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2025 年陕西省西安市长安区高考数学三模试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {( , )| ， ∈ ，且 = 4}， = {( , )| ≤ }，则 ∩ 的子集的个数为( )
A. 3 B. 4 C. 8 D. 16
2.在复平面内，复数 1对应的点与复数 2 =
3+
2 对应的点关于实轴对称，则 1等于( )
A. 1 + B. 1 C. 1 + D. 1
3.如图，向量 = (4, 1)， = (2,4)，若 1， 2， 3， 4为线段 的 5 等
分点，则 1+ 2 + 3 + 4 =( )
A. (3, 32 )
B. (6,3)
C. (12,6)
D. (8,6)
4.某学生的 密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成.该生在登录
时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概
率为( )
A. 110 B.
1
5 C.
2
5 D.
1
2
5.定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相
同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差.已知各项均为正数的数列{ }
1
是等方差数列，且公方差为 3， 1 = 1，则数列{ + }的前 33 项的和为( ) +1
A. 3 B. 6 C. 2 D. 4
6 .已知曲线 1： = ( + 4 )， 2： = ( + 4 )，其中 > 0，点 ， ， 是曲线 1与 2依次相邻
的三个交点.若△ 是等腰直角三角形，则 =( )
A. 33 B.
1
2 C.
6
3 D.
2
2
7.已知某圆锥的轴截面是顶角为 的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为 的扇形，则当 的值最大时，
=( )
A. 1 B. 2 C. 2 1 D. 2 2 1
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8.函数 ( )的定义域为 ， (3 1)为是奇函数，且 ( 1)的图像关于 = 1 对称．若曲线 ( )在 = 1 处
的切线斜率为 2，则曲线 ( )在 = 2023 处的切线方程为( )
A. = 2 + 4046 B. = 2 + 4046 C. = 2 4046 D. = 2 4046
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若( + 1)5 = + 2 3 4 50 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ，则下列结论正确的有( )
A. 0 = 1
B.数据 0， 1， 2， 3， 4， 5的 30%分位数为 5
C.数据 0 + 1， 1， 2， 3， 4， 5 + 3 的标准差为 3
D.若5 =0 = ，随机变量 ～ ( ,
2)， ( > 50) = 1 16，则 ( < 14) = 6
10.已知曲线 ： 4 4 2 2 + 1 = 0，则( )
A. 不是封闭图形 B. 有 4 条对称轴
C. 1与坐标轴有 4 个交点 D. 与直线 = 2025 有 4 个交点
11.随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力
学等领域，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.已知某种信号的波形可以利用函数 ( ) = sin|2 |
| 2 |的图象近似模拟，则( )
A. ( )是非奇非偶函数
B. ( )的值域为[ 2, 1]
C.当 ∈ ( 2, 1)时，关于 的方程 ( ) = 在区间[0, ] 3 上所有不等实根的和为 2
D. ( ) = 4 2的图象与 3 | |的图象恰有 6 个交点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 ， 满足| | = 2， = (3,0)，则向量 在向量 方向上的
投影向量的坐标为( 1 2 , 0)，则| | = ______．
13.已知抛物线 ： 2 = 4 ，其中 ， 是过抛物线焦点 的两条互相
垂直的弦，直线 的倾斜角为 ，当 = 45°时，如图所示的“蝴蝶形
图案(阴影区域)”的面积为______．
14.小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测试；若出现连续两次
2
投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为3，则小明通过测试的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，向量 = ( , + )， = ( 3 + , 1)， = 2( +
)．
(1)求 ；
(2)若 = 2 3, = 2 ， = 2.求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲
程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 ′( )是 ( )的导函数， ″( )是 ′( )的导函数.则曲线
= ( )在点( , ( )) | ″( )|处的曲率 = 3．
(1+[ ′( )]2)2
(1)若曲线 ( ) = + 与 ( ) = 在(1,1)处的曲率分别为 1， 2，比较 1， 2大小；
(2)求正弦曲线 ( ) = ( ∈ )曲率的最大值．
17.(本小题 15 分)
2
如图，在四棱锥 中， ⊥ ， = ，底面 是边长为 3的菱形，∠ = 3．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)若平面 与平面 所成角的正切值为 2，点 满足 = 4 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
对于二次曲线 ： 2 + 2 = 1，我们有：若 ( ′, ′)是曲线 上的一点，则过点 与曲线 相切的直线方
2 2
程为 ′ + ′ = 1. 已知椭圆 1： 2 +
2
2 = 1( > > 0)， = 13
2，动圆 ： 2 + 22 = 2( < < )，
点 ( 0, 0)是 1与 2在第一象限的交点．
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(1)求椭圆 1的离心率 ；
(2)过点 作动圆 2的切线 ， 经过椭圆 1的右焦点 ( , 0)，求 0与 满足的关系式；
(3)若 = 1，直线 与 1， 2均相切，切点 在 1上，切点 在 2上，求| |的最大值．
19.(本小题 17 分)
定义 1：若数列{ }满足① 1 = 1，② ≥ 2， ( 1) = 0，则称{ }为“两点数列”；定义 2：对于给
定的数列{ }，若数列{ }满足① 1 = 1，② +1 = | +1 2 | ，则称{ }为{ }的“生成数列”.已知
{ }为“两点数列”，{ }为{ }的“生成数列”．
+1
(1) 1+( 1)若 = 2 ，求{ }的前 项和 ；
(2)设 ：{ }为常数列， ：{ }为等比数列，从充分性和必要性上判断 是 的什么条件；
(3)求 2025的最大值，并写出使得 2025取到最大值的{ }的一个通项公式．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 10
13.8
14.1621
15.解：(1)根据 = ( , + )， = ( 3 + , 1)，可得 = ( 3 + ) + + ，
结合题意 = 2( + )，化简得 3 + = + ，
根据正弦定理得 3 + = + ，
因为△ 中， = sin( + ) = + ，
所以 3 + = + + ，整理得 3 = ( + 1)．
结合△ 中， ≠ 0，化简得 3 = 1，即 2 ( 6 ) = 1，
在△ 中， 6 ∈ (
5
6 , 6 )，所以 6 = 6， = 3；
(2)由 = 2 ，可得 = 2( ) 1 2，化简得 = + 3 3
，
所以|
2 2
|2 = ( 13
+ 23
)2 = 1 + 4 9 9
+ 49
，
因为 = = 2 3, = , = 2，
所以 4 = 1 2 4 2 49 (2 3) + 9 + 9 2 3cos
2
3，整理得 + 3 6 = 0，解得 = 3(舍负)．
1 3 3所以 △ = 2 = 2 ．
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16.解：(1) ( ) = + ， ′( ) = 1 + 1，
″( ) = 1 2，
∴ ′(1) = 2， ″(1) = 1，
∴ = | 1| 11 3 = 3；
(1+22)2 52
( ) = ， ( ) = 1 1′ ″2 ， ( ) = 4 ，
∴ 1 1′(1) = ， ″2 (1) = 4．
1
∴ = 4 22 3 = 3，
(1+14)2 52
∴ 1 < 2．
(2) ( ) = ， ∈ ，
′( ) = ， ″( ) = ，
∴ = | | 3，
(1+cos2 )2
2 = sin
2
(2 sin2 )3，
令 2 sin2 = ∈ [1,2]，
( ) = 2 则 3 ， ∈ [1,2]，
2 6′( ) = 4 < 0，
∴函数 ( )在 ∈ [1,2]上单调递减，
( )的最大值为 (1) = 1，
因此 的最大值为 1， =± 1， = + 2， ∈ ．
17.解：(1)证明：连接 交 于点 ，连接 ，
因为 是菱形，所以 ⊥ ，
又因为 为 的中点， = ，所以 ⊥ ，
又 ， 面 ，且 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ；
(2)过 作 ⊥ 交 于点 ，面 ⊥面 ， ⊥ ，
面 ∩面 = ， 面 ，所以 ⊥面 ，
因为 ⊥ ， ⊥ ， ， 面 ， ∩ = ，所以 ⊥面 ，
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又 面 ，所以 ⊥ ，
所以 为 ， 的交点，△ 为等边三角形，
所以 为△ 的重心，
设 与 交点为 ，连接 ，则∠ 为二面角 的平面角，
1 1
因为 = 2 , = 2，在△ 中 tan∠ = = 2，解得 = 1，
因为 = 4 , = 4 ，所以 // ，所以 ⊥平面 ，
以 为原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立如图坐标系，
则 (0, 32 , 0), (
3
2 , 0,0), (0,
3
2 , 0), (0,
1
2 , 1), (0,0,
3
4 )，
= ( 32 ,
3
2 , 0),
= (0, 32 ,
3
4 )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
3 3
⊥ = 0 2 + 2 = 0则

