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专题12 直角三角形与勾股定理
课标要求 考点 考向
探索并掌握直角三角形的性质定理； 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题； 经历借助图形思考问题的过程，逐步建立几何直观； 体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。 直角三角形 考向一 含30°的直角三角形
考向二 直角三角形中的斜中定理
勾股定理 考向一 勾股定理与折叠问题
考向二 勾股定理中的新定义
考点一 直角三角形
考向一 含30°的直角三角形
1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，
则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
令，
则：，
∴点在直线上运动，
当点与重合时，，此时，
当点与重合时，，此时，
∴点E所经过的路径长为；
故答案为：．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，）
【答案】“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是
【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过作于，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题．
过作于，设，由含度角的直角三角形的性质得到，由锐角的正切定义得到，判定是等腰直角三角形，因此，得到，求出，即可得到的长．
【详解】解：过作于，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是．
3．在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．
【答案】(1)
(2)的大小不发生变化，，理由见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质得，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数；
（2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数；
（3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到．
【详解】（1）解：由旋转的性质得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：的大小不发生变化，，理由如下：
连接交于点O，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴；
由旋转的性质得，，，
设，
∵，
∴，
如图所示，过点D作于G，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴,
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
，
∴或（舍去）；
∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合），
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键．
考向二 直角三角形中的斜中定理
1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）

A． B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键．
连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值．
【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：

∵四边形是矩形，
∴，，，
∴在中，，
∴，
∵，
，
在与中，
，
，
，，共线，
，是中点，
∴在中，，
的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧．
∴的最大值为的长，即．
故选：D．
2．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】根据菱形的性质可得，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得，即可得解．
本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，
，
∵E是的中点，
，
∴。
故选：A．
3．如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴（负值已舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，CO＝3（舍去）．
∵AE⊥BC，，
∴．
故答案为：．
考点二 勾股定理
考向一 勾股定理与折叠问题
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．由矩形的性质推出，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是中点，
∴，
由折叠的性质得到：，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵，，，D是边的中点，
∴，
∴，
∵将沿翻折，点C落在上的点F处，
∴，，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故答案为：．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，，则BC的长为 ．

【答案】
【分析】本题考查矩形折叠，勾股定理，解直角三角形，设与交于点，，则：，勾股定理求出，等积法求出，根据，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设与交于点，
∵矩形，
∴，
∵翻折，
∴，，
设，则：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，经检验是原方程的解，
∴；
故答案为：．

