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湖北省宜荆荆恩 2025 届高三 4 月联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数 满足(3 + 4 ) = 5 ，则| | =( )
A. 1 125 B. 5 C. 1 D. 5
2.已知命题 : ∈ ，|1 | ≤ 1，命题 : > 0， 2 > 2 ，则( )
A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
3.已知 ， ， 均为单位向量若 = ，则 与 夹角的大小是( )
A. 2 3 B.

3 C.
5
6 D. 6
1 3
4.已知 > 1 , 2，函数 ( ) = 4 的值域为 ，则实数 的取值范围是( )
log , > 2
A. [2, + ∞) B. (1, 2] C. (1, 2) D. [ 2, + ∞)
5.运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁 4 个人参加当天 3000 米，1500 米和跳高三个比赛项目的
现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方
法有( )
A. 32 种 B. 24 种 C. 18 种 D. 12 种
6.已知函数 ( ) = 1 ， ( ) = ln ，在公共定义域内，下列结论正确的是( )
A. ( ) ≥ ( )恒成立 B. ( ) ≤ ( )恒成立
C. ( ) ( ) ≥ 0 恒成立 D. ( ) ( ) ≤ 0 恒成立
7 1 1 2.已知随机变量 ， 均服从两点分布，若 ( = 1) = 3， ( = 0) = 3，且 ( = ) = 3，则 ( = 0) =( )
A. 2 B. 13 6 C.
1
3 D.
4
9
8.设 2 是函数 ( ) = + log +1 2 3 ( ∈ )的一个零点，记 = [

