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第十八章平行四边形章节期中复习（一）人教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
2．下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
3．顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（　　）
①矩形；②菱形；③对角线相等的四边形；④对角线互相垂直的四边形．
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
4．若菱形ABCD的边长为6，其中较短的一条对角线的长也为6，则这个菱形的面积为（　　）
A． B． C．24 D．36
5．菱形和矩形都是特殊的平行四边形，那么下列是菱形和矩形都具有的性质是（　　）
A．各角都相等 B．各边都相等
C．有两条对称轴 D．对角线相等
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
7．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E、B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．若AB＝2时，则△ADP周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（　）
A． B． C． D．
9．我国清代数学家李悦借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形CBFG、正方形HDEF、正方形ABEJ，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若a+b＝7，四边形ABFK与△DEL面积之和为7，则正方形ABEJ的面积为（　　）
A．49 B．28 C．21 D．14
10.如图，在边长为10的正方形ABCD对角线上有E、F两个动点，，点P是BC中点，连接AE、PF，则AE+PF的最小值为（　　）
A． B． C． D．10
11.如图，矩形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分，BC＝2CD，CD＝11DE，若线段OB，BC的长是正整数，则矩形ABCD面积的最小值是（　　）
A． B．81 C． D．121
12.两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图的方式叠放在一起，AB＝AF．若AB＝3，BC＝9，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　）
A．15 B．14 C．13 D．12
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为 　 　．
14．如图，菱形ABCD中，AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则DH＝ 　 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，点P是AB边上的一点（异于A，B两点），过点P分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M，N，连接MN，则MN的最小值是 　 　 ．
16.菱形ABCD，点A，B，C，D均在坐标轴上，∠ABC＝120°，点A（﹣6，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则△PDE周长的最小值是 　　．
17.如图，在矩形ABCD中，DH⊥AC于H，交BC于G，点E为线段BG上一点，连接BE并延长交AC于P，交CD于F，且BE＝EF＝DF，若AC＝12，则CF的长为 　　．
三、解答题
18．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求MD的长．
19．如图，在 ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长．
20．如图，在△ABF中，E是AB的中点，延长BF至D，使得DF＝BF，连接AD，延长EF至点C，使得CF＝AD，连接CD．
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（2）连接AC交DB于点O，若CE⊥DB，EF＝1，，求AF，AC的长．
21．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CF，CG．
（1）求证：四边形EFCG是平行四边形．
（2）如图2，若四边形EFCG是菱形，求AB：AD的值．
22．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
23．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，AF⊥BE，垂足为M．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若点N是BF的中点，DF＝1，DE＝3，求MN的长．
参考答案
一、选择题
1—12：CDCBC DACCA AA
二、填空题
13．【解答】解：四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴，
∴∠BAO＝30°，
∴AB＝2OB，
∵点B的坐标为（0，﹣3），
∴OB＝3，
∴AB＝2OB＝6，
∴，
∴点A的坐标为，
故答案为：．
14．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OCAC8＝4（cm），OB＝ODBD6＝3（cm），
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB5（cm），
∵S菱形ABCDAC BD＝AB DH，
∴DH（cm），
故答案为：cm．
15．【解答】解：如图，连接PC．
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，
∴AB2，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠PMC＝∠PNC＝∠C＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴MN＝PC，
当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时PC的最小值，
∴MN的最小值为，
故答案为：．
16.【解答】解：∵四边形为菱形，∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝∠CBD＝60°，AB＝BC＝CD＝DA，AC垂直平分线BD，
又∵点A（﹣6，0），
∴OA＝6，
在Rt△AOB中，OA＝6，∠ABD＝30°，，
∴，
∴，
∵点E为CD的中点，
∴，
∴△PDE周长为：，
∴当PD+PE最小时，△PDE的周长为最小，
连接BE，PD，
∵AC垂直平分线BD，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE，
根据“两点之间线段最短”可知：PB+PE≥BE，
∴PB+PE的最小值为线段BE的长，
即PD+PE的最小值为BE的长，
∵BC＝CD，∠CBD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴，BE⊥CD，
在Rt△BDE中，，，
由勾股定理得：，
∴PD+PE的最小值为6，
∴△PDE周长为：．
故答案为：．
17．【解答】解：连接BD，交AC于点O，则BO＝OD，如图：
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥CD，DF＝2OE，
设OE＝x，BE＝EF＝DF＝2x，BF＝4x，
∵EF＝DF，
∴∠DEF＝∠EDF，
∵DH⊥AC，
∴∠HPE＝∠ACD，
∵∠HPE＝∠CPF，
∴∠CPF＝∠HPE＝∠ACD＝∠POE，
∴PE＝OE＝x，
∴CF＝PF＝x，
∴DC＝3x，
BC＝＝x，
BD＝＝2x，
∵BD＝AC＝12，
∴2x＝12，
∴x＝，
∴CF＝x＝．
三、解答题
18．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形；
（2）∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
答：MD长为5．
19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴AD∥EF，
∵BE＝CF，
∴BE+BF＝CF+BF，即EF＝BC，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵DF⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴四边形AEFD是矩形．
（2）解：由（1）可知，∠DFE＝∠DFC＝90°，AD＝EF＝BC，
∵AD＝6，BF＝3，
∴EB＝CF＝3，EC＝9，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，
∴∠DCF＝60°，∠CDF＝30°，
∴DC＝2CF＝6，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：DF2+CF2＝DC2，
∴，
∵四边形AEFD是矩形，
∴，∠AEC＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2+EC2＝AC2，
∴，
∵M是AC的中点，∠AEC＝90°，
∴．
20．【解答】（1）证明：∵DF＝BF，
∴F是DB的中点，
∴E是AB的中点，
∴EF∥AD，
∵点C在EF的延长线上，
∴CF∥AD，
∵CF＝AD，
∴四边形AFCD为平行四边形．
（2）解：∵DF＝BF，AE＝BE，EF＝1，
∴EF∥AD，且EFAD，AB＝2AE＝2，
∴AD＝2EF＝2，
∵CE⊥DB于点F，
∴∠ADB＝∠EFB＝90°，
∴BD6，
∴DF＝BFBD＝3，
∴AF，
∵四边形AFCD为平行四边形，
∴OD＝OFDF，OA＝OC，
∴OA，
∴AC＝2OA＝5，
∴AF的长是，AC的长是5．
21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵EG＝AE，AO＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，OECG，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OEOBOD＝OF，
∴OEEF，
∴EF＝CG，FE∥CG，
∴四边形EFCG是平行四边形；
（2）解：过A作AH⊥BD于H，如图：
设OE＝m，由（1）可知BE＝OE＝OF＝DF＝m，
∴OB＝OD＝OA＝OC＝2m，
∵四边形EFCG是菱形，
∴EF＝EG＝AE＝2m，
∴OA＝AE＝2m，
∵AH⊥BD，
∴HE＝HOOE，
∴AH2＝AE2﹣EH2＝（2m）2﹣（m）2m2；BH＝BE+HE＝mm，DH＝OD+HO＝2mm，
∴ABm，ADm，
∴AB：AD＝（m）：（m）；
∴AB：AD的值为．
22．【解答】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形；
②解：CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CE＝AB＝×2＝4，
∴CE+CG＝4 是定值．
23．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝DA，
∴∠DAF+∠BAF＝90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠ABE＝∠DAF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AE＝DF；
（2）解：∵AE＝DF＝1，DE＝3，
∴AD＝CD＝BC＝AE+DE＝4，CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3，
∴BF＝＝＝5，
∵AF⊥BE，点N是BF的中点，
∴MN＝BF＝2.5．
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