考向二 勾股定理中的新定义
1．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．
(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．
(2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）．
【答案】(1)证明见解析
(2)图见解析
(3)或
【分析】（1）证，根据“关联点”的定义即可得结论；
（2）以为直径作，过点作的垂线，交于，由圆周角定理可得，由（1）可得，以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可得答案；
（3）分类讨论，①当时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当时，同①方法．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D是点C的“关联点”．
（2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，为半径作圆；
③过作交于点；
④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求，
证明：∵在以为直径的圆上运动，
∴，
由（1）可知：，
∵，
∴．
（3）①当时，
如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形，
此时，
∵，且，，
在中，，
在中，，
；
②当时，同理可得：；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键．
2．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
(1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________；
(2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
(3)①见解析；②或．
【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得；
（2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案；
（3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线；
在延长线上取点F，使，连接；
②根据①中的三种情况讨论：
第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得；
第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得；
第三种情况无交点，不符合题意．
【详解】（1）解：，为的中点，，，，
，，
，即，解得，
，
；
故答案为：1；；
（2）解：，理由如下：
根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点，
，；
又，
，
；
设，则，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：①第一种情况：
作的平行线，使，连接，
则四边形为平行四边形；
延长交于点，
，
，
，
，，
，即，
为的中点；
故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：
第二种情况：
作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接，
故为的中点；
同理可证明：，
则，
则四边形是平行四边形；
故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：
第三种情况：
作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线；
在延长线上取点F，使，连接，
则为的中点，
同理可证明，从而，
故四边形是平行四边形；
故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：
②若按照图1作图，
由题意可知，，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰三角形；
过P作于H，则，
，，
，，
，
；
,，
，
，即
∴
若按照图2作图，
延长、交于点，
同理可得：是等腰三角形，
连接，
，
，
，
，
；
同理，，
，，，
，即，
，
若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意）
故答案为：或．
【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键．
3．综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
(1)操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．
(2)性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）．
(3)拓展应用
如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．
【答案】(1)②④
(2)①．理由见解析；②
(3)或
【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可；
（2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论；
②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可；
（3）分，，，四种情况讨论即可．
【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，
故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：②④；
（2）解：①，理由：
延长至点E，使，连接，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②过A作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∴，
当时，如图，连接，过N作于H，
∴，
在中，
在中，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
当时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，故不符合题意，舍去；
当时，连接，过N作于H，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
当时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，故不符合题意，舍去；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题
1．（2024·江苏无锡·三模）如图，是的直径，是的弦，且与交于点，过分别作垂线，垂足记作和．现有下列结论：若，，则的最小值为3；若，，则；若，，则的最大值为；若，，为定值．其中正确的为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键．
①如图：过O作,连接，先说明当H和C重合时，最小，且最小值为，然后根据垂径定理、勾股定理解答即可；②如图：过O作,连接，根据圆周角定理、垂径定理可得，然后根据正弦的定义计算判断即可；③设，运用含角的直角三角形的性质、勾股定理表示出，然后列出函数解析式，再运用二次函数的性质求最值即可；先求出，设,则，再通过证明相似三角形得到，,然后作差判断即可．
【详解】解：①：如图：过O作,连接，易得：，即当H和C重合时，最小，且最小值为，
∵，，，
∴，
∴,即最小值为3，①正确；
②如图：连接,
∵，
∴,
∵
∴,
∴，即②正确；
③设
∵，，
∴，则，
∴，
∵，,
∴，
∴，
∴,
∴
设，则抛物线的对称轴为：，
∵，
∴当时，y由最大值，即的最大值为，即③错误；
④∵，，
∴，
∴,
设,则，
∵,
∴,
∴，
∴,即，解得：；
同理可得：,
∴，即④正确．
综上，正确的有①②④．
故选D．
2．（2024·江苏南京·二模）小华参加植树活动，当太阳光线与地面成夹角时，直立的树苗在地面的影长为，由于培土不足，树苗栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗的影长的最大值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出，再确定当大树与光线垂直时，影长最大，然后根据直角三角形的性质得出答案．
【详解】由题意，得（米）．
当树与光线垂直，即时，影长最长，最大影长为，
在中，，
∴（米）．
故选：D．