2 ]，其中[ ]表示不超过 的最
大整数，设数列{ }的前 项和为 ，则 1001 =( )
A. 4992 B. 499 × 500 C. 5002 D. 500 × 501
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 cos cos = 13，cos( + ) =
1
4，则( )
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A. sin sin = 112 B. cos( ) =
1
6
C. tan tan = 14 D. cos2 + cos2 =
5
24
10.已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，圆 : ( + 2)2 + 2 = 1，圆 上存在动点 ，过 作圆 的切线
，也与抛物线 相切于点 ，抛物线 上任意一点 到直线 与直线 = 2的距离分别为 1， 2.若点 的坐标
( 5 , 3为 2 2 )，则( )
A. (2,0)
B. | | = 163
C. 1 +
8
2的最小值为3
D. 5 3圆 上的点到直线 的最大距离为 3 + 1
11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1，点 满足 = + + 1，其中 ， ， ∈ [0,1]，下
列正确的是( )
A.当 = = 1 时，则异面直线 与 所成角的正切值范围是[1, 2]
B.当 + = 1， = 0 时，则 + 6+ 21的最小值为 2
C.当 + + = 1 3时，线段 的长度最小值为 3
D. 3 3当 + + = (0 < < 3)时，记点 的轨迹为平面 ，则 截此正方体所得截面面积的最大值为 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.记 为等差数列{ }的前 项和，若 3 + 4 = 7， 10 = 95，则 5 = ．
2 2
13 : .已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点分为 1， 2，过 2的直线与椭圆 交于 ， 两点．若
2 =
2 2 , = 1 ，则椭圆 的离心率 = ．
14.已知 ( )是定义在(0, + ∞)上的单调递减函数，且对 ∈ (0, + ∞) 1 1，均有 ( ) ( ( ) ) = 2，若不
等式 ( ) ≥ 在(0, + ∞)恒成立，则实数 的最大值是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2025 宜昌马拉松比赛于 2025 年 4 月 13 日在宜昌城区举行，主管部门为提升服务质量，随机采访了 120
名参赛人员，得到下表：
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性别
满意度 合计
女性 男性
比较满意 50
非常满意 40 70
合计 60 120
(1)依据小概率值 = 0.1 的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异
(2)用频率估计概率，现随机采访 1 名女性参赛人员与 1 名男性参赛人员，设 表示这 2 人中对该部门服务
质量非常满意的人数，求 的分布列和数学期望．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
16.(本小题 15 分)
2 2
已知双曲线 : 2
3
2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 (2, 3 )在 上，且 2 ⊥ 1 2．
(1)求 的标准方程;
(2)过 2的直线交双曲线 于 ， 两点( , 两点均位于 轴下方， 在左， 在右)，线段 与线段 1 交于
点 ，若△ 1 的面积等于△ 的面积，求| |．
17.(本小题 15 分)
如图所示，在△ 中，sin = 3sin ， 平分∠ ，且 = ．
(1)若 = 2，求 的长度;
(2)求 的取值范围;
(3) 3若 △ = 2，求 为何值时， 最短．
18.(本小题 17 分)
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如图，已知四边形 为直角梯形， ⊥ ， // ， = 2 = 2 ，以 所在直线为轴将四边形
旋转到四边形 ，连接 ， ，且 ， ， ， 四点共面．
(1)证明：多面体 是三棱台;
(2)若∠ = 3，求直线 与平面 所成角的正弦值;
(3) 1若 = 2，二面角 的余弦值为 7，求平面 与平面 夹角的余弦值．
19.(本小题 17 分)
定义：若函数 ( )图象上恰好存在相异的两点 ， ，满足曲线 = ( )在 和 处的切线重合，则称 ，
为曲线 = ( )的“双重切点”，直线 为曲线 = ( )的“双重切线”已知函数 ( ) = sin + cos .
(1)当 = 1， = 0 时
(ⅰ) ( ) 判断 的奇偶性，并求 ( )在[ 2 , 2 ]的极值;
(ⅱ) 设 ( )在(0, + ∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列 1， 2， ， ，求证：2 < +1 < ;
(2)当 = 0， = 1 时，直线 为曲线 = ( )的“双重切线”，记直线 的斜率所有可能的取值为 1， 2，
15， ，若 1 > 2 > ( = 3,4,5, , )，证明： 1 < 8．2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.8
13. 33
14. 2
15.解：(1)完善二联表为：
性别
满意度 合计
女性 男性
比较满意 30 20 50
非常满意 30 40 70
合计 60 60 120
零假设 0:依据小概率值 = 0.1 的独立性检验，
认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异，
2 = 120×(30×40 30×20)
2 24
50×70×60×60 = 7 > 2.706，
故依据小概率值 = 0.1 的独立性检验，
能认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异．
(2) 30 1由于女性对服务非常满意的概率为60 = 2，
40 2
男性对服务非常满意的概率为60 = 3，故 = 0,1,2，
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( = 0) = (1 12 ) × (1
2 ) = 13 6，
( = 1) = (1 1 ) × 2 + 1 2 12 3 2 × (1 3 ) = 2，
= 2 = 1 × 2 = 12 3 3，
故 的分布列为：
0 1 2
1 1 1
6 2 3
= 0 × 1 + 1 × 1故 6 2+ 2 ×
1
3 =
7
6．
16.解：(1)因为 2 ⊥ 1 2且 (2, 3 )，所以焦点 2(2,0)，即 = 2，3
= 2
2 2 2
故 + = 4 = 3
2
，解得
3 9 2
，即 ，
= = 3
2 2 = 1
3
2
所以双曲线 : 3
2 = 1．
(2)根据题意过 2(2,0)的直线斜率为 0 显然不满足题意，
故设过 2(2,0)的直线为 = + 2( > 0)，
= + 2
由 2 2 22 ( 3) + 4 + 1 = 0,
3 = 1
= (4 )2 4 × ( 2 3) = 12( 2 + 1) > 0，且 ≠ 3，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则由韦达定理有
1 + =
4 1
2 2 3， 1 2 = 2 3，
因为 △ 1 = △ ，所以 △ 1 = △ ，
即点 1( 2,0)和点 (2,
3 )到直线 = + 2 的距离相等，3
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3
则有 = | 4| = 3 ，解得 = 4 3，
1+ 2 1+ 2
2
所以| | = 1 + 2| 1 2| = 1 + 2 ( 2
2 3( +1)
1 + 2) 4 1 2 = | 2 3| ，
2
所以| | = 2 3( +1) 98 3| 2 3| = 45 ．
17.解：(1)因为 = 3 ，所以 = 3 ，
△ = 在 中，由正弦定理得sin∠ sin∠ ，
在△ 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
因为 平分∠ ，所以∠ = ∠ ，
又∠ + ∠ = = ，所以 ，
因为 = 3 ，且 = 2，所以 = 6．
所以 = 8．
(2)由 △ = △ + △ ，
1 sin∠ = 1 sin ∠ + 1 sin ∠ 得2 2 2 2 2 ，
又 = 3 ， = 3，整理得 = 2 cos
∠
2 ，
cos ∠ 因为 2 ∈ (0,1)，所以 ∈ (0,
3
2 ).
(3)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 2(10 6cos∠ )，
3 1
因为 △ = 2，所以2 sin∠ =
3
2，又 = 3 ，
1
则 2 = ∠ ，
故 BC 2 = 2 5 3cos∠ sin∠ 5 3cos∠ = 2· sin∠ ，
= 5 3cos∠ 记 sin∠ ，
则 sin∠ + 3cos∠ = 5，
所以 2 + 9sin(∠ + ) = 5(其中 tan = 3 ).

