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专题01 实数与二次根式
课标要求 考点 考向
1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）． 3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）． 4．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．能求实数的相反数与绝对值． 5. 了解二次根式的有无意义、值为零的情况. 6. 会把二次根式化简为最简二次根式，并会计算二次跟的整数部分和小数部分. 实数 考向一 正负数与具有相反意义的量
考向二 相反数、倒数、绝对值
考向三 数轴上的点
考向四 科学记数法
考向五 实数的混合运算
二次根式 考向一 二次根式有意义
考向二 二次根式的估算
考点一 实数
考向一 正负数与具有相反意义的量
1．（2024·江苏南通·中考真题）如果零上记作，那么零下记作（ ）
A． B． C． D．
2．负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年．
考向二 相反数、倒数、绝对值
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）6的倒数是（　　）
A．6 B． C． D．
2．有理数2024的相反数是（ ）
A．2024 B． C． D．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）的绝对值等于 ．
考向三 数轴上的点
1．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，数轴上点P表示的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
考向四 科学记数法
1．（2024·江苏镇江·中考真题）早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着1731克月球样品回到了地球．数据1731用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南通·中考真题）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏徐州·中考真题）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 ．
考向五 实数的混合运算
1．（2024·江苏徐州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
2．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）计算：．
考点二 二次根式
考向一 二次根式有意义
1．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏常州·中考真题）若二次根式有意义，则可取的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）要使有意义，则实数x的取值范围是 ．
考向二 二次根式的估算
1．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
2．已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
3．估计的值应在（　　）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
考向三 二次根式的混合运算
1．（2024·江苏南通·中考真题）计算的结果是（ ）
A．9 B．3 C． D．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中．
3．（1）计算：；
（2）化简：．
1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：
①是函数的“1级关联范围”；
②不是函数的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
1．（2024·江苏南京·一模）与（n为实数）的值相等的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　）
A．2024 B． C． D．
3．（2024·江苏连云港·二模）连云港跨海大桥是连云港市海滨大道关键控制性工程，位于田湾核电站外围，起自高公岛，止于烧香河闸南，全长约4572m．其中数据“4572”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏宿迁·三模）下列说法正确的是（ ）
A．调查一批手机的防摔能力采用普查
B．为了解2022年泗阳县中考数学成绩，随机抽取了500名学生成绩，那么样本容量是500
C．“泗阳县今年7月15日12点有雨”是不可能事件
D．与不是同类二次根式
5．（2024·江苏南通·二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ）
A． B．6 C． D．3
6．（2024·江苏南京·模拟预测）计算： ； ．
7．（2024·江苏徐州·二模）如图，数轴上A、B两点之间的距离为 ．

8．（2024·江苏常州·二模）2024年，“两湖”创新区总部经济和功能配套类项目包括南医大常州校区、华东师范大学附属常州西太湖学校、常州大学三期等共21个项目，其中已开工项目4个，计划总投资亿元， 即元， 把用科学记数法表示为 ．
9．（2024·江苏苏州·二模）对于定义运算，满足以下性质：①；②；③．例：，若，则 ．
10．（2024·江苏南京·一模）计算：．
11．（2024·江苏南京·二模）某通信运营商提供，两种流量套餐，收费方案如下：套餐按实际使用的流量收费，每收费元；套餐每月基本费用是元，可以免费使用的流量，超出部分的流量每收费元．，两种套餐每月收费（元）和每月使用流量（）的部分函数图像分别如图所示．
(1)　　，　　；
(2)选择哪种套餐更划算？请说明理由．
12．（2024·江苏泰州·二模）【背景知识】杠杆原理：杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂．
【知识应用】杆秤是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，传说木杆秤是鲁班发明的．由秤杆、秤锤、提纽、秤盘等组成．
如图1．已知秤锤质量为，秤盘与拎着的提纽间力臂长，当秤杆平衡时，秤锤与提纽间力臂长，求秤盘中物体的质量．
【拓展应用】天平也是利用杠杆原理来称物体质量的衡器，天平是一种等臂杠杆，当天平平衡时，物体质量砝码质量．
如图2所示的天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同．把一个物体放在该天平的一个托盘里，在另一个托盘里放砝码使天平平衡，称得物体质量为a；再作第二次测量，把物体换到天平的另一个托盘里，此时称得物体的质量为b．试用含a、b的代数式表示该物体的真实质量，并说明理由．
13．（2024·江苏盐城·三模）【阅读发现】
小明在阅读数学课外读物时，读到了海伦――秦九韶公式．他了解到海伦公式和秦九韶公式分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式有什么关系呢？于是小明进行了下列思考：
两个公式：
海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，设，那么这个三角形的面积；
秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，那么这个三角形的面积；
【尝试应用】
（1）已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______；请用学过的知识来解这个三角形的面积．
（2）已知一个三角形的三边长分别为，，，试求出这个三角形面积的一般表达形式．（用，，表示）
【发现关联】
思考关联：请你由秦九韶公式推导到海伦公式：，．
14．（2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近．
(1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）；
(2)结合图中思路，解释该方法的合理性．
15．（2024·江苏南京·二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明．
(1)已知实数x，y满足，求证．
证明：∵，
∴（实数的加法法则），
（不等式的基本性质1）．
∴（①）．
∵（②），
∴．
∴（③）．
(2)已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 实数与二次根式
课标要求 考点 考向
1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）． 3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）． 4．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．能求实数的相反数与绝对值． 5. 了解二次根式的有无意义、值为零的情况. 6. 会把二次根式化简为最简二次根式，并会计算二次跟的整数部分和小数部分. 实数 考向一 正负数与具有相反意义的量
考向二 相反数、倒数、绝对值
考向三 数轴上的点
考向四 科学记数法
考向五 实数的混合运算
二次根式 考向一 二次根式有意义
考向二 二次根式的估算
考点一 实数
考向一 正负数与具有相反意义的量
1．（2024·江苏南通·中考真题）如果零上记作，那么零下记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解∶∵零上记作，
∴零下记作，
故选∶ A．
2．负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若零上由正数表示，那么零下就用负数表示，据此可得答案．
【详解】解：若若零上记作，那么零下应记作，
故选：A．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年．
【答案】
【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，进行作答即可．
