无极小值．
由知，函数的定义域为，
，
当时，在上恒成立，
即函数在上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当时，当时，，
当时，，
故函数在处有极大值．
综上所述，当时，函数在定义域上无极值点，当时，函数在处有一个极大值点．
17.解：证明：因为为半圆直径，在半圆弧上，所以，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，因为，
所以平面，
因为面，
所以平面平面；
因为，
则三棱锥体积最大时，有最大，
此时在弧中点，
以为原点，设中点为，以直线为轴，直线为轴，过点与面垂直的射线为轴建立空间直角坐标系，
设菱形边长为，则，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，
记直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
记平面的法向量为
则，则，即，
令，
由题易知：平面的法向量为，
记平面与平面所成二面角为，
有
所以平面与平面所成二面角为．
18.解：由题目有：
；
由题目定义：假设我们的序列状态是，，，，，，
那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，
即
记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，
易得，
的所有可能得取值为，，，，
且，
，
，
，
所以的分布列为：
，
证明：记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为
，
而，
，
，
，
即，
首项是，
因此是公比为等比数列，故得证．
19.解：因为，在复平面内满足为定值的点的轨迹为曲线，
所以曲线是以，为焦点的椭圆，又点在曲线上，
令曲线：，
则，，
解得，，
所以所求方程为：；
证明：设直线，
由，
消去得，
设，，
则，
直线，的斜率分别为，，
则
；
由可知，即，
在中，令，
则，
，
当且仅当时取等号，此时最大，是边长为的等边三角形，
过原点，，，
将沿轴折成三棱锥，将底面补成等腰梯形，
则三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球．
过等腰梯形外心，即中点作直线平面，
过中心作直线平面，，则即为三棱锥外接球球心，
即为三棱锥外接球半径，显然与重合时三棱锥外接球半径最小，
此时平面，三棱锥为正四面休，与交点即为中心，
平面，而平面，则，
在等腰梯形中，，，
则，，即，
由，，平面，
于是平面，而平面，
因此，
因此，
，，
则三棱锥表面积为．
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