资源简介

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其他类型几何最值常考问题
模型原理
1.精华点拨
1.对称类线段和的最小值问题，可考虑对称作图，利用两点间线段最短或垂线段最短解决.
2.对称类线段差的最值问题，看两线段是否能相等，若能，则最小值为0.
3.旋转类最值模型————AB最大时是A'B'；AB最小时是
2.题型汇总
3.策略分析
几乎所有的动点最值类问题，其核心底层原理皆离不开以下4大概念
1.两点之间，线段最短
2.点线之间，垂线段最短
3.平行线之间，垂线段最短
4.点圆之间，穿心线
注：故而，如不能确定其属于哪种最值类型的话，可以从上述4大底层原理作为出发点，展开思考。
真题精炼
1如图，在平面直角坐标系中，点A在直线 上，且点A的横坐标为4 ，直角三角板的直角顶点C.落在x轴上，一条直角边经过点A ，另一条直角边与直线OA交于点B ，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 .
2.如图平行线l 、l ，点A是l 上的定点，AB⊥l 于点B，点C、D分别是动点，且满足 BH⊥CD于点H ,则当∠BAH最大时, sin∠BAH的值为
3.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E ，F分别是边AB ，BC上的动点，且满足 点M是DF的中点, G是边AB上的点, AG =2GB,则 的最小值是( )
A.4 B. 5 C. 8 D. 10
4.如图, ⊙M的圆心为M(4,0), 半径为2, P是直线 上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 .
5.如图，在菱形ABCD中， E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M ,交BD于点N .连接EN,CN.
(1)求证:
(2)求 的最小值.
6.边长为2的等边 的A、 B在射线OM、ON上滑动, 若 ，则OC最大值是
7.如图,矩形ABCD中,. 点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD, BC于点M , N , 过点M作 交BD于点E,连接EN,BM, DN .下列结论:① ②四边形MBND的面积不变;③当AM:MD=1:2时, ④BM+MN+ND的最小值是20.其中所有正确结论的序号是
8.如图，在菱形ABCD中， .折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E ，F .当点M与点B重合时，EF的长为 ；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 .
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，4)，P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转 得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 .
10如图矩形ABCD中， .若点E是边AD上的一动点 ，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC ，直线BC于点O、F，则点E移动过程中，. 最小值为
11等腰三角形+锐角三角函数+旋转+最大值——23菏泽模拟/21镇江+填空压轴+初三如图等腰三角形ABC， 点P在边AC上运动(可与A，C重合)，将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到DP ，连接BD，则BD长最大值为
12.如图,在△ABC中,. ,点D、F分别在BC、AC上,( ,BF交AD于点E,则△AFE面积的最大值是 .
13.如图,矩形ABCD, 点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上.当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 .
14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC= BC=4,点D是BC边的中点,点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ ，连接CQ，则CQ的最小值是( )
B. 1
15.如图,在△ACD中, ,且△DAB∽△DCA,若AD=3AP,点Q是线段AB上的动点, 则PQ的最小值是( )
16.如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为 P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ ,切点为Q ,则PQ的最小值为
17如图，在 中， ，D是BC的中点，直线l经过点D， 垂足分别为E ,F ,则AE+BF的最大值为( )
18.等边三角形+旋转+全等+共线+最大最小值——221深圳模拟/20十堰+填空压轴+初三如图D是等边三角形ABC外一点 ，若 ，则AD最大值与最小值的差为
1如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y= 上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在 ax轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B ，当点O在a轴上移动时，线段AB的最小值为 .
【答案】
【解析】如图,作AM⊥c轴,垂足为M , BN⊥x轴,垂足为N,设点C(x,0),
∵点A在函数 x图象上，且点A的横坐标为4，
∴A(4,3),
OA=5,
设点B(4m,3m),则OB=5m,
.. AB=5-5m,
NC=x-4m
∴△BNC∽△CMA,
即
整理得
点C在z轴上，方程必有实数解，
即
解得m≥4(舍去)或
∴m取最大值为
故答案为：4.
2如图,已知两条平行线l 、l ,点A是l 上的定点, AB⊥l 于点B,点C、D分别是l 、l 上的动点,且满足AC= BD,连接CD交线段AB于点E,BH⊥CD于点H,则当∠BAH最大时,sin∠BAH的值为 .
