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压轴专题01 二次函数（线段周长面积问题）
考法一　单线段最值 1.（1）设函数表达式上动点坐标：设动点的横坐标，代入函数表达式得到动点的纵坐标. （2）表示竖直方向的线段长：结合函数图象，用上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标可得线段长. （3）表示水平方向的线段长：结合函数图象，用右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标可得线段长. （4）表示不与坐标轴平行的线段长（斜线段）：第一步：以所求线段长为一边构造直角三角形；第二步：找与其相似的直角三角形（一般情况下，二次函数与坐标轴交点构成的直角三角形与其相似）；第三步：利用三角函数或相似列等量关系求解. 考法二　线段和（差）最值（将军饮马） 2.两定点＋一动点（动点在直线上） （1）两定点A，B位于直线l异侧：如图1，连接AB，与直线l的交点即为P，此时PA＋PB的最小值为AB的长；如图2，作点B关于直线l的对称点B'，作直线AB'，与直线l的交点即为P，此时｜PA－PB｜的最大值为线段AB'的长. 　　　 （2）两定点A，B位于直线l同侧：如图3，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点即为P，此时PA＋PB的最小值为AB'的长；如图4，连接AB并延长，与直线l的交点即为P，此时｜PA－PB｜的最大值为线段AB的长. 　　　 3.一定点＋两动点（动点分别在两条直线上） （1）如图1，点P是定点，点A，B分别是直线，上的动点，作点P关于直线的对称点P'，作P'B⊥于点B，交直线于点A，此时PA＋AB的最小值为线段P'B的长. （2）如图2，点P是定点，点A，B分别是直线，上的动点，分别作点P关于两直线的对称点P'和P″，连接P'P″，与两直线交点即为点A，B，此时△PAB周长的最小值为线段P'P″的长. 　　　 4.两定点＋两动点（动点分别在两条直线上） （1）如图1，点P，Q是定点，点M，N分别是直线，上的动点，分别作点Q，P关于直线，的对称点Q'和P'，连接Q'P'，与两直线交点即为点M，N，此时四边形PQMN周长的最小值为线段Q'P'＋QP的长. （2）如图2，点A，B分别是直线，上的定点，点M，N分别是直线，上的动点，作点A关于直线的对称点A'，作点B关于直线的对称点B'，连接A'B'交直线于点M，交直线于点N，此时AM＋MN＋NB的最小值为线段A'B'的长. 　　　 考点三：二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法： 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意．
例题1．（24-25九年级上·江苏连云港·模拟练习）如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点B，C、D分别为x轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，则点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数解析式的确定，对称点的确定与求解，三线段和最小问题，分别构造定点关于轴，对称轴的对称点是解题的关键．先把点代入解析式，确 定函数的表达式，根据的长是定值，想使四边形的周长最小，只需的和最小，为此过点作对称轴的对称点，作点B关于x轴的对称点F，连接，交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形的周长取得最小值，据此求解即可．
【详解】解：作点A关于对称轴的对称点E，则，作点B关于x轴的对称点F，
连接交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形的周长取得最小值，
将点代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴点B坐标为，
则点，
设所在直线解析式为，
将，代入得，
解得，
所以所在直线解析式为．
当时，，
．
故答案为：．
例题2如图，已知二次函数图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B．
(1)连结，求直线的解析式；
(2)点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标及面积的最大值．
【答案】(1)
(2)面积的最大值为2，此时
【分析】（1）求出，两点坐标，利用待定系数法求解；
（2）过点作轴交于点，设，则，然后构建二次函数，利用二次函数的性质求解．
【详解】（1）解：对于，
令，可得，
，
令，可得，
解得或4，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：过点作轴交于点，
设，则，
，
，
当时，的面积最大，面积的最大值为2，此时．
1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，过点P作轴于点E，交于点G，作于点F．

(1)点B的坐标是____________，点C的坐标是___________；
(2)当时，求出点P的坐标；
(3)当的周长最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式等知识．
（1）分别令，，即可求解；
（2）利用待定系数法可得直线的解析式为，设点P的坐标为，则点G的坐标为，可得，再根据，建立方程求解即可；
（3）先证得是等腰直角三角形，可得，设点P的坐标为，则点G的坐标为，可得，进而可得的周长，运用二次函数的性质即可求得答案．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，
∴，
当时，，
∴点；
故答案为：；；
（2）解：设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点G的坐标为，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：或3，
∴点P的坐标为或；
（3）解：∵点，点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点P的坐标为，则点G的坐标为，
∴，
∴的周长
，
∴当时，的周长最大，最大值为，此时点P的坐标为．
