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第九章中心对称图形—平行四边形期中复习苏科版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
3．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC
4．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
6.如图，在矩形OABC中，OA＝9，AB＝15，E是BC上一点，沿AE折叠，使点B恰好落在x轴的点D处．E点坐标是（　　）
A．（5，15） B．（3，15） C．（15，2） D．（15，4）
7.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　）
A．1+ B．2+ C．5﹣ D．
二、填空题
8．在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：4，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为 　 　．
9．已知平行四边形ABCD中，∠A＝30°，，BD＝2，则平行四边形的面积为 　　．
10．已知：如图，正方形ABCD的边长为，E点是正方形ABCD的边CD上的一点，AE与对角线BD相交于点F，若EC＝EF．则∠EAD的度数是　 ；AF的长为　 ．
11．如图，正方形ABCD与正方形正方形EFGH，满足EF∥AB．正方形ABCD的边长为6，正方形EFGH的对角线．
（Ⅰ）正方形EFGH的边长为 　 　 ．
（Ⅱ）线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为 　 　 ．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值是 　 　 ．
三、解答题
13．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．
（1）求证：DM（AC﹣AB）；
（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．
14．已知：如图，在 ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，AD＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
15．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位1）网格的格点上．
（1）△ABC的形状是　 　 （直接写答案）；
（2）将△ABC向右平移3个单位长度得△A1B1C1，在坐标系中画出并求出这个变化过程中△ABC扫过的面积；
（3）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°的△CA2B2．
16．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，BD∥CE，BE⊥EC．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若四边形OBEC的周长为18，菱形ABCD的面积为33，求平行线AB与DC间的距离．
17．已知：矩形ABCD，AC、BD交于点O，过点O作EF⊥BD分别交AB、CD于E、F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形．
（2）若BC＝3，CD＝5，求S菱形BEDF．
18．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在CD边上运动（不与点C、D重合）．过点B作AE的平行线交DC的延长线于点F，过点D作AE的垂线DN分别交于AE，BF于点M、N．
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若，求线段MN的长；
（3）点E在CD边上运动过程中，∠CND的大小是否改变？若不变，求出该值，若改变请说明理由．
参考答案
一、选择题
1-7：DCBAC DB
二、填空题
8．【解答】解：如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，有两个内角的度数比为1：4，
∴AD∥BC，∠A＝4∠B，
∴∠A+∠B＝180°，
∴4∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
∴∠A＝144°，
∴平行四边形ABCD中较小内角的度数为36°，
故答案为：36°．
9．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝2，
∴DEAD，AEAD＝3，
在Rt△BDE中，
∵BD＝2，
∴BE2，
如图1，∴AB＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝4；
如图2，AB＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝2．
故答案为：2或4．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴，
在△ADF和△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAF＝∠DCF，
∵EC＝EF，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴∠AED＝2∠ECF，则∠AED＝2∠EAD，
在Rt△ADE中，∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠EAD+2∠EAD＝90°，
解得∠EAD＝30°；
在Rt△ADE中，，
∴AE＝2DE，
由勾股定理得：AE2＝AD2+DE2，即，
解得DE＝3（负值舍去），
∴AE＝6，，
∴；
故答案为：30°；．
11．【解答】解：（Ⅰ）∵正方形EFGH的对角线．
∴EF2，
故答案为：2；