【答案】
【解析】
【分析】
如图，取线段BE的中点O，连接OH ，根据直角三角形的性质即可得出
确定出点H在⊙O上运动，即可得出当AH与⊙O相切，即AH⊥OH时,∠BAH最大,证明△ACE≌△BDE,得出AE=BE=2OE,再根据 即可求解；
【详解】
如图，取线段BE的中点O，连接OH，
∵BH⊥CD,
即∠BHE=90°,
∴点H在⊙O上运动，
当AH与⊙O相切,即AH⊥OH时,∠BAH最大,
∵l ∥l ,
∴∠1=∠2,∠3=∠BDA,AC=BD
∴△ACE≌△BDE(ASA),
∴AE=BE=2OE,
: sir
故答案为 :
【点睛】
该题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹.
【标注】 【知识点】正弦的定义
【知识点】全等三角形
【知识点】切线的性质定理
【知识点】圆心角和圆周角
3.如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,P分别是边AB,BC上的动点,且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点,G是边AB上的点,AG=2GB,则 的最小值是( )
A.4 B. 5 C. 8 D.10
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明△ADE≌△BAF(SAS)得到∠ADE=∠BAE,进而得到∠DOF =90°,则由直角三角形的性质可得 如图所示，在AB延长线上截取BH =BG，连接FH ，易证明△FBGa△FBH(SAS),则FH =FG,可得当H、D、F三点共线时,DF+HF有最小值,即此时 G有最小值，最小值即为DH的长的一半，求出AH=8，在Rt△ADH中，由勾股定理得 责任 的最小值为5.
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,
又∵AE=BF,
∴△ADE≌△BAF(SAS),
∴∠ADE=∠BAF,
∴∠DOF=∠ADO+∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°,
∵点M是DF的中点，
如图所示，在AB延长线上截取BH =BG，连接FH，
∵∠FBG=∠FBH=90°,FB=FB,BG=BH,
∴△FBG≌△FBH(SAS),
∴FH=FG,
∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时 有最小值，最小值即为DH的长的一半，
∵AG=2GB,AB=6,
∴BH=BG=2,
∴AH=8,
在Rt△ADH中，由勾股定理得
的最小值为5，
故选:B.
【标注】 【知识点】正方形的性质
【知识点】勾股定理
【知识点】全等三角形
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
4如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y=x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 .
【答案】2
【解析】记直线y=x+4与x,y轴分别交于点A ,K,连接QM,PM,KM,
当x=0,y=4,即K(0,4),
当y=0,即x+4=0,解得:x=-4,即A(-4,0),
∵M(4,0),
∴OA=OK=OM=4,
∴△OAK,△OKM均是等腰直角三角形,
.∠AKO=∠MKO=45°,
:QP与⊙M相切,
∵QM=2,
. PM取最小值时，PQ取得最小值，
∴当PM⊥AK时，PM取得最小值，即点P与点K重合，此时PM最小值为KM，
在Rt△OKM中，由勾股定理得：
∴PQ最小值为2
【标注】 【知识点】垂线段最短
【知识点】一次函数图象与x轴、y轴交点
【知识点】勾股定理
【知识点】切线的性质定理
5如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,E是BC边上一个动点, 连接AE,AE的垂直平分线MN交AE于点M ,交BD于点N .连接EN,CN .
(1)求证:EN=CN;
(2)求2EN+BN的最小值.
【答案】(1)见详解
(2)2
【解析】
【分析】
(1)根据菱形的性质证明△ABNm△CBN，再结合MN是AE的垂直平分线，即可证明EN=CN;
(2)过点N作NF⊥BC于点F,连接NF,AF,∠DBC=30°,则 故 此时AF⊥BC,在Rt△ABF中，进行解直角三角形即可.
【详解】
(1)证明:连接AN,
∵四边形ABCD是菱形，
∵BN=BN,
∴△ABN=△CBN,
∴AN=CN,
∵MN是AE的垂直平分线，
AN=NE,
∴EN=CN;
(2)解:过点N作NF⊥BC于点F,连接NF,AF,
∵∠DBC=30°,
∵AN=EN.
当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：
即AF⊥BC,
∴在Rt△ABF中,
∴2EN+BN的最小值为2
【点睛】
本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解直角三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键.
【标注】 【业务题型】证明题
【知识点】菱形的性质
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
【知识点】解直角三角形的定义及常见类型
6如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，取AB的中点D，连接OD，CD，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出
，再根据直角三角形的性质得到 再由OC≤OD+CD可得当O、C、D三点共线时，OC有最大值，最大值为1+
【详解】
解:如图所示,取AB的中点D,连接OD,CD,
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴CD⊥AB,BC=AB=2,
∴BD=AD=1,
∵OM⊥ON,即
∵OC≤OD+OD,
∴当O、C、D三点共线时，OC有最大值，最大值为1+
故答案为：1+
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当O、C、D三点共线时，OC有最大值是解题的关键.
