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第四章因式分解单元测试北师大版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
B．x2+4x+10＝（x+2）2+6
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
D．x2﹣4+3x＝（x﹣2）（x+2）+3x
2．把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（　　）
A．5﹣m B．5+m C．m﹣5 D．﹣m﹣5
3．已知m2+n2＝25，mn＝12，则mn3+m3n的值为（　　）
A．﹣84 B．84 C．±84 D．300
4．下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．a2+b2 B．﹣a2+b2 C．﹣a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2
5．多项式15a3b3+5a2b﹣20a2b3中各项的公因式是（　　）
A．a3b3 B．a2b C．5a2b D．5a3b3
6．若a+x2＝2021，b+x2＝2022，c+x2＝2023，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
8．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2＝bc﹣ac，则△ABC为（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，用9张A类正方形卡片、4张B类正方形卡片，12张C类长方形卡，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为　 　．
10．分解因式：6（x﹣2y）2﹣2x（2y﹣x）＝　 　．
11．若x2﹣4（m﹣3）x+16是一个完全平方式（m为常数），则m的值为　 　．
12．若多项式x2+2x﹣4m2有一个因式是x﹣2，则m的值是　 　．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．因式分解：
（1）（a2+1）2﹣4a2； （2）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1．
14．如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值：
（1）a2b﹣ab2；
（2）3a3b﹣6a2b2+3ab3．
15．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，2块是边长为b cm的小正方形，5块是长为a cm，宽为b cm的相同的小长方形，且a＞b．
（1）观察图形，把多项式2a2+5ab+2b2进行因式分解；
（2）若这张大长方形纸板的周长为78cm，图中空白部分的面积为120cm2，求图中阴影部分的面积．
16．阅读：因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2；当因式x﹣2＝0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解：
（1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x＝　 　，A＝0；
（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x﹣2，面积为x2+kx﹣14，求k的值；
（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x﹣1），体积为4x3+ax2﹣7x+b，试求a，b的值．
17．对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d），我们规定：（a，b）*（c，d）＝a2+c2﹣bd．例如：（1，2）*（3，4）＝12+32﹣2×4＝2．
（1）求（﹣3，2）*（2，﹣1）的值；
（2）若（x，kx）*（3y，﹣y）是一个完全平方式，则k＝　 　；
（3）若2x+y＝10，且（3x+y，2x2+3y2）*（x﹣3y，3）＝80，求xy的值．
18．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）．
例2若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值；a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1；
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；
（2）若M＝a2﹣3a+2024，求M的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，求△ABC的周长．
参考答案
一、选择题
1—8：CADBCDBA
二、填空题
9．【解答】解：根据题意用9张A类正方形卡片、4张B类正方形卡片，12张C类长方形卡，
可拼成的大正方形的面积为：9a2+12ab+4b2＝（3a+2b）2，
故拼成的大正方形边长是：3a+2b，
故答案为：3a+2b．
10．【解答】解：原式＝6（x﹣2y）2+2x（x﹣2y）
＝（x﹣2y）[6（x﹣2y）+2x]
＝4（x﹣2y）（2x﹣3y）．
故答案为：4（x﹣2y）（2x﹣3y）．
11．【解答】解：若代数式x2﹣4（m﹣3）x+16是一个完全平方式，
则4（m﹣3）x＝±2x×4，
解得m＝5或1，
故答案为：5或1．
12．【解答】解：∵x的多项式x2+2x﹣4m2分解因式后有一个因式是x﹣2，
当x＝2时多项式的值为0，
即22+2×2﹣4m2＝0，
∴m＝±，
故答案为：±．
三、解答题
13．【解答】解：（1）原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2；
（2）原式＝[3（2x﹣1）﹣1]2
＝（6x﹣4）2
＝4（3x﹣2）2．
14．【解答】解：（1）根据题意得a﹣b＝1，ab＝12，
当a﹣b＝1，ab＝12时，
原式＝ab（a﹣b）
＝12×1
＝12；
（2）当a﹣b＝1，ab＝12时，
原式＝3ab（a2﹣2ab+b2）
＝3ab（a﹣b）2
＝3×12×12
＝36．
15．【解答】解：（1）由题意得，
大正方形的面积为a2 cm2，小正方形的面积为b2 cm2，小长方形的面积为ab cm2，
∴2a2+5ab+2b2为大长方形的面积，
∵大长方形的长为（2a+b）厘米，宽为（2b+a）厘米，
∴大长方形的面积为（2a+b）（2b+a）平方厘米，
∴2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（2b+a），
故答案为：（2a+b）（2b+a）；
（2）∵这张大长方形纸板的周长为78cm，空白部分的面积为120cm2，
∴5ab＝120，2（2a+b+2b+a）＝78，
∴ab＝24，a+b＝13，
∴阴影部分的面积为：
2a2+2b2
＝2（a2+b2）
＝2[（a+b）2﹣2ab]
＝2×（132﹣2×24）
＝2×（169﹣48）
＝242（cm2），
答：图中阴影部分的面积为242cm2．
16．【解答】解：（1）由题意，得，当x+m＝0时，A＝0，
∴x＝﹣m时，a＝0，
故答案为：﹣m；
（2）由题意得x﹣2是x2+kx﹣14的一个因式，
∴x﹣2能整除x2+kx﹣14，
∴当x﹣2＝0时，x2+kx﹣14＝0，
∴x＝2时，x2+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0，
解得：k＝5；
（3）由题意得x+2，x﹣1是4x3+ax2﹣7x+b的一个因式，
∴x+2，x﹣1能整除4x3+ax2﹣7x+b，
∴x+2＝0，x﹣1＝0，
当x+2＝0时即x＝﹣2时，4x3+ax2﹣7x+b＝0，
∴4a+b＝18①，
当x﹣1＝0即x＝1时，4x3+ax2﹣7x+b＝0，
∴a+b＝3②，
①﹣②得3a＝15，
解得：a＝5，
∴b＝﹣2．
17．【解答】解：（1）（﹣3，2）*（2，﹣1）
＝（﹣3）2+22﹣2×（﹣1）
＝9+4+2
＝15；
（2）（x，kx）*（3y，﹣y）
＝x2+（3y）2+kxy
＝x2+9y2+kxy，
由于结果是一个完全平方式，
∴k＝±6，
故答案为：±6；
（3）∵（3x+y，2x2+3y2）*（x﹣3y，3）＝80，
∴（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2）＝80，
即9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2＝80，
∴4x2+y2＝80，
∴（2x+y）2﹣4xy＝80，
当2x+y＝10时，
即100﹣4xy＝80，
∴xy＝5．
18．【解答】解：（1）a2﹣12a+35
＝a2﹣12a+36﹣1
＝（a﹣6）2﹣12
＝（a﹣6+1）（a﹣6﹣1）
＝（a﹣5）（a﹣7）；
（2）M＝a2﹣3a+2024
，
∵，
∴的最小值为，即M的最小值为；
（3）∵a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）+（c2﹣10c+25）＝0，
（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，（c﹣5）2≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
解得：a＝3，b＝4，c＝5，
∴△ABC的周长为：a+b+c＝3+4+5＝12．
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