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2024年浙江省杭州市公益中学九年级中考二模数学试题
一、选择题（有10个小题，每小题3分，共30分），每小题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2024九下·杭州模拟）下列各数中绝对值最大的是（　　）
A．3 B． C．0 D．
2．（2024九下·杭州模拟）2024年“五一”假期，杭州西湖再次成为全国最热门的旅游景区，累计接待游客万人次，其中万用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·杭州模拟）不透明的袋子中装有黑、白小球各一个，除颜色之外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·杭州模拟）已知数轴上有、两点，点在点的右侧，若点、分别表示数、，且满足，则下列各式的值一定为负数的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·杭州模拟）如图，在中，点在上，交于点．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九下·杭州模拟）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（　　）
A．24 B．36 C．12 D．6
7．（2024九下·杭州模拟）如图，是的弦，是的直径，于点．在下列结论中，不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·杭州模拟）如图所示，二次函数的图象与轴负半轴相交于A、两点，是二次函数图象上一点，且为等边三角形，则的值为（　　）
A． B． C．－1 D．
9．（2024九下·杭州模拟）实数、、不全为0，则的最大值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
10．（2024九下·杭州模拟）如图，在直角三角形中，．点在边上，点分别在和边上．若四边形为正方形，则（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九下·杭州模拟）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2024九下·杭州模拟）因式分解： 　 　.
13．（2024九下·杭州模拟）如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是　 　．
14．（2024九下·杭州模拟）在平面直角坐标系中，反比例函数与交于点，若，则　 　．
15．（2024九下·杭州模拟）如图，正六边形的边长为3，的半径为1，若在正六边形内平移（可以与该正六边形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为　 　．
16．（2024九下·杭州模拟）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论：
①，②；③；④，其中正确的是　 　（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题（有8个小题，共72分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（2024九下·杭州模拟）（1）解分式方程；
（2）已知，与成反比例，与成正比例，且当时，．求关于的函数解析式．
18．（2024九下·杭州模拟）公益中学九年级举办了体育模拟测试．其中参加男子立定跳远项目的10名学生成绩（单位：厘米）数据整理如下：
a.10名学生立定跳远成绩：263，258，253，251，251，247，247，247，245，243
平均数 中位数 众数
250.5 m
（1）写出表中，的值：
（2）杭州市体育中考男子立定跳远的满分为成绩不低于，请问本次模拟测试男子立定跳远的满分率为多少？
（3）甲、乙两名学生本次模拟测试未达到满分标准，要通过努力训练来提高成绩．下表是两名同学近五次的训练成绩，试判断下次考试哪位同学达标满分的可能性更大，请说明理由．
　 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 248 246 244 248 246
乙 240 256 242 244 246
19．（2024九下·杭州模拟）雷峰塔是杭州市西湖景区的地标性建筑，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．某数学兴趣小组用无人机测量雷峰塔的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面的点，测得雷峰塔顶端A的俯角为；再将无人机沿雷峰塔的方向水平飞行到达点，测得雷峰塔底端的俯角为，求雷峰塔的高度．（参考数据：）
20．（2024九下·杭州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴分别交于点A、B，与反比例函数交于点，D两点，直线垂直于轴分别与一次函数和反比例函数交于、，连接．
（1）求的值；
（2）点在线段上（不与端点、重合），若，求的面积；
21．（2024九下·杭州模拟）如图，正方形的对角线相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）若平分，求的长．
22．（2024九下·杭州模拟）综合与实践
如图1是实验室中的一种机械装置，在地面上，所在等腰直角三角形是固定支架，机械臂可以绕点A旋转，同时机械臂可以绕点D旋转，已知，，．
（1）如图2，把机械臂顺时针旋转，点D旋转到点E处，连结，当，
①连接，探究与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当时，求的长
（2）如图3，机械臂A、D、M三点共线，，此时机械臂顺时针旋转，机械臂一端恰好落在边上，标记为点N，求支架的长．
23．（2024九下·杭州模拟）在平面直角坐标系，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．
（1）若，，求的值；
（2）若，，当时，，当时，，求的值；
（3）若对于，，都有，求的取值范围．
24．（2024九下·杭州模拟）已知四边形内接于（），对角线于点M，点N为线段上一点，且．
（1）如图1，若恰好经过圆心O，证明：．
（2）如图2，若不经过圆心O，是否成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如图3所示，线段与交于点G，延长交于点F，连结，若，，设，，请直接写出的长（用x，y表示）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵3的绝对值为3，的绝对值为4，0的绝对值为0，的绝对值为1，
∴的绝对值最大，
故答案为：B．
【分析】先求出各数的绝对值，再比较大小绝对值的大小后作出判断．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万等于，
，
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的表示方法求解．
3．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列树状图如下，
共有4种等可能的情况，其中两次都摸到白球的有1种，
∴两次都摸到白球的概率为，
故答案为：C．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先点A在点B的右侧，得出，结合，得到关于a的不等式求解，再确定四个选项中一定为负数的式子．
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
6．【答案】C
【知识点】弧长的计算；扇形的面积
7．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的弦，是的直径，于点，
∴，故A成立；
∵是的直径，
∴，故B成立；
∵，
∴，
∵
∴，
故C成立；
无法证明，
故D不一定成立．
故答案为：D.
