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辽宁省普通高中 2025 届高三下学期二模数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { |2 1 > }.若 2 ∈ ，则 的取值范围是( )
A. ≤ 3 B. ≥ 3 C. < 3 D. > 3
2.已知 = 20.3， = 0. 20.3， = 0. 20.6，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
3.已知指数函数 ( ) = +2， ∈ .则 ( ) = ( ) ( )为( )
A.偶函数且为增函数 B.偶函数且为减函数 C.奇函数且为增函数 D.奇函数且为
减函数
4 5.已知数列 为正数项的等比数列， 是它的前 项和．若 1 7 = 4，且 4 + 2 7 = 2 ，则 4 =( )
A. 34 B. 32 C. 30 D. 28
5 + .若1+ = + ( 为虚数单位， ， ， ∈ )，则 的最大值是( )
A. 14 B.
1 C. 14 2 D.
1
2
6.将函数 ( ) = sin 的图像先向右平移3个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标
1
都变为原来的 ( > 0)倍，得到函数 ( )的图像．已知函数 ( )在 0, 2 上有两个零点，则 的取值范围为( )
A. 8 , 14 B. 73 3 3 ,
14
3 C.
8 , 13 D. 7 133 3 3 , 3
7 1.我们把平面内到定点 的距离不大于定点 到 的距离的 ∈ + 倍的动点的集合称为 关于 的 阶亲密
点域，记为动点符合 ( , ).已知 ( 2,5)， (1,1)，动点 ( , )符合 5( , )，则| + 2|的最大值是( )
A. 2 + 2 B. 2 2 C. 2 + 1 D. 2 1
8.在等边三角形 中， 、 、 分别在边 、 、 上，且 = 3， = 2，∠ = 90°.则三角形
面积的最大值是( )
A. 7 33 B. 2 3 C. 7 3 D. 6 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A.两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近于 1
B.一组数据删除一个数后，得到一组新数据：12，14，15，17，19，19，20，21.若这两组数据的中位数
相等，则删除的数是 18
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C.已知随机变量 服从正态分布 ( , 2)，若 ( < 2) = ( > 8) = 0.15，则 (2 ≤ ≤ 5) = 0.45
D.若一组样本数据 1， 2，…， 10的平均数是 3，方差是 2，则 8 可能在这组数据中
10.已知平面单位向量 1， 2满足| 1 2| 1.设 = 1+ 2， = 2 1 2，向量 与 的夹角为 ，则 的取
值可以是( )
A. 30° B. 45° C. 75° D. 135°
11.已知焦点为 的抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)与圆 2 + 2 = 8 交于 ， 两点，且| | = 4.点 ， 在抛物
线 上，且过 ， 两点分别作抛物线的切线交于点 ，则下列结论正确的有( )
A.抛物线 的方程为： 2 = 2
B.若 ， ， 三点共线，则 点横坐标为
C. 若 ， ， 三点共线，且倾斜角为4，则△ 的面积是 4 2
D.若点 (1,0)，且 ， ， 三点共线，则| |2 + 4| |2的最小值是 9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1
6
. 2 的展开式中的常数项为____________．
2
13 ( ) = + 2 + 1, ≤ 0.设函数 ln , > 0 .若 ( ) ≤ 0 在 上恒成立．则实数 的取值范围为____________．
14.我国古代《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童，关于“刍童”的体积计算曰：“倍
上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底
面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下
底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知刍童 的外接球(球心在
该刍童体内)半径为 5，且 = 3 3， = 3， = 4 3， = 4，则该刍童的体积是____________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列 的前 项和 满足 +1 = + 2， ∈ ，且 1 = 4．
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)记 =
1
，求数列{ }的前 项和 ． +1
16.(本小题 15 分)
如图 1 在梯形 中， // ，且 = 2 = 2 = 2 = 4， 为 中点， 为 上一点，且 = 3 .