2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标；
(3)当点运动到什么位置时，的面积有最大值？
(4)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)存在，，，，
【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）设，则，，由，可得，解出的值可得的坐标为；
（3）根据列出二次函数解析式求解即可；
（4）过作轴交直线于，求出，知，可求出，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得或，解出的值可得答案．
【详解】（1）解：把代入得：，
，
把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设，则，，
，
，
解得或（此时不在直线上方，舍去）；
的坐标为；
（3）解：
∵
∴当时，，
此时
（4）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下：
过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图：
在中，令得，
解得或，
，，
，
，
，
设，则，
，
∵
，
的面积等于面积的一半，
，
，
或，
解得或，
的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B．
(1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
(3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或或或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等；
（1）用待定系数法即可求解；
（2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解；
（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，
∴，
设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，解得，
∴抛物线的解析式为：；
把，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，
把代入直线得，故，
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为；
（3）设，
∵，，
∴，
若点B为直角顶点时，则，
即，
解得；
若点C为直角顶点时，则，
即
解得，
若P为直角顶点时，则，
∴，
解得，
综上，点P的坐标为或或或．
4．如图，二次函数的图像与x轴交于和两点，交y轴与点，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图像过点B，D．
(1)求二次函数解析式；
(2)求出顶点坐标和点D的坐标；
(3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若是线段上任意一点，过点作轴交抛物线于点P，则点P坐标为多少时，最长？
【答案】(1)
(2)顶点坐标为；点关于对称轴的对称点D的坐标为；
(3)存在，
(4)点P坐标为时，最长．
【分析】（1）由抛物线与x轴的交点坐标和，设抛物线的解析式为，将点代入求得a的值，即可得到答案；
（2）由，得到顶点坐标，由抛物线的对称轴为直线，得到点D的坐标；
（3）要使的周长最小，只需最小即可，点A和B关于直线对称，连接交直线于点M，求出直线的解析式，求得交点M的坐标即可；
（4）先求直线的解析式，设点P的坐标是，则点Q的坐标是，表示出的长度，根据二次函数的性质求得最大值即可．
【详解】（1）解：由抛物线与x轴的交点坐标和，设抛物线的解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
则抛物线的解析式为.
（2）∵，
∴顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点D的坐标为；
（3）存在，要使的周长最小，只需最小即可，
∵点A和B关于直线对称，连接交直线于点M，
∴，
则，
∴点M满足题意，
设直线的解析式为，把点和代入得，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标是，
则，
即点为所求．
（4）如图，
设直线的解析式为，把点和点D代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标是，则点Q的坐标是，
则，
∵ ，
∴当时，有最大值为，
此时，
即点P坐标为时，最长．
【点睛】此题主要考查了二次函数几何综合题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2022·江苏镇江·中考真题）一次函数的图像与轴交于点，二次函数的图像经过点、原点和一次函数图像上的点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，一次函数与二次函数的图像交于点、（），过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点．
①_________，_________（分别用含的代数式表示）；
②证明：；
(3)如图2，二次函数的图像是由二次函数的图像平移后得到的，且与一次函数的图像交于点、（点在点的左侧），过点作直线轴，过点作直线轴，设平移后点、的对应点分别为、，过点作于点，过点作于点．
①与相等吗？请说明你的理由；
②若，求的值．
【答案】(1)
(2)①，；②见解析
(3)①，理由见解析；②3
【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、C三点坐标代入二次函数表达式即可求解；
（2）①通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到的值；
②通过A（-2，0），E即可求出AE的长度；
通过B，F即可求出BF的长度；
（3）①通过二次函数平移前后的表达式可以确定新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移个单位，向上平移3个单位得到的，从而可以得到：，．通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到点P、点Q的横坐标，通过坐标即可表示出的长度．