【分析】A、利用垂径定理证明；B、根据圆周角定理的推论证明；C、根据圆周角定理与等边对等角证明；D、根据已知条件推理．
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点Q作，垂足为D，
∵为等边三角形，
∴，，
∴Q为二次函数的顶点，
∵，
∴，对称轴，
∴，
∴，
设点B和点A的横坐标分别为和，
则，，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先根据等边三角形的性质，证得，，再利用正切求得AD及对称轴，然后可得，设点B和点A的横坐标分别为和，结合一元二次方程根与系数的关系，可得到关于a的方程求解．
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴的最大值是1，
故答案为：B．
【分析】先利用完全平方公式，得出，，，再化简求出的最大值 ；
10．【答案】A
【知识点】正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解∶设正方形的边长为，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先利用正方形性质，证得，从而可得，再利用三角函数分别表示出AG、CG、CF、BF，然后利用求解．
11．【答案】x≥2．
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】要保证二次根式有意义，则需要保证被开方数为非负数，即x－2≥0，解得：x≥2．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解。
12．【答案】m（x-1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】先提取公因式m，再利用完全平方公式进行二次因式分解即可.
13．【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作，则D到的距离为DE
平分，，
点D到的距离为．
故答案为：．
【分析】利用角平分线的性质，求得DE，从而可得 点D到的距离．
14．【答案】2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：解方程组，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】联立一次函数与反比例函数，求出交点，再利用反比例函数k的意义，得到关于k的方程求解．
15．【答案】
【知识点】切线的性质；圆内接正多边形；解直角三角形
16．【答案】①③
【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴①③正确，②不正确；
∵
，
∴④不正确.
故答案为：①③．
【分析】根据题中所给的方法，先得到原方程为，再结合题中相关知识求解．
17．【答案】解：（1），
∴
∴，
∴，
经检验，是原方程的根；
（2）∵与成反比例，与成正比例
∴设，，，
∵当时，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴
【知识点】解分式方程；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）通过去分母，化为一元一次方程求解，再验根；
（2）先设出两个函数关系式，再利用“ 当时， ”分别求出和，然后代入求出关于的函数解析式．
18．【答案】（1）解：将10个数据从大到小排列：263，258，253，251，251，247，247，247，245，243，
第5个数是251和第6个数是247，中位数即为；
247在数据中出现了3次，即众数是247
（2）解：由题意得，数据中满分的为8个，即样本中满分率是，估计总体的满分率即为
（3）解：下次考试甲同学达标满分的可能性更大，
理由：根据题意得：甲的平均数为，
满分率为：；
乙的平均数为
满分率为：；
故平均数甲高，满分率也是甲高，所以下次测试甲达满分的可能性高
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据中位数，众数的定义进行求解即可；
（2）用样本中满分的8人除以样本总数10人计算出样本中的满分率，估计学校本次测试的满分率也是同样的满分率；
（3）计算出甲的平均数和满分率，再计算出乙的平均数和满分率，比较大小即可．
19．【答案】解：过点A作，垂足为C，如下图所示，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴雷峰塔的高度约为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先证明为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得QC，再利用线段的求得PC，然后利用正切求得AC，最后利用线段差求得AB．
20．【答案】（1）解： 点在直线上，代入得，
，
点．
将代入得，，
解得
（2）解：由（1）可得直线解析式为，双曲线解析式为，，
设、的横坐标为，由于在直线上，在双曲线上，
，，
，，
过作于点，如图，
，
点为中点，
点纵坐标为，与点纵坐标相等，
，
解得，，
直线，与坐标轴交点为，，点在线段上（不与端点、重合）
．
∴，，，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出C点的坐标，再代入反比例函数，求出解析式；
（2）先设出M、N两点的坐标，再说明点为中点，得到关于t的方程求解，从而可求得M，N两点的坐标，再求出MN，然后三角形面积公式求出的面积；
21．【答案】（1）解：∵正方形，∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：过点E作，垂足为P，如下图所示，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）证明，即可得到；
（2）过点E作，垂足为P，根据角平分线定理得到，即可求得，在根据是等腰直角三角形即可求出的长．
22．【答案】（1）解：①连接，
由旋转可知，，，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
∵
②，，
，
，
，，
，
．
（2）解：过点N作 ，如图所示：
∵顺时针旋转
，
∵
∵
∵
∴，
∴
∴
∴，
∴.

