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第四章因式分解单元测试卷北师大版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．﹣x2﹣y2 B．x2﹣5y2 C．x2+4y2 D．﹣x2+y2
2．下列各式因式分解正确的是（　　）
A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6
C． D．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2
3．把多项式2（a﹣2）+6x（2﹣a）分解因式，结果是（　　）
A．（a﹣2）（2+6x） B．（a﹣2）（2﹣6x）
C．2（a﹣2）（1+3x） D．2（a﹣2）（1﹣3x）
4．（﹣2）2024+（﹣2）2025计算后的结果是（　　）
A．22024 B．﹣2 C．﹣22024 D．﹣1
5．把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（　　）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4
6．如图，边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　）
A．140 B．80 C．70 D．24
7．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则△ABC的形状为（　　）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．已知实数a满足a2﹣2a﹣3＝0，则代数式a3﹣2a2﹣3a+5的值为（　　）
A．﹣5 B．0 C．5 D．﹣3
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 　 　．
10．若x+y＝2，则代数式x2﹣y2+4y的值等于　 　．
11．分解因式：6（x﹣2y）2﹣2x（2y﹣x）＝　 　．
12．若x2﹣4（m﹣3）x+16是一个完全平方式（m为常数），则m的值为　 　．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．分解因式：
（1）x（x﹣y）+y（y﹣x）；
（2）5a2b﹣10ab2+5b3．
14．已知xy＝15，且满足（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28．
（1）求x﹣y的值；
（2）求x2+y2，x+y的值．
15．已知：x，y满足．
（1）x+y＝　 　，xy＝　 　；
（2）求x2y+xy2的值；
（3）求x2+y2的值．
16．【阅读材料】对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
（1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝　 　；
（2）若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求2m﹣n值；
（3）多项式x3+2x2﹣3用“试根法”分解因式得（x+a）（x2+bx+c）（a，b，c为常数），请直接写出a，b，c的值．
17．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片多少张，B号卡片多少张，C号卡片多少张．
（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝20，求x﹣2024的值．
18．先阅读下面材料，再解决问题：
已知x2+bx+c＝0．在求关于x的代数式的值时，可将x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c．就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”．
例如：已知x2+2x﹣4＝0，求代数式x2（x+4）的值．
解：∵x2+2x﹣4＝0，
∴x2＝﹣2x+4．
∴原式＝（﹣2x+4）（x+4）＝﹣2x2﹣8x+4x+16＝﹣2x2﹣4x+16＝﹣2（﹣2x+4）﹣4x+16＝4x﹣8﹣4x+16＝8．
∴x2（x+4）＝8．
请用“降次代换法”，完成下列各小题：
（1）若x2+x﹣15＝0，则代数式（x+4）（x﹣3）的值为 　 　．
（2）若x2+5x+1＝0，则代数式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值为 　 　．
（3）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3+12x2+8x+3的值．
参考答案
一、选择题
1—8：DDDCACBC
二、填空题
9．【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝1
∴（a+2）2﹣（b﹣2）2＝[（a+2）+（b﹣2）][（a+2）﹣（b﹣2）]＝（a+b）（a﹣b+4）＝4×（1+4）＝20
故答案为：20
10．【解答】解：∵x+y＝2，
∴x2﹣y2+4y＝（x+y）（x﹣y）+4y
＝2（x﹣y）+4y
＝2x﹣2y+4y
＝2x+2y
＝2（x+y）
＝2×2
＝4，
故答案为：4．
11．【解答】解：原式＝6（x﹣2y）2+2x（x﹣2y）
＝（x﹣2y）[6（x﹣2y）+2x]
＝4（x﹣2y）（2x﹣3y）．
故答案为：4（x﹣2y）（2x﹣3y）．
12．【解答】解：若代数式x2﹣4（m﹣3）x+16是一个完全平方式，
则4（m﹣3）x＝±2x×4，
解得m＝5或1，
故答案为：5或1．
三、解答题
13．【解答】解：（1）原式＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y）
＝（x﹣y）（x﹣y）
＝（x﹣y）2；
（2）原式＝5b（a2﹣2ab+b2）
＝5b（a﹣b）2．
14．【解答】解：（1）（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28，
xy（x﹣y）﹣（x﹣y）＝28，
（x﹣y）（xy﹣1）＝28，
∵xy＝15，
∴14（x﹣y）＝28，
∴x﹣y＝2；
（2）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝22+2×15＝34；
（x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+2×15＝64，
∴x+y＝±8．
15．【解答】解：（1）由题意知，，，
∴x+y，xy，
故答案为：，．
（2）；
（3）∵，，
∴，
又∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴，
∴，
∴x2+y2＝7．
16．【解答】解：（1）设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）＝x2+（m﹣1）x﹣m，
则m＝2，
则x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），
故答案为：（x﹣1）（x+2）；
（2）设x2+mx﹣n＝（x﹣2）（x+a）＝x2+（a﹣2）x﹣2a，
则m＝a﹣2，n＝2a，
那么2m﹣n＝2（a﹣2）﹣2a＝2a﹣4﹣2a＝﹣4；
（3）∵（x+a）（x2+bx+c）
＝x3+bx2+cx+ax2+abx+ac
＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac
＝x3+2x2﹣3，
∴a+b＝2，ab+c＝0，ac＝﹣3，
解得：a＝﹣1，b＝3，c＝3．
17．【解答】解：（1）由题知，
图2的面积可表示为：（a+b）2，也可表示为：a2+b2+2ab，
所以（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
（2）因为（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，且A号卡片的面积为a2，B号卡片的面积为b2，C号卡片的面积为ab，
所以需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张．
（3）①由（1）知，
ab[（a+b）2﹣（a2+b2）]．
②因为（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝20，
所以（x﹣2024+1）2+（x﹣2024﹣1）2＝20，
则（x﹣2024）2+2（x﹣2024）+1+（x﹣2024）2﹣2（x﹣2024）+1＝20，
所以（x﹣2024）2＝9，
则x﹣2024＝±3．
18．【解答】解：（1）（x+4）（x﹣3）＝x2+x﹣12，
∵x2+x﹣15＝0，
∴x2＝15﹣x，
∴x2+x﹣12＝15﹣x+x﹣12＝15﹣12＝3，
∴代数式（x+4）（x﹣3）的值为3．
故答案为：3；
（2）∵x2+5x+1＝0，
∴x2＝﹣5x﹣1
x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）
＝x（﹣5x﹣1+5x）+x2+6x﹣7
＝﹣x+（﹣5x﹣1）+6x﹣7
＝﹣6x+6x﹣7﹣1
＝﹣8，
∴代数式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值为﹣8．
故答案为：﹣8；
（3）∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2＝1﹣2x，
2x4+8x3+12x2+8x+3
＝2（1﹣2x）2+8x（1﹣2x）+12x2+8x+3
＝2（1﹣4x+4x2）+8x﹣16x2+12x2+8x+3
＝2﹣8x+8x2+8x﹣16x2+12x2+8x+3
＝5+4x2+8x
＝5+4（1﹣2x）+8x
＝5+4﹣8x+8x
＝9，
∴2x4+8x3+12x2+8x+3的值为9．
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