资源简介

瓜豆原理最值模型
1.类型一，瓜豆原理之直线型
运动轨迹为直线
问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为/ 所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线.
问题2:点C为定点, P、Q为动点, CP=CQ, 且∠PCQ为定值,点P在AB上运动,Q的运动轨迹是
解析：当CP与CQ夹角固定，且( Q时，P、Q轨迹是同一种图形，且I
理由：易知 则 故可知Q点轨迹为一条直线.
模型总结
*条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量.
*结论：①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；
②主动点路径做所在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角
③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；
2.类型二，瓜豆原理弧线型
运动轨迹为圆
问题1.
如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点 .当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是
解析：Q点轨迹是一个圆
理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有
问题2.如图, △APQ是直角三角形, ∠PAQ=90°且/ 当P在圆O运动时，Q点轨迹是
解析：Q点轨迹是一个圆
理由 :∵AP⊥AQ,∴Q点轨迹圆圆心M满足
又∵AP:AQ=2:1,∴Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1.
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2.
模型总结
*条件：两个定量
(1)主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)；
(2)主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP：AQ是定值).
*结论
(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比： 等于半径之比.
真题精炼
1.正方形+旋转全等+瓜豆原理弧线型+最小值——23宜宾+填空压轴+初三
如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ , 连接MP , MQ . 若. ，则MQ的最小值为
2.坐标系+直角三角形+特殊角度+旋转+瓜豆原理弧线型+最小值——23泰安+选择压轴+初三如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为( 中， ，连接BC，点M是BC中点，连接AM.将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是( )
A.3 D.2
3.等边三角形+瓜豆原理直线型+隐形圆+定长定角+最小值——22无锡+填空压轴+初三 是边长为5的等边三角形， 是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F .如图，若点D在 内， 则 现将 绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 .
4.正方形+中点+旋转弧线型+隐形圆定长定点最小值———23广州模拟/22广西+填空压轴+初三如图正方形ABCD中， G是BC的中点，点E是正方形内一动点 ，且 连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转S 得到DF，连接CF ，则CF长的最小值为 .
5.旋转弧线型+定点定长隐形圆最小值+相似+锐角三角函数——22连云港+几何综合压轴+初三
【问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放.其中∠ACB=∠DEB=90°,∠B=30°, BE= AC=3.
【问题探究】
小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转.
(1) 如图2, 当点E落在边AB上时, 延长DE交BC于点F ,求BF的长.
(2)连接DC，取DC的中点G ，三角板DEB由初始位置(图1)，旋转到点C、B、D首次在同一条直线上 (如图3)，求点G所经过的路径长 .
(3)如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是
6.坐标系+旋转全等+瓜豆原理直线型+最小值———23成都模拟+选择压轴+初三如图，Q是直线 上的一动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转9 得到点 连接 ，则OQ'的最小值为( )
7.坐标系+隐形圆+中点+瓜豆原理弧线型+最大值——22淄博模拟+选择压轴+初三
如图, 点A, B的坐标分别为A(2,0) , B(0,2), 点C为坐标平面内一点,. ，点M为线段AC的中点 ，连接OM ，则OM的最大值为 ( )
8.旋转+扇形+瓜豆原理弧线型+弧长——23湘潭模拟+选择压轴+初三
如图，已知 的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是 的中点，将 绕点A逆时针旋转9 后得到 ，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是()
D.2π
9.矩形+对称+扇形面积+类瓜豆原理——21湖州+选择压轴+初三
如图，已知在矩形ABCD中，. 点P是AD边上的一个动点，连接BP ，点C关于直线BP的对称点为( ，当点P运动时，点 也随之运动.若点P从点A运动到点D ，则线段 扫过的区域的面积是( )
A.π D.2π
10.矩形+旋转+瓜豆原理直线型+最小值———21泰安+选择压轴+初三
如图, 在矩形ABCD中,. 点P在线段BC上运动(含B、C两点)，连接AP，以点A为旋转中心，将线段AP逆时针旋转( °到AQ ,连接DQ ,则线段DQ的最小值为() .
D.3
11..特殊角度+对称+动点+隐形圆+类瓜豆原理————21嘉兴+填空压轴+初三
如图, 在△ABC中, ，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动.连接CP，点A关于直线CP的对称点为. 连接 在运动过程中，点A'到直线AB距离的最大值是 ；点P到达点B时，线段 扫过的面积为
12.直角三角形+定长定点+隐形圆+瓜豆原理弧线型+最大最小值——21十堰+填空压轴+初三如图,在Rt△ABC中, ，点P是平面内一个动点，且 ，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是 .