【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①连接CD，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，从而可证出；
②先利用角的运算求出，利用勾股定理求出CD的长，再利用全等三角形的性质可得；
（2）过点N作 ，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
23．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵若，，即抛物线过点，
再根据，即抛物线开口向上，
可得抛物线有三种大致图象，如图：
①当对称轴时，
此时当时，一定存在，
与矛盾，
故不成立；
②当对称轴时，
此时当时，一定存在，
与矛盾，
故不成立；
③当对称轴时，
此时当时，一定存在，
故成立；
综上，，
∴，即，
∵当时，时，
∴结合图象可得时，，
∴①，
∵若，，
∴②，
①-②，得，
代入，
解得：
（3）解：∵，∴抛物线开口向上，
∵对称轴为直线，，
∴点在对称轴右侧，
根据题意画出草图，如图，
∵对于，，都有，
即点在点的水平上方，
由图可知点只能在对应的图象上，
∵，
∴，
解得：，
∴的取值范围为：
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；两二次函数的图象共存判断
24．【答案】（1）证明：，是直径，
，
，
，
∴点是中点，
∵点是中点，
∴是的中位线，
，
，
（2）解：仍成立，理由如下：
连接并延长交于点，连接，
∵是直径，
，
，
，
，
∴，
，即，
，
，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
，
，
（3）解：过点作，垂足为点，连接，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，整理得，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先利用垂径定理证明，再利用垂径定理说明是 的中位线，然后利用中位线定理得出；
（2）先证明，再证明是 的中位线，然后利用中位线定理证明结论；
（3）先证明，列出比例式，证得，从而可得，由，得，通过，得到，在中， 由，得到、，在中，由，得到，根 据即可得到结果．
1 / 12024年浙江省杭州市公益中学九年级中考二模数学试题
一、选择题（有10个小题，每小题3分，共30分），每小题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2024九下·杭州模拟）下列各数中绝对值最大的是（　　）
A．3 B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵3的绝对值为3，的绝对值为4，0的绝对值为0，的绝对值为1，
∴的绝对值最大，
故答案为：B．
【分析】先求出各数的绝对值，再比较大小绝对值的大小后作出判断．
2．（2024九下·杭州模拟）2024年“五一”假期，杭州西湖再次成为全国最热门的旅游景区，累计接待游客万人次，其中万用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万等于，
，
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的表示方法求解．
3．（2024九下·杭州模拟）不透明的袋子中装有黑、白小球各一个，除颜色之外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列树状图如下，
共有4种等可能的情况，其中两次都摸到白球的有1种，
∴两次都摸到白球的概率为，
故答案为：C．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
4．（2024九下·杭州模拟）已知数轴上有、两点，点在点的右侧，若点、分别表示数、，且满足，则下列各式的值一定为负数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先点A在点B的右侧，得出，结合，得到关于a的不等式求解，再确定四个选项中一定为负数的式子．
5．（2024九下·杭州模拟）如图，在中，点在上，交于点．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
6．（2024九下·杭州模拟）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（　　）
A．24 B．36 C．12 D．6
【答案】C
【知识点】弧长的计算；扇形的面积
7．（2024九下·杭州模拟）如图，是的弦，是的直径，于点．在下列结论中，不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的弦，是的直径，于点，
∴，故A成立；
∵是的直径，
∴，故B成立；
∵，
∴，
∵
∴，
故C成立；
无法证明，
故D不一定成立．
故答案为：D.