3．（2024·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，是靠近点的的四等分点．已知，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【答案】C
【分析】设正方形的边长为，则，，，由勾股定理以及逆定理可判断是直角三角形，由勾股定理的逆定理得到①正确；求出、、的值，从而对②作出判断；由锐角三角函数的定义求出的值，对③作出判断，分别用含有的代数式表示4个三角形面积，对④作出判断即可．
【详解】解：设正方形的边长为，则，，，
，
，
，
，
即，
因此①正确；
，，，
，
因此②不正确；
在中，
，
，
因此③不正确；
，
，
，
，
，
因此④正确；
综上所述，正确的结论有①④，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，正方形的性质，锐角三角函数的定义,掌握勾股定理，勾股定理逆定理，正方形的性质以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
4．（2024·江苏无锡·一模）如图，直线与x轴、y轴交于点A、C，点B的坐标为，连接，，P是线段上一动点，连接，作的垂线交线段于点D，以、为边作矩形，连接，与交于点F．下列结论：①；②点P在移动过程中，；③当时，；④当线段的长度取得最小值时，点P的坐标为．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】首先求出，，然后证明出四边形是矩形，然后得到点B，P，D，A，E五点共圆，然后利用圆内接四边形对角互补得到，得到，即可判断①；首先根据矩形的性质得到，然后根据题意求出的最大值和最小值即可判断②；首先得到当时，点P为的中点，然后根据题意证明出，即可得到，进而判断③；过P作于N，过F作于H，则四边形是矩形，证明，得出，设，则，，，同理可证，设，则，，证明，得出，求出，，证明，可得，整理得，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】∵直线与x轴、y轴交于点A、C，
∴当时，，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∵点B的坐标为，
∴四边形是矩形，
∴，，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴点B，P，D，A，E五点共圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵四边形是矩形，
∴，
∵P是线段上一动点，
∴点D在线段上运动，
∴当点D和点O重合时，最大，即的长度，
∵，
∴的最大值为10，即的最大值为10；
当时，即点D和点A重合时，的长度最小，即的长度，为6，
∴的最小值为6，即的最小值为6，
∴点P在移动过程中，，故②正确；
如图所示，当时，
∵，
∴此时点P为的中点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点B，P，D，A，E五点共圆，
∴，
又∵，
∴，
∴，故③正确；
过P作于N，过F作于H，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
同理可证，
∴设，则，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
同理可证，
∴，即，
整理得，
∵，
∴当时，有最大值，则有最小值，
此时，
故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了解析的判断与性质，一次函数的应用，圆周角定理，相似三角形的判断与性质，正切等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
5．（2024·江苏无锡·三模）已知，在平面直角坐标系中，，，现将绕点逆时针旋转，当线段第一次与轴平行时，点落在处，点落在处，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理和解直角三角形，过作轴于点，交于点，由旋转性质可知：， ，则由勾股定理得， 则，，最后用正切的定义即可解，熟练掌握知识点的运用是解题的关键．
【详解】如图，过作轴于点，交于点，
∵，，
∴，
由旋转性质可知：，
∴，，，
∴，
∴，则由勾股定理得：
∴，，
∴，
故选：．
6．（2024·江苏南通·一模）如图，用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理．根据全等三角形的性质得出，，，，进而利用矩形的性质解答即可．
【详解】解：用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形，
设，，，，
四边形是矩形，
，，，
由勾股定理可得，，，
，
故选：C．
7．（2024·江苏南京·二模）用图中两块相同的含的三角板拼成一个四边形，在所有拼成的四边形中，两条对角线的所有比值的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质等，先画出图形，再根据勾股定理求出对角线长，即可求解．
【详解】解：拼成的四边形有如下四种可能：
设角所对的直角边长为a，则斜边长为，另一直角边长为．
第一种情况：作交的延长线于点E，易知，
则，
，，
，
两条对角线的比值，
第二种情况：作交的延长线于点E，可得矩形，
令，则，
，
，
，
，
两条对角线的比值；
第三种情况：四边形为矩形，
两条对角线的比值；
第四种情况：为等边三角形，，
两条对角线的比值；
，
即在所有拼成的四边形中，两条对角线的所有比值的最大值为，
故答案为：．
8．（2024·江苏无锡·二模）如图，，，，将的顶点D与边的中点重合，并将绕着点D旋转．在旋转过程中，的边始终与边相交，交点分别为M、N．当时，的长是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理．利用斜边中线的性质求得，，证明，推出，求得，据此求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∴，
由旋转的性质知，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