②由①可得，求解即可．
【详解】（1）令，则，解得，
∴，
将点代入中，解得，
∴点的坐标为．
将，，代入可得：
，解得：，
∴二次函数的表达式为．
（2）①∵一次函数与二次函数的图像交于点、（），
∴联立关系式得：，
整理得：，
解得：，，
故答案为：，；
②当时，位于的上方，∵、，
∴，，
∴，
当时，位于的下方，同理可证．
故可得：；
（3）方法一：
①∵二次函数图像的顶点为，
二次函数的图像的顶点为，
∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移个单位，向上平移3个单位得到的．
∴的对应点为，的对应点为，
联立关系式可得：，
整理得：，
，
当时，解得：，，
∴，，
∴．
②∵，．
∴，
∴，
解得:．
方法二：
①设、平移前的对应点分别为、，则．
则，
∵、平移前的对应点分别为、，
由（2）②及平移的性质可知，．
②∵，
∴，
∵到轴的距离为，点是轴与二次函数的图像的交点，
∴平移后点的对应点即为点．
∵二次函数图像的顶点为，
二次函数的图像的顶点为，
∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移个单位，向上平移3个单位得到的．
∴，将点的坐标代入中，解得．
另解：
∵，
∴，
的对应点为．
∵，
∴点的横坐标为，代入，得．
∴．将点的坐标代入中，解得．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解决本题的关键．
6．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，动点在抛物线的对称轴上．
(1)抛物线的函数表达式为_____；
(2)当以，，为顶点的三角形的周长最小时，求点的坐标及周长的最小值．
【答案】(1)；
(2)点的坐标为，周长的最小值是．
【分析】（）将，两点代入即可求解；
（）连接，由二次函数对称性可知，，得到，当三点共线时，的周长最小，由此求出解析式，将点横坐标代入解析式中即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
故答案为：；
（2）解： 由中，令，得，
∴，
∵的周长为：，是定值，
∴当最小时，的周长最小，
如图，点关于对称轴对称，连接交对称轴于点，则点为所求的点，
∵，
∴当三点共线时，的周长最小，是，
∵，，，
∴，，
∴的周长最小值是，
∵抛物线对称轴为直线，
设直线的解析式为，将，代入，得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数，图象经过、两点．
(1)求二次函数的解析式及它的对称轴；
(2)设点是抛物线上的一个动点，横坐标为，
①当，则点的纵坐标的取值范围是___________；
②过点做轴，交直线于，当线段时，请求出的值．
【答案】(1)，称轴为直线
(2)①；②
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，解一元二次方程．解题的关键是数形结合．
（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）①当时，，当时包含顶点，即可求解；
②求出，再分类求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
其对称轴为直线；
（2）解：①∵，
∴当时有最大值，即；
又∵离对称轴最远，
∴当时，，
∴当，则点的纵坐标的取值范围是，
故答案为：；
②设直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴，
设点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
当时方程无解；
当时，
解得：．
8．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
(1)求的值及抛物线的顶点坐标；
(2)点在抛物线上且满足，求的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或或或
(3)
【分析】此题考查了二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点的位置是解此题的关键．
（1）首先把点的坐标为代入抛物线，利用待定系数法即可求得的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）根据，求出、点坐标，再求出的面积，设，再根据列出方程求解即可；
（2）首先连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案．
【详解】（1）解：把点的坐标为代入抛物线得：，
解得：，
，
顶点坐标为：．
（2）解：点的坐标为，由（1）知的对称轴为，
，
令，则，
，
，
设，
，
整理得：或，
解得：，
点的坐标为或或或；
（3）解：连接交抛物线对称轴于点，连接，则此时的值最小，
设直线的解析式为：，
点，点，
，
解得：．
直线的解析式为：，
当时，，
当的值最小时，点的坐标为：．
9．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接．
(1)求该二次函数和直线的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作轴于点Q，交于点H，当的长度最大时，求点P的坐标
【答案】(1)二次函数的解析式为，直线BC的解析式为
(2)
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由（1）知直线的解析式，设，得到，利用二次函数的性质求解即可得
【详解】（1）解：将，代入中得：
，
解得：，
二次函数的解析式；
令，则，
解得：，，
∴点B的坐标为，
设直线的解析式为，
代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
（2）由（1）知直线的解析式为，
设点，
轴于点Q交于点H，
，
，
，
当时，的长度最大，
将代入得．
10．如图， 抛物线与轴交于点，（点在点的左侧） ，与轴交于点，是抛物线在第四象限上一个动点， 设点的横坐标为，过点作轴的垂线， 交轴于点，交于点．
(1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值；
(2)若，求点P的坐标．