13.正方形+等边三角形+瓜豆原理直线型+最小值——23苏州模拟+填空压轴+初二
如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG ，连接CG，则CG的最小值为 .
14.坐标系+中点+瓜豆原理弧线型+面积最小值——22苏州模拟/20连云港+填空压轴+初三如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线 与x轴、y轴分别交于点D、E，则 面积的最小值为 .
15.圆+隐形圆+定长定直角+类瓜豆原理弧线型——22长春模拟+选择压轴+初三如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点G，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F .当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为( )
16.坐标系+瓜豆原理弧线型+中点+最小值——22广州模拟+填空压轴+初三
如图,在平面直角坐标系中,C(0,4), A(3,0),⊙A的半径为2, P为⊙A上任意一点, E是PC的中点，则OE的最小值是
17等腰直角三角形+瓜豆原理直线型+最小值——22扬州模拟+填空压轴+初三
如图， 和 都是等腰直角三角形，. ,O为AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值为() .
C. 1
1如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ,连接MP,MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为 .
【答案】
【解析】如图，连接BM ，将BM以B中心，逆时针旋转90°，M点的对应点为E，
∵P的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，
∴Q的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，
如图，当M、Q、E三点共线时，MQ的值最小.
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB=BC=4,∠C=90°,
∵M是CD的中点,
∴CM=2,
由旋转得:BM= BE,
∴MQ的值最小为
故答案为：
【标注】【知识点】正方形的性质
【知识点】旋转的性质
【知识点】旋转模型
【知识点】勾股定理
2如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为(-6，4)；Rt△COD中,∠COD=90°, OD=4 ,∠D=30°,连接BC,点M是BC中点,连接AM.将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是( )
A.3 B.6 -4 D.2
【答案】A
【解析】解:如图所示,延长BA到E,使得AE=AB,连接OE, CE,∵Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上,点A的坐标为(-6,4),
∴AB=4,OB=6,
∴AE=AB=4,
∴BE=8,
∴点M为BC中点,点A为BE中点,
∴AM是△BCE的中位线,
在Rt△COD中,∠COD=90°,OD=4 ,∠D=30°,
将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，
点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段OE上时，CE有最小值，
即此时AM有最小值，
. CE的最小值为10-4=6,
AM的最小值为3，
所以选A.
【标注】【知识点】旋转
3.△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于如图,若点D在△ABC内,∠DBC=20°,则∠BAF= °;现将△DCE绕点C旋转在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 .
【答案】80;
【解析】∵△ACB,△DEC都是等边三角形,
∴AC=CB,DC=EC,∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=∠ACE,
在△BCD和△ACE中,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∵∠BAC=60°,
如图1中,设BF交AC于点T.
同法可证△BCD≌△ACE,
∴∠CBD=∠CAF,∠BDC=∠AEC,BD=AE,
∵∠BTC=∠ATF,
∴∠BCT=∠AFT=60°,
∴点F在△ABC的外接圆上运动,当∠ABF最小时,AF的值最小,此时CD⊥BD.
∴AE=BD=4,∠BDC=∠AEC=90°,
∵CD=CE,CF=CF,
∴Rt△CFD≌Rt△CFE(HL),
∴AF的最小值=
故答案为·80/4-
【标注】 【知识点】等边三角形与全等
4.如图，在正方形ABCD中，AB=4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG=接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 .
【答案】
【解析】如图，由EG=2，可得E在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD,∠ADC=90°.
∴∠ADE=∠CDF.
∵DE=DF,
∴△ADE≌△CDF(SAS).
∴AE=OF.
∴当A,E,G三点共线时,AE最短,则CF最短.
∵Q为BC的中点,BC=AB-4,
∴BG=2,此时
此时
所以CF的最小值为：
故答案为：
5【问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°,∠B=30°,BE=AC=3.
【问题探究】
小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转.
(1)如图2,当点E落在边AB上时,延长DE交BC于点F,求BF的长.
(2)连接DC，取DC的中点G ，三角板DEB由初始位置(图1)，旋转到点C、B、D首次在同一条直线上(如图3)，求点G所经过的路径长.
(3)如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是
【答案】(1)2
(2)点G所经过的路径长为
【解析】(1)由题意得,∠BEF=∠BED=90°,
在Rt△BEF中,∠ABC=30°,BE=3,
(2)如图3-1,连接CD,取CD的中点G,取BC的中点O,连接GO,则OG//AB,
∴∠COG=∠B=30°,
∴∠BOE=150°,
∵点G为CD的中点，点O为BC的中点，
..点G在以点O为圆心， 为半径的圆上，如图3-2，
∴三角板DEB由初始位置(图1)，旋转到点CA
、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，
.点G所经过的路径长为
(3) 如图4,过点O作OK⊥AB于K,
点O为BC的中点，
中小学教育资源及组卷应用平台
由(3)知，点G在以点O为圆心， 为半径的圆上，
∴点G到直线AB的距离的最大值是
故答案为：
【标注】【知识点】旋转性质综合应用
6如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y 上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°,得到点Q',连接OQ',则OQ'的最小值为( ) .