【详解】解：公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作年；
故答案为：．
考向二 相反数、倒数、绝对值
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）6的倒数是（　　）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数．根据倒数的定义求解即可．
【详解】解：6的倒数是，
故选：D．
2．有理数2024的相反数是（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解：有理数2024的相反数是，
故选：B．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）的绝对值等于 ．
【答案】100
【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
负数的绝对值等于它的相反数，由此计算即可．
【详解】解：，即的绝对值等于100，
故答案为：100．
考向三 数轴上的点
1．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．
【详解】解：∵，，，，，
∴与原点距离最近的是1，
故选：B．
2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可．
【详解】解：根据数轴得，
∴，
故选：D．
3．如图，数轴上点P表示的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．
根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解．
【详解】解：根据题意可知点P表示的数为，
故选：A．
考向四 科学记数法
1．（2024·江苏镇江·中考真题）早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着1731克月球样品回到了地球．数据1731用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示是解题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，由此解答即可．
【详解】解：．
故选：C．
2．（2024·江苏南通·中考真题）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：1582亿．
故选：C．
3．（2024·江苏徐州·中考真题）2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：将5146000000用科学记数法表示为．
故答案为：．
考向五 实数的混合运算
1．（2024·江苏徐州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可；
（2）先计算括号里的，再把除法运算化为乘法运算，最后约分即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
2．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）1；（2）
【分析】本题考查了分式的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的运算法则分别计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】此题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值计算即可．
【详解】
．
考点二 二次根式
考向一 二次根式有意义
1．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：二次根式有意义，
，解得．
故选：A．
2．（2024·江苏常州·中考真题）若二次根式有意义，则可取的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件得出的取值范围，继而得出答案．
【详解】解：若二次根式有意义，则，
解得，
在四个选项中符合的是2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）要使有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式要有意义，
∴，
∴，
故答案为；．
考向二 二次根式的估算
1．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】C
【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可．
【详解】解：，
，
，
，
即S在3和4之 间，
故选：C．
2．已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围．
【详解】解：∵，
∵，
∴，
故选：B．
3．估计的值应在（　　）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可．
【详解】解：∵，
而，
∴，
故答案为：C
考向三 二次根式的混合运算
1．（2024·江苏南通·中考真题）计算的结果是（ ）
A．9 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选B．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简．
【详解】解：
，
当时，原式．
3．（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）9（2）
【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是：
（1）利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，零指数幂的意义化简计算即可；
（2）先把括号里的式子通分相加，然后把除数的分母分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约分化简即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论：
①是函数的“1级关联范围”；
②不是函数的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质．
推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则，
当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④．
【详解】解：①当时，，当时，，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴在时，，即，
∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意；
②当时，，当时，，
∵对称轴为y轴，，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴在时，，即，
∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意；
③∵，
∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小．
设当，则，
当函数存在“3级关联范围”时，
整理得：，
∵，，
∴总存在，
∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意；
④函数的对称轴为，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
设，则，
当函数存在“4级关联范围”时，，
解得：，
∴是函数的“4级关联范围”，
∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，
故选：A．
2．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析
【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长；
解决问题：利用作差法比较三种方案即可．
题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键．
【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，
∴每行铲的路径长为，
∵每列有k个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有行，
∴铲除全部籽的路径总长为，
故答案为：；；；
方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，
∴每列铲的路径长为，
∵每行有n个籽，呈交错规律排列，，
∴相当于有列，
∴铲除全部籽的路径总长为，
故答案为：；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为，
根据题意得一共有列，行，
斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，
∴铲除全部籽的路径总长为：；
解决问题
由上得：，
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
，
∵，
当时，
，
，
∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
1．（2024·江苏南京·一模）与（n为实数）的值相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查绝对值、乘方运算，根据化简绝对值即可．
【详解】解：，
故选B．
2．（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　）
A．2024 B． C． D．
【答案】D
【详解】此题考查的是有理数的比较大小及绝对值的概念，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键；
根据有理数的比较大小，即可找出最小的数.