【答案】(1)PF＝﹣m2+3m（0＜m＜3），取最大值
(2)点P的坐标为
【分析】（1）由抛物线的解析式结合二次函数图象上点的坐标特征得出点、、的坐标， 再利用待定系数法求出直线的解析式， 根据点的横坐标， 找出点、的坐标， 由此即可得出关于的函数关系式， 利用配方法即可得出最值；
（2）根据、的坐标即可得出、的长度， 结合即可得出的值， 将其代入点的坐标中即可得出结论 ．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出点、的坐标；（2）根据求出的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时， 根据二次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键．
【详解】（1）解：依题意，当时，，
；
当时， 有，
解得：，，
，．
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
点的横坐标为，
．
当时，，
．
．
，，
，
当时，取最大值．
（2）解：，轴，
，
，
，
此时点的坐标为．
11．如图，二次函数的图象过点和，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若在该二次函数的对称轴上有一点M，使的长度最短，求出M的坐标．
【答案】(1)二次函数的关系式为
(2)
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、“将军饮马”模型．
（1）用待定系数法即得二次函数的关系式为；
（2）由，得抛物线的对称轴是直线，与y轴交点，根据点B关于直线的对称点是A，可知与对称轴的交点即为点M，使的长度最短，用待定系数法得直线的解析式为，即得．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，
∴，
解得，
∴二次函数的关系式为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴是直线，与y轴交点，
∵点B关于直线的对称点是A，
∴与对称轴的交点即为点M，使的长度最短，如图：
设直线的解析式为，将代入得：
，解得
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
12．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，已知抛物线经过两点．与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为或
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
（1）将两点代入求得a、b的值即可解答；
（2）先求出，设点P的纵坐标为m，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点．
∴；
（2）∵抛物线经过两点，
∴，
设点P的纵坐标为m，
∵，
∴，即，
解得：；
当，有，解得：或4，
∴点P的坐标为或；
当，有，即，
∵ ，
∴方程无解．
综上，点P的坐标为或．
13．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，二次函数与轴交于点和，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式和直线的表达式；
(2)若点为二次函数的顶点，连接，求的面积．
(3)将（1）中的二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合，再将其图像绕坐标原点逆时针旋转得到抛物线，若抛物线与直线交于两点，点是抛物线上位于直线左侧一个动点，连接，求的面积最大值．
【答案】(1)，直线的表达式为；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）由得抛物线的顶点，过点作轴于，如图，则，从而根据即可得解；
（3）由平移得平移后的二次函数表达式为，由，为绕坐标原点逆时针旋转后抛物线上的两点，且，在直线上，记旋转前，的对应点为，得在直线绕坐标原点顺时针旋转后的图像上，设直线绕坐标原点顺时针旋转后的表达式为，求得，进而得，由旋转性质得，过点作直线轴交直线于点，设则，根据铅锤法求得的面积函数，从而利用二次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：把和，分别代入，得
解得，，
∴抛物线的表达式为，
当时，，
∴，
设直线的为，
把、分别代入，得
，
解得∶
∴直线的表达式为；
（2）解：，
∴抛物线的顶点，
过点作轴于，如图，则，
∵、，，
．
（3）解：∵，二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合，
∴平移后的二次函数表达式为，
∵，为绕坐标原点逆时针旋转后抛物线上的两点，且，在直线上，
记旋转前，的对应点为，
∴在直线绕坐标原点顺时针旋转后的图像上，
设直线绕坐标原点顺时针旋转后的表达式为
∵点、，绕坐标原点顺时针旋转后对应点为，，
∴
解得，
所以
联立
解得，
∴，
∵为旋转后抛物线上，左侧动点，
∴旋转前的对应点在上且在直线上方，，
过点作直线轴交直线于点，
设则，
∴，
∴
，
当时，有最大值，
∴最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移、旋转的性质，二次函数的性质，待定系数法求二次函数，求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的平移、旋转的性质及二次函数的性质是解题的关键．
14．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数y的取值范围；
(3)若P为二次函数图象上一点，且，求P点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题主要考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）将，，代入函数解析式计算即可；
（2）根据二次函数的图像和性质求解即可；
（3）求出，得到，设，根据题意得到，求出或，确定边上的高，即可得到答案．
【详解】（1）解：将，，代入，
，
解得，
；
（2）解：，
顶点坐标为，
当时，，
当时，，
故当时，求二次函数y的取值范围为；
（3）解：，，，
，
，
，
，
设，
