资源简介

隐圆最值模型
辅助圆构造前提
1.类型一，对角互补
四点共圆：
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
两直角三角形共斜边 四点共圆
(1)同侧共斜边
若Rt△ABC 与Rt△DBC 有公共斜边BC A、B、C、D四点共圆原因：OA=OB=OC=OD (直角三角形斜边中线等于斜边一半)
(2)异侧共斜边
若 与 有公共斜边BC →A、B、C、D四点共圆 →原因：OA=OB=OC=OD (直角三角形斜边中线等于斜边一半)
2.类型二，定弦定角
已知 点P在直线AB 上方运动，且满足∠APB 度数固定.
∠APB = 90° r=a
∠APB=60° r=2
∠APB=120°
3.类型三，定点定长
三条等线段共顶点，则三点共圆，公共点为圆心.
若OA=OB=OC A、B、C在以O为圆心的圆上
品真题精炼
1矩形+动点+对角线+定弦定直角——24苏州+选择压轴+初三
如图,矩形ABCD中, 动点E，F分别从点A ，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为 ( )
A. C. 2 D. 1
2.等腰直角三角形+旋转+定点定长+定弦定直角——24河南+填空压轴+初三
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋转,过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD =1，则AE的最大值为 ，最小值为
3.等腰直角三角形+定长定角———24达州+选择压轴+初三
如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°, AB=4,点D , E分别在AC, BC边上运动,连接AE，BD交于点F ，且始终满足 则下列结论：
①AED= ②∠DFE=135°; ③△ABF的面积的最大值是;( ④CF|的最小值是 其中正确的是( )
A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
4.等腰三角形+定点定长+对称+面积最值——23淮安+填空压轴+初三
在四边形ABCD中， BH为∠ABC内部的任意一条射线( ∠CBH不等于( 点C关于BH的对称点为( 直线 与BH交于点F , 连接CC'、CF , 则 的面积的最大值是
5.等腰直角三角形+定点定长+点圆最值——23徐州+填空压轴+初三
如图 ,D在边BC上.△ACD沿AD折叠, 点C落在点C'处, 连接 ，，则 的最小值为
6定弦定直角+点圆最值——23菏泽+填空压轴+初三
如图，在四边形ABCD中，∠ ，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，. ，则线段BF的最小值为
7.矩形+中点+动点+对角线+定长定直角——22宿迁+填空压轴+初三
如图矩形ABCD, 点M、N是边AD、BC中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF ，过点B作EF的垂线，垂足为H .在这一过程中，点H所经过的路径长是
8.圆+特殊角度+对角互补+面积最值——22苏州模拟+填空压轴+初三
已知⊙O半径是2 ，M、N是⊙O上两个动点，且在直线l异侧，若 =45°, 则四边形MANB面积的最大值是
9.直角三角形+定长定直角+点圆最值——21广西+选择压轴+初三
如图,在△ABC中,∠ABC=90°, AB=8, BC=12, D为AC边上的一个动点, 连接BD, E为BD上的一个动点 ，连接AE，CE，当 E时，线段AE的最小值是 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D.6
10.直角三角形+勾股定理+定长定直角+点圆最值———21鄂州+选择压轴+初三
如图,在Rt△ABC中,. .点P为△ABC内一点，且满足 当PB的长度最小时，△ACP的面积是( ).
A.3
11矩形+对称+定点定长+点圆最值——21攀枝花+选择压轴+初三
如图，在矩形ABCD中，已知 ，点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为( )
A. 2 C. 3
12.等边三角形+全等三角形+定长定角+点圆最值———21达州+填空压轴+初三
如图，在边长为6的等边. 中,点E ,F分别是边AC ,BC上的动点,且 连接BE, AF交于点P , 连接CP, 则CP的最小值为 .
13.等边三角形+三等角全等+定长定角+点圆最值————21鄂尔多斯+填空压轴+初三如图，等边 中， 点D、点E分别在BC和AC上，且 连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为 .