解：∵，，，
最小的数是.
故选：D.
3．（2024·江苏连云港·二模）连云港跨海大桥是连云港市海滨大道关键控制性工程，位于田湾核电站外围，起自高公岛，止于烧香河闸南，全长约4572m．其中数据“4572”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】数据“4572”用科学记数法表示为．
故选：B．
4．（2024·江苏宿迁·三模）下列说法正确的是（ ）
A．调查一批手机的防摔能力采用普查
B．为了解2022年泗阳县中考数学成绩，随机抽取了500名学生成绩，那么样本容量是500
C．“泗阳县今年7月15日12点有雨”是不可能事件
D．与不是同类二次根式
【答案】B
【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别、样本容量、同类二次根式的定义等知识点，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
根据抽样调查和全面调查的特点以及样本容量的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：A. 调查一批手机的防摔能力采用抽样调查，故A选项不符合题意；
B. 为了解2022年泗阳县中考数学成绩，随机抽取了500名学生成绩，那么样本容量是500，故B选项符合题意；
C. “泗阳县今年7月15日12点有雨”是随机事件，故C选项不符合题意；
D. 与是同类二次根式，故D选项不符合题意．
故选B．
5．（2024·江苏南通·二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ）
A． B．6 C． D．3
【答案】A
【分析】此题考查了新定义实数问题，解不等式组，分式的化简等知识，
首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可．
【详解】∵，是一对“互助数”
∴
去分母得，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
整理得，
∴
∴或
∴或
∴解得或
但当时，，，不符合题意，
所以或，
∴p的值可以为．
故选：A．
6．（2024·江苏南京·模拟预测）计算： ； ．
【答案】 0 2
【分析】本题主要考查了相反数、有理数加减运算、二次根式的性质等知识点，掌握相关运算法则和方法成为解题的关键．
先根据有理数加减运算法则计算，然后求出绝对值的相反数即可；根据二次根式的性质即可解答．
【详解】解：，．
故答案为：0,2．
7．（2024·江苏徐州·二模）如图，数轴上A、B两点之间的距离为 ．

【答案】4
【分析】本题考查了数轴间的距离，根据A、B两点分别表示为，再求出A、B两点之间的距离，即可作答．
【详解】解：依题意，由数轴得出A、B两点分别表示为，
则，
∴数轴上A、B两点之间的距离为，
故答案为：4
8．（2024·江苏常州·二模）2024年，“两湖”创新区总部经济和功能配套类项目包括南医大常州校区、华东师范大学附属常州西太湖学校、常州大学三期等共21个项目，其中已开工项目4个，计划总投资亿元， 即元， 把用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故答案为：．
9．（2024·江苏苏州·二模）对于定义运算，满足以下性质：①；②；③．例：，若，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据运算规则以及已知条件即可求解.
【详解】解：
，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2.
