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费马点最值模型
费马点定义
“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。
若给定△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
费马点的结论及证明
【结论】1、费马点到三角形三个顶点距离之和最短 2、费马点连接三顶点所成夹角皆为：
【证明】: 如图一, 在△ABC 内任取一点P , 连接PA、PB、PC
如图二, 将△APB 绕点B旋转60°得到△EQB,则
连接PA , ∵∠PBQ=60°, PB=PQ,
∴△QPB是等边三角形, 则PB=QP=BQ,∠1=∠2=60°.
∴PA+PB+PC=EQ+QP+PC≥EC。
如图三，当且仅当E、Q、P、C四点共线时取等号，此时
取到最小值EC.
∴点P是△ABC的费马点，且点P到三角形三个顶点的距离之和最小
真题精炼
1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点” ，该问题也被称为“将军巡营”问题.
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1, 将△APC绕 , 点C顺时针旋转60°得到△A'P'C, 连接PP',
由 , 可知△PCP'为 ① 三角形, 故 又 故
由 ② 可知,当B, P ,P', A在同一条直线上时, PA+PB+PC取最小值,如图2,最小值为A'B, 此时的P点为该三角形的“费马点” , 且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ;
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点 .如图3，若∠BAC≥120°, 则该三角形的“费马点”为 ④ 点.
(2)如图4,在△ABC中,三个内角均小于120°,且AC=3 , BC=4,∠ACB=30°,已知点P为△ABC的“费马点” , 求PA+PB+PC的值;
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知. 现欲建一中转站P沿直线向A ，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B,C的铺设成本分别为a元/km,a元/km, a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为 元.(结果用含a的式子表示)
2.如图,在△ABC中,. 若点P是△ABC内一点，则 PA+PB+PC的最小值为
3.两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若 ，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 .
4.已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果 是锐角(或直角)三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足 .例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点.若. , P为△ABC的费马点,则PA+PB+PC= ;若AB=2 ,BC=2,AC=4, P为△ABC的费马点,则PA+PB+PC= .
5.请回答下列各题：
(1)问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到 DE与BC交于点P可推出结论：
(2)问题解决：如图2，在 中， 点O是 内一点，则点O到 三个顶点的距离和的最小值是 .
6.已知点P是 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫 的费马点(Fermatpoint) , 已经证明:在三个内角均小于 的 中，当 时，P就是 的费马点 ，若点P是腰长为 的等腰直角三角形DEF的费马点，则
7如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°, AB= AC,点D是BC边上一动点, 连接AD,把AD绕点A逆时针旋转90°, 得到AE, 连接CE , DE . 点F是DE的中点, 连接CF
(1) 求证:
(2)如图2所示，在点D运动过程中，当BD=2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论.
(3)在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小，当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长.
8如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,点P是△ABC内一点,连接PA、PB、PC ,若PA=6,PB=8,PC=10, 则菱形ABCD的面积等于
9.我们以前遇到过这样的问题：在等边三角形ABC内有一点P ，且 求∠BPC的度数.思路是：将 绕点B逆时针旋转 ，画出旋转后的图形(如图① )，连接PP', 可得△P'PB是等边三角形, 而 又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，由此得到 ，运用类似的思想方法解决以下问题：如图②， ABC中, 在 内部有一点Q , 连接QA, QB, QC , 则 '的最小值是 .
10.如图1，已知抛物 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C .
(1) 写出A、B、C三点的坐标.
(2) 若点P为△OBC内一点,求OP+BP+CP的最小值.
11.【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法.如图1，我们可以将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE ,连接PD ,可得△BPD为等边三角形, 故PD=PB, 由旋转可得DE=PC, 因PA+PB+PC=PA+PD+DE, 由两点之间线段最短可知, 的最小值与线段AE的长度相等.
【解决问题】如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P ，∠ , 连接PA, PB,PC, 若AB=3, 求PA+PB+PC的最小值 .
12.在 中， ，以B为圆心，BC为半径逆时针旋转，得到BE，使 交AC于点F,过C作C 交AE于点G.
(1) 若. 求AE的长.
(2)点D是BC边上一动点，在线段AD上存在一点P ，使 的值最小，此时AP的长为m，请直接用含m的式子表示 的最小值.
1如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=4,O为AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值为(）
A. C. 1 D.
【答案】D
【解析】如图,取AB的中点Q ,连接DQ,
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
∵AB=AC=4,O为AC的中点,
∴AQ=AO.
在△AQD和△AOE中,
∴△AQD≌△AOE(SAS),
∴QD=OE.
∵点D在直线BC上运动，
∴当QD⊥BC时,QD最小.