B.
【答案】B
【解析】方法一:作QM⊥x轴于点M ,Q'N⊥x轴于N ,
设Q 则
∠QPM=∠PQ'N,
在△PQM和△Q'PN中,
.△PQM≌△Q'PN(AAS),
当m=2时,OQ 有最小值为5,
∴OQ'的最小值为
故选:B.
方法二：
过点P作与x轴垂直的直线与直线g 交于点A，
直线y 与x轴交于点B，
B(4,0).
将直线 2绕P点顺时针旋转90°得直线A'B'为y=2x-5,
Q'落在该直线上.
当OQ'⊥直线A'B'时取最小值,
方法三:如图,过P作PA'⊥OA,且PA'=PA,连接A'Q'并延长交x轴于点E,
∵直线 与x轴、y轴交于点A、B,
∴A(4,0) , B(0,2),
∵P(1,0),
∴OP=1,AP=A'P=3,
∵∠APA'=∠QPQ'=90°,
∴∠A'PQ'=∠APQ.
∵PQ'=PQ,
∴△A'PQ'≌△APQ(SAS),
∴∠A'=∠OAB,
∴Q'在直线A'E上运动,
过O作OH⊥A'E于H,
当Q'与H重合时，OQ'取最小值，
∴∠EOH=∠A'=∠OAB,
∴tan∠EOH = tanA'= tan∠OAB=
∵A'P=3,
在Rt△OHE中,设HE=x,OH=2x,则(
即OQ'的最小值为
【标注】 【知识点】给定范围求二次函数最值
8如图,点A, B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点,BC=1,点M为线段的中点，连接OM ，则OM的最大值为( )
A. +1
【答案】B
【解析】作A点关于y轴的对称点D ,连接BD、CD',
A(2,0),
∴D(-2,0),
∴OA=OD=2.
∵B(0,2),
∴OB=2,
∵M点是AC的中点，
∴AM=CM,
∴OM是△ACD的中位线,
∵BC=1,
..点C在以B为圆心，1为半径的圆弧上移动，
∴OD≤BD+BC,
∴当且仅当D、B、C三点共线时，CD取得最大值为2 +1.
∴OM的最大值为
故选B.
【标注】【知识点】辅助圆问题
9如图，已知AB的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是AB的中点，将AB绕点A逆时针旋转90°后得到AB'，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是( )
B. C. 2 D.2π
【答案】B
【解析】解:如图,设AB的圆心为O,连接OP,OA,AP',AP,AB',
∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是AB的中点，
根据垂径定理，得
∵将AB绕点A逆时针旋转90°后得到AB'，
则在该旋转过程中，点P的运动路径长是 π.
故选:B.
【标注】【知识点】旋转的性质
10如图,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC= ，点P是AD边上的一个动点，连接BP，关于直线BP的对称点为C ，当点P运动时，点C 也随之运动.若点P从点A运动到点D，则的CC 扫过的区域的面积是( ).
A.π D.2π
【答案】B
【解析】如图，
当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C'，
当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C"，
∴点P从点A运动到点D,则线段CC 扫过的区域为:扇形BC'C"和△BCC",
在△BCD中,
BC=BC"
∴△BCC"为等边三角形,
作C"F⊥BO于F,
.△BCC”为等边三角形,
∴线段CC 扫过的区域的面积为
故选B.
【标注】【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
11.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=5 点P在线段BC上运动(含B、C两点)，连接,;AP，以点A为旋转中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为( )
A. B. 5 D.3
【答案】A
【解析】方法一：如图，连接AC，取AC的中点M ，
将AC绕点A逆时针旋转60°得到AN，连接MN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°,AD=BC=5
点M是AC的中点，
∴AM=CM=5,
∴AB=AM,
∵AC绕点A逆时针旋转60°得到AN,
. AC=AN,∠CAN=60°,
∴∠BAC=∠MAN,
在△ABO和△AMN中,
.△ABC≌△AMN,
.∠ABC=∠AMN=90°,
当点P在线段BC上运动时，则点Q在线段MN上运动，
∴当且仅当DQ⊥MN时，线段DQ取得最小值，
设MN交AD于点G,
在Rt△AMG中,∠AMG=90°,∠MAG=30°,
在Rt△DQG中,∠DQG=90°,∠DGQ=∠AGM=60°,
故线段DQ的最小值为
故选A.