14.正方形+定长定直角+面积最值——22陕西模拟+填空压轴+初三
如图，点P为边长为2的正方形ABCD外一点，且 ,连接AC、PC, 则△PAC面积的最大 值为
15.坐标系+定点定长+瓜豆原理+点圆最值——23扬州模拟+选择压轴+初三
如图, 点A, B的坐标分别为A(2,0), B(0,2), 点C为坐标平面内一点, ，点M为线段AC的中点 ，连接OM ，则OM的最大值为 ( )
16.等边三角形+中点+定长定直角+点圆最值——22潍坊+选择压轴+初三
如图, 在等边△ABC中, AB=12, 点D在AB边上,. E为AC中点, P为△ABC内一 点, 且∠BPD =90°, 则线段PE的最小值为( )
17.直角三角形+旋转+定长定点+点圆最值———22衢州模拟+填空压轴+初三
如图,在△ABC中,. 将△ABC绕BC的中点D旋转得△EFG ，连接CE ，则CE的最大值为
18矩形+折叠模型+定长定点+点圆最值———22广州模拟+填空压轴+初三如图，在矩形纸片ABCD中，. 点E是AB的中点，点F是边AD上的一个动点，将 沿EF所在直线翻折，得到 则线段 l'C'的最小值是
19定长定角+全等+点圆最值———22南京模拟+填空压轴+初三
如图，在四边形ABCD中，A °,则AC的最大值是 .
20.直角三角形+定长定角+点圆最值——21广东+填空压轴+初三
在 中， 点D为平面上一个动点， 则线段CD长度的最小值为
21.定长定直角+面积最值+相似——20无锡+填空压轴+初三
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, AB=4, 点D ,E分别在边AB, AC上,且DB=2AD , AE=3EC,连接BE,CD, 相交于点O, 则△ABO面积最大值为 .
22.直角三角形+特殊角度+圆+点圆最值——20东营+填空压轴+初三
如图,在Rt△AOB中, ，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ (其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为
23.矩形+定长定点+折叠+点圆最值———22荆州模拟+填空压轴+初三
如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿PE折叠,得到 △PFE,连接CF.若AB=10, BC =12, 则CF的最小值为
24.矩形+对称+定长定点+点圆最值+面积——20宿迁+填空压轴+初三如图，在矩形ABCD中， P为AD上一个动点，连接BP ，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为 .
1如图,矩形ABCD中, ，动点E ，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单长度的速度沿AB，CD向终点B ，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为( )
A. C. 2 D.1
【答案】D
【解析】连接AC,交EF于O,
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD,∠B=90°,
∴动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，
∴CF=AE,
∵AB∥CD,
∴∠ACD=∠CAB,
又∵∠COF=∠AOE,
∴△COF≌△AOE(AAS).
∴AO=CO=1,
∵AG⊥EF,
∴点G在以AO为直径的圆上运动，
∴AG为直径时，AG有最大值为1，
故选: D.
【标注】 【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
2如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋转,过点B作AD的垂线，交射线AD于点E .若CD=1，则AE的最大值为 ，最小值为 .
【答案】
【解析】∵BE⊥AE,
∴点E是在以AB为直径的圆上运动，
∵CD=1,且CD是绕点C旋转,
∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动，
∴当cos∠BAE最大时, AE最大,当cos∠BAE最小时,AE最小.
①如图,当AE与圆O相切于点D ,且D在△ABC内部时,∠BAE最小,AE最大,
∵AO=AC,
∴DE=CD=1,
此时 即AE的最大值为
②如图,当AE与圆C相切于点D,且D在△ABC外部时,∠BAE最大,AE最小,同理可得
此时 即AE的最小值为
故答案为:
3如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=4,点D,E分别在AC,BC边上运动连接AE，BD交于点F ，且始终满足 则下列结论：
③△ABF的面积的最大值是
④CF的最小值是 .其中正确的是( )
A.①③ B. ①②④ C. ②③④ D.①②③④
【答案】D
【解析】如图所示，过点B作BM⊥AO于点M，
∵△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=4,
又∵∠DMB=∠EBA=90°,
∴△ABE∽△BMD,
故①正确；
∵△ABE∽△BMD,
∴∠BAE=∠MBD,
∴∠BAE+∠ABD=∠MBD+∠ABD,
在△ABF中,
∵△ABC是等腰直角三角形, BM⊥AC,
∴BM平分∠ABC,
.∠DFE=135°,故②正确;
如图所示，
在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形AOB，
以OA为半径作⊙O，
∵∠AFB=135°,
∴F在⊙O的AB上运动,
连接OF交AB于点G,
∴当OF⊥AB时,结合垂径定理,AG=BG=2,OG最小,
OF是半径，不变，
∴此时GF最大，则△ABF的面积最大，
故③正确；
如图所示，当F在OC上时，FC最小，
过点O作OH⊥BC交CB的延长线于点H.
