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江西省上饶市2025届高三第二次高考模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，若为实数，则( )
A. B. C. D.
3.命题“”的否定为( )
A. “” B. “”
C. “” D. “”
4.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知为等差数列，，则( )
A. B. C. D.
6.若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.下列选项中，曲线与在上的交点个数不一样的是( )
A. B. C. D.
8.若不等式恒成立，则的取值集合为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若正实数满足，则( )
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最大值是 D. 的最小值是
10.若，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.已知曲线，则下列说法正确的是( )
A. 直线与曲线没有交点
B. 已知点，则曲线上存在点，使得
C. 若过点的直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是
D. 点是曲线上在第四象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，则数列的前项的和为 ．
13.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是 ．
14.如图，球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，球缺的体积公式是已知正方体棱长为，则该正方体与以为球心，为半径的球的公共部分的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角所对的边分别为．
求角；
若，，且，求的面积．
16.本小题分
如图，四边形中，，分别为的中点，现以为折痕把折起，使点到达点的位置如图，且．
证明：平面平面；
若为上的一点，平面与平面的夹角为，求点到平面的距离．
17.本小题分
已知函数
求曲线在点处的切线方程；
证明：当时成立．
18.本小题分
已知双曲线过点，其右焦点到渐近线的距离为，过作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点．
求双曲线的标准方程；
为双曲线上一动点，过点分别作两条渐近线的平行线交渐近线于，四边形的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由；
在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在求出定点的坐标，若不存在请说明理由．
19.本小题分
“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提霍尔游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的然而当时智商最高的玛丽莲沃斯莎凡特给出了正确答案：应该换门．
请用所学概率知识解释玛丽莲沃斯莎凡特给出的答案；
证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高；
如果有扇门，其中一扇门后有万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金当参与者选中一扇门后未打开，主持人问参与者是否愿意投入元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门问当门数满足什么条件时，参与者投入元是值得的？
参考答案
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14.
15.【详解】由正弦定理：，
所以，
所以，
得．
因为为三角形内角，所以，所以．
又，所以．
如图：

因为，所以为的重心．
延长交与点，则为中点因为，所以．
因为，
所以，即
在中，由余弦定理得：
由得：．
所以．

16.【详解】在中，由，得，
在中，，而，
由余弦定理，得，则，
即，由，得，则，
又平面，因此平面，而平面，
所以平面平面．
连接，由分别为的中点，得，由得平面，
由，得，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
由点在上，令，
设平面的法向量，则，取，得，
而平面的法向量，则，解得，
于是，而，则点到平面的距离，
所以点到平面的距离为．

17.【详解】函数，求导得，
则，而，所以所求切线方程为．
函数的定义域为，
不等式，当时，，
则，令函数，
当时，，令函数，
求导得，函数在上单调递减，，；
当时，，令，
求导得，函数在上单调递减，在上单调递增，
而，则存在，使得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
则当时，；当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，又，则；
当时，，
函数在上单调递增，，
因此，，则，
所以当时，成立．

18.【详解】设双曲线的标准方程为，右焦点，
双曲线的渐近线，点到渐近线的距离，
又，解得，
所以双曲线的标准方程为．
双曲线：的渐近线为，
由在双曲线上，得，即，
过点与直线平行的直线方程为，
由，解得，得交点，
依题意，四边形是平行四边形，，
点到直线的距离，
所以四边形的面积为定值．

假设存在点，
由知，，由直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，
由消去得，设，
，解得或，
由，得，而，
于是，则平分，因此直线的斜率互为相反数，
即，
，解得，
所以在轴上存在定点，使恒成立．

19.【详解】如果不换门，则中奖的概率为．
如果换门，则中奖的概率为：．
所以换门中奖的概率大，故：应该换门．
假设山羊门数为，如果不换门，则中奖的概率为：．
如果换门，中奖的概率为：．
因为，
所以换门比不换门中奖概率更高．
不换门中奖的概率为，换门中奖的概率为：．
要想投入元时值得的，须有：．
整理得：．
结合，，可得．
即当时，参与者投入元是值得的．

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