9．（2024·江苏南京·二模）无人机正在飞行，某时刻控制界面显示“H：，D：”（H代表无人机离起飞点的垂直距离，D代表无人机离起飞点的水平距离），则此时无人机到起飞点的距离为 ．
【答案】50
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：根据题意可得出此时无人机到起飞点的距离为，
故答案为：50．
10．（2024·江苏淮安·一模）为了响应“绿色生命，绿色家园”的号召，淮安某高校要在一块直角边，的三角形花坛中，按照设计图把正方形都种上淮安市的市花：月季，则该正方形花圃的边长为 m．
【答案】
【分析】由勾股定理得，，则，，设正方形的边长为，则，，，，则，即，可求，，由，可得，计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
∴，，
设正方形的边长为，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，正弦，余弦，正方形的性质等知识．熟练掌握勾股定理，正弦，余弦，正方形的性质是解题的关键．
11．（2024·江苏常州·二模）如图，矩形纸片，E是边上一点，连接、．是边上一个动点，连接，沿直线将翻折，点A落在内部的点G处．若，，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】当点G在线段上，设交于点H，由四边形是矩形，可证明，则，求得；当点在线段上，作于点，交于点，作于点，则四边形是矩形，所以，，求得，由，得，由，得，则，求得，再证明，进而求得，即可求解．
【详解】解：如图1，点G在线段上，设交于点H，
点G与点A关于直线对称，
垂直平分，
四边形是矩形，，，，
，，，
，
，
；
如图2，点G在线段上，作于点K，交于点T，作于点L，
，
四边形是矩形，
，，
，
由翻折得，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
当点G在的内部时，的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数与解直角三角形等知识，分别求出点G在线段上及点G在线段上时的值是解题的关键．
12．（2024·江苏南京·二模）用矩形纸片可以折叠出等边三角形，但折叠会损耗矩形纸片的面积．能否将整张矩形纸片无损耗地剪拼成一个等边三角形呢？
(1)有些矩形纸片很容易剪拼成等边三角形．如图两个矩形纸片只需剪1~2刀就可以拼成等边三角形，请画出分割线，并做必要标注．
(2)任意矩形要剪拼成等边三角形很难想到，不妨倒过来考虑，即研究将等边三角形纸片剪拼成矩形，图③是一种可行的分割方案：
①求证：；
②将图③中甲、乙、丙三部分进行平移或旋转可以拼出矩形，在原图中画出拼接矩形的示意图．
(3)如何将一张纸（如图④，，）剪拼成等边三角形？在图中画出分割线（标注必要的长度或角度，写出必要的文字说明）．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
(3)见解析
【分析】（1）图①沿一条对角线分割即可；②作角，点在边上，沿着进行裁剪即可；
（2）①连接，三角形的中位线定理，得到，，证明，即可得出结论；②根据题意，拼接成矩形即可；
（3）取边的中点E，F，在边上分别取点G，H，使；在上取点I，使，连接，则即为满足题意的分割线．
【详解】（1）解：如图①，即为满足题意的分割线；
如图②，即为满足题意的分割线．
图①中，，则，
∴，，
∴是两个全等的含30度角的直角三角形，
故可以组成一个等边三角形；
图②可组成如图所示的等边三角形；
（2）①证明：连接．
∵ D，E分别为的中点，
∴为的中位线．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
②如图所示，矩形即为所求．
（3）如图，取边的中点E，F，在边上分别取点G，H，使；在上取点I，使，连接，则即为满足题意的分割线．
【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，对学生的空间想象能力要求高，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
13．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组的几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N．
(1)【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则
(2)【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
(3)【拓展延伸】
①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值；
②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ．
【答案】(1)4
(2)是定值4，见解析
(3)①最大值为8；②
【分析】（1）由题意得四边形为矩形，则得；由已知得，，则可得的长，从而得结果的值；
（2）过D点分别作，则得四边形为矩形，则得；由已知得是等腰直角三角形，从而得；证明，有；最后可求得的值；
（3）①由变形得，由（2）知为定值4，则可求得的最大值；
②连接，得，表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段，当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合；设交于点O，过C作，则可求得，进而得，分别在中利用勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）解：，
，
四边形为矩形，
；
，
；
，，
，
，
，
故答案为：4；
（2）解：是定值4；
如图，过D点分别作，垂足分别为G，H；
则，
四边形为矩形，
；
，，
，
，
，
即是等腰直角三角形，
，
；
；
，
，
即，
，
，
，
即
，，
；
即为定值；
（3）解：①，
即，
，
，
由（2）知，即，
，
的最大值为8；
②如图，连接，
，P为的中点，
，