则，
，
或，
当时，得：，
解得，
点的坐标为或；
当，得：，
解得，
点的坐标为，
综上所述，当点的坐标为或或时，．
15．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】首先利用待定系数法确定该抛物线解析式，进而确定抛物线顶点的坐标；结合的长度，且是定值，故只需取最小值，即可使得的周长最小．过点作关于轴和轴对称的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可．
【详解】解：根据题意，抛物线的对称轴为，且经过点，
则有，解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵，
∴该抛物线顶点的坐标为，
∵的长度，且是定值，所以只需取最小值，即可使得的周长最小，
如图1，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点，
则，，
设直线的解析式为，
将点和点代入，
可得，解得，
故该直线的解析式为，
当时，，即，
∵，
且，
∴此时的周长；
同理，如图2，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点，
则，
设直线的解析式为，
将点和点代入，
可得，解得，
故该直线的解析式为，
当时，，即，
∵，
且，
∴此时的周长；
∵，
∴，
∴点在轴上时，的周长最小，此时点的坐标是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏．
16．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，开口向下的抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一点．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)当四边形的面积最大时，求的坐标及最大面积．
【答案】(1)该抛物线的解析式为；
(2)点，四边形的面积最大为．
【分析】（）设二次函数表达式为，再将点代入，求出值即可；
（）连接，设点坐标为，利用得出关于的表达式，再求最值即可；
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形的面积表示出来．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点，
∴设抛物线表达式为，
将代入得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接，设点坐标为，
∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点，
∴，，，
∴
，
当时，最大，最大值为，
此时，
∴点．
17．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，当面积的最大值时，求出此时点E的坐标；
【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为；
(2)
【分析】主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质．
（1）先写出平移后的抛物线解析式，再把点代入可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）作轴交于，利用三角形面积公式，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
∵，∴点的坐标为，
代入抛物线的解析式得，，
∴，
∴抛物线的解析式为，即；
令，解得，，
∴，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
代入抛物线解析式得，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：过点作轴交于，如图，
设，则，
∴，
∴
，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．
18．已知抛物线，顶点为．
(1)求b，c的值．
(2)若时，如图1，P为y轴右侧抛物线上一动点，过P作直线轴于点N，交直线l：于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值．
(3)若时，如图2，直线与抛物线相交于A，B，当时，求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程综合，二次函数与面积综合等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
（1）利用二次函数顶点式，代入顶点求解即可；
（2）利用二次函数解析式和一次函数解析式，用m去表示P、M点的纵坐标，再利用列出方程求解即可；
（3）联立可得、，进而得到，则，然后将、可得，可求得，直线解析式为或；然后再求得，最后根据坐标与图形以及三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线，顶点为，
∴，解得：．
（2）解：∵，，
∴抛物线的解析式为，
设，，
①点P在直线l下方时，当时，有
，化简得：，解得：，（舍去）
②点P在直线l上方时，当时，点M为中点，有，化简得：，解得：（舍去负值）
∴符合条件的的值为或．
（3）解：由得，，
∴，，
由，得，，
∴，
∵，，
∴，化简得：，
∴，解得：，
∴直线解析式为或．
由，解得：，
设直线交轴于C，则，
∴＝
当直线解析式为时，由对称性可知：．
综上所述，当时，．
19．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为线段上的一动点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，当的面积最大时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）设点的坐标为，则可表示出与，根据题意，列式求解得，则当时，有最大值，则可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点，
，
解得，
抛物线的解析式；
（2）解：令，则，
，
设点的坐标为，
则有，，，，，
根据题意，
，
，
当时，有最大值，
此时，，，
，，
．
，
点的坐标为．