【分析】A、利用垂径定理证明；B、根据圆周角定理的推论证明；C、根据圆周角定理与等边对等角证明；D、根据已知条件推理．
8．（2024九下·杭州模拟）如图所示，二次函数的图象与轴负半轴相交于A、两点，是二次函数图象上一点，且为等边三角形，则的值为（　　）
A． B． C．－1 D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点Q作，垂足为D，
∵为等边三角形，
∴，，
∴Q为二次函数的顶点，
∵，
∴，对称轴，
∴，
∴，
设点B和点A的横坐标分别为和，
则，，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先根据等边三角形的性质，证得，，再利用正切求得AD及对称轴，然后可得，设点B和点A的横坐标分别为和，结合一元二次方程根与系数的关系，可得到关于a的方程求解．
9．（2024九下·杭州模拟）实数、、不全为0，则的最大值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴的最大值是1，
故答案为：B．
【分析】先利用完全平方公式，得出，，，再化简求出的最大值 ；
10．（2024九下·杭州模拟）如图，在直角三角形中，．点在边上，点分别在和边上．若四边形为正方形，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解∶设正方形的边长为，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先利用正方形性质，证得，从而可得，再利用三角函数分别表示出AG、CG、CF、BF，然后利用求解．
二、填空题（有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九下·杭州模拟）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2．
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】要保证二次根式有意义，则需要保证被开方数为非负数，即x－2≥0，解得：x≥2．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解。
12．（2024九下·杭州模拟）因式分解： 　 　.
【答案】m（x-1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】先提取公因式m，再利用完全平方公式进行二次因式分解即可.
13．（2024九下·杭州模拟）如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作，则D到的距离为DE
平分，，
点D到的距离为．
故答案为：．
【分析】利用角平分线的性质，求得DE，从而可得 点D到的距离．
14．（2024九下·杭州模拟）在平面直角坐标系中，反比例函数与交于点，若，则　 　．
【答案】2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：解方程组，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】联立一次函数与反比例函数，求出交点，再利用反比例函数k的意义，得到关于k的方程求解．
15．（2024九下·杭州模拟）如图，正六边形的边长为3，的半径为1，若在正六边形内平移（可以与该正六边形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】切线的性质；圆内接正多边形；解直角三角形
16．（2024九下·杭州模拟）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论：
①，②；③；④，其中正确的是　 　（写出所有正确结论的序号）．
【答案】①③
【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴①③正确，②不正确；
∵
，
∴④不正确.
故答案为：①③．
【分析】根据题中所给的方法，先得到原方程为，再结合题中相关知识求解．
三、解答题（有8个小题，共72分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（2024九下·杭州模拟）（1）解分式方程；
（2）已知，与成反比例，与成正比例，且当时，．求关于的函数解析式．
【答案】解：（1），
∴
∴，
∴，
经检验，是原方程的根；
（2）∵与成反比例，与成正比例
∴设，，，
∵当时，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴
【知识点】解分式方程；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）通过去分母，化为一元一次方程求解，再验根；
（2）先设出两个函数关系式，再利用“ 当时， ”分别求出和，然后代入求出关于的函数解析式．
18．（2024九下·杭州模拟）公益中学九年级举办了体育模拟测试．其中参加男子立定跳远项目的10名学生成绩（单位：厘米）数据整理如下：
a.10名学生立定跳远成绩：263，258，253，251，251，247，247，247，245，243
平均数 中位数 众数
250.5 m
（1）写出表中，的值：
（2）杭州市体育中考男子立定跳远的满分为成绩不低于，请问本次模拟测试男子立定跳远的满分率为多少？
（3）甲、乙两名学生本次模拟测试未达到满分标准，要通过努力训练来提高成绩．下表是两名同学近五次的训练成绩，试判断下次考试哪位同学达标满分的可能性更大，请说明理由．
　 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 248 246 244 248 246
乙 240 256 242 244 246
【答案】（1）解：将10个数据从大到小排列：263，258，253，251，251，247，247，247，245，243，
第5个数是251和第6个数是247，中位数即为；
247在数据中出现了3次，即众数是247
（2）解：由题意得，数据中满分的为8个，即样本中满分率是，估计总体的满分率即为
（3）解：下次考试甲同学达标满分的可能性更大，
理由：根据题意得：甲的平均数为，
满分率为：；
乙的平均数为
满分率为：；
故平均数甲高，满分率也是甲高，所以下次测试甲达满分的可能性高
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据中位数，众数的定义进行求解即可；
（2）用样本中满分的8人除以样本总数10人计算出样本中的满分率，估计学校本次测试的满分率也是同样的满分率；
（3）计算出甲的平均数和满分率，再计算出乙的平均数和满分率，比较大小即可．
