资源简介

2024-2025 学年天津实验中学高三（下）月考数学试卷（四）
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = ，设集合 = { | ≥ 1}，集合 = { | ≥ 2}，则 ∩ ( ) =( )
A. { |1 ≤ ≤ 2} B. { |1 < < 2} C. { |1 < ≤ 2} D. { |1 ≤ < 2}
2.“ln( + 2) < 0”是“ < 1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.2024 年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购
买了几台 型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间 (单位：年)与当年所需要支出的维修费用 (单位：
千元)有如下统计资料：
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7

根据表中的数据可得到线性回归方程为 = 1.23 + ，则( )
A. 与 的样本相关系数 < 0

B. = 0.08
C.表中维修费用的第 60 百分位数为 6.5
D.该型跑步机已投入使用的时间为 10 年时，当年所需要支出的维修费用一定是 12.38 万元
4.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，且在[0, + ∞)上单调递增，则三个数 = ( log313)， = (log
1
1
2 8
)，
= (20.6)的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.已知 > > 1，若 +
10
= 3， = ，则 =( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6.已知数列{ }的通项公式为 = 2 1，其前 项和为 ，则数列{( 1) }的前 2025 项和为( )
A. 2024×2025 B. 2024×20252 2 C.
2025×2026
2 D.
2025×2026
2
7 .将函数 = sin 2的图象向右平移 ( 2 ≤ ≤ )个单位长度得到 ( )的图象， ( )的最大负零点在区间(
4
3 ,
5
4 )上，则 的取值范围是( )
A. ( 2 3 , ] B. (

2 , ] C. (
3
4 , ] D. (
2 , 3 3 4 )
第 1页，共 10页
8.如图所示的几何体是从棱长为 2 的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为 2 的几何体后的剩余部
分，则该几何体的表面积为( )
A. 24 3 B. 24 C. 24 + D. 24 + 5
9.如图，在高为 16 的圆柱形筒中，放置两个半径均为 3 的小球，两个小
球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面 与两个小球也相切，
平面 被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为( )
A. 1 B. 1 3 43 2 C. 4 D. 5
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10 1 . 为虚数单位，计算2 =______．
11 .( + )( )
5的展开式中 2 3的系数为 15，则 = ______．
12.已知直线 ： + + = 0 和圆 ： 2 + 2 4 = 0 相交于 ， 两点，当△ 的面积最大时， =
______．
13.在一个不透明的袋子中装有 4 个形状大小相同、颜色互不相同的小球.某人先后两次任意摸取小球(每次
至少摸取 1 个小球)，第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记
下摸到的小球颜色.则“两次记下的小球颜色能凑齐 4 种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为
______．
14 .在△ 中，点 ， 分别在边 ， 上， = 3 ， = 2 ，若 ， 交于点 ，则 = ______；
当 = 3， = 4， = 2 时，△ 的面积为______．
15.设 ∈ ，若关于 的方程 2 | | ( 2) + | | + 1 = 0 有 3 个不同的实数解，则实数 的取值范围
为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 15 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 2 ， = 2 ．
第 2页，共 10页
(1) 求 的值；
(2)若 = 2 时，求△ 的面积．
17.(本小题 15 分)
如图，在多面体 中，四边形 为直角梯形，且满足 ⊥ ， // ， = = = =
2 = 2， // ， ⊥平面 ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3) 8 85 在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 85 ？若存在，求 的值；若不
存在，说明理由．
18.(本小题 15 分)
2 2
椭圆 ： 2 +

2 = 1( > > 0)
2
中，离心率是 2 ，右顶点 到上顶点 的距离为 2 3．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设椭圆 的左顶点为 21，经过点 ( 5 , 0)的直线 1与椭圆 交于 ， ，过点 作 的平行线 2，与 1 交于
点 .判断 是否在定直线上？若在，求出该直线；若不在，请说明理由．
19.(本小题 15 分)
对于数列{ }，记区间(1, )内偶数的个数为 ，则称数列{ }为{ }的偶数列．
(1)若数列{ }为数列{ 2 + 2}的偶数列，求 3．
(2)若数列{ }为数列{2 +1 + 3}的偶数列，证明：数列{ 1}为等比数列．
(3)在(2)的前提下，若数列{ }为等差数列{ }的偶数列， 1 = 5， 5 = 13，求数列{ ( 1)}的前 项
和 ．
20.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( 1)，其中 ∈ ．
第 3页，共 10页
(1)当 = 1 时，求函数 ( )在点( , ( ))处的切线方程. (其中 为自然对数的底数)
(2) ( )已知关于 的方程 + = +