∵△ABO是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°.
∵QD⊥BC,
∴△QBD是等腰直角三角形，
∴线段OE的最小值是
故选D.
【标注】 【知识点】瓜豆原理(轨迹与最值)：轨迹为直线
2. 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点” ，该问题也被称为“将军巡营”问题.
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1,将△APC绕,点O顺时针旋转60°得到△A'P'C, 连接PP',
由PC=P'C , ∠PCP'=60°,可知△PCP'为 ① 三角形,故 又P'A'=PA,故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B,
由 ② 可知,当B,P,P', A在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值,如图2,最小值为A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”,且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ;
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时， “费马点”为该三角形的某个顶点.如图3，若∠BAC≥120°,则该三角形的“费马点”为 ④ 点.
(2)如图4,在△ABC中,三个内角均小于120°,且AC=3 ,BC=4,∠ACB=30°,已知点为△ABC的“费马点”,求PA+PB+PC的值;
(3)如图5，设村庄A，B，O的连线构成一个三角形，且已知 现欲建一中转站P沿直线向A ，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km， a元/km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为 元.(结果用含a的式子表示)
【答案】(1)①等边;②两点之间线段最短;③120°;④A.
(2)5
【解析】 (1)解:∵PC=P'C , ∠PCP'=60°,
∴△PCP'为等边三角形;
又P'A'=PA,故
根据两点之间线段最短，当B，P，P'，A在同一条直线上时，
PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”
∴∠BPC+∠P'PC=180°,∠A'P'C+∠PP'C=180°,
∴∠BPC=120°,∠A'P'C=120°,
又∵△APC≌△A'P'C,
∴BC> AC,BC> AB,
∴BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AO,
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小.
又∵已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点.
∴该三角形的“费马点”为点A，
综上，正确答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120°；④A.
(2)将△APC绕,点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP',具体如下图所示:
由(1)可知当B,P,P',A在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值,最小值为A'B,∵∠ACP=∠A'CP',
又∵∠PCP'=60°
根据旋转的性质：.AC=A'C=3,
∴由勾股定理得：
∴PA+PB+PC最小值为5,
(3)∵总的铺设成本
∴当 最小时，总的铺设成本最低，
将△APO绕,点C顺时针旋转90°得到△A'P'C,连接PP',A'B
根据旋转的性质:P'C=PC,∠PCP'=∠ACA'=90°,P'A'=PA,A'C=AC=4km
当B,P ,P',A在同一条直线上时,
取最小值，即 取最小值为A'B，
过点A'作A'H⊥BC,垂足为H,
的最小值为2 km
总的铺设成本= (元)
因此正确答案为：
【标注】 【知识点】旋转模型
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2.若点P是△ABC内一点,则PA+PB+PC的最小值为 .
【答案】
【解析】以点A为旋转中心,顺时针旋转△APB到△AP'B',旋转角是60°,连接BB'、PP',如图所示，
则∠PAP'=60°,AP=AP',PB=P'B',
∴△APP'是等边三角形,
的最小值就是CB'的值，
∴AP=PC,
∴PA+PC+PB=2PA+PB,
∵∠DCE=30°,DE=3cm,
∴BC=CD=2DE=6cm,
过点A作AM⊥AP,且使∠AMP=30°,连接BM,
如图所示：
∴MP=2AP,
要使2AP+PB的值为最小，则需满足PB+PM为最小，根据三角不等关系可得：
PB+PM≥BM.
所以当B、P、M三点共线时,PB+PM取最小,
即为BM的长，如图所示：
∴2AP+PB的最小值为6 cm,即AP+PC+PB的最小值为6 cm .
故答案为6 cm.
【标注】 【知识点】线段和的最小值
4.即PA+PB+PC的最小值就是CB'的值,
∵∠BAC=30°,∠BAB'=60°,AB=2,
故答案为：
【标注】 【知识点】利用三边关系解决的最短问题
5.两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠α=30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 .
【答案】6 cm
【解析】∵纸条的对边平行,即AD∥BC,AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都为3cm，
∴AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形，
过点D作DE⊥BC于点E,连接AC,交BD于点O,
如图所示：
.. BO=DO= BD,AO=OC,AC⊥BD,
6.已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点，如果△ABC是锐角(或直角)三角形,则其费马点P是三角形内一点,且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°.例如:等边三角形的费马点是其三条高的交点.若AB=AC= , BC=2 ,P为△ABC的费马点,则PA+PB+PC= ;若AB=2 ,BC=2,AC=4,P为△ABC的费马点,则PA+PB+PC= .
