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绝密★考试结束前
2024学年第二学期温州十校联合体期中联考
高一年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题 ( 本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。)

1. 已知平面向量 a (1 ,1) ，b (2 , )，若 a // b，则实数 ( )
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
3
2. 在 ABC中， cosC ,BC 1, AC 5 ,则 SΔABC = ( )5
3
A. 2 B. C. 3 D. 4
2
3. 下列选项是真命题的是 ( )
a b m / / / /
A.

B. a∥ C. n / / D. a a / /b b m n b
4. 已知 ABC中 AB AC 0, AB 3 , B 30 ,则 BA在 BC上的投影向量为 ( )
2
3 1 3 1
A. B. C. BC D. BC
4 4 4 4
5. 在长方体 ABCD A1B1C1D1中，若 AB=AD=2，AA1=4,则异面直线
A1B，AD1所成角的余弦值为 ( )
3 4 1
A. B. C. 3 D.
5 5 2 2
6. 一艘渔船航行到 A处时看灯塔 B在 A的南偏东30 ，距离为6海里，灯塔C在 A的北偏东60 ，
距离为6 3 海里，该渔船由 A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔 B在其南偏西30 方向，则此
高一数学学科 试题 第 1 页 共 4 页
时灯塔C位于渔船的 ( )
A. 北偏东60°方向 B. 北偏西30°方向 C. 北偏西60°方向 D. 北偏东30°方向
7. 已知 ABC 2的重心为 G，内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c若 aGA bGB cGC 0，则 ABC的
2
形状是 ( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑 A－BCD中，BC=
CD=4，AB⊥平面 BCD，当该鳖臑的外接球的表面积为 48π时，则它的内切球的半径为 ( )
2
A． B． 3 C． 2 2 2 D． 3 1
2
二、多项选择题 ( 本大题共 3 小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多个
选项符合题目要求，全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0分。)
i
9. 已知 a为非零实数，复数 z1 a ，z2 2 i ,则 ( )a
z z 1A. 1 2的实部为 2a B. | z1 |的最小值为 2a
C. | z1z2 | | z1 || z2 | D. 当 a=1时， z1 z2
10. 在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD= 2a，点 E在 PD上，且
PE:ED =2:1，点 F 是棱 PC 的动点，则下列说法正确的是 ( )
A. AF BD
B. 3三棱锥 P-AEC的体积为 a3
36
C. 当 F是棱 PC的中点时，BF//平面 AEC
D. 直线 BF与平面 PAC所成的角的正切值最大为 6
11. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九
类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提
出了：已知三角形三边 a,b,c，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜
幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，
S 1
2 2 2
2 2 a +c -b 2
开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即： = [a c - ( ) ]，现有 ABC 满足
4 2
a :b : c = 2 :3 : 4，且 ABC的面积 S ABC 3 15 ，请运用上述公式判断下列命题正确的是( )
A. ABC周长为9

B. 若点O为ΔABC 的外心，则 AO (AB AC) 50
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C ΔABC 5内切圆的面积为 π
3
D. ΔABC 的中线 AD长为 46
非选择题部分
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分。）
1 i
12．已知复数 z ，则 z的虚部为_____________
2 i
13. 已知正三角形 ABC的边长为 4，设点 P是以边 AB为直径的圆上
的动点，则 PA (PB PC)的最大值为___________
(第 14题图)
14．如右图，已知正四面体 S—ABC中，侧棱长为 2，F为 AB中点，E为 AC中点，P是 SE上的动
点，Q是平面 SCF上的动点，则 AQ+PQ最小值是______________
四、解答题（本大题共 5小题，共 13+15+15+17+17=77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。）
15．已知复数 z不是纯虚数，且满足|z|2-2z=1+2i。
(1) 求|z|
(2) 若复数 z是关于 x的方程 x2-sx+t =0 (其中 s，t为实数) 的根，求 s+t.
16.在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美
学与数学设计。灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性。
现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：
顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为 2a，下底边长为 4a，
高度为 2a； 中间结构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为 4a，高度
为 4a；底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱台，其形状、大小均与
顶部的正六棱台相同。
(1) 求灯笼总体积。
(2) 灯笼所需纸张的总表面积。(备注：灯笼上下底不糊纸。)
17. 如图，设Ox,Oy是平面内相交成60 角的两条数轴，
e1,e2 分别是与Ox,Oy轴正方向同向的单位向量.若
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OP xe1 ye2 则把有序数对 (x, y)叫做向量OP 在坐标系Oxy中的坐标，记作OP = (x, y)，已知
点 A，B分别在Ox,Oy轴,OA （m,0），OB （0，n），m，n为非零实数，点 P满足 BP 2PA ．
(1) 求向量OP 在坐标系Oxy中的坐标；
(2) 若OA （1,0），OP AB，求向量OB 在坐标系Oxy中的坐标；
|OP |
(3) 求 的最小值．
|OA |
18.如图，多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD为矩形， ADE 60o ，DE//CF，CD DE，AD 2，
DC 3，DE 4，CF 5．
(1) 求证：平面 ABCD 平面 ADE；
(2) 求直线 BD与平面 CDEF所成角的正弦值；
(3) 求点 F到平面 ABCD的距离．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作
一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ΔABC的

三个内角均小于120 时，使得 AOB BOC COA 120 的点O即为费马点；当ΔABC 有

一个内角大于或等于120 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知ΔABC 的
内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，点 P为ΔABC的费马点，且满足 (2b - c) cos A- a cosC = 0 ，
a2 - (b - c)2 = 4
(1) 求 A；
(2) 求PA PB PB PC PC PA 的值；
(3) 求 | PB | | PC |的取值范围.
高一数学学科 试题 第 4 页 共 4 页2024学年第二学期温州十校联合体期中联考
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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只
高一数学答题纸
缺考
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程
16.(本题满分15分)
或演算步骤。
学
15.(本题满分13分)
校
准考证号（无条形码的网上阅卷填涂）
班
级
0001
0
00101010101
1
11
11111
11
名
2221
22
122
21
21
1333
1331
3
考场号
4441
4
4
441
41
4
15551
55
5
6I661
6
6
6
座位号】
777
7
77
I8中881
188
8
9991
91
9[
正确填涂
注1.根据阅卷方式填写
贴条形码区域
错误填涂
意2.远择用2B铅笔
非选择题用0.5
例
米及
黑笔书写
0)三
项
请在区域内作答
单项选择题（每小题5分，共40分）
I A B D
5团四
2AI0C四6ABIC四
7 A B CI
4A BC
8 A B
多项选择题（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0
分
i
9BCD
i
10A幻B]四]
I1AB四
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
11-
12.
13
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■
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17.(本题满分15分》
18.(本题满分17分)
19.(本题满分17分)
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高一数学答题纸第2页（共2页）

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