有两个不相等的正实根 1， 2，且 1 < 2．
(ⅰ)求实数 的取值范围；
(ⅱ)设 为大于 1 的常数，当 变化时，若 1 2有最小值 ，求 的值．
第 4页，共 10页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.3 15 5
11.2
12.0 或 4
13. 32225
14.1 3 1516
15.(9, + ∞)
16.解：已知在△ 中， = 2 ， = 2
2 2 2
(1) ∵ = 2 + ，由余弦定理得， = 2 2 ，
又 = 2 ，
2 2 2
∴ = 2 × 2 × + (2 )2 ，化简得
2 = 6 2，
∴ = 6．
(2)由(1) 6 得 = 2 = 2×2 =
6
4 ，
∴ 为锐角，∴ = 1 cos2 = 104 ，
∵ = 2，∴ = 2 6，
∴△ 1 1 10的面积 = 2 = 2 × 2 6 × 2 × 4 = 15．
17.解：(1)证明：因为 / / 且 = ，所以四边形 为平行四边形，
又 = ，所以四边形 为菱形，所以 ⊥ ．
第 5页，共 10页
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
(2)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ⊥ ，
以 为原点，分别以 , , 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (1,2,0)， (0,0,2)， (2,0,2)，
所以 = ( 1,2,0), = (0,0,2), = ( 1,2, 2), = (2,0,2), = ( 2,0,2)，
由(1)知平面 的法向量为 = = ( 2,0,2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 ⊥
= + 2 = 0
，则 ，
⊥ = 2 = 0
令 = 1，得 = 2， = 0，所以 = (2,1,0)．
故|cos , | = | | 4 10| || | = 2 2× 5 = 5 ，
平面 与平面 10夹角的余弦值为 5 ；
(3)假设线段 上存在点 ，使得直线 8 85与平面 所成角的正弦值为 85 ，
设 = = ( , 2 , 2 )(0 ≤ ≤ 1), = + = (2 , 2 , 2 2 )，

则|cos < , > | = | | = |(2,1,0) (2 ,2 ,2 2 )|
| || | 4+1 (2 )2+4 2+(2 2 )2
= 4 = 8 85，
5 9 2 12 +8 85
第 6页，共 10页
解得 = 12或 =
5
6，
= 1 5所以线段 上存在点 ，当 2或 = 6时，
8 85
使得直线 与平面 所成角的正弦值为 85 ．
2 2 2
18.解：(1) 1由题意可得 2 = = 2 2 = ， 2 + 2 = (2 3)2 = 12， 2
解得 2 = 8， 2 = 4，
2 2
所以椭圆的标准方程为 ；
8 + 4 = 1
(2)在定直线 = 265上，证明如下：
由题可得， (2,0)， 1( 2,0)，
由已知可得 // ，所以 ， ， 三点不共线，所以直线 斜率不为 0，
2
则设直线 1的方程为 = + 5，
2 +
2
8 4 = 1联立 ，消去 可得，(2 22 + 1)
2 + 85
192
25 = 0， = + 5
= ( 8 2 2 1925 ) + 4 × (2 + 1) × 25 > 0，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 =
8 192
5(2 2+1)， 1 2 = 25(2 2+1)，所以 1 2 =
24
5 ( 1 + 2)，
2
直线 12： = ( )①，直线 =
2
1 ： +2 ( + 2)② 1 2 5 ，2
2
由①②联立，消去 可得 1 2 ( 5 ) =
2
+2 ( + 2)，1 2
1
即 8 (
2
5 ) =
2 ( + 2)
1 5 2+
12 ，
5
25 2( 1
8
5) 1
8 24 8
即 = = 2 5
2 5 ( 1+ 2) 5 2 24 1+16 2
+2 12 = = =
8(3 1+2 2) = 2，
1( 2+ 5 ) +
12
1 2 5
24( + 121 1 2)+ 1 36 1+24 5 5 2 12(3 1+2 2) 3
第 7页，共 10页
即 3( 25 ) = 2( + 2)
26
，解得 = 5，
26
故点 在定直线 = 5上．
19.解：(1)由于数列{ 2 }为数列{ + 2}的偶数列，
而在区间(1, 32 + 2)内的偶数为 2，4，6，8，10，共有 5 个，
则 3 = 5．
(2)证明：在区间(1, 2 +1 + 3)内的偶数为 2，4，…，2 +1，2 +1 + 2，
2 +1+2 2
则 = 2 + 1 = 2
+ 1．
+1 1 2 +1因为 1
= 2 = 2，
所以{ 1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
(3)设等差数列{ }的公差为 ，由于 1 = 5， 5 = 13，
= 则 5 15 1 = 2，
所以 = 2 + 3，
2 +2 2
所以 = 2 + 1 = + 1．
由(2)知， = 2 + 1，
则 ( 1) = ( + 1) × 2 ，
所以 = 2 × 2 + 3 × 22 + … + ( + 1) × 2 ，
上式等号两边同时乘以 2 可得，2 2 3 = 2 × 2 + 3 × 2 + … + ( + 1) × 2 +1，
以上两式相减可得： = 4 + (22 3 + 2 + … + 2 ) ( + 1) × 2 +1
= 4 + 2
2 2 +1
1 2 ( + 1) × 2
+1 = × 2 +1，
故 = × 2 +1．
+1 = × 2 ．
20.解：(1)当 = 1 时， ( ) = ( 1)，∴ ′( ) = ，
∴ ′( ) = = 1，又 ( ) = ( 1) = 1，
∴函数 ( )在点( , ( ))处的切线方程为 1 = ，即 + 1 = 0；
(2)(ⅰ) ( ) + = +