表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段，
当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合；
设交于点O，则；
过C作于S，
，
，
，
由勾股定理得，
；
当点N与点C重合时，点P与点Q重合，
由（2）知，，则，
，
在中，由勾股定理得：；
当点N与点B重合时，点P与点K重合，此时
由（2）知，，即，
，
由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
．
故点P的运动路径为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，旋转的性质等知识，综合性强，构造适当的辅助线是关键与难点．
14．（2024·江苏常州·二模）经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两个三角形，如果其中一个三角形与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为原三角形的“形似线段”．
(1)等边三角形存在“形似线段”吗？ (填“存在”或“不存在” )；
(2)如图①， 在中，， ， ， 若是 的“形似线段”，求的长；
(3)如图②， 在中， ，，． 当 有且只有二条“形似线段”时，线段 的取值是 ．
【答案】(1)不存在
(2)
(3)或
【分析】（1）根据定义运用反证法判断即可；
（2）当的左边和相似，即时和当的右边和相似，即时，两种情况讨论，理由相似三角形的对应边成比例即可得解；
（3）推导，再分 当时，当时，当时，当时，三种情况讨论，找出它们的“形似线段”，从而得解．
【详解】（1）解：不存在，理由如下：
如下图，是等边三角形，
则，
假设等边存在“形似线段”，
在上取一点D，连接，假设是等边的“形似线段”，
则，或者，
当时，，
∴，
∴，
与图形矛盾，假设不成立，
当时，同理可得：，
与图形矛盾，假设不成立，
∴等边不存在“形似线段”，
故答案为：不存在；
（2）当的左边和相似，即时，
，即，
解得：；
当的右边和相似，即时，
，即，
解得：；
综上所述：的长为；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
当时，
如下图所示，以点P为顶点在三角形内部作，点Q在上，
∵，，
∴，是的一条“形似线段”，
如下图所示，以点P为顶点在三角形内部作，点Q在上，
∵，，
∴，是的一条“形似线段”，
如下图所示，以点N为顶点在三角形内部作，点Q在上，
∵，，
∴，是的一条“形似线段”，
要使得有且只有二条“形似线段”时，则只能是图与图中的重合，即既满足，又满足，
∵，即，
∴，解得，
∴，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
当时，中的情况三不存在，情况一和情况二不重合，符合条件，
两条“形似线段”如下图所示，
过点P作，
∵，
∴点E是的中点，，
∵，，
∴，，
∴，
当时，中的情况三不存在，情况一和二不重合，
但新增情况三：，
此时，是的一条“形似线段”，
三种情况如下下图所示，故此时不符合题意，
综上所述：线段 的取值是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，审清题意运用分类讨论思想是解题的关键．
15．（2024·江苏泰州·二模）如图，在等边中，D是边上的一点，点E在边的延长线上．
(1)若 ， ，求证：．（请从信息“①，②D为的中点，③”中选择两个分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明．）
(2)过点D作于点M，在（1）的条件下，当，求的长．
【答案】(1)①；②（或①；③或②；③）；证明见解析
(2)6
【分析】（1）选择①；②或①；③或②；③，根据等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质分别进行证明即可；
（2）在中，解直角三角形得出，，求出，解直角三角形得出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：选①②：
∵是等边三角形，且D为的中点，
∴平分，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
选①③：
过点D作于F，如图所示：
则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
设，则，
∵，
∴，
整理得：，
即，
∵，
∴，
∴，
∴；
选②③；
设，
∵是等边三角形，且D为的中点，
∴，，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握相关的性质．
16．（2024·江苏宿迁·三模）限速防超是最基本的交通规则，也是交通警察抓得非常严的交通规则，路边高频高清摄像是限速防超的一个重要手段．如图所示，有一条东西走向的高速公路，距离公路的正上方高度为高频高清摄像头，此时摄像头探测到公路点的俯角是，探测角到公路点的俯角是．（参考数据：，，）
(1)求图中的长度；
(2)若交通规则要求测速区域的范围为，请判断该摄像头的安装距离是否符合要求．
【答案】(1)
(2)符合要求，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）过点作，垂足为，然后在中，利用含角的直角三角形的性质即可得出答案；
（2）作于，由题意得：，则，求出，设，分别在中，在中，求出、、的长，列出关于的方程，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，
，
在中，，，
，
图中的长度为；
（2）解：符合要求，
理由如下：作于，
，
由题意得：，
，
，
，
设，
在中，，
在中，，
，，
，
，
解得：，
，
交通规则要求测速区域的范围为，
该摄像头的安装距离符合要求．
17．（2024·江苏泰州·一模）背景知识
我们在八年级用折叠和数学推理的方法得到结论“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”．进一步研究“在斜边上是否只有中点到直角顶点的距离等于斜边的一半？”