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∴△OHB是等腰直角三角形，
在Rt△OHC中,
∴CF的最小值是2 故④正确.
故选:D.
【标注】 【知识点】圆内接四边形的性质定理
【知识点】点与圆上一点间距离的最大、最小值
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】勾股定理
4在四边形ABCD中,AB=BC=2,∠ABC=120°,BH为∠ABC内部的任意一条射线(∠CBH不等于60°) ,点C关于BH的对称点为C',直线AC'与BH交于点F,连接CC'、CF,则△CC'F的面积的最大值是 .
【答案】4
【解析】如图所示，连接BC'
∵点C关于BH的对称点为C'，
∴CB=C'B,CF=C'F,
∴AB=BC=2,
∴A,C,C'在半径为2的⊙B上,
在优弧AC上任取一点E，连接AE，EC，
∴△CC'F是等边三角形,
当CC'取得最大值时，△CC'F的面积最大，
∵C在⊙B上运动,则 CC'的最大值为4,
则△CCF的面积的最大值是
故答案为：4
【标注】 【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
5如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB=3,点D在边BC上.将△ACD沿AD折叠,使点C落在点O'处，连接BC'，则BC'的最小值为 .
【答案】
【解析】∵∠C=90°,CA=CB=3,
由折叠的性质可知
∵BC'≥AB--AC',
∴当A、C'、B三点在同一条直线上时，BC'取最小值，最小值 故答案为：
【标注】 【知识点】翻折问题与勾股定理
6如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,AB=5,AD=4,AD【答案】
【解析】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB，
∵∠ABC=∠BAD=90°,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∵∠ADF=∠BAE,
∴∠DFA=∠ABE=90°,
∴点F在以AD为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到OB与⊙O的交点F'时，线段BF有最小值，
∵AD=4,
BF的最小值为
故答案为
【标注】 【知识点】与圆有关的计算
7如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点M、N分别是边AD、BC的中点,某一时刻点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N：发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点F停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H .在这一运动过程中，点H所经过的路径H是
【答案】
【解析】如图1中,连接MN交EF于点P ,连接BP.
∵四边形ABCD是矩形,AM=MD,BN=CN,
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=6,
∵EM∥NF,
∴△EPM∽△FPN,
∴PN=2,PM=4,
∵BN=4,
∵BH⊥EF,
∴点H在以BP为直径的⊙O上运动，
当点E与A重合时，如图2中，连接OH，ON .点H的运动轨迹是NH.
此时AM=4,NF=2,
∴BF=AB=6,
∵∠ABF=90°, BH⊥AF,
∴BH平分∠ABF,
∴∠HBN=45°,
∴点H的运动轨迹的长
故答案为：
【标注】 【知识点】动点与特殊平行四边形问题
8已知⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧,若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是 .
【答案】4
【解析】过点O作OC⊥AB于C,交⊙O于D、E两点,连结OA、OB、DA、DB、EA、EB,如图，
.∠AMB=45°,
..∠AOB=2∠AMB=90°,
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；
当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点.
此时四边形MANB面积的最大值
9如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=12,D为AC边上的一个动点,连接BD,E为BD上的一个动点,连接AE,CE,当∠ABD=∠BCE时,线段AE的最小值是( ) .
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】∵∠ABC=90°,
∴∠ABD+∠CBE=90°,
∵∠ABD=∠BCE,
∴点E在以BC为直径的⊙O上,连接OE,OA,
∵BC=12,
∵AE≥AO-OE=10-6=4,
∴当且仅当A，E，O三点共线时，AE取得最小值，最小值为4，故选B.
【标注】 【知识点】圆中最值
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2 ,BC=3.点P为△ABC内一点,且满足 当PB的长度最小时，△ACP的面积是( )
A.3 B. 3
【答案】D
【解析】
∴点P在以AC为直线的⊙O上,连接OB,OP,
∴OA=OC=OP=
∵BP≥OB-OP,
∴当且仅当B，P，O三点共线时，BP的长度取得最小值，
BP的最小值为
此时，
即当PB的长度最小时，△ACP面积是
故选D.
