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第四章因式分解单元测试A卷北师大版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．把9mn+6mn2分解因式，应提取的公因式是（　　）
A．3m B．mn C．3mn D．mn2
2．计算：（﹣2）100+（﹣2）99的值是（　　）
A．﹣2100 B．﹣299 C．2100 D．299
3．如果a﹣b＝3，ab＝7，那么a2b﹣ab2的值是（　　）
A．﹣21 B．﹣10 C．21 D．10
4．把多项式﹣7ab﹣14abx+49aby分解因式，提公因式﹣7ab后，另一个因式是（　　）
A．1+2x﹣7y B．1﹣2x﹣7y C．﹣1+2x+2y D．﹣1﹣2x+7y
5．把多项式m2（a﹣3）+m（3﹣a）分解因式等于（　　）
A．（a﹣3）（m2+m） B．（a﹣3）（m2﹣m）
C．m（a﹣3）（m﹣1） D．m（a﹣3）（m+1）
6．若a﹣b＝3，x﹣y＝2，则代数式a2﹣2ab+b2﹣x+y+2023的值是（　　）
A．2019 B．2030 C．2024 D．2023
7．若△ABC三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
8．若正整数a，b，c满足不等式a2+b2+c2+11＜3a+ab+6c，则a+b+c的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若a﹣b＝2，则式子a2﹣b2﹣4a的值等于 　 　．
10．已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为 　 　
11．已知m2+m﹣5＝0，则m4+m3+5m﹣5＝ 　 　．
12．a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a、b满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则△ABC的周长为　 　
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．将下列各式分解因式：
①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1）；
②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9．
14．如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值：
（1）a2b﹣ab2；
（2）3a3b﹣6a2b2+3ab3．
15．将多项式x2﹣3x+2分解因式x2﹣3x+2＝（x﹣2）（x﹣1），说明多项式x2﹣3x+2有一个因式为x﹣1，还可知：当x﹣1＝0时x2﹣3x+2＝0．
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
（1）若多项式x2+kx﹣8有一个因式为x﹣2，求k的值；
（2）若x+2，x﹣1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式，求a、b的值．
16．先阅读下面材料，再解决问题：
已知x2+bx+c＝0．在求关于x的代数式的值时，可将x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c．就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”．
例如：已知x2+2x﹣4＝0，求代数式x2（x+4）的值．
解：∵x2+2x﹣4＝0，
∴x2＝﹣2x+4．
∴原式＝（﹣2x+4）（x+4）＝﹣2x2﹣8x+4x+16＝﹣2x2﹣4x+16＝﹣2（﹣2x+4）﹣4x+16＝4x﹣8﹣4x+16＝8．
∴x2（x+4）＝8．
请用“降次代换法”，完成下列各小题：
（1）若x2+x﹣15＝0，则代数式（x+4）（x﹣3）的值为 　 　．
（2）若x2+5x+1＝0，则代数式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值为 　 　．
（3）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3+12x2+8x+3的值．
17．一个四位数M，它的千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，且ad≠0．
（1）用含a、b、c、d的代数式表示M；
（2）如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个数M可以被3整除，为什么？
（3）若M各个数位的数字之和为4的倍数，称这样的数为“瓷韵数”，如6235，6+2+3+5＝16＝4×4，所以6235是“瓷韵数”；如2573，2+5+7+3＝17，17不是4的倍数，所以2573不是“瓷韵数”．“瓷韵数”M中，a+b+c＝2d﹣2，交换M的千位与个位数字得到新四位数M1，记，若的值为整数，求M的最大值．
18．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b） （c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2） （3，4）＝12+42﹣2×3＝11．
（1）若（2x，kx） （y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值：
（2）若2x+y＝12，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝104，求xy的值：
（3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积．
参考答案
一、选择题
1—8：CDCACBCA
二、填空题
9．【解答】解：∵a﹣b＝2，
∴a2﹣b2﹣4a
＝（a+b）（a﹣b）﹣4a
＝2（a+b）﹣4a
＝2a+2b﹣4a
