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2024-2025 学年广东省广州八十九中高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 1 = 2 + ， 2 = ( ∈ )， 为虚数单位，若复数 1 2为纯虚数，则实数 的值为( )
A. 1 B. 0 C. 2 D. 2
2.已知 , 是平面内的一组基底，则下列四组向量中，能作为一组基底的是( )
A. 2 和 + 2 B. 和 +
C. 2 和 2 4 D. 1 + 1 12 和

4 2
3.如图，正方形 ′ ′ ′ ′的边长为 1 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A. 8
B. 6
C. 2(1 + 3)
D. 2(1 + 2)
4.已知△ 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 2 + 2 = 2 ，则 =( )
A. B. C. 2 6 3 3 D.
5
6
5.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是( )
A. 与 相交
B. 与 平行
C. 与 相交
D. 与 异面
6.如图，测量河对岸的塔高 时，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 ，现测得∠ =
15°，∠ = 135°， = 20 ，在点 测得塔顶 的仰角为 60°，则塔高 =( )
A. 30
B. 20 2
C. 20 3
D. 20 6
7.设向量 , 的夹角为 ，定义： = | || | .若平面内不共线的两个非零向量 , 满足：| | = | | = 1，
2 与 的夹角为 3，则
的值为( )
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A. 3 B. 3 C. 1 D. 32 2 2
8.已知点 为△ 的外心，且向量 = + (1 ) 1， ∈ ，若向量 在向量 上的投影向量为4
，
则 的值为( )
A. 3 52 B. 5 C.
2 5 1
5 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = 3 4 ( 为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A. | | = 5
B. 1 4复数 的虚部为 25
C.若 对应的向量为 , 1 + 对应的向量为 ，则向量 对应的复数为 2 + 5
D.若复数 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，则 + = 19
10.在△ 中，下列结论中，正确的是( )
A.若 2 = ，则△ 是等腰三角形
B.若 > ，则 >
C.若 2 + 2 > 2，则△ 为锐角三角形
D.若 = 60°， = 4，若△ 有两解，则 长的取值范围是(2 3, 4)
11 3 3.如图， 是边长为 2 的正方形， 1， 1， 1， 1都垂直于底面 ，且 1 = 2 1 = 2 1 =
3 1 = 3，点 在线段 1上，平面 1交线段 1于点 ，则( )
A. 1， 1， 1， 1四点共面
B.该几何体的体积为 6
C.过四点 1， 1， ， 四点的外接球表面积为 12
D.截面四边形 1 的周长的最小值为 10
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.如图，已知正方形 的边长为 3，且 = ( + 2 )，则 = ______．
13.下列命题正确的有______．
①若直线 上有无数个点不在平面 内，则 //
②若直线 与平面 平行，则 与平面 内的所有直线都平行
③若直线 与平面 平行，则 与平面 内的任意一条直线都没有公共点
④如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
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14.已知四棱锥 的 5 个顶点都在球 的球面上，且 ⊥平面 ， = = = 4， = 3，
= 7，则球 的表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (3,2), = ( , 1)．
(1)当( + 2 ) ⊥ (2 )，且 > 0 时，求| |；
(2)当 = ( 8, 1), //( + )，求向量 与 的夹角 ．
16.(本小题 15 分)
如图，圆锥 的底面直径和高均是 ，过 上的一点 ′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆
柱．
(1)若 ′是 的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；
(2)当 ′为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 为菱形，∠ = 60°，△ 是以 为斜边的等腰直
角三角形， ， 分别是 ， 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)设 为 的中点，过 ， ， 三点的截面与棱 交于点 ，指出点 的位置并证明．
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18.(本小题 17 分)
在斜△ 1中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 2 + = ，且 = 7．
(1)求 ；
(2)若点 为 中点，且 = 1，求△ 的面积．
19.(本小题 17 分)
如图，半圆 的直径为 4 ， 为直径延长线上的点， = 4 ， 为半圆上任意一点，以 为一边作等边
三角形 .设∠ = ．
(1) 当 = 3时，求四边形 的周长；
(2)克罗狄斯 托勒密( )所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四
边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，
则当线段 的长取最大值时，求∠ ．
(3)问： 在什么位置时，四边形 的面积最大，并求出面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.92
13.③
14.1963
15.解：(1) ∵ ( + 2 ) ⊥ (2 ) ( + 2 ) (2 ) = 0，
+ 2 = (3 + 2 , 0)，2 = (6 , 5)，∴ (3 + 2 )(6 ) + 0 × 5 = 0，解得 = 6 或 32 (舍去)，
= ( 3,3)，
∴ | | = ( 3)2 + 32 = 3 2；
(2) ∵ + = ( 8, 2)， / /( + )，
∴ 3 × ( 2) 2( 8) = 0，解得 = 5， = (5, 1)，