故当∠ + = 2时， 取得最小值 4，

此时 cos∠ = cos( 2 ) = sin =
3
5，
3 ∠
又由(2)知 = 2 cos 2 ，
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cos∠ = 2cos2 ∠ 1 cos ∠ 2 5而 2 ，则 2 = 5 ，
= 3 2 5故 2 × 5 =
3 5 3 5
5 ，即当 = 5 时， 最短．
18.解：(1)因为四边形 为直角梯形，所以 / / ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 / /平面 ，
同理可得 //平面 ，
因为 ， 平面 ， ∩ = ，所以平面 //平面 ① ，
又在梯形 中，延长 ， 交于点 ，
∵ ∈ ， 平面 ，∴ ∈平面 ，同理 ∈平面 ，
又∵平面 ∩平面 = ，∴ ∈ ，
故直线 ， ， 相交于点 ， ②，
故由 ① ②可知：多面体 是三棱台;
(2)设 = 2 = 2 = 2，则 = = 2，
又∵ ∠ = 3，∴ = = = 2，
由 2 + 2 = 2，得 ⊥ ．
又∵ ⊥ ， ∩ = ， 、 面 ，∴ ⊥面 ，
过点 作 ⊥ 交 于点 ，故 ， ， 两两互相垂直．
分别以 ， ， 为 轴、 轴、 轴建系．
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则 (0,0,0)， ( 1,1,0)， (1,1,0) (0,0, 2)，
故 = (1, 1,0)， = (1, 1, 2)， = 2,0,0 ，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
→ → → → · = + 2 = 0
由{ ⊥ → → { ,
⊥ →
→
· = 2 = 0
取 = 1，得 = 2， = 0，得 = (0, 2, 1)，
设直线 与平面 所成角为 ，

则 sin = |cos < > | =
· 2
， = 2× 3 =
3
，
3
又因为平面 //平面 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 3
3 ;
(3)取 的中点 ，连接 ， ，
因为 = 2，所以 = = 2，即 为等腰三角形，
故 ⊥ ，同理， ⊥ ，
故∠ 就是二面角 的平面角，
2 2
故 cos∠ = + 82 × =
1，
7
解得 = = 14，故 B = = 2，即2 2 = 2，
又因为 = = 2，故△ 为正三角形，
分别以 ， ， 为 轴、 轴、 轴建系．
则 (0,0,0)， ( 1,1,0)， (1,1,0)， ( 1 , 1 6 ，2 2 , 2 )
则 = 1, 1,0 ， = ( 3 , 1 6 ，2 2 , 2 ) = 2,0,0
设平面 的一个法向量为 1 = ( , , )，
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→ → → → 3
1 ⊥ 1· = 2
1
2 +
6
2 = 0由{ → → { → ,
⊥ →1 1· = 2 = 0
取 = 6，得 = 0， = 1，得 1 = (0, 6, 1)
平面 的一个法向量为 1 = ( , , )，
→ → → →
1 ⊥ 1· =
3 1 6
由{ { 2
2 + 2 = 0
→ → → ,
→1 ⊥ 1· = = 0
取 = 1，得 = 1， = 6，得 63 1 = (1,1, 3 )
设平面 与平面 的夹角为 ，
2 6
cos = |cos < > | = 1· 则 ， 1 3 71 1 1
=
1 7×2 6
= 7 ，
3
又由图像可知，平面 与平面 的夹角为锐角，
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 7
7
19.解：(1)( )当 = 1， = 0 时， ( ) = sin ， ∈ ，
因为 ( ) = sin( ) = sin = ( )，故 ( )是偶函数，