【标注】 【知识点】等边三角形的性质
【知识点】勾股定理
【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用
7如图,矩形ABCD中,AB=6 , AD=8,点P在对角线BD上,过点P作MN⊥BD,交边AD,BC于点M ,N,过点M作ME⊥AD交BD于点E,连接EN,BM,DN.下列结论:①EM=EN;②四边形MBND的面积不变;③当AM:MD=1:2时, BM+MN+ND的最小值是20.其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【解析】解:∵EM=EN,MN⊥BD,
∴MP=PN,在点P移动过程中,不一定MP=PN,相矛盾,故①不正确;
延长ME交BC于点H,则ABHM为矩形,
∴∠MDE=∠EMN,
∴△MHN∽△DAB,
风
解得：
V
故②正确；
∵ME∥AB,
∴△DME∽△DAB,
∴ME=4,
∵∠MDE=∠EMN,∠MPE=∠A=90°,
∴△MPE∽△DAB,
故③正确，
即当MB+ND最小时,BM+MN+ND的最小值,
作B、D关于AD、BC的对称点B 、D ,把图1中的CD 向上平移到图2位置,使得
连接B D ,即B D 为MB+ND的最小值,
这时
即BM+MN+ND的最小值是20,故④正确;
故答案为：②③④
【标注】【知识点】特殊平行四边形
8如图，在菱形ABCD中， .折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F .当点M与点B重合时，EF的长为 ；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 .
【答案】
【解析】如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD,∠A=∠C=60°,
∴△ADB,△BDC都是等边三角形,
当点M与点B重合时，EF是等边△ADB的高， 如图2,连接AM交EF于点O,过点O作OK⊥AD于点K ,交BC于点T,过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AF的中点R，连接OR.
∵AD∥CG,OK⊥AD,
∴OK⊥CG,
∴四边形AGTK是矩形，
∵OA=OM,∠AOK=∠MOT,∠AKO=∠MTO=90°,
∴△AOK≌△MOT(AAS),
∵OK⊥AD,
∴AF=2OR≥3
∴AF的最小值为3
∴DF的最大值为6-3
故答案为：3 ,6-3
【标注】 【知识点】菱形与全等综合
9如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，4)，P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 .
【答案】2
【解析】∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，
∴∠APF=60°,PF=PA.
∴△APF是等边三角形.
∴AP=AF.
如图，当点F 在x轴上时，△P AF 为等边三角形，则P A=P F =AF ,∠AP F =60°,
∵AO⊥P F ,
由勾股定理得：
∴点F 的坐标为
如图，当点F 在y轴上时，
为等边三角形,AO⊥P O,
∴点F 的坐标为(0,-4).
∴点F运动所形成的图象是一条直线.
∴当OF⊥F F 时,线段OF最短.
设直线F F 的解析式为y= kx+b,
则 解得
∴直线F F 的解析式为
∵AO=F O=4,AO⊥P F ,
在Rt△OF F 中,
设点O到F F 的距离为h，
则
解得h=2，即线段OF的最小值为2.
故答案为2.
【标注】 【知识点】旋转
10如图,在矩形ABCD中, AB=5,AD=10.若点E是边AD上的一个动点,过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为 .
【答案】
【解析】过点D作DM//EF交BC于M ,过点A作AN//EF ,使AN=EF,连接NE,
∴四边形ANEF是平行四边形.
∴AN=EF,AF=NE.
∴当N、E、C三点共线时,AF+CE最小.
即AF+EF+CE的值最小,
∵四边形ABCD是矩形, AB=5,AD=10,
∴AD=BC=10,AB=CD=5,AD∥BC,∠ABC=90°.
∵四边形EFMD是平行四边形.
∴DM =EF=AN.
∵EF⊥AC,
∴DM⊥AC,AN⊥AC.
∴∠CAN =90°.
∴∠MDC+∠ACD=90°=∠ACD+∠ACB.
∴∠MDC=∠ACB.
∴tan∠MDC=tan∠ACB,即
在Rt△CDM中，由勾股定理得
在Rt△ACN中，由勾股定理得
∵AF+FE+EC=CN+AN,
∴AF+FE+EC的最小值为
故答案为：
【标注】【知识点】最短路径问题
11.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=6,cos∠ABC= 点P在边AC上运动(可与点A，C重合)，将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为 .
【答案】9
【解析】∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，
∴BP=PD,∠BPD=120°,
∴∠PBD=30°,
过点P作PH⊥BD于点H,
∴BH=DH,
∴当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP=BA最大，过点A作AG⊥BC于点G,
∵AB=AC,AG⊥BC,
12.. AB=9,
.. BD最大值为:
因此正确答案为：9
【标注】【知识点】旋转
13.如图,在△ABC中,AB=4,BC=5,点D、F分别在BC、AC上,CD=2BD,CF=2AF,BF交AD于点E,则△AFE面积的最大值是 .