19．（2024九下·杭州模拟）雷峰塔是杭州市西湖景区的地标性建筑，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．某数学兴趣小组用无人机测量雷峰塔的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面的点，测得雷峰塔顶端A的俯角为；再将无人机沿雷峰塔的方向水平飞行到达点，测得雷峰塔底端的俯角为，求雷峰塔的高度．（参考数据：）
【答案】解：过点A作，垂足为C，如下图所示，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴雷峰塔的高度约为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先证明为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得QC，再利用线段的求得PC，然后利用正切求得AC，最后利用线段差求得AB．
20．（2024九下·杭州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴分别交于点A、B，与反比例函数交于点，D两点，直线垂直于轴分别与一次函数和反比例函数交于、，连接．
（1）求的值；
（2）点在线段上（不与端点、重合），若，求的面积；
【答案】（1）解： 点在直线上，代入得，
，
点．
将代入得，，
解得
（2）解：由（1）可得直线解析式为，双曲线解析式为，，
设、的横坐标为，由于在直线上，在双曲线上，
，，
，，
过作于点，如图，
，
点为中点，
点纵坐标为，与点纵坐标相等，
，
解得，，
直线，与坐标轴交点为，，点在线段上（不与端点、重合）
．
∴，，，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出C点的坐标，再代入反比例函数，求出解析式；
（2）先设出M、N两点的坐标，再说明点为中点，得到关于t的方程求解，从而可求得M，N两点的坐标，再求出MN，然后三角形面积公式求出的面积；
21．（2024九下·杭州模拟）如图，正方形的对角线相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）若平分，求的长．
【答案】（1）解：∵正方形，∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：过点E作，垂足为P，如下图所示，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）证明，即可得到；
（2）过点E作，垂足为P，根据角平分线定理得到，即可求得，在根据是等腰直角三角形即可求出的长．
22．（2024九下·杭州模拟）综合与实践
如图1是实验室中的一种机械装置，在地面上，所在等腰直角三角形是固定支架，机械臂可以绕点A旋转，同时机械臂可以绕点D旋转，已知，，．
（1）如图2，把机械臂顺时针旋转，点D旋转到点E处，连结，当，
①连接，探究与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当时，求的长
（2）如图3，机械臂A、D、M三点共线，，此时机械臂顺时针旋转，机械臂一端恰好落在边上，标记为点N，求支架的长．
【答案】（1）解：①连接，
由旋转可知，，，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
∵
②，，
，
，
，，
，
．
（2）解：过点N作 ，如图所示：
∵顺时针旋转
，
∵
∵
∵
∴，
∴
∴
∴，
∴.

【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①连接CD，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，从而可证出；
②先利用角的运算求出，利用勾股定理求出CD的长，再利用全等三角形的性质可得；
（2）过点N作 ，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
23．（2024九下·杭州模拟）在平面直角坐标系，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．
（1）若，，求的值；
（2）若，，当时，，当时，，求的值；
（3）若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵若，，即抛物线过点，
再根据，即抛物线开口向上，
可得抛物线有三种大致图象，如图：
①当对称轴时，
此时当时，一定存在，
与矛盾，
故不成立；
②当对称轴时，
此时当时，一定存在，
与矛盾，
故不成立；
③当对称轴时，
此时当时，一定存在，
故成立；
综上，，
∴，即，
∵当时，时，
∴结合图象可得时，，
∴①，
∵若，，
∴②，
①-②，得，
代入，
解得：
（3）解：∵，∴抛物线开口向上，
∵对称轴为直线，，
∴点在对称轴右侧，
根据题意画出草图，如图，
∵对于，，都有，
即点在点的水平上方，
由图可知点只能在对应的图象上，
∵，
∴，
解得：，
∴的取值范围为：
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；两二次函数的图象共存判断
24．（2024九下·杭州模拟）已知四边形内接于（），对角线于点M，点N为线段上一点，且．
（1）如图1，若恰好经过圆心O，证明：．
（2）如图2，若不经过圆心O，是否成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如图3所示，线段与交于点G，延长交于点F，连结，若，，设，，请直接写出的长（用x，y表示）．
【答案】（1）证明：，是直径，
，
，
，
∴点是中点，
∵点是中点，
∴是的中位线，
，
，
（2）解：仍成立，理由如下：
连接并延长交于点，连接，
∵是直径，
，
，
，
，
∴，
，即，
，
，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
，
，
（3）解：过点作，垂足为点，连接，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，整理得，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先利用垂径定理证明，再利用垂径定理说明是 的中位线，然后利用中位线定理得出；
（2）先证明，再证明是 的中位线，然后利用中位线定理证明结论；
（3）先证明，列出比例式，证得，从而可得，由，得，通过，得到，在中， 由，得到、，在中，由，得到，根 据即可得到结果．
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