问题：
（1）如图，在中，是斜边上的中线，则，请利用尺规作图的方法在斜边上另找一点E，使(不写作法，保留作图痕迹)；
（2）在（1）的条件下，求的长．
操作并探究
（3）中，斜边上存在两点到点C的距离等于，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）
【分析】（1）以点C为圆心、长为半径画弧交于点E，点E即为所求；
（2）连接，作于点H，在中，由勾股定理求得，再利用三角函数求得，勾股定理可求，点D为中点，，则，故，由“三线合一”得；
（3）分析临界状态，求出临界状态的值即可．
【详解】解：（1）以点C为圆心、长为半径画弧交于点E，点E即为所求：

（2）连接，作于点H，

∵在中，，
∴，
∵，
则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵点D为中点，，
∴，
∴，
由作图得，而，
∴；
（3）连接，作于点H，
可知点C在以D为圆心，为半径的圆上，
当点H与点D重合时，点E也与点D重合，如图：

此时，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
当点C向下时，，此时斜边上存在两点D、E，
如图示：

∴，
当点C继续向下运动，点E与点B重合时，也符合条件，如图示：

此时，则为等边三角形，
∴，
∴，
∴满足斜边上存在两点到点C的距离等于，；
当当点H与点D重合时，点E也与点D重合，然后点C向上运动也符合条件，如图：

此时，则，
当点C继续向上运动，点E与点A重合时，也符合条件，如图示：

同上可求，则，
∴，
∴满足斜边上存在两点到点C的距离等于，，
综上的取值范围是：．
【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
18．（2024·江苏南京·模拟预测）三角函数不仅在数学问题中经常出现，在实际生活运用中也常常用到……
【初步探究】小明由于疏忽，忘记了约等于多少，请你帮助小明画简图并计算（结果保留根号）
【深层计算】小刚请你证明
【思考拓展】桌面上一点恰在点的正下方，且，，桌面的高度为．在点与所确定的平面内，将绕点旋转，使得的长度最大．
①画出此时所在位置的示意图；
②用两种方法求出的长度的最大值．
【答案】证明过程见详解；①示意图见详解；②
【分析】本题考查了相似三角形和三角函数的应用，正确写出比例式并进行换算，熟练掌握特殊的三角函数值是解题的关键；
证明，把三角函数值代入求解即可；
①以为圆心，长为半径画圆，当与相切于时，此时最大为，
②第一种方法先证明，再利用勾股定理求出，由，即可求解；第二种方法利用相似三角形，根据即可求解；
【详解】解：初步探究：作，，作，
设，
则，，
则
，
，
，
深层计算：
思考拓展：①以为圆心，长为半径画圆，当与相切于时，此时最大为，此时所在位置为；
②，，
，
，
设，则，
在中，
，
，
，
，（舍去），
，
①由，
，
，
②，
，
，
，
，
，
，
即的长度的最大值为
19．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，中，，，点D是边的中点，点E是射线上一动点，将 沿翻折至．
(1) ______；______；
(2)当点 E 在线段 上运动时．
①当点 落在上时，求的长；
② 当时，求的长；
(3)如图2连接，整个运动过程中，当 时，直接写出的长 ．
【答案】(1)，
(2)①；②或
(3)或
【分析】（1）根据，设，则，，在中，由勾股定理得出，可求出，，，然后利用勾股定理求出，利用正切的定义求出即可；
（2）①过D作于N，过B作于N，则，由平行线的性质得出，由翻折的性质得出，，利用等腰三角形三线合一的性质得出，，进而得出，利用平行线的判定与性质和等角对等边得出即可；
②分在上方和在下方两种情况讨论，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可；
（3）分在上方和在下方两种情况讨论，利用三角形面积公式可求出，在中，利用正切的定义和特殊角的三角函数值求出的度数，结合翻折可求出的度数，在和中，设，利用正切的定义可求出，，结合，可得出关于x的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解∶过C作于G，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴，，，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：①过D作于N，过B作于N，
∴，
∴，
∵沿翻折至，点 落在上，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
又，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
当在下方时，
取中点O，连接，设与相交于M，
则，，
∵，
∴，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，，
即，，
解得，，
∵，
∴，
解得，
即；
当在上方时，
取中点O，连接，延长与相交于M，
同理可证，
∴，，
即，，
解得，，
∴，
解得，
即；
综上，的长为或；
（3）解：当在下方时，过作于M，过E作于N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴
∵，
∴；
在上方时，过作于M，过E作于N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴
∵，
∴；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．
20．（2024·江苏苏州·一模）如图，中，，，为的外接圆，点P是所对弧上一动点，连接，，，并延长至E，连结．
(1)若，试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)试猜想，，之间的数量关系为______，证明你的猜想．
【答案】(1)与相切，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由， 证明是的直径， 则， 由，变形得而， 即可证明，得， 所以直线与相切；
（2）延长到点， 使， 连接， 则，， 由， ， 得，则， 所以， 而， 即可证明， 得则， 所以于是得到问题的答案.
【详解】（1）直线与相切，
理由： ∵，
∴是的直径，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径， 且，
∴直线与相切.
（2）
证明：延长到点，使， 连接， 则，
∴，，
∵，
，，
，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（2024·江苏南京·三模）我们知道：三角形的三条角平分线交于一点（内心）、三条中线交于一点（重心）、…
（1）如图1，的中线相交于点，连接，易证，可得．如图2．的中线相交于点，同理易证① ．于是，点与点重合，三角形的三条中线交于一点．这样证明两个点（与）是同一点的方法也称为“同一法”．
（2）如图3，是的角平分线，求证：．
由此，得到结论：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
（3）根据（2）中得到的结论用“同一法”证明：的三条角平分线交于一点．
（4）在中，，，是的角平分线，且，则 ．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）见解析；（4）
【分析】本题考查了三角形的中位线性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中“同一法”是解答的关键．
（1）利用三角形的中位线性质和相似三角形的判定和性质可得结论；
（2）利用角平分线的性质和三角形的面积公式求解即可；
（3）利用角平分线的判定与性质和“同一法”的证明方法解答即可；
（4）过A作于H，由（2）中结论，得，设，则，设，则，，由勾股定理可得，，然后列方程求解x值即可．
【详解】解：（1）如图1，的中线相交于点，连接，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，则．
如图2．的中线相交于点，连接，
则是的中位线，
∴，，
∴，
∴，则．
则点与点重合，即三角形的三条中线交于一点．
故答案为：；
（2）根据所给证明过程，结合角平分线的性质得①，再根据等量代换可得②，
故答案为：①；②；
（3）证明：如图，、分别是的平分线，设、相交于点O，过O分别作于P，于Q，，
则，，
∴，又，，
∴平分，即的三条角平分线交于点O；
如图，、分别是的平分线，设、相交于点，过分别作于P，于Q，于H，
则，，
∴，又，，
∴平分，即的三条角平分线交于点，
综上，点O和点重合，
故可得结论：的三条角平分线交于一点；
（4）过A作于H，
∵是的角平分线，，，
∴由（2）中结论，得，
设，则，
设，则，，
由勾股定理得，
，
，
由得，
由得，
∴，则，
解得（负值已舍去），
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题12 直角三角形与勾股定理
课标要求 考点 考向
探索并掌握直角三角形的性质定理； 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题； 经历借助图形思考问题的过程，逐步建立几何直观； 体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。 直角三角形 考向一 含30°的直角三角形
考向二 直角三角形中的斜中定理
勾股定理 考向一 勾股定理与折叠问题
考向二 勾股定理中的新定义
考点一 直角三角形
考向一 含30°的直角三角形
1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，）
3．在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．
考向二 直角三角形中的斜中定理
1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）

