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2025年山东省菏泽市鄄城一中高考数学冲刺试卷（4月份）（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知，是非零向量，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不必要也不充分条件
4.若关于的不等式恒成立，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.甲、乙两位同学进行投篮比赛，其中甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，两人各投三次，一共投中四次的概率为( )
A. B. C. D.
6.等比数列中的，是函数的极值点，，则( )
A. B. C. D.
7.已知过双曲线的左焦点的直线交双曲线的右支于点，右焦点为，若，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.方程的所有正根的和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数满足是虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B. 的模为
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.已知函数满足，且对任意的，，都成立，则( )
A. 是偶函数 B. 函数的图象关于点中心对称
C. 是函数的一个周期 D.
11.已知数列，满足，，且，则( )
A. B.
C. 是递增数列 D. 的前项和
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.在的展开式中，常数项为______．
13.如图，已知圆台中，为等边三角形，三角形边长为，且，则圆台的体积为______，圆台的表面积为______．
14.已知抛物线：的焦点为，过焦点的直线的斜率存在，且与抛物线交于，两点，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线有公共点，则直线的斜率的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，角，，的对边分别是，，，若．
求；
若的周长为，是内一点，且，求面积的最大值．
16.本小题分
已知椭圆的离心率为，焦距为．
求椭圆的标准方程；
直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线与椭圆交于，两点，求线段的长度的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形是正方形，．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若函数有两个极值点，，证明：；
若，设，当时，恒成立，求的最大值．
19.本小题分
在足球运动中，围圈传球是一个经典热身活动，，，四个球员围成如图一个矩形，已知每个人传球给相邻球员的概率为，每个人传球给不相邻球员的概率为例如：传球给，的概率为，传球给的概率为热身由开始传球，记次传球后，球在，，，脚下的概率分别为，，，．
求出，；
证明：，是等比数列；
试求出的通项公式．
参考答案
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15.解：由题意，，
由正弦定理得，
即，又，
则，又，
则有，
即，
所以，即，所以，
因为，所以；
由知，可得，
因为的周长为，所以，
由余弦定理得，
可得，
又由基本不等式可知，
当且仅当时，等号成立，
即，解得，
所以，
即面积最大值为．
16.解：设椭圆的半焦距为，则依题意有，解得，
所以椭圆的标准方程为．
直线的斜率为，则设直线的方程为，
因为与坐标轴的交点均在椭圆内部，所以，
联立，消去并整理得，
设，，则，，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，
所以的取值范围为．
17.解：证明：因为平面平面，，
平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是正方形，所以，
又因为，平面，，所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
由，因为平面，平面，所以，
因为是正方形，所以，又，
以点为坐标原点，，，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，
因此，，，，
则，，，
设平面的一个法向量，
则，则，
不妨令，则，
因此，
则与平面所成角的正弦值为，
又因为线面夹角的取值范围为，
则与平面所成角的大小为．
18.解：由题意，故，
当时，，此时函数在上单调递增；
当时，令，得，
此时函数在和上，故单调递增，
在上，故单调递减；
当时，此时函数在上单调递减，在上单调递增；
证明：由可知，当函数有两个极值点，时，，
且，，
因此，
因此要证，即证，
设，，则，
因为，于是在上恒成立，
则在上单调递减，因此，
不等式得证．
由题意不等式可化简为，即求，
设，，则，，
设，，
则，，
令，
于是，，
由可知在内恒成立，于是单调递减，
因此，于是在内单调递减，则，
即在内恒成立，因此在内单调递减，，
所以，
于是的最大值为．
19.解：根据题目：已知每个人传球给相邻球员的概率为，每个人传球给不相邻球员的概率为．
由题意可知，
；
证明：由题意可知有如下的等式，，
，，，
因此，注意到，所以，即；
又，
又，，
所以是首项为，公比为的等比数列；
由可知，
且有，，，
联立后可得，，，
消去，有，
故有，又，
所以，，
则，，，，
则，
又，所以．
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