【点睛】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识．
20．已知：二次函数的图象与轴交于A，两点，其中A点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值；
(3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标．
【答案】(1)；
(2)的最小值为：；
(3)，；
【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数对称性最短距离和问题及三角形面积问题，解题的关键是先求出解析式，熟练掌握轴对称最短距离和问题．
（1）将点，点代入求解即可得到答案；
（2）根据对称性得到点A关于对称轴的对称点B的坐标，连接交对称轴即为点，此时距离和最小，根据两点间距离公式求解即可得到答案；
（3）设点，根据面积列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：将点，点代入得，
，解得：，
∴；
（2）解：当时，，
解得：，，
∴，
由抛物线的对称性得，连接交对称轴即为点，此时距离和最小，
∵A，B关于对称轴对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为：；
（3）解：设点，
∵三角形的面积为，
∴，
解得：，，
∴，；
21．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，连接．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图，过点P作y轴的平行线交于点D，求线段的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数综合—线段问题．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线的解析式为，设，则，表示出，结合二次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于和两点，
∴设二次函数的解析式为，
将代入二次函数解析式可得：，
解得：，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴专题01 二次函数（线段周长面积问题）
考法一　单线段最值 1.（1）设函数表达式上动点坐标：设动点的横坐标，代入函数表达式得到动点的纵坐标. （2）表示竖直方向的线段长：结合函数图象，用上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标可得线段长. （3）表示水平方向的线段长：结合函数图象，用右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标可得线段长. （4）表示不与坐标轴平行的线段长（斜线段）：第一步：以所求线段长为一边构造直角三角形；第二步：找与其相似的直角三角形（一般情况下，二次函数与坐标轴交点构成的直角三角形与其相似）；第三步：利用三角函数或相似列等量关系求解. 考法二　线段和（差）最值（将军饮马） 2.两定点＋一动点（动点在直线上） （1）两定点A，B位于直线l异侧：如图1，连接AB，与直线l的交点即为P，此时PA＋PB的最小值为AB的长；如图2，作点B关于直线l的对称点B'，作直线AB'，与直线l的交点即为P，此时｜PA－PB｜的最大值为线段AB'的长. 　　　 （2）两定点A，B位于直线l同侧：如图3，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点即为P，此时PA＋PB的最小值为AB'的长；如图4，连接AB并延长，与直线l的交点即为P，此时｜PA－PB｜的最大值为线段AB的长. 　　　 3.一定点＋两动点（动点分别在两条直线上） （1）如图1，点P是定点，点A，B分别是直线，上的动点，作点P关于直线的对称点P'，作P'B⊥于点B，交直线于点A，此时PA＋AB的最小值为线段P'B的长. （2）如图2，点P是定点，点A，B分别是直线，上的动点，分别作点P关于两直线的对称点P'和P″，连接P'P″，与两直线交点即为点A，B，此时△PAB周长的最小值为线段P'P″的长. 　　　 4.两定点＋两动点（动点分别在两条直线上） （1）如图1，点P，Q是定点，点M，N分别是直线，上的动点，分别作点Q，P关于直线，的对称点Q'和P'，连接Q'P'，与两直线交点即为点M，N，此时四边形PQMN周长的最小值为线段Q'P'＋QP的长. （2）如图2，点A，B分别是直线，上的定点，点M，N分别是直线，上的动点，作点A关于直线的对称点A'，作点B关于直线的对称点B'，连接A'B'交直线于点M，交直线于点N，此时AM＋MN＋NB的最小值为线段A'B'的长. 　　　 考点三：二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法： 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意．
例题1．（24-25九年级·江苏连云港·模拟练习）如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点B，C、D分别为x轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，则点D的坐标为 ．
例题2如图，已知二次函数图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B．
(1)连结，求直线的解析式；
(2)点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标及面积的最大值．
1．（24-25九年级·江苏徐州）如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，过点P作轴于点E，交于点G，作于点F．

(1)点B的坐标是____________，点C的坐标是___________；
(2)当时，求出点P的坐标；
(3)当的周长最大时，求点P的坐标．
2．（24-25九年级·江苏徐州）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标；
(3)当点运动到什么位置时，的面积有最大值？
(4)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（24-25九年级·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B．
