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2025 年全国高考数学模拟卷(参考答案)
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的 .
1 2 3 4 5 6 7 8
C A C B A C D A
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 10 11
ABD BD BC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 13 14
59 10
120 3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 13 分
在三棱锥 S ABC 中，底面△ABC 为等腰直角三角形， SAB SCB ABC 90 ．
(1)求证： AC SB ;
(2)若 AB 2, SC 2 2 ，求平面 SAC 与平面 SBC 夹角的余弦值．
解(1)证明：设 的中点为 ，连结 ， ，
因为 = ，所以 ⊥ ，
在△ 和△ 中，∠ = ∠ = 90 ， = ， = ．
所以△ ≌△ ，所以 = ．
所以 ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ． 6 分
(2)过 作 ⊥平面 ，垂足为 ，连接 ， ，
所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ，所以 ⊥平面 ，
所以 ⊥ ，同理， ⊥ ．
所以四边形 是边长为2的正方形．
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
(2,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (0,0,2)，
所以 = (0,2, 2)， = ( 2,2,0)， = ( 2,0,0)，
设平面 的法向量 1 = ( 1, 1, 1)，则
1 = 2 2 = 0,{ 1 1 ，取 1 = 1， 1 = 1， 1 = 1，
1 = 2 1 + 2 1 = 0
所以 1 = (1,1,1)．
同理可得平面 的法向量 2 = (0,1,1)．
设平面 与平面 夹角为 ，
| · | √ 6
所以cos = |cos < 1 21 ， 2 > | = = ， | 2 || 2 | 3
√ 6
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ． 13 分
3
16. 本小题 15 分
a b c 3 sin A
在△ABC 中内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c ，满足 .
b a cos B
(1)求角C ；

(2)若b 1，点M , N 是边 AB 上的两个动点，当 MCN 时，求△MCN 面积的取值范围．
3
3sin
解：(1)由 √= ，可得sin cos = √ 3sin sin ，
cos
3
因为 ≠ 0，所以 √tan = ，
3

因为 ∈ (0, )，所以 = ，
6
+
由 = ，可得 2 = 2 + ，

2+ 2 2 +
即cos = = ，
2 2
所以 + = 2 cos ，
由正弦定理可得sin + sin = 2sin cos ，
则sin( + ) + sin = 2sin cos ，
即sin = sin cos cos sin = sin( )，
则 = 或 + = (舍去)，

所以 = 2 = , = = ； 8 分
3 2

(2)由(1)知， = √ 3，设∠ = ∈ [0, ]， 6

在△ 中，由正弦定理得 = ，
sin sin∠
√ 3
所以 = = ，
∠ 2 ( + )
6

在△ 中，由正弦定理得 = ，
sin sin∠
sin √ 3 √ 3 √ 3
所以 = = =( = ， sin∠ 2sin +∠ ) 2 ( + ) 2
3 6
1 1 √ 3 √ 3 √ 3 3√ 3 3√ 3
△ 的面积 = · = · · · = = 2 3 2 2 2 1 ，2 ( + ) 16 ( + ) 8[ ( 2 + )+ ]
6 6 6 2