，则
⊥
，即 ，
= 0 3
2 +
3
4 = 0
令 = 1，可得： = 3, = 2，
即 = ( 3, 1, 2)，又 = (0, 2,1)，
设平面 和直线 所成的角为 ，
则 = |cos , | = 10，5
所以 = 15．5
18.解：(1)因为 2 = 13 2，
2 2
所以 = = 12 2 39， 13 = 13
则椭圆 的离心率 = 2 391 ；13
2
(2)易知 1： 13 +
2 = 2，
因为点 ( 0, 0)是 1与 2在第一象限的交点，
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2 2 20 + 0 =
所以 1 2 2 2，
13 0 + 0 =
13
解得 2 2 20 = 12 ( )，
因为 0 > 0，
所以 = 39 2 20 ，6 < < 13 ，
圆 2： 2 + 2 = 2在 ( 0, 0)处切线 方程为 0 + 20 = ，
因为直线 过焦点 ( , 0)，
所以 20 = 0，
所以 ( 0, ) = 0 2( =
39 2 20 , < < 13 , 0 > 0)；6
(3)若 = 1，
此时
2
1： 13 +
2 = 1，1 < < 13，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
1
椭圆 1在 处切线为13 1 + 1 = 1，
圆 在 处切线为 + = 22 2 2 ，
因为直线 与 1 2均相切，
2 2 2
所以 1 = = 1，
13 1 1
即 =
2
2 13 1,
2
2 = 1，
因为点 在椭圆 1上，点 在圆 2上，
22 + 2 22 =
所以 1 ，
13
2 2
1 + 1 = 1
2 = 169解得 (1 1 )， 2 = 1 131 12 2 1 12 ( 2 1)，
2
所以| |2 = ( 1 )2 + ( )2 = (
13
2 1 2 13 )
2 21 + ( 2 1)2 21
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13 2 169 1 1 13 13
= ( 2 213 ) 12 (1 2 ) + ( 1)
2 12 ( 2 1) = 14 (
2 + 2 )
≤ 14 2 2 13 2 = 14 2 13，
当且仅当 2 = 13 4 2，即 = 13时，等号成立，
则| |2的最大值为 14 2 13，
故| |的最大值为 14 2 13 = 13 1．
19. 1, 为奇数,解：(1)依题意 =
0, 为偶数,
2 , 为奇数,
故 +1 = |