，即 = ，则有 = ， > 0，
( ) = > 0 ( ) = 1 ln 设 ， ，则 ′ 2 ，令 ′( ) = 0，得 = ，
令 ′( ) > 0，得 0 < < ，令 ′( ) < 0，得 > ，
第 8页，共 10页
∴函数 ( ) = 在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减，
又 趋向于 0 时， ( )趋向负无穷， 趋向于正无穷大时， ( )无限趋向 0，且 ( ) = 1 ，
所以函数 ( ) = 的大致图象如下：
( )
由题意，方程 + = +

有两个不相等的正实根，

即方程 = 有两个不相等的正实根，
∴ 函数 ( ) = 的图象与直线 = 有两个交点，
1 1
由图知，0 < < ，故实数 的取值范围为(0, )；

(ⅱ) ∵ (1) = 0，由(ⅰ)得 1 < 1 < < 2，则 =
1 2
= ，1 2
∴ 2

=
2 2，设 = ( > 1)
+
，则 =
1，
1 1 1 1
即 1 = 1， 2 = 1，
由题意 1 2有最小值 ，即
( + )
1 + 2 = 1 有最小值 ，
( ) = ( + )

设 1 ， > 1
( +1)ln + + 1
，则 ′( ) = ( 1)2
，
记 ( ) = ( + 1) + + 1 ( ) =
+1 + 1 + ( 1)( )，则 ′ 2 = 2 ，
由于 > 1， > 1， ∈ (1, )时， ′( ) < 0，则 ( )在(1, )上单调递减，
∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0，则 ( )在( , + ∞)上单调递增，
又 (1) = 0， ( ) < (1) = 0，且 趋向于正无穷大时， ( )趋向于正无穷大，
故存在唯一 0 ∈ ( , + ∞)，使得 ( 0) = 0，
1 < < 0时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0，∴ ( )在(1, 0)上单调递减，
> 0时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，∴ ( )在( 0, + ∞)上单调递增，
∴ > 1 时， ( )有最小值 ( 0)，
第 9页，共 10页
0+ 0 1
而 ′( 0) = 0，则 ( + 1) +

0 0 + 1 = 0，即
=
+ 10 0 1
，
0
2
∴ ( ( + 0) 0 ( 0)0) = 1 =0 0+ 1 ， 10
由题意知 ( 0) = ，令 = 0，
2 [( +2) + 2]
设 ( ) = ，则 ′( ) = ， + 1 ( > 0) ( + 1)2
设 ( ) = ( + 2) + 2，则 ′( ) = ( + 1) + 1，
设 ( ) = ( + 1) + 1，则 ′( ) = > 0，
故 H′( )在(0, + ∞)上单调递增， ′( ) > ′(0) = 0，此时 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
有 ( ) > (0) = 0，此时 ′( ) > 0，故 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
又 (1) = ，故 ( ) = 的唯一解是 = 1，
故 ( 0) = 的唯一解是 0 = 1，即 0 = ，
综上所述， = 2 2 ．
第 10页，共 10页

展开更多......

收起↑