＝﹣2a+2b
＝﹣2（a﹣b）
＝﹣2×2
＝﹣4，
故答案为：﹣4．
10．【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，
∴2（m﹣1）＝±6，
解得：m＝4或m＝﹣2，
故答案为：4或﹣2．
11．【解答】解：∵m2+m﹣5＝0，
∴m2＝5﹣m，m2+m＝5，
∴m4+m3+5m﹣5
＝m2（m2+m）+5m﹣5
＝（5﹣m）×5+5m﹣5
＝25﹣5m+5m﹣5
＝20，
故答案为：20．
12．【解答】解：∵a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，
∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣10b+25）＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，
解得，a＝2，b＝5，
∵a、b、c是等腰△ABC的三边长，
∴当a＝c＝2时，2+2＜5，此时不能构成三角形，
当b＝c＝5时，此时a＝2，则△ABC的周长为：5+5+2＝12，
故答案为：12．
三、解答题
13．【解答】解：①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2﹣16）
＝（x﹣1）（x+4）（x﹣4）；
②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9
＝（m﹣n）2+6（m﹣n）+9
＝（m﹣n+3）2．
14．【解答】解：（1）根据题意得a﹣b＝1，ab＝12，
当a﹣b＝1，ab＝12时，
原式＝ab（a﹣b）
＝12×1
＝12；
（2）当a﹣b＝1，ab＝12时，
原式＝3ab（a2﹣2ab+b2）
＝3ab（a﹣b）2
＝3×12×12
＝36．
15．【解答】解：（1）令x﹣2＝0，即当x＝2时，4+2k﹣8＝0，解得：k＝2；
（2）令x＝﹣2，则﹣16+4a﹣14+b＝0①，
令x＝1，则2+a+7+b＝0②，
由①，②得a＝13，b＝﹣22．
16．【解答】解：（1）（x+4）（x﹣3）＝x2+x﹣12，
∵x2+x﹣15＝0，
∴x2＝15﹣x，
∴x2+x﹣12＝15﹣x+x﹣12＝15﹣12＝3，
∴代数式（x+4）（x﹣3）的值为3．
故答案为：3；
（2）∵x2+5x+1＝0，
∴x2＝﹣5x﹣1
x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）
＝x（﹣5x﹣1+5x）+x2+6x﹣7
＝﹣x+（﹣5x﹣1）+6x﹣7
＝﹣6x+6x﹣7﹣1
＝﹣8，
∴代数式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值为﹣8．
故答案为：﹣8；
（3）∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2＝1﹣2x，
2x4+8x3+12x2+8x+3
＝2（1﹣2x）2+8x（1﹣2x）+12x2+8x+3
＝2（1﹣4x+4x2）+8x﹣16x2+12x2+8x+3
＝2﹣8x+8x2+8x﹣16x2+12x2+8x+3
＝5+4x2+8x
＝5+4（1﹣2x）+8x
＝5+4﹣8x+8x
＝9，
∴2x4+8x3+12x2+8x+3的值为9．
17．【解答】解：（1）∵一个四位数M，千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，
∴M可表示为1000a+100b+10c+d；
（2）这个数M可以被3整除，理由如下：
M＝1000a+100b+10c+d
＝999a+a+99b+b+9c+c+d
＝（999a+99b+9c）+（a+b+c+d）
＝3×（333a+33b+3c）+（a+b+c+d），
∵a+b+c+d能被3整除，3×（333a+33b+3c）也能被3整除，
∴M能被3整除；
（3）∵M＝1000a+100b+10c+d，
∴M1＝1000d+100b+10c+a，
∴M﹣M1＝（1000a+100b+10c+d）﹣（1000d+100b+10c+a）＝999（a﹣d），
∴，
∵M是“瓷韵数”，
∴a+b+c+d＝4k（k为整数），
又∵a+b+c＝2d﹣2，
∴2d﹣2+d＝4k，
∴3d﹣2＝4k，
即，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，1≤d≤9且a，b，c，d为整数，
∴当 k＝1时，d＝2；当 k＝4时，d＝6，
∵，要使其值为整数，则a﹣d能被d的整除，
∴①当d＝2时，a﹣d＝1或a﹣d＝2，
∴a＝3或a＝4，
②当d＝6时，a﹣d＝1或2或3或6，若a﹣d＝1，
∴a＝7或8或9或12（a＝12不符题意，舍去），
∴M的最大值时千位数字a＝9，
∵a﹣d＝3，
∴d＝6，
∵a+b+c＝2d﹣2，
∴当d＝6，a＝9时，b+c＝2d﹣2﹣a＝12﹣2﹣9＝1，
∴要使M最大，b＝1，c＝0，
∴M最大值为9106．
18．【解答】解：（1）（2x）2+y2﹣kx y
＝4x2﹣kxy+y2，
∵4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式，
∴k＝±4；
（2）（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2），
＝9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2
＝4x2+y2
＝（2x+y）2﹣4xy
＝104，
∵2x+y＝12，
∴122﹣4xy＝104
∴xy＝10；
（3）S△BDC 2x 8x＝8x2，
S△BGF（8x﹣4y） y
＝4x﹣2y2，
S△DEF 4y （2x﹣y）
＝4xy﹣2y2，
S△GEC 4y y＝2y2，
∴S阴＝8x2﹣（4xy﹣2y2）﹣（4xy﹣2y2）﹣2y2
＝2（4x2﹣4xy+y2）
＝2[（2x+y）2﹣8xy]
＝2（144﹣8×10）
＝128．
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