A． B． C．2 D．1
2．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ．
考点二 勾股定理
考向一 勾股定理与折叠问题
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ．
2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，，则BC的长为 ．
考向二 勾股定理中的新定义
1．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．
(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．
(2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）．
2．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
(1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________；
(2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值．
3．综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
(1)操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．
(2)性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）．
(3)拓展应用
如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．
1．（2024·江苏无锡·三模）如图，是的直径，是的弦，且与交于点，过分别作垂线，垂足记作和．现有下列结论：若，，则的最小值为3；若，，则；若，，则的最大值为；若，，为定值．其中正确的为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南京·二模）小华参加植树活动，当太阳光线与地面成夹角时，直立的树苗在地面的影长为，由于培土不足，树苗栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗的影长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，是靠近点的的四等分点．已知，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
4．（2024·江苏无锡·一模）如图，直线与x轴、y轴交于点A、C，点B的坐标为，连接，，P是线段上一动点，连接，作的垂线交线段于点D，以、为边作矩形，连接，与交于点F．下列结论：①；②点P在移动过程中，；③当时，；④当线段的长度取得最小值时，点P的坐标为．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024·江苏无锡·三模）已知，在平面直角坐标系中，，，现将绕点逆时针旋转，当线段第一次与轴平行时，点落在处，点落在处，求（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江苏南通·一模）如图，用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江苏南京·二模）用图中两块相同的含的三角板拼成一个四边形，在所有拼成的四边形中，两条对角线的所有比值的最大值为 ．
8．（2024·江苏无锡·二模）如图，，，，将的顶点D与边的中点重合，并将绕着点D旋转．在旋转过程中，的边始终与边相交，交点分别为M、N．当时，的长是 ．
9．（2024·江苏南京·二模）无人机正在飞行，某时刻控制界面显示“H：，D：”（H代表无人机离起飞点的垂直距离，D代表无人机离起飞点的水平距离），则此时无人机到起飞点的距离为 ．
10．（2024·江苏淮安·一模）为了响应“绿色生命，绿色家园”的号召，淮安某高校要在一块直角边，的三角形花坛中，按照设计图把正方形都种上淮安市的市花：月季，则该正方形花圃的边长为 m．
11．（2024·江苏常州·二模）如图，矩形纸片，E是边上一点，连接、．是边上一个动点，连接，沿直线将翻折，点A落在内部的点G处．若，，，则的取值范围是 ．
12．（2024·江苏南京·二模）用矩形纸片可以折叠出等边三角形，但折叠会损耗矩形纸片的面积．能否将整张矩形纸片无损耗地剪拼成一个等边三角形呢？
(1)有些矩形纸片很容易剪拼成等边三角形．如图两个矩形纸片只需剪1~2刀就可以拼成等边三角形，请画出分割线，并做必要标注．
(2)任意矩形要剪拼成等边三角形很难想到，不妨倒过来考虑，即研究将等边三角形纸片剪拼成矩形，图③是一种可行的分割方案：
①求证：；
②将图③中甲、乙、丙三部分进行平移或旋转可以拼出矩形，在原图中画出拼接矩形的示意图．
(3)如何将一张纸（如图④，，）剪拼成等边三角形？在图中画出分割线（标注必要的长度或角度，写出必要的文字说明）．
13．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组的几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N．
(1)【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则
(2)【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
(3)【拓展延伸】
①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值；
②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ．
14．（2024·江苏常州·二模）经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两个三角形，如果其中一个三角形与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为原三角形的“形似线段”．
(1)等边三角形存在“形似线段”吗？ (填“存在”或“不存在” )；
(2)如图①， 在中，， ， ， 若是 的“形似线段”，求的长；
(3)如图②， 在中， ，，． 当 有且只有二条“形似线段”时，线段 的取值是 ．
15．（2024·江苏泰州·二模）如图，在等边中，D是边上的一点，点E在边的延长线上．
(1)若 ， ，求证：．（请从信息“①，②D为的中点，③”中选择两个分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明．）
(2)过点D作于点M，在（1）的条件下，当，求的长．
16．（2024·江苏宿迁·三模）限速防超是最基本的交通规则，也是交通警察抓得非常严的交通规则，路边高频高清摄像是限速防超的一个重要手段．如图所示，有一条东西走向的高速公路，距离公路的正上方高度为高频高清摄像头，此时摄像头探测到公路点的俯角是，探测角到公路点的俯角是．（参考数据：，，）
(1)求图中的长度；
(2)若交通规则要求测速区域的范围为，请判断该摄像头的安装距离是否符合要求．
17．（2024·江苏泰州·一模）背景知识
我们在八年级用折叠和数学推理的方法得到结论“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”．进一步研究“在斜边上是否只有中点到直角顶点的距离等于斜边的一半？”