【答案】5;2
【解析】如图,过A作AD⊥BC,垂足为D.
过B,C分别作∠DBP=∠DCP=30°,则PB=PC. P为△ABC的费马点,
∴PD=1,
∴PB=2PD=2,
∴PA=AD--PD=1,
∴PA+PB+PC=5.
如图：
∴△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,
∴∠BAC=30°.
将△APC绕点A逆时针旋转60°,得到△AP'C',连接PP',
由旋转的性质可得,△APC≌△AP'C',
∴AP'=AP,PC=P'C',AC=AC',∠CAC'=∠PAP'=60°,
∴△APP'是等边三角形,
∵PP'=PA,
∴B,P,P',C'四点共线时,PA+PB+PC的值最小,最小值为BC'的长,即P为△ABC的费马点。
故答案为:5, 2
7请回答下列各题：
(1) 问题背景:如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P可推出结论:PA+PC=PE.
(2)问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,∠M =75°,MG=4 .点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 .
【答案】(1)证明见解析.
(2)2
【解析】(1)如图1,在BC上截取BG=PD,
在△ABG和△ADP中,
∴△ABG≌△ADP(SAS),
∴AG=AP,BG=DP,
∴GC=PE.
:∠GAP=∠BAD=60°,
∴△AGP是等边三角形，
∴AP=GP,
∴PA+PC=GP+PC=GC=PE,
∴PA+PC=PE.
(2) 如图2:以MG为边作等边三角形△MGD,以OM为边作等边△OME,连接ND,作DF⊥NM,交NM的延长线于F.
∵△MGD和△OME是等边三角形,
∴OE=OM=ME,∠DMG=∠OME=60°,MG=MD,
∴∠GMO=∠DME,
在△GMO和△DME中,
∴△GMO≌△DME(SAS),
∴OG=DE,
∴NO+GO+MO=DE+OE+NO,
∴当D、E、O、M四点共线时,NO+GO+MO值最小,
∴MF=DF=4,
∴NF=MN+MF=6+4=10,
∴MO+NO+GO最小值为2
故答案为：2
【标注】 【知识点】旋转性质综合应用
8.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点(Fermatpoint) ,已经证明:在三个内角均小于120°的△ABC中,当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,P就是△ABC的费马点,若点P是腰长为 的等腰直三角形DEF的费马点,则PD+PE+PF= .
【答案】 +1
【解析】如图：
等腰Rt△DEF中,
过点D作DM⊥EF于点M,过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°.
就可以得到满足条件的点P了.
根据特殊直角三角形求出
∴PD+PE+PF=PM-DM+2PE= +1.
【标注】 【知识点】费马点
9.如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD绿点A逆时针旋转90°,得到AE,连接CE,DE.点F是DE的中点,连接OF.
(1)求证:
(2)如图2所示，在点D运动过程中，当BD =2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，鹦鹉AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论.
(3)在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小，当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长.
【答案】(1)证明见解析.
证明见解析.
【解析】(1)∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABD=∠ACB=45°,
∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°,
∵F是DE的中点,
∵AD=AE,∠DAE=90°,
∴DE= AD,
(2) 理由如下：
如答图1所示,连接AF、DG,DG交AC于点M.
由(1)知,
∵∠GAC=90°,
∴∠FAG=∠FGA,AF=GF,
∵GF=DF=CF,
∠FGD=∠FDG,∠FDC=∠FCD,
∴∠FDG+∠FDC=90°,
∵∠B=45°,∠ACD=45°,
∴BD=GD,CD=MD,∠AMG=45°,
∵∠CAG=90°,
BD=2CD,
. BD=DG=2CD=2MG,
即
(3)
如答图2所示,当AD⊥BC时,
存在点P在AD上，使得PA+PB+PC的值最小(费马定理).
且∠APB=∠APC=∠BPC=120°
AP=m,BP=CP,
∴∠BPD=∠CPD=60°,
设AD=x,则PD=x-m,BD=x=AE,
∴四边形ADCE为正方形,则CE=AD=BD=x,
又由(1)可知
当四边形ADCE为正方形且F为DE中点时，
则有
∴在△BPD中,BD= PD即:
则
【标注】 【知识点】全等三角形的对应边与角
10.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,点P是△ABC内一点,连接PA、PB、PC,若PA=6,PB=8,PC=10,则菱形ABCD的面积等于 .
【答案】50 +72
【解析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°,得到△BP'A,
∵BP=BP',∠PBP'=60°,
∴△BPP'为正三角形,
∵PP'=8,PA=6,PA'=PC=10,
∴△APP'是以∠APP'为直角的直角三角形.