+1 2 | =
, 为偶数,
因为 1 = 1，所以 2 = 2 1 = 2，
当 为奇数时， +2 = +1 = 2 ，
当 为偶数时， +2 = 2 +1 = 2 ，即{ }的奇数项，偶数项分别成等比数列．

2 2
故当 为偶数时， = ( 1 + 3 + + 1) + ( 2 +
1 2 2(1 2 )
4 + + ) = 1 2 + 1 2

= 3 22 3．
+1 +1 +3
当 为奇数时， = +1 +1 = 3 2 2 3 2 2 = 2 2 3．
+3
2 2 3, 为奇数,
综上所述， = ；
3 22 3, 为偶数.
(2)充分性：因为 1 = 1，所以 = 1，
所以 +1 = | +1 2 | = ，
又因为 1 = 1 ≠ 0，所以{ }是以 1 为首项，1 为公比的等比数列，
故 是 的充分条件．
必要性：假设{ }为等比数列，而{ }不为常数列，
则{ }中存在等于 0 的项，设项数最小的等于 0 的项为 ，其中 > 1，
所以 = | 2 1| 1 = 2 1，

则等比数列{ }的公比为 = 2( )． 1
又 +1 = | +1| ，得等比数列{ }的公比为| +1| ≤ 1，与( )式矛盾，
所以假设不成立，所以当{ }为等比数列时，{ }为常数列，
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故 是 的必要条件．
综上，可知 是 的充要条件．
(3)当 = 1， +1 = 1 时， +1 = ，当 = 1， +1 = 0 时， +1 = 2 ，
当 = 0， +1 = 1 时， +1 = ，当 = 0， +1 = 0 时， +1 = 0．
综上所述， +2 = 或 +2 = 2 或 +2 = 0(上述四种情形每种中 +2 = 0 或 1)．
又由题意可知 ≥ 0，所以 +2 ≤ 2 ，
所以 2025 ≤ 2 2023 ≤ ≤ 21012 1 = 21012，故 2025的最大值为21012，
1, 为奇数,
此时{ }的通项公式可以是 = ．
0, 为偶数.
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