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第三次月考数学模拟试卷试卷人教版2024—2025学年九年级下册
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题
1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C．D．
2．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（　　）
A．6 B．12 C．16 D．18
3．使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≥﹣2 D．x＞﹣2
4．若式子x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值可能是（　　）
A．﹣1或7 B．0或6 C．1或5 D．2或4
5．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝1035 B．x（x+1）＝1035
C．x（x﹣1）＝1035 D．x（x﹣1）＝1035
6．下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
7．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移1个单位，再向上平移5个单位后所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+7 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+7 D．y＝x2+3
8．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　）
A．1 B． C．1 D．
9．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，FC，现在有如下4个结论：
①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第三象限，且过点（1，0），设t＝a﹣b﹣2，则t值的变化范围是（　　）
A．﹣2＜t＜0 B．﹣3＜t＜0 C．﹣4＜t＜﹣2 D．﹣4＜t＜0
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．若一个圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为　 cm．
12．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　 　°．
13．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是线段AD的中点，连接AC，BE，交于点O，若S△AOE＝1，则S△BOC＝　 　．
14．某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：
移植总数（n） 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活数（m） 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为　 　（精确到0.1）．
15．若样本x1，x2，…，xn的平均数为＝5，方差S2＝0.025，则样本x1+3，x2+3，…，xn+3的平均数′和方差S′2分别为　 　．
16．若t为实数，关于x的方程x2﹣4x+t﹣2＝0有两个非负实数根为a、b，且（a2﹣1）（b2﹣1）＝0，则t的值是　 　．
第II卷
第八次月考数学模拟试卷试卷人教版2024—2025学年九年级下册
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17.计算：|﹣2|+π0+（﹣1）2025﹣（）﹣1；
18.先化简：+÷，再从﹣1≤x≤3的整数中选取一个你喜欢的x的值代入求值．
19.解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．
21．中秋佳节我国有赏月和吃月饼的传统，某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱月饼的情况，随机抽取了60名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图．
（注：参与问卷调查的每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择）
请根据统计图完成下列问题：
（1）扇形统计图中，“很喜欢”的部分所对应的圆心角为　 　度；
条形统计图中，喜欢“豆沙”月饼的学生有　 　人；
（2）若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有　 　人．
（3）甲同学最爱吃云腿月饼，乙同学最爱吃豆沙月饼，现有重量、包装完全一样的云腿、豆沙、莲蓉、蛋黄四种月饼各一个，让甲、乙每人各选一个，请用画树状图法或列表法，求出甲、乙两人中有且只有一人选中自己最爱吃的月饼的概率．
22．某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．
（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
23．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，＝，AO的延长线交⊙O于点F、交DB的延长线于点P，连接PC且恰好PC∥AB，连接DF交AB于点G，延长DF交CP于点E，连接BF．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝PE；
（3）当BF＝2时，求tan∠APD的值．
24．我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“向光函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．
（1）判断一次函数y＝x+1和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理由；
（2）若一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
25．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，以AB为直径作⊙O′，⊙O′经过点C，连接AC，BC．
（1）求⊙O'的圆心O′的坐标；
（2）如图1，点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙O'于点D，连接BD，求直线BD的解析式．
（3）如图2，在（2）的条件下，F是⊙O'上一动点（不与B点重合），连接BF，M是BF中点，连接DM，求DM的最大值．
参考答案
选择题
1-10：ABBAC CCCBD
二、填空题
11．解：设圆锥底面半径为rcm，
那么圆锥底面圆周长为2πrcm，
所以侧面展开图的弧长为2πrcm，
S圆锥侧面积＝×2πr×6＝，
解得：r＝3，
故答案为：3．
12．解：由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，
故答案为：360．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E是线段AD的中点，
∴AE＝AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△AEO∽△CBO，
∴＝（）2＝，