同理,旋转△BAP和△APC如图,
得S四边形BPOP"
11我们以前遇到过这样的问题：在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB= ,PC=1,求∠BPC的度数.思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图①)，连接PP'，可得△P'PB是等边三角形，而△PP'A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，由此得到∠BPC=∠AP'B=150°,运用类似的思想方法解决以下问题:如图②,Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=BC=1,在Rt△ABC内部有一点Q,连接QA,QB,QO,则 QA+QB+QC的最小值是 .
【答案】
【解析】将△AQB绕点A顺时针旋转90°得到△AMN,连接MQ,CN,过点N作NH⊥CA延长线于点H,
卜
. AQ=AM,AB=AN,QB=MN,∠QAM=∠BAN=90°,
∵AC=BC=1,∠ACB=90°,
∴AN= ,∠CAN=∠CAB+∠BAN=135°,
∴∠NAH=45°,
∵NH⊥AH,
∴∠AHN=90°,∴∠HAN=∠HNA=45°,
∴AH=NH=1,∴CH=AC+AH=2,
在Rt△CHN中,.
∵QA+QB+QC=QM+MN+QC≥CN,
∴当且仅当C，Q，M，N四点共线时，
取得最小值，最小值为
故答案为：
12如图1，已知抛物 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C .
(1)写出A、B、C三点的坐标.
(2) 若点P为△OBC内一点,求OP+BP+CP的最小值.
【答案】(1) A(-3,0), B(4 ,0),C(0,4).
(2)4
【解析】(1)主
得：
x
∴A(-3,0),B(4 ,0),C(0,4).
(2) 将△BOP逆时针旋转60°,至△BP'O',
则OP=O'P',BO=BO',BP=BP',∠PBP'=∠OBO'=60°,
∴△OBO'为正三角形,△PBP'为正三角形,
. BP=PP',
∵OB=4 ,△O'BO为正三角形,
∴易知O'(2 ,-6).
∴OP+BP+CP的最小值为4
13【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法.如图1，我们可以将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形,故PD=PB,由旋转可得DE=PC,因
PA+PB+PC=PA+PD+DE,由两点之间线段最短可知,PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等.
【解决问题】如图2,在直角三角形ABC内部有一动点P ,∠BAC=90°,∠ACB=30°, 连接PA, PB,PC,若AB=3,求PA+PB+PC的最小值 .
【答案】3
【解析】解:将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△EBF,连接PF, CE , 作EH⊥CA交CA的延长线于点H,
在Rt△ABC中,∠ACB=30°,AB=3,
∴BC=2AB=6 , AC= AB=3
由旋转的性质可知:PA=EF,△PBF、△ABE是等边三角形,
∴PF=PB,
∴PA+PB+PC=EF+FP+PC,
∵EF+FP+PC≥CE,
∴当C、P、F、E共线时, PA+PB+PC的值最小,
∵∠BAC=90°,∠BAE=60°,
.∠HAE=180°-90°-60°=30°,
∵EH⊥AH,AE=AB=3,
∴PA+PB+PC的最小值为3
故答案为：3
14.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,以B为圆心,BC为半径逆时针旋转,得到BE,使AE//BC,交AC于点F,过C作CM⊥BE交AE于点G.
(1) 若 求AE的长.
(2)点D是BC边上一动点，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小，此时AP的长为m，请直接用含m的式子表示PA+PB+PC的最小值.
【答案】
【解析】(1)过点B作BH⊥EA交EA延长线于点H,
∵AE∥BC,
∴∠HAB=∠ABC=45°,
∵AH⊥BH,
∵BC绕点B逆时针旋转得到BE，
∴在Rt△HBE中,
(2)以BC为边向下作等边△BCN,以BP为边向下作等边△BPR,连接RN,AN,
∵△BCN,△BPR都是等边三角形,
∴BC=BN=CN,BP=BR=PR,∠CBN=∠PBR,
∴∠CBN-∠CBR=∠PBR-∠CBR,
∴∠NBR=∠CBP.
在△BNR和△BCP中,
∴△BNR≌△BCP(SAS),
∴PC=RN,
∴PA+PB+PC=PA+PR+RN≥AN,
∴当且仅当A,P ,R,N四点共线时,
PA+PB+PC取得最小值，最小值为为线段AN的长，
当PA+PB+PC取得最小值时，如图所示，
此时点D也在线段AN上，
:AB=AC,BN=CN,
∴AN垂直平分BC,
∴BD=AD=CD,
设PD=a,则RD=a,BP=PR=2a.
∴PA+PB+PC的最小值为
【标注】【知识点】旋转性质综合应用

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