10．（2024·江苏南京·一模）计算：．
【答案】81
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算法则，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
先根据有理数乘法、乘方、绝对值化简，然后做加减运算，最后做乘方运算即可．
【详解】解：
．
11．（2024·江苏南京·二模）某通信运营商提供，两种流量套餐，收费方案如下：套餐按实际使用的流量收费，每收费元；套餐每月基本费用是元，可以免费使用的流量，超出部分的流量每收费元．，两种套餐每月收费（元）和每月使用流量（）的部分函数图像分别如图所示．
(1)　　，　　；
(2)选择哪种套餐更划算？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当或时，选套餐划算；当或时，、套餐一样划算；当时，选套餐划算．理由见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，
（1）根据“单价＝总价÷数量”，结合套餐收费方案计算即可求出，结合套餐收费方案计算即可求出；
（2）先根据，两种流量套餐的收费方案列出函数关系式，再分三种情况讨论求解即可；
解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
【详解】（1）解：∵套餐按实际使用的流量收费，当使用为时，费用为元，
∴（元），
∵套餐每月基本费用是元，可以免费使用的流量，当使用为时，费用为元，
∴（元）
故答案为：；；
（2）根据，两种流量套餐的收费方案可知：
，
，即，
当时，解得：，
当时，解得：，
∴当或时，，选套餐划算；
当或时，，、套餐一样划算；
当时，，选套餐划算；
∴当或时，选套餐划算；当或时，、套餐一样划算；当时，选套餐划算．
12．（2024·江苏泰州·二模）【背景知识】杠杆原理：杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂．
【知识应用】杆秤是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，传说木杆秤是鲁班发明的．由秤杆、秤锤、提纽、秤盘等组成．
如图1．已知秤锤质量为，秤盘与拎着的提纽间力臂长，当秤杆平衡时，秤锤与提纽间力臂长，求秤盘中物体的质量．
【拓展应用】天平也是利用杠杆原理来称物体质量的衡器，天平是一种等臂杠杆，当天平平衡时，物体质量砝码质量．
如图2所示的天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同．把一个物体放在该天平的一个托盘里，在另一个托盘里放砝码使天平平衡，称得物体质量为a；再作第二次测量，把物体换到天平的另一个托盘里，此时称得物体的质量为b．试用含a、b的代数式表示该物体的真实质量，并说明理由．
【答案】（1）（2），理由见解析；
【分析】本题考查了一元一次方程，算术平方根的实际应用，找到题中等量关系，列出方程是解题的关键．
（1）秤盘中物体的质量为，则根据杠杆原理可得，即可求解；
（2）设物体的真实质量为，天平的两臂长分别为，，则根据杠杆原理可得，消去，即可求解；
【详解】（1）设秤盘中物体的质量为，则根据杠杆原理可得，
，
解得．
答：秤盘中物体的质量为．
（2）设物体的真实质量为，天平的两臂长分别为，，则根据杠杆原理可得，
，
两式相乘得，
，
．
答：物体的真实质量为．
13．（2024·江苏盐城·三模）【阅读发现】
小明在阅读数学课外读物时，读到了海伦――秦九韶公式．他了解到海伦公式和秦九韶公式分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式有什么关系呢？于是小明进行了下列思考：
两个公式：
海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，设，那么这个三角形的面积；
秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，那么这个三角形的面积；
【尝试应用】
（1）已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______；请用学过的知识来解这个三角形的面积．
（2）已知一个三角形的三边长分别为，，，试求出这个三角形面积的一般表达形式．（用，，表示）
【发现关联】
思考关联：请你由秦九韶公式推导到海伦公式：，．
【答案】【尝试应用】（1）；见解析；（2）；【发现关联】见解析
【分析】尝试应用：（1）代入；过点作，设，则，在和中，应用勾股定理，可求出，，代入面积公式即可求解，
（2）过点作，设，，则，根据勾股定理得到，，联立得：，解得：，由面积公式得到：，代入即可求解，
发现关联：将应用平方差公式进行展开，即可求解，
本题考查了，勾股定理，平方差公式的运用，二次根式的应用，解题的关键是：熟练掌握勾股定理，平方差公式进行运算．
【详解】解：尝试应用（1）
，
过点作，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，解得：，
∴，
∴这个三角形的面积为：，
（2）过点作，
设，，则，
则：，，
∴，解得：，
∴
；
发现关联：
；其中．
14．（2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近．
(1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）；
(2)结合图中思路，解释该方法的合理性．
【答案】(1)6.6
(2)见解析
【分析】本题考查的是无理数的估算，新定义的含义，完全平方公式的应用，理解新定义的含义是解本题的关键；
（1）根据新定义的法则进行估算即可．
（2）设，其中，再变形，结合完全平方公式可得结论．
【详解】（1）解：由新定义可得：
；
（2）解：设，其中．
则．
将两边平方，得．
∵ ，
∴ 的值会更接近于0，不妨近似为0．
∴ ．
∴ ，
即．
15．（2024·江苏南京·二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明．
(1)已知实数x，y满足，求证．
证明：∵，
∴（实数的加法法则），
（不等式的基本性质1）．
∴（①）．
∵（②），
∴．
∴（③）．
(2)已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．）
【答案】(1)①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）；②平方差公式；③不等式的基本性质1
(2)见解析
【分析】本题考查不等式的性质，实数的加减乘法运算法则，平方差公式，二次根式有意义，关键是掌握不等式的性质．
（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，平方差公式，由此即可证明问题；
（2）根据二次根式有意义，平方差公式，不等式的性质，由此即可证明问题．
【详解】（1）解：①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）．
②平方差公式．
③不等式的基本性质1．
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
．
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