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西南名校联盟“ 3+3+3”2025届高考备考诊断性联考（三）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数的取值集合为( )
A. B. C. D.
2.已知，为实数，，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.昆明以其多样的民族文化和独特的地方美食闻名现有一名游客计划在三天内品尝完过桥米线、汽锅鸡、烧饵块、鲜花饼这种特色美食，每天至少选择种当天选择的种类不分先后顺序若三天后他恰好品尝完所有种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为( )
A. B. C. D.
5.若函数为奇函数，则( )
A. B. C. D.
6.设抛物线的焦点为，过上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，，则( )
A. B. C. D.
7.若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知的周长为，，的平分线交于，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，已知正八边形的边长为，为正八边形的中心，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，平面四边形满足，与交于点，若将沿翻折，得到三棱锥，已知二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，，则下列说法正确的是( )
A. 在翻折过程中，与始终垂直
B. 在翻折过程中，始终成立
C. 在翻折过程中，的最大值为
D. 当平面平面，则三棱锥为正三棱锥
11.若函数满足对任意都有，则称函数为“函数”，则下列说法正确的是( )
A. 函数是“函数”
B. 函数是“函数”
C. 若函数为“函数”，，且当时，，则对任意，都有
D. 若函数为“函数”，，且当时，，则对任意，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，复数在复平面内对应的点位于直线上，则 ．
13.已知函数左移个单位后为偶函数，若，则当最小时， ．
14.在空间直角坐标系下，由方程，且，，不全相等所确定的曲面称为椭球面，若用坐标平面，，分别截椭球面，所得的截面是圆或者椭圆如图所示，这三个截面的方程分别为：已知方程：所确定的椭球面分别交轴，轴，轴的正半轴于点、、椭圆的方程为：，若动点在椭圆上运动，则三棱锥体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数列满足：，，记为的前项和．
是否存在常数，，使得为等比数列，若存在，求出，；若不存在，说明理由；
求．
16.本小题分
已知某种业公司培育了新品种的橙子，现从某批次收获的果实中随机抽取了个橙子直径位于至之间作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．

根据长期检测结果发现橙子直径服从正态分布，并将直径的橙子定为特级品此批次样本橙子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数作为的近似值现从该批次中任取一个，试估计该橙子为特级品的概率保留小数点后两位数字；同一组中的数据用该组区间的中点值代表
在样本中，从直径在区间，上的橙子中利用按比例分配样本的分层抽样随机抽取个橙子进行检测，再从中抽取个橙子作进一步检测记这个橙子中直径在区间上的个数为，求的分布列与数学期望．
附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
17.本小题分
如图，圆柱的轴截面为，点、为上底面圆周上的两点，已知，直线过的重心．
证明：；
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为．
求的方程；
经过点的直线、斜率都存在分别与交于点、和、，、分别为、的中点．
若点，求直线的方程；
若点，且，证明：直线过定点．
19.本小题分
已知函数，．
当，时，讨论的单调性；
当时，存在三条不同的直线，既是曲线的切线切点为，又是曲线的切线切点为
求实数的取值范围；
是否存在，使得线段与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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14.
15.若存在常数，，使得为等比数列，
则，为常数且，
即．
又因为，可得：，解得
所以存在常数，，使得为等比数列，
且公比为，首项为．
是首项为，公比为的等比数列，
，故，
．
16.由题意，估计该批次的橙子中随机抽取个的直径的平均数为：
，
则，，所以直径，
则，
所以从该批次的橙子中任取一个，该橙子为特级品的概率约为．
由题意知直径在区间，上的频率之比为，
所以这个橙子中抽取的直径在区间，上的橙子个数分别为，，．
由题意知的所有可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为
所以．
17.在圆柱中：平面，，
在上底面中，为直径且，，
又，在平面内相交于点，
平面，
又平面，
．
设，由知：，所以是的中点，
由于是的重心，
、、三点共线，连接；
由于，则，
又，
所以，即：，
为上底面圆的圆心，且，
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系；
不妨设，则：，，，，，
又点是的重心，所以，
．
设面的法向量，，，
则，即：
取，则
所以；
设面的法向量，，，
则即
取，则
所以；
，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.设双曲线右焦点为，则有，
由于的一条渐近线的方程为，

由题可得，解得．
所以双曲线的方程为．
设，，由题意点是中点，

则，，直线的斜率．
因为、在上，则
两式相减得，
整理可得，即，
可得直线的方程为，即，
检验：直线与联立方程得，
其，符合题意；
所以直线的方程为．
设，由于，所以．

设直线，联立方程：，得，
其中且．
则有，，代入直线得，
所以．
同理设，
直线，联立方程：
得，
其中且
则有，，代入直线得，
得．
所以
，
则有直线．
令，得．
当直线的斜率不存在时，则，直线；
所以直线过定点．
19.，，，
，，，
当时，，故在上单调递增；
当时，由，解得，
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，，
设直线与曲线切于点，与曲线切于点，
，
曲线的切线方程为，
曲线的切线方程为．
于是问题等价于有三组解．
由得，代入消去得，
由，结合知，故，
于是上述方程可化为．
令，，
则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
又，，
当时，，当时，
，
存在三条不同的直线，既是曲线的切线切点为，又是曲线的切线切点为，
与直线有三个不同的交点，
结合的图象可知，解得．
综上，实数的取值范围为．
不存在．
假设存在，设，，，，
则有
由可知，，，
则有，，
所以上述方程等价于
即
由得或，．
结合且，得，
代入整理得，此时．
令，，则，
于是，在上单调递减．
由于，故方程仅有一解，此时．
从而点与点重合，线段与重合，故不存在．

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