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2025年陕西省西安市长安区高考数学三模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，且，，则的子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于( )
A. B. C. D.
3.如图，向量，，若，，，为线段的等分点，则( )
A.
B.
C.
D.
4.某学生的密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成该生在登录时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为( )
A. B. C. D.
5.定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差已知各项均为正数的数列是等方差数列，且公方差为，，则数列的前项的和为( )
A. B. C. D.
6.已知曲线，，其中，点，，是曲线与依次相邻的三个交点若是等腰直角三角形，则( )
A. B. C. D.
7.已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当的值最大时，( )
A. B. C. D.
8.函数的定义域为，为是奇函数，且的图像关于对称．若曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列结论正确的有( )
A.
B. 数据，，，，，的分位数为
C. 数据，，，，，的标准差为
D. 若，随机变量，，则
10.已知曲线：，则( )
A. 不是封闭图形 B. 有条对称轴
C. 与坐标轴有个交点 D. 与直线有个交点
11.随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等领域，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数已知某种信号的波形可以利用函数的图象近似模拟，则( )
A. 是非奇非偶函数
B. 的值域为
C. 当时，关于的方程在区间上所有不等实根的和为
D. 的图象与的图象恰有个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，则向量在向量方向上的
投影向量的坐标为，则 ______．
13.已知抛物线：，其中，是过抛物线焦点的两条互相
垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形
图案阴影区域”的面积为______．
14.小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测试；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，向量，，．
求；
若，求的面积．
16.本小题分
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数则曲线在点处的曲率．
若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小；
求正弦曲线曲率的最大值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，底面是边长为的菱形，．
证明：平面平面；
若平面与平面所成角的正切值为，点满足，求直线与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
对于二次曲线：，我们有：若是曲线上的一点，则过点与曲线相切的直线方程为已知椭圆：，，动圆：，点是与在第一象限的交点．
求椭圆的离心率；
过点作动圆的切线，经过椭圆的右焦点，求与满足的关系式；
若，直线与，均相切，切点在上，切点在上，求的最大值．
19.本小题分
定义：若数列满足，，，则称为“两点数列”；定义：对于给定的数列，若数列满足，，则称为的“生成数列”已知为“两点数列”，为的“生成数列”．
若，求的前项和；
设：为常数列，：为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件；
求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式．
参考答案
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14.
15.解：根据，，可得，
结合题意，化简得，
根据正弦定理得，
因为中，，
所以，整理得．
结合中，，化简得，即，
在中，，所以，；
由，可得，化简得，
所以，
因为，
所以，整理得，解得舍负．
所以．
16.解：，，，
，，
；
，，，
，．
，
．
，，
，，
，
，
令，
则，，
，
函数在上单调递减，
的最大值为，
因此的最大值为，，，．
17.解：证明：连接交于点，连接，
因为是菱形，所以，
又因为为的中点，，所以，
又，面，且，所以平面，
又平面，所以平面平面；
过作交于点，面面，，
面面，面，所以面，
因为，，，面，，所以面，
又面，所以，
所以为，的交点，为等边三角形，
所以为的重心，
设与交点为，连接，则为二面角的平面角，
因为，在中，解得，
因为，所以，所以平面，
以为原点，，，所在直线为，，轴建立如图坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，可得：，
即，又，
设平面和直线所成的角为，
则，
所以．
18.解：因为，
所以，
则椭圆的离心率；
易知，
因为点是与在第一象限的交点，
所以，
解得，
因为，
所以，，
圆在处切线方程为，
因为直线过焦点，
所以，
所以；
若，
此时，，
设，，
椭圆在处切线为，
圆在处切线为，
因为直线与均相切，
所以，
即，
因为点在椭圆上，点在圆上，
所以，
解得，，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最大值为，
故的最大值为．
19.解：依题意
故
因为，所以，
当为奇数时，，
当为偶数时，，即的奇数项，偶数项分别成等比数列．
故当为偶数时，
．
当为奇数时，．
综上所述，；
充分性：因为，所以，
所以，
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
故是的充分条件．
必要性：假设为等比数列，而不为常数列，
则中存在等于的项，设项数最小的等于的项为，其中，
所以，
则等比数列的公比为．
又，得等比数列的公比为，与式矛盾，
所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列，
故是的必要条件．
综上，可知是的充要条件．
当，时，，当，时，，
当，时，，当，时，．
综上所述，或或上述四种情形每种中或．
又由题意可知，所以，
所以，故的最大值为，
此时的通项公式可以是．
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