【标注】【知识点】圆中最值
11如图,在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,点P是BC边上一动点(点P不与B,C重合) ,连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为( )
A.2 B. C.3 D.
【答案】A
【解析】解：连接AM，如下图所示：
∵点B和M关于AP对称，
. AB=AM=3,
∴M在以A圆心，3为半径的圆上，
∴当A, M, C三点共线时, CM最短,
∵在矩形ABCD中,
AM=AB=3,
∴CM=5-3=2,
因此正确答案为：A.
【标注】 【知识点】矩形的性质
【知识点】点与圆上一点间距离的最大、最小值
【知识点】勾股定理
【知识点】轴对称的性质
12.如图,在边长为6的等边△ABC中,点E,F分别是边AC,BC上的动点,且AE=CF,连接BE,AF交于点P,连接CP,则CP的最小值为 .
【答案】2
【解析】
∵△ABO是等边三角形，
∴AB=AC=BC=6,∠CAB=∠CBA=∠ACB=60°,
在△ABE和△CAF中,
∴△ABE≌△CAF(SAS),
∴∠ABE=∠CAF,
作△ABP的外接圆⊙O,连接OA、OB、OP,OC,
∵OA=OB,CA=OB,
∴OC垂直平分AB,
∴∠ACO=∠BCO=30°,∠AOC=∠BOC=60°,
∴∠CAO=90°,
∵CP≥OC-OP,
∴当且仅当O、P、C三点共线时，
CP取得最小值，
∴CP的最小值为4
故答案为：2
【标注】【知识点】圆与全等
13.如图,等边△ABC中,AB=6,点D、点E分别在BC和AC上,且BD=CE,连接AD、,于点F，则CF的最小值为
【答案】2
【解析】等边△ABC,AB=6.
∴∠AFB=120°.
∴作AB为边外正三角形的外接圆，F在以O为圆心，OB为半径的圆上，
【标注】【知识点】辅助圆问题
14.如图,点P为边长为2的正方形ABCD外一点,且PA⊥PB,连接AO、PC,则△PAC面积的最大值为 .
°
【答案】 +1
【解析】方法一∵∠APB=90°,
点P在以AB为直径的圆上.
以AB为直径作圆O，交AC于点E，
,∴△AOE是等腰直角三角形，
在Rt△AOE中，设AE边上的高为h，利用等面积法：
∴△APE中AE边上的高的最大值为：
∴△APE面积的最大值为：
∴△PAC的最大面积为
故答案为：
方法二:∵∠APB=90°,点P在正方形ABCD外,∴点P在以AB为直径的左半圆上，
以AB为直径作半圆O，过O作AC的垂线，垂足为E.
∵正方形ABCD的边长为2，
∴△PAC中AC边上的高最大为
∴△PAC面积的最大值为：
15.如图,点A, B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点, BC=1,点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为( ).
【答案】B
【解析】作A点关于y轴的对称点D，连接BD、CD，
∴A(2,0),
D(-2,0),
∴OA=OD=2.
B(0,2).
∴OB=2,
∵M点是AC的中点，
∴AM=CM,
∴OM是△ACD的中位线,
∵BC=1,
∴点C在以B为圆心，1为半径的圆弧上移动，
∴CD≤BD+BC,
∴当且仅当D、B、C三点共线时，CD取得最大值为2 +1.
∴OM的最大值为
故选B.
16.如图,在等边△ABC中,AB=12,点D在AB边上,AD=4,E为AC中点,P为△ABC内一点,且∠BPD=90°,则线段PE的最小值为( )
A.3 -2 D.4 -
【答案】C
【解析】以BD为直径作⊙O，连接OE交⊙O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，过点E作EF⊥AB于点F,在Rt△AEF中,
∠A=60°,AE=6,
∴AF=3,EF=3
在Rt△OEF中,EF=3 ,OF=5,
即线段PE的最小值为2
故选:C.
【标注】 【知识点】辅助圆问题
17.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4.将△ABO绕BC的中点D旋转得△EFG，连接CE，则CB的最大值为 .
【答案】
【解析】方法一：
由旋转可知DA=DE,
故点E的运动轨迹为以D为圆心，DA长为半径的圆.
当点E运动到E"时，CE的值最大，作BC的延长线交圆D于E'，E"点，
∵D是BC的中点,BC=4,
又∵AC=3,∠ACB=90°,
∴圆D的半径r
由图知
故CE的最大值为
故答案为：
方法二：反客为主，假定△EFG不动旋转△ACB.