(1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
(3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
4．如图，二次函数的图像与x轴交于和两点，交y轴与点，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图像过点B，D．
(1)求二次函数解析式；
(2)求出顶点坐标和点D的坐标；
(3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若是线段上任意一点，过点作轴交抛物线于点P，则点P坐标为多少时，最长？
5．（2022·江苏镇江·中考真题）一次函数的图像与轴交于点，二次函数的图像经过点、原点和一次函数图像上的点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，一次函数与二次函数的图像交于点、（），过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点．
①_________，_________（分别用含的代数式表示）；
②证明：；
(3)如图2，二次函数的图像是由二次函数的图像平移后得到的，且与一次函数的图像交于点、（点在点的左侧），过点作直线轴，过点作直线轴，设平移后点、的对应点分别为、，过点作于点，过点作于点．
①与相等吗？请说明你的理由；
②若，求的值．
6．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，动点在抛物线的对称轴上．
(1)抛物线的函数表达式为_____；
(2)当以，，为顶点的三角形的周长最小时，求点的坐标及周长的最小值．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数，图象经过、两点．
(1)求二次函数的解析式及它的对称轴；
(2)设点是抛物线上的一个动点，横坐标为，
①当，则点的纵坐标的取值范围是___________；
②过点做轴，交直线于，当线段时，请求出的值．
8．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
(1)求的值及抛物线的顶点坐标；
(2)点在抛物线上且满足，求的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
9．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接．
(1)求该二次函数和直线的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作轴于点Q，交于点H，当的长度最大时，求点P的坐标
10．如图， 抛物线与轴交于点，（点在点的左侧） ，与轴交于点，是抛物线在第四象限上一个动点， 设点的横坐标为，过点作轴的垂线， 交轴于点，交于点．
(1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值；
(2)若，求点P的坐标．
11．如图，二次函数的图象过点和，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若在该二次函数的对称轴上有一点M，使的长度最短，求出M的坐标．
12．（2025九年级·江苏·专题练习）如图，已知抛物线经过两点．与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．
13．（24-25九年级·江苏泰州）如图，二次函数与轴交于点和，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式和直线的表达式；
(2)若点为二次函数的顶点，连接，求的面积．
(3)将（1）中的二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合，再将其图像绕坐标原点逆时针旋转得到抛物线，若抛物线与直线交于两点，点是抛物线上位于直线左侧一个动点，连接，求的面积最大值．
14．（24-25九年级·江苏南通）已知二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数y的取值范围；
(3)若P为二次函数图象上一点，且，求P点的坐标．
15．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
16．（24-25九年级·江苏苏州·阶段练习）如图，开口向下的抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一点．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)当四边形的面积最大时，求的坐标及最大面积．
17．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，当面积的最大值时，求出此时点E的坐标；
18．已知抛物线，顶点为．
(1)求b，c的值．
(2)若时，如图1，P为y轴右侧抛物线上一动点，过P作直线轴于点N，交直线l：于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值．
(3)若时，如图2，直线与抛物线相交于A，B，当时，求的面积．
19．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为线段上的一动点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，当的面积最大时，求点的坐标．
20．已知：二次函数的图象与轴交于A，两点，其中A点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值；
(3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标．
21．（24-25九年级·江苏盐城·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，连接．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图，过点P作y轴的平行线交于点D，求线段的最大值．
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