方法二：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP=∠BAD=90°,
∵△ABF,△APQ都是等边三角形,
∴∠BAF=∠PAQ=60°,BA=FA,PA=QA,
∴∠BAP=∠FAQ,
在△BAP和△FAQ中,
∴△BAP≌△FAQ(SAS),
∴点Q在射线FE上运动，
∵DH⊥EF,∠DEH=∠AEF=60°,
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为
故答案为：
故选A.
【标注】【知识点】利用垂线段最短求最值
12.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=45°,AB=2,点P从点A出发沿AB方向运动,到达点B时停止运动.连接CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连接A'C，A'P.在运动过程中，点A'到直线AB距离的最大值是 ；点P到达点B时，线段A'P扫过的面积为 .
【答案】
【解析】
过点B作BH⊥AC于点H,
在Rt△AHB中,∠AHB=90°,∠HAB=30°,AB=2,
在Rt△BHC中,∠BHC=90°,∠HCB=45°,
∴∠HCB=∠HBC=45°,
∴BH=CH=1,
∵点A关于直线CP的对称点为A'，
∴CA=CA',
∴点A'在以C为圆心，CA长为半径的圆弧上运动，
过点C作CG⊥AB交AB延长线于点G，延长CG，交圆弧于点N，
∴在Rt△ACG中,∠AGC=90°,∠CAG=30°,
∴当A'运动到点N处时，点A'到直线AB的距离最大，最大值为
当点P运动到点B时，此时点A'运动到圆上M处，
∴∠ACB=∠MCB=45°,∠ACM=90°,
在△ACB和△MCB中,
∴△ACB≌△MCB(SAS),
∴线段A'P扫过的面积为
故答案为：
【标注】 【知识点】与圆有关的动点、轨迹问题
13如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点P是平面内一个动点,且AP=3，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是 .
【答案】
【解析】在Rt△ABC中,
AC=8,BC=6,
∴AB=10,
取AB中点M,连接QM,CM,
∵AB=10,
Q为BP中点,AP=3,
【标注】 【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
14如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
将△EFB绕点E旋转60°,使EF与EG重合,得到△EBF≌△EHG,
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
作CM⊥HN,则CM即为OG的最小值,
作EP⊥CM ,可知四边形HEPM为矩形,
则
【标注】 【知识点】其他路径最短问题
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，C为弦AB的中点，直线 与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为 .
【答案】2
【解析】直线 与x轴交于点D ，与y轴交于点E，
∴令x=0,y=-3;令y=0,x=4,
∴D(4,0), E(0,-3),
∴OD=4,OE=3,
取OA的中点M ,连接OB,CM,过M作MH⊥DE于H,
∵C点是AB的中点，M点是OA的中点，
∴AC=BC,OM=AM,
∵⊙O的半径为2,
∴OB=2,
∴CM=1,
∴点C在以M为圆心，1为半径的圆上移动，
∵DM=OD-OM=3,
∵∠MHD=∠EOD=90°,
∠MDH=∠EDO,
△DHM∽△DOE,
∴点C到DE的最小距离为
∴S△CDE的最小值为
故答案为：2.
【标注】 【知识点】圆与相似
16.如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点G，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为( )
A.
【答案】C
【解析】连接AC,AO,
∵AB⊥CD,
∴G为AB的中点，即
∵⊙O的半径为4,弦AB⊥CD且过半径OD的中点G,
∴OG=2,
∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：
∴AB=2AG=4
又∵CG=CO+GO=4+2=6,
∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得 ∵CF⊥AE,
∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时,CG⊥AE,此时F与G重合;
当B位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,
∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长AC，
在Rt△ACG中,
∴∠ACG=30°,
. AG所对圆心角的度数为60°，
∵直径
∴AG的长为
则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为
故选:C.
【标注】 【知识点】瓜豆原理(轨迹与最值)：轨迹为弧
17如图,在平面直角坐标系中,C(0,4),A(3,0),⊙A的半径为2, P为⊙A上任意一点, E是PC的中点，则OE的最小值是 .
【答案】1.5
【解析】如图,连接AC,取AC的中点H ,连接EH,OH,
∵CE=EP,CH=AH,
∴点E的运动轨迹是以H为圆心，半径为1的圆，
∵C(0,4),A(3,0),
. H(1.5,2),
∴OE的最小值=OH--EH=2.5-1=1.5.
【标注】 【知识点】瓜豆原理(轨迹与最值)：轨迹为弧

展开更多......

收起↑