【标注】【知识点】辅助圆问题
18.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=6,点E是AB的中点,点F是边AD上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，则线段A'C的最小值是 .
【答案】
【解析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，
当点A'在线段CE上时，A'C的长取最小值，
如图所示：
根据折叠可知：
在Rt△BCE中, BE= AB=2,BC=6,∠B=90°,
∴A'C的最小值=
故答案为：
【标注】【知识点】辅助圆问题
19如图,在四边形ABCD中,AB=2,BC=BD,∠ADC=150°,∠DCB=60°,则AC的最大值是 .
【答案】
【解析】以AB为边向上作等边△ABE，连接EC，
∴BC=BD,∠DCB=60°,
∴△DCB为等边三角形，
∴∠ADB=∠ADC-∠CDB=150°-60°=90°,
在△ABD和△EBC中,
AB=BE,∠ABD=∠EBC=60°-∠DBE,BD=BC,
∴△ABD≌△EBC(SAS),
∴∠ADB=∠ECB=90°,
在△EBC中,EB=AB=2,∠ECB=90°,
以BE为直径作⊙O，半径
所以动点C在以BE为直径的半圆O上，
连接AO并延长⊙O于C',
在等边△ABE中,AB=2,O为BE中点,
即AC最大值为
【标注】 【知识点】辅助圆问题
20在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,1段CD长度的最小值为 .
【答案】
【解析】如图所示：
∵∠ADB=45°,AB=2,作△ABD的外接圆⊙O,连接OA,OB,OC,当O、D、C三点共线时，线段CD的长度取得最小值.
∵∠ADB=45°,
∴∠AOB=90°,
△AOB为等腰直角三角形，
∵∠OBA=45°,∠ABC=90°,
作OE⊥BC于点E,
..△OBE为等腰直角三角形.
∴CE=BC-BE=3-1=2,
在Rt△OCE中,
当O、D、C三点共线时，OD的长等于半径长，
CD长度的最小值=
故答案为：
【标注】【知识点】垂线段最短
21如图,在Rt△ABO中,∠ACB=90°,AB=4,点D,E分别在边AB,AC上,且DB=2AD,AE=3EC',连接BE,CD,相交于点O,则△ABO面积最大值为 .
【答案】
【解析】过点D作DF//AO交BE于F(如图1) .
易得△BDF∽△BAE,
AE=3EC,∴DF=2EC,
点C显然在以AB为直径的圆弧上运动，取AB中点为M，
∴当CM⊥AB时，即点C在圆弧最高处时，
△ABC面积最大，此时面积为
故答案为：
【标注】 【知识点】A字型、8字型综合
22如图,在Rt△AOB中,OB=2 ,∠A=30°,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点作⊙O的一条切线PQ(其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为 .
【答案】2
【解析】连接OP ,OQ,
∵PQ为过P作圆O的切线，
∴OQ⊥PQ,
∴当OP最小时,PQ最小,
∵△AOB是直角三角形，
∠A=30°,OB=2
P为AB上的动点，
∴OP最小为3,
此时
故答案为：2
【标注】 【知识点】解直角三角形的综合应用
23.如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿PE折叠，得到△PFE,连接CF.若AB=10,BC=12,则CF的最小值为
【答案】8
【解析】
解：如图所示，点F在以E为圆心，EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时，CF的值最小，
根据折叠的性质,△EBP≌△EFP,
∴EF⊥PF,EB=EF,
∵E是AB边的中点, AB=10,
∴AE=EF=5,
:AD=BC=12,
∴CF=CE-EF=13-5=8.
故答案为：8.
【标注】 【知识点】点与圆上一点间距离的最大、最小值
24如图,在矩形ABCD中,AB=1,AD= P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为 .
【答案】
【解析】∵当点P从点A运动到点D时，线段PQ的长度不变，
∴点Q运动轨迹是圆弧，
如图，
阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，
∵矩形ABCD中,AB=1,AD=
∴∠ABC=∠BAC=∠C=∠Q=90°,
∴∠ADB=∠DBC=∠ODB=∠OBQ=30°,
∴∠ABQ=120°,
由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，
故答案为
【标注】 【能力】分析和解决问题能力
【知识点】扇形的面积公式

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