（Ⅱ）连接HM并延长至点P，使MP＝MH，作PQ⊥CD于点Q，连接PC、FH、PD，
∵M是线段CF的中点，
∴MF＝MC，
在△FHM和△CPM中，
∴△FHM≌△CPM（SAS），
∴FH＝PC＝2，∠HFM＝∠PCM，
∵FG∥BC，
∴∠GFM＝∠BCM，
∴∠HFG＝∠PCB＝45°
∴∠PCQ＝45°，
∴PQ＝QC＝2，
∴DQ＝CD+CQ＝8，
∴，
∵线段HP的中点为M，DH的中点为N，
∴．
故答案为：．
12．【解答】解：连接OP，过点D作DH⊥AC于点H，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，且AB＝6，AD＝8，
∴CD＝AB＝6，OA＝OC＝OD＝OB，∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC10，
∴OA＝OC＝OD＝1/2AC＝5，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴S△OAPOA PEPE，S△ODPOD PFPF，S△OADOA DHDH，
∵S△OAP+S△ODP＝S△OAD，
∴PEPFDH，
∴PE+PF＝DH，
∵∠ADC＝90°，DH⊥AC，
∴由三角形的面积公式得：S△ACDAC DHAD CD，
∴DH4.8，
∴PE+PF＝4.8．
故答案为：4.8．
三、解答题
13．解：（1）证明：延长BD交AC于E，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
在△BAD和△EAD中，
，
∴△BAD≌△EAD（ASA），
∴AB＝AE，BD＝DE，
∵M为BC的中点，
∴DMCE（AC﹣AB）；
（2）∵在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AD＝6，BD＝8，
∴由勾股定理得：AE＝AB10，
∵DM＝2，DMCE，
∴CE＝4，
∴AC＝10+4＝14．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠ADB＝∠CBD．
∴∠ADE＝∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
∴AE＝CF，∠AED＝∠CBF．
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，BC＝AD＝3，
∴BD4，
连接AC交EF于O，如图，
∴DO＝OBBD＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴EO＝OFEF，
∴DE＝BF，
设DE＝BF＝x，
∴EF＝2x+4，
∵EF﹣AF＝2，
∴AF＝2x+2，
∵AF2＝AD2+DF2，
∴（2x+2）2＝32+（4+x）2，
∴x（负值舍去），
∴DE的长为．
15．【解答】解：（1）由勾股定理得，AB，AC，BC，
∴AB＝AC，AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
这个变化过程中△ABC扫过的面积为．
（3）如图，△CA2B2即为所求．
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵BD∥CE，
∴CE⊥AC，
又∵BE⊥EC，
∴∠BOC＝∠OCE＝∠CEB＝90°，
∴四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形OBEC的周长为18，四边形OBEC是矩形，
∴OC+OB＝9，
∵菱形ABCD的面积为33，
∴AC BD＝33，
即2OB×2OC＝33，
∴2OB OC＝33，
∵OC+OB＝9，
∴（OC+OB）2＝81，
∴OC2+2OB OC+OB2＝81，
∴OC2+OB2＝48，
∴BC4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，
设平行线AB与DC间的距离为x，
则AB x＝33，
即4x＝33，
解得x，
即平行线AB与DC间的距离为．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，OB＝OD，
∴∠EBD＝∠FDB，
在△EBO和△FDO中，
，
∴△EBO≌△FDO（ASA），
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BF＝DF，
∵BC＝3，CD＝5，
∴FC＝CD﹣DF＝5﹣BF，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得：
BF2＝BC2+FC2，
∴BF2＝32+（5﹣BF）2，
∴BF＝，
∴S菱形BEDF＝DF BC＝BF BC＝×3＝．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形；
（2）解：在正方形ABCD中，AB＝6，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝6，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵，
∴DE＝2，CE＝4，
∴AE＝2，
对于△AED，∠ADE＝90°，DM⊥AE，
∴AD DE＝AE DM，
解得DM＝．
连接BD，
∵AE∥BF，
∴DN⊥BF，
∴∠DNF＝90°．
∴BC DF＝BF DN，
由（1）知，四边形ABFE是平行四边形，
∴EF＝AB＝6，BF＝AE＝2，
∴DF＝8，
∴6×8＝2 DN，
∴DN＝．
∴MN＝DN﹣DM＝．
（3）不变，∠CND＝45°，理由如下：
如图，在DN上取点G，使DG＝BN，连接CG，CN，
∵∠NDF+∠F＝∠CBF+∠F＝90°，
∴∠NDF＝∠CBF，
∵DC＝BC，DG＝BN，
∴△CDG≌△CBN（SAS），
∴CG＝CN，∠DCG＝∠BCN，
∵∠DCG+∠BCG＝90°，
∴∠BCN+∠BCG＝90°，即∠GCN＝90°．
∴∠CNG＝45°，即∠CND＝45°．
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