∴ = = 3×5+2×( 1) 13 2| || = = ，| 32+22 52+( 1)2 13 2 2
∵ ∈ [0, ]，
∴ = 4．
16.解：(1)设圆柱的底面半径为 ，
= 由三角形中位线定理可得， 4，圆柱的母线长为 =

′ 2，
2 5
又圆锥的母线长为 = 2 + 4 = 2 ，
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所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，
则 = × ( 2 5 5+2 22 ) + × 2 × 2 + 2 × 4 × 2 = 4 ，
圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积，
1 5
即 = 3 ( 2 )
2 × ( 2 34 ) × 2 = 96 ；
(2)设 ′ = ，由平面几何知识可知， = ，2
1
所以 = 2 ( )，
= 2 = ( ) ≤ (
2
故被挖去的圆柱的侧面积为 )22 = 4 ，
2
当且仅当 = 2时取等号，即 ′ = 2时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为 4 ．
17.(1)证明：如图，取 中点 ，连接 ， ，
因为 为 中点，所以 // 1，且 = 2 ，
又因为四边形 为菱形，且 为 中点，
所以 // ，且 = 12 ，
所以 // ，且 = ，所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)解： 为 的中点，
证明如下：因为 // 且 = ，故 BCGE 为平行四边形，故 EG// ，
平面 ， 平面 ，故 EG//平面 ，
又 平面 ，平面 ∩平面 = ，所以 // ，
又 // ，所以 // ，
因为 为 的中点，所以点 为 的中点．
18.解：(1)因为 2 + = ，
由正弦定理可得： 2 + = = + ，
所以 2 = ，
因为 ≠ 0， ≠ 0，
1
所以 = 2，而 ∈ (0, )，
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= 5 所以 6或6，
= 5 1 当 6时，因为 = 7 < cos 6，

所以 > 6，此时 + > ，不符合条件；
= 1所以 6，因为 = 7，
所以 = 4 37 ，
所以 = + = 1314；
(2)因为点 为 中点，且 = 1，
因为 2
2
= + ，所以 4 =
2 2 2 2+ + 2 = + + 2| | | | ，
1
即 4 = 2 + 2 + 2 × 7，

由正弦定理可得： = ，

即13 =
13
1，可得 = 7 ，
14 2
13 13 1 49
所以 4 = ( 27 ) +
2 + 2 × 7 × × 7，解得
2 = 61，
= 1 = 1 × 13 2 × 4 3 = 26 3所以 △ 2 2 7 7 61 ．
19.解：(1)半圆 的直径为 4 ， 为直径延长线上的点， = 4 ，
为半圆上任意一点，以 为一边作等边三角形 ，设∠ = ，
△ 中， = 4， = 2，∠ = = 3，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 16 + 4 2 × 4 × 2 × 12 = 12，
即 = 2 3，于是四边形 的周长为 + + 2 = (6 + 4 3) ；
(2)任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，
因为 + ≥ ，且△ 为等边三角形， = 2， = 4，
所以 + ≥ ，所以 ≤ 6，
即 的最大值为 6，取等号时∠ + ∠ = ，
所以 cos∠ + cos∠ = 0，不妨设 = ，
2+4 36 2+ +16 36则 4 8 = 0，解得 = 2 7，
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所以 cos∠ = 16+36 282×4×6 =
1
2，所以∠ =

3；
(3)在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 20 16 ，
所以 = 20 16 ，0 < < ，
1
于是四边形 的面积为 = △ + △ = 2 +
3
4
2
= 4 + 34 (20 16 ) = 4 4 3 + 5 3
= 8 ( 3 ) + 5 3，
当 = = 5 3 2，即 6时，四边形 的面积取得最大值为 8 + 5 3，
5
所以，当 满足∠ = 6时，四边形 的面积最大，最大值为 8 + 5 3．
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