∴S△BOC＝4×1＝4，
故答案为：4．
14．解：由表格数据可得，随着样本数量不等增加，这种幼树移植成活率稳定的0.9左右，
故这种幼树移植成活率的概率约为0.9．
故本题答案为：0.9．
15．解：∵样本x1，x2，…，xn的平均数为5，
∴样本x1+3，x2+3，…，xn+3的平均数是5+3＝8；
∵样本x1，x2，…，xn的方差为0.025，
∴样本x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是0.025；
故答案为：8，0.025．
16．解：由根的判别式可知：△＝16﹣4（t﹣2）＝24﹣4t≥0，
∴t≤6，
由根与系数的关系可知：a+b＝4，ab＝t﹣2，
由于关于x的方程x2﹣4x+t﹣2＝0有两个非负实数根为a、b，
∴t﹣2≥0，
∴2≤t≤6，
∵关于x的方程x2﹣4x+t﹣2＝0有两个非负实数根为a、b，
∴a2﹣4a+t﹣2＝0，b2﹣4b+t﹣2＝0，
∴两式相加可得：a2+b2﹣4（a+b）+2（t﹣2）＝0，
∴a2+b2＝4（a+b）﹣2（t﹣2）＝16﹣2（t﹣2）＝20﹣2t，
∵（a2﹣1）（b2﹣1）＝0，
∴a2b2﹣（a2+b2）+1＝0，
∴（t﹣2）2﹣（20﹣2t）+1＝0，
∴t2﹣2t﹣15＝0，
∴t＝5或t＝﹣3（舍去）
∴t＝5
故答案为：5．
三、解答题
17.解：（1）|﹣2|+π0+（﹣1）2025﹣（）﹣1
＝2﹣+1+（﹣1）﹣2
＝﹣；
18.解：（1）+÷
＝
＝
＝，
当x＝3时，原式＝＝6；
19.解（2），
由不等式①，得
x＜，
由不等式②，得
x≥﹣1，
故原不等式组的解集是﹣1≤x＜，
∴该不等式组的非负整数解是0，1．
20．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
点B旋转到点B2所经过的路径长为：＝π．
故点B旋转到点B2所经过的路径长是π．
21．解：（1）∵“很喜欢”的部分占的百分比为：1﹣25%﹣40%＝35%，
∴扇形统计图中，“很喜欢”的部分所对应的圆心角为：360°×35%＝126°；
∵“很喜欢”月饼的同学数：60×35%＝21，
∴条形统计图中，喜欢“豆沙”月饼的学生数：21﹣6﹣3﹣8＝4，
故答案分别为126°，4．
（2）900名学生中“很喜欢”的有900×35%＝315人，
900名学生中“比较喜欢”的有900×40%＝360人，
∴估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有675人．
故答案为675．
（3）为了表示方便，记云腿、豆沙、莲蓉、蛋黄四种月饼分别为A、B、C、D．画出的树状图如图所示，
∴甲、乙两人中有且只有一人选中自己最爱吃的月饼的概率＝＝
22.解：（1）设每一个篮球的进价是x元，则每一个排球的进价是90%x元，依题意有
+10＝，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，
90%x＝90%×40＝36．
故每一个篮球的进价是40元，每一个排球的进价是36元；
（2）设文体商店计划购进篮球m个，总利润y元，则
y＝（100﹣40）m+（90﹣36）（100﹣m）＝6m+5400，
依题意有，
解得0＜m≤25且m为整数，
∵m为整数，
∴y随m的增大而增大，
∴m＝25时，y最大，这时y＝6×25+5400＝5550，
100﹣25＝75（个）．
故该文体商店应购进篮球25个、排球75个才能获得最大利润，最大利润是5550元．
23.（1）证明：∵CD是⊙O的直径，
∴CD⊥AB，
又∵PC∥AB，
∴PC⊥CD，
∴PC为⊙O的切线； ……（3分）
（2）∵PC∥AB，
∴∠EPF＝∠PAB，
∠FDB＝∠PAB，
∴∠EPF＝∠FDB，
∵∠PEF＝∠DEP，
∴△FEP∽△PED，
∴，
∴PE2＝EF ED，
连接CF，
同理得：△ECF∽△EDC，
∴，即EC2＝EF ED，
∴CE2＝PE2，
∴CE＝PE； ……（7分）
（3）∵PC∥AB，
∴，，
∴，
由（2）知：CE＝PE，
∴GH＝BG，
∴∠HGD＝∠BGF，∠DHG＝∠FBG＝90°，
∴△DHG≌△FBG（ASA），
∴DH＝BF＝2，
又AO＝OF，AH＝HB，
∴OH＝BF＝1，
∴OD＝3，CD＝6，
连接OB，过点O作OM⊥DB，则OB＝OD＝3，
∴，
∴，，
∴，
又PC∥AB，
∴，
∴，
∴，
∴MP＝5，
在Rt△POM中，tan∠APD＝＝＝……（10分）
24.解：（1）一次函数y＝x+1和反比例函数存在“向光函数”，理由如下：
点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．设“幸福点”坐标为P（m，n），则Q（﹣m，n），
∴，
解并检验得：，，
∴一次函数y＝x+2和反比例函数是存在“向光函数”，“幸福点”坐标为（1，2），（﹣2，﹣1）；
（2）∵一次函数y＝x﹣k关于y轴对称的直线函数解析式为y＝﹣x﹣k，而且一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”，
所以y＝﹣x﹣k与反比例函数只有一个交点，
∴y＝﹣x﹣k③，，
整理得：x2+kx+（k+3）＝0，
Δ＝k2﹣4（k+3）＝0，
解得：k1＝﹣2，k2＝6，
当k＝﹣2时，则一次函数y＝x+2与反比例函数只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：y＝x2+2x+1，
当k＝6时，则一次函数y＝x﹣6与反比例函数只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：y＝x2﹣6x+9，
∴“向光函数”的解析式为：y＝x2+2x+1或y＝x2﹣6x+9．
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），
∴A、B关于y轴对称的点A′、B′一定在y＝﹣ax+b上，且是y＝﹣ax+b与的交点坐标，
∴，
整理得：ax2﹣bx+c＝0，
由①②得，，
∴，
即“向光函数”为y＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
又∵a＞b＞0，
∴，
∴，
∵ax2﹣（2a﹣1）x+（1﹣3a）＝0，
∴x1＝﹣1，，
∴xB′＝﹣1，，
∴xB＝1，，
∴B（1，3a﹣1），，
令“向光函数”y＝ax2+bx+c中，y＝0得0＝ax2+bx+c即0＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
解得x1＝1，，
∴xD＝1，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是：．
25.解：（1），令y＝0，
解得：x＝﹣1或4，
故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），
∵AB是⊙O'的直径，故O′为AB的中点，
∴点O′的坐标为；
（2）连接O′D，如图1，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∵∠BCE的平分线为CD，
∴∠BCD＝45°，
∴∠DO′B＝90°，即O′D⊥AB，
∴圆的半径为，
故点D的坐标为，
又∵B（4，0），
设直线BD的表达式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线BD的表达式为：y＝x﹣4；
（3）连接O′M，如图2，
∵M是BF的中点，
由垂径定理可得，∠O′MB＝90°，
取O'B中点K，则M在以K为圆心，O′K为半径的圆上运动．
∴当M运动到如图G点位置时（即DG经过圆心K时），DM最长．
在Rt△O′DK中，，由勾股定理可得，，
∴．
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