因为 ∈ [0, ]，所以2 + ∈ [ , ]，
6 6 6 2
1 3√ 3 √ 3 3√ 3
则 (2 + ) ∈ [ , 1]，则 1 ∈ [ , ]，
6 2 8[ ( 2 + )+ ] 4 8
6 2
3 3 3
所以△ 面积的取值范围为 √ √[ , ]. 15 分
4 8
17. 本小题 15 分
如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率 ，且椭圆 过点
，过点 作斜率为 的直线 交椭圆 于点 ，交 轴于点 ．
求椭圆 的方程；
已知 为 的中点，是否存在定点 ，对于任意的 都有 ，若存在，求出点 的坐
标；若不存在，说明理由．
解： 因为椭圆 的离心率 ，且椭圆 过点 ，
所以 ，解得 ， ，
则椭圆 的方程为 ； 5 分
易知直线 的斜率存在，
不妨设直线 的方程为 ， ， ，
联立方程 ，
消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ， ，
因为 为 的中点，
所以 ，
因为点 在直线 上，
所以 ，
即 ，
因为直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，即 ，
假设存在定点 满足 ，此时 ，
因为 ， ，
所以 ，
整理得 ，
因为 ，
所以 ，
即 恒成立，
此时 ，解得 ， ，
故存在 满足 ． 15 分
18. 本小题 分
ex a
已知函数 f (x) ，其中 e 为自然对数的底数．
x
（1）当a 1时，求 f (x) 的单调区间;
（2）若当a 2时，关于 x 的方程 f (x) k 有两个不同的根 x1, x2 且 x1 x2 .
（i）求 k 的取值范围；
（ii）当 x1 x2 最小时，求 k 的值.
ex 1 ex (x 1) 1
解：（1）当a 1时， f (x) （x 0），则 f ' (x) ，
x x2
(x) ex (x 1) 1 x 0 '(x) ex令 ，则 x ，
当 x 0时， '(x) 0， (x) 单调递减；当 x 0 时， '(x) 0 ， (x) 单调递增，
所以 (x) (0) 0 ，则 f '(x) 0 ，
所以 f (x) 的单调递增区间为： ( ，0)，(0, ) . 4 分
x
（2）（i）当a 2时，令： g(x) e kx 2，则： g'(x) e
x k ，
所以方程： f (x) k 的根等价于函数 g(x) 的零点
x
当 k 0 时， g(x) e kx 2单调递增，没有两个零点，
x
当 k 0时， g(x) e kx 2先减后增，且 g(0) 1 0 .
所以有两个零点 x1, x2 且 x1 0 x2 ,
综上所述： k 0 . 10 分
x1 x（ii）因为e kx1 2 0,e
2 kx2 2 0 ,
x x x
两式做差得：e 1 (e 2 1 1) k(x2 x1) ,
x x
e 1 2 et 1 e 1 2
令 t x x k 2 1 0，又由 得到 ,
x ，
x1
1 t x1e
由（1）可知左侧的函数单调递增,
当 t 时最小等价于右侧的函数取到最小值,
ex 2 ex (2x 2 ex )
令：h(x) （x 0）
x ，则：h' (x) ， xe x2e2x
x
令： p(x) 2x 2 e ，则： p' (x) 2 e
x 0，
且 p(0) 1 0, p( 1) e
1 0
所以存在 x0 ( ,0)
x
，使得 p(x0 ) 2x0 2 e
0 0
则右侧的函数在 ( ,0)上先增后减，在 x0 处取到最小值，
x
e 0 2
此时 k 2 .
x0 17 分
19. 本小题 分
已知 n 元正整数集合 An {1,2,3,...,n}，取出 An 的 2k 个互不相同的非空子集： B1, B2 ,..., B2k 构成集合
P2k {B1, B2 ,...,B2k}，若P k k 12k 中任意 个元素的并集均真包含于 An ，任意 个元素的并集均等于 An ，
我们称P2k 合理覆盖 An 。（n,k N
*,1 k 2n 1 1）
(1) 若 P4 {{1，2，3}，{1，4，5}，{2，4，6}，{3，5，6}}，问P4是否合理覆盖 A6 ？请简要说明理由；
(2) 若存在P10 合理覆盖 An ，求n 的最小值；
(3) 是否存在P10 合理覆盖 A2025，且 B1 , B2 ,..., B10 构成公差为1的等差数列（ Bk 表示集合Bk 中的元素个
数）？若存在请给出一个P10 ，若不存在请说明理由。
解：（1）是，因为任意两个集合均有一个公共元素，从而不能覆盖 A6 ，而任意三个集合覆盖 A6 4 分
（2）若存在P10 合理覆盖 A ，从B , B an 1 2 ,..., B10 中任取五个集合Bi , B1 i ,..., Bi ，则 An 中必存在一个元素 不2 5
属于这五个集合，同理再任取五个集合B j , B j ,..., B j ，则 An 中必存在一个元素b 不属于这五个集合，则1 2 5
a b 5（否则必存在六个集合的并集不等于 An ），所以 An 中至少有C10 252个元素，故n 252
当 n 252时， A252 中的每个元素均恰好属于 B1, B2 ,..., B10 中五个集合，且每个元素所在的五个集合构成
的集合均不相同，则该P10 合理覆盖 A252 . 10 分
（3）若存在 P10 合理覆盖 A2025，则 A2025中的每一个元素可以恰好属于B1, B2 ,..., B10 中 5，6，7，8，9，
10 个集合（小于 5 个则存在六个集合的并集不等于 A2025）
首先我们将 A2025中恰好属于B1, B2 ,..., B10 中 6，7，8，9，10 个集合的元素去除，则P10 仍然合理覆盖剩下
的集合 Am (可以理解为将剩下的集合置换为则｛1，2，3，...,m｝）
由（2） A2025中恰好属于B1, B2 ,..., B10 中 5 个集合的元素至少252 个，我们再将所在 5 个集合相同的元素
留下一个，其余去除，则 A2025中将只剩下252 个元素，此时 B1 B2 ... B10
现在此基础上我们再加回一些元素：
加回的元素对于B1, B2 ,..., B10 的初始状态为：
0，0，0，0，0，0，0，0，0，0
先加 5 个恰属于五集合的元素
0，0，0，0，0，5，5，5，5，5
然后每次加 1 个恰属于五集合的元素
0，0，1，1，1，5，5，5，6，6
0，0，2，2，2，5，5，5，7，7
0，1，2，2，3，5，5，6，8，8
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
最后剩余的所有元素给每一个集合
所以存在P10 合理覆盖 A2025，且 B1 , B2 ,..., B10 构成公差为1的等差数列. 17 分

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