【答案】
【解析】如图，连接DF，
∵CD=2BD,CF=2AF,
∵∠C=∠O,
∴△CDF∽△OBA,
∴DF∥BA,
∴△DFE∽△ABE,
∵CF=2AF,
∵CD=2BD,
∵在△ABC中,AB=4,BO=5,
∴当AB⊥BC时,△ABC面积最大,为
此时△AFE面积最大为
故答案为：
14.如图,矩形ABCD,AB=1,BC=2,点A在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上.当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 .
【答案】
【解析】如下图所示,取AD的中点H ,连接CH,OH,
∵矩形ABCD,AB=1,BC=2,
∴CD=AB=1,AD=BC=2,
∵点H是AD的中点，
∴AH=DH=1,
点H是AD的中点，
在△OCH中,CO当点H在OC上时,CO=OH+CH,
∴CO的最大值为(
因此正确答案为：
【标注】 【知识点】特殊平行四边形
15.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点,点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ的最小值是( )
B.1 C. D.
【答案】B
【解析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：
∵△PDQ是等边三角形，
∴∠CED=∠PDQ=∠CDE=60°,PD=QD,CD=ED,
∵∠CDQ是公共角,
∴∠PDC=∠QDE,
∴△PCD≌△QED(SAS),
∵∠ACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点,
∴点Q是在QE所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE时,CQ取得最小值,
故选B.
16.如图,在△ACD中, 且△DAB∽△DCA,若AD=3AP,点Q是线段AB上的动点,则PQ的最小值是( ).
D.
【答案】A
【解析】
如图,过点B作BH⊥AD于点H,
∵△DAB∽△DCA,
解得:BD=4(负值舍去) ,
∵△DAB∽△DCA,
∴AB=4,
∴AB=BD=4,
过B作BH⊥AD于H,
∵AD=3AP,AD=6,
∴AP=2,
当PQ⊥AB时,PQ的值最小,
∵∠AQP=∠AHB=90°,∠PAQ=∠BAH,
∴△APQ∽△ABH,
故选A.
【标注】 【知识点】相似三角形中的动点问题
17如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为 ，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ,切点为Q ,则PQ的最小值为 .
【答案】3
【解析】连接CP、CQ,作CH⊥AB于H,如图,
∵等边三角形ABC的边长为4，
∴AB=CB=4,∠ACB=60°,
:PQ为⊙O的切线,
∴CQ⊥PQ,
在Rt△CPQ中,
∵点P是AB边上一动点，
∴当点P运动到H点时，CP最小，
即CP的最小值为2
∴PQ的最小值为
故答案为：3.
18如图,在△ABC中,AB=2,∠ABC=60°,∠ACB=45°,D是BC的中点,直线l经过点D,AE⊥l,BF⊥l, 垂足分别为E, F,则AE+BF的最大值为( ).
A. B. 2 C. 2 D.3
【答案】A
【解析】如图,过点C作CK⊥l于点K ,过点A作AH⊥BC于点H,
在Rt△AHB中,
∵∠ABC=60°,AB=2,
BH=1,AH=
在Rt△AHC中,
∵点D为BC中点,
∴BD=CD,
在△BFD与△CKD中.
∴△BFD≌△CKD(AAS),
∴BF=CK,
延长AE,过点C作ON⊥AE交AE的延长线于点N,
可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,
在Rt△ACN中,AN当直线l⊥AC时，AN最大值为
综上所述，AE+BF的最大值为
故选A.
【标注】【知识点】勾股定理与最值
19.如图，D是等边三角形ABC外一点，若BD=8，CD=6，连接AD，则AD的最大值与最小值的差为 .
【答案】12
【解析 如图，以CD为边向外作等边△CDE，连接BE，
∵△CDE和△ABC是等边三角形,
∴CE=CD,CB=CA,∠ECD=∠BCA=60°,
∴∠ECB=∠DCA,
在△ECB和△DCA中,
∴△ECB≌△DCA(SAS),
∴BE=AD,
∵DE=CD=6,BD=8,
∴BD-DE≤BE≤BD+DE,
即8-6≤BE≤8+6,
∴2≤BE≤14,
∴2≤AD≤14.
则当B、D、E三点共线时，如图所示：
可得BE的最大值与最小值分别为14和2.
∴AD的最大值与最小值的差为14-2=12.
故答案为：12.
【标注】 【知识点】SAS
【知识点】等边三角形的性质

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