由 ′( ) = sin + cos ， ∈ [ 2 , 2 ]，
当 ∈ [ 2 , 0)

时， ′( ) < 0， ( )单调递减，当 ∈ [0, 2 ]时， ′( ) ≥ 0， ( )单调递增，
故 ( )在[ , 2 2 ]的极小值为 (0) = 0，无极大值；
( )由( )得 ′( ) = sin + cos ，令 ′( ) = 0，则 sin + cos = 0，
对满足方程的 有 cos ≠ 0，所以 = tan ，
设 0是 ′( ) = 0 的任意正实根，则 0 = tan 0，

则存在一个非负整数 ，使 0 ∈ ( 2 + , + )，即 0为第二或第四象限角，
因为 ′( ) = sin + cos = cos (tan + )，
所以在第二或第四象限 变化时， ′( )变化如下，
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所以满足 ′( ) = 0 的正根 0都为函数 ( )的极值点，
由题可知 1， 2， ， 为方程 = tan 的全部正实根，
且满足 1 < 2 < < < ，( = 1,2, )，
所以 +1 = (tan +1 tan ) = (1 + tan +1tan )tan( +1 )，

因为2 + ( 1) < < + ( 1) ，2 + < +1 < + ，( = 1,2, )，

则2 < +1 <
3
2，由 tan +1tan > 0，可得 tan( +1 ) < 0，

故2 < +1 < 得证；
(2)由题意得 ( ) = sin + cos ，当 = 0， = 1 时， ( ) = cos ，
设 1对应的切点为( 1, cos 1)，( 1′, cos 1′)， 1 < 1′，
2对应的切点为( 2, cos 2)，( 2′. cos 2′)， 2 < 2′，
由于(cos )′ = sin ，所以 1 = sin 1 = sin 1′， 2 = sin 2 = sin 2′，

由余弦函数的周期性，只要考虑 < 2 < 1 < 2的情形，
又结合余弦函数的图象，只需考虑 1 + 1′ = ， 2 + 2′ = 3 情形，
= cos 1′ cos 1 = cos( 1) cos 则 1 = 2cos 11 ， 1′ 1 ( 1) 1 2 1
= cos 2′ cos 2 = cos (3 2) cos 2 2cos 22 2′ 2 (3 2)
=
2 3 2
，
2
3
< < < 1 = cos 1 2
2
其中 2 1 2，得到 · ， 2 cos 2 2 1
= 2cos 又 11 2 = sin
2cos 2
1， 2 = 3 2 = sin 2，1 2
即 cos 1 = (

2 1)sin
3
1，cos 2 = ( 2 2)sin 2，
当 < < 2时，sin < 0，cos < 0，
令 ( ) = cos sin +

2 ( < <

2 )，则 ( 1) = 0，
2
( ) = sin cos
2 + 1 = 1 cos
2
′ sin2 sin2 + 1 = sin2 ， < 0
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( )在( , 2 )上单调递减，
( 5 ) = 3 5 又 6 6

2 < 0，所以 < 1 <
5
6，
cos
所以 < 5 2 < 1 < 6，此时 1 < cos 2 < cos 1 < 0，则
0 < 1cos < 1，2
3 3 3
1 = 故 1 · 2
2 2 2 2 ( ) 15
< <2 2 2 1 2
= ，得证．
1 2 (
5 8
6 )
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