问题：
（1）如图，在中，是斜边上的中线，则，请利用尺规作图的方法在斜边上另找一点E，使(不写作法，保留作图痕迹)；
（2）在（1）的条件下，求的长．
操作并探究
（3）中，斜边上存在两点到点C的距离等于，请直接写出的取值范围．
18．（2024·江苏南京·模拟预测）三角函数不仅在数学问题中经常出现，在实际生活运用中也常常用到……
【初步探究】小明由于疏忽，忘记了约等于多少，请你帮助小明画简图并计算（结果保留根号）
【深层计算】小刚请你证明
【思考拓展】桌面上一点恰在点的正下方，且，，桌面的高度为．在点与所确定的平面内，将绕点旋转，使得的长度最大．
①画出此时所在位置的示意图；
②用两种方法求出的长度的最大值．
19．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，中，，，点D是边的中点，点E是射线上一动点，将 沿翻折至．
(1) ______；______；
(2)当点 E 在线段 上运动时．
①当点 落在上时，求的长；
② 当时，求的长；
(3)如图2连接，整个运动过程中，当 时，直接写出的长 ．
20．（2024·江苏苏州·一模）如图，中，，，为的外接圆，点P是所对弧上一动点，连接，，，并延长至E，连结．
(1)若，试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)试猜想，，之间的数量关系为______，证明你的猜想．
21．（2024·江苏南京·三模）我们知道：三角形的三条角平分线交于一点（内心）、三条中线交于一点（重心）、…
（1）如图1，的中线相交于点，连接，易证，可得．如图2．的中线相交于点，同理易证① ．于是，点与点重合，三角形的三条中线交于一点．这样证明两个点（与）是同一点的方法也称为“同一法”．
（2）如图3，是的角平分线，求证：．
由此，得到结论：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
（3）根据（2）中得到的结论用“同一法”证明：的三条角平分线交于一点．
（4）在中，，，是的角平分线，且，则 ．
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