现将该梯形沿 折起，使得 点折叠至点 的位置(如图 2)，且二面角 的平面角大小为3．
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(1)求证： ⊥ ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
在哈尔滨 2025 年第九届亚洲冬季运动会的志愿者选拔工作中，面试满分为 100 分，现随机抽取了 120 名
候选人的面试成绩分为五组，第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95)，
绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三组的频率成等差数列，第一组的频率等于第五
组的频率．
(1)求 ， 的值，并估计这 120 名候选人成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和中位
数(中位数精确到 0.1)；
(2)已知 120 名候选人中，男、女生各 60 人，男生想去冰上赛区的有 35 人，女生想去冰上赛区的有 20 人，
请补全下面 2 × 2 列联表．请问是否有 99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关？( 2结果精确到
0.001)
性别
志愿者 合计
男生 女生
想去冰上赛区 35 20
不想去冰上赛区
合计 60 60
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )
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0.050 0.010 0.001
2 3.841 6.635 10.828
(3)滑冰项目的场地服务需要 4 名志愿者，有 4 名男生和 2 名女生通过选拔入围，现随机从 6 名同学中抽取
4 人服务该场地，记男生被抽中的人数为 ，求 的分布列及期望．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = (ln 2) 2 ( > 0)， ( )为 ( )的导函数．
(1)当 = 0 时，求曲线 ( )在(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( )的两个极值点分别为 1和 2，且 1 < 2．
(ⅰ)求实数 的取值范围；
(ⅱ)证明： 2 1 < + 2 ．
19.(本小题 17 分)
2 2 + 3 2已知椭圆 ： 2 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，离心率为 2 ，且点 2, 2 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若经过点 1且倾斜角为 0 < <

2 的直线 与椭圆 交于 ， 两点(其中点 在 轴上方)如图①.将平面
沿 轴折叠，使 点折至 ′的位置，且 轴正半轴和 轴所确定的半平面(平面 ′ 1 2)与 轴负半轴和
轴所确定的半平面(平面 1 2)互相垂直，如图②．
(ⅰ) 当直线 的倾斜角为6时，求折叠后图②中 ′ 的长度；
(ⅱ)是否存在直线 ，使得折叠后△ ′ 2的周长与折叠前△ 2的周长之比是 3: 4？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.154
13. 1 , 1
14.259 33
15.解：(1)因为 +1 = + 2，
则 +1 = 2( ∈ )，
所以数列 为等差数列，公差为 2，且 1 = 1 = 2，
∴ = 2 + 2( 1) = 2 ，
∴ 2 = 4 ，
当 ≥ 2 时， = 1 = 4 2 4 1 2 = 8 4，且 1满足上式，
所以 = 8 4；
(2) 1因为 = =
1
+1 (8 4)(8 +4)
= 1 1 1 1 1 1 1 1 116 (2 1)(2 +1) = 16 × 2 ( 2 1 2 +1 ) = 32 ( 2 1 2 +1 )，
所以 = 1 + 2 + +
1 1 1 1 1 1
= 32 (1 3+ 3 5+ + 2 1 2 + 1 )
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= 1 1 32 (1 2 +1 ) = 16(2 +1)，
∴数列{ }的前 项和为16(2 +1)．
16.(1)证明：图 1 中，连接 ， 交于点 ，
∵ 为 中点∴ = 2 = = ，又∵ // ，
∴四边形 是菱形，
∴ ⊥ ，
所以，图 2 中， ⊥ ， ⊥ ，
， 平面 ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
∴ ⊥ ；
(2)解：以 中点 为坐标原点， 为 轴、 为 轴、过点 做垂直于平面 的直线为 轴，建立空间
直角坐标系，
则 (0,1,0)， (0, 1 , 3 )， ( 3,
1 , 0)， ( 3, 0,0)， 2 = ( 3, 1,0)，2 2
则： = (0, 12 ,
3
2 ).
= ( 3, 1 , 0)，2
设平面 的法向量 = ( , , )，
1 + 3 = 0 = 3
由 = = 0 有 2 21 ，∴ ，3 + 2 = 0
= 2 3
令 = 3，则 = ( 32 , 3, 3)，
设 与平面 所成的角为 ，
· 3+3
则 sin = |cos < ， > | = =
2 = 51 · 3 34 ，2× 4+9+3
所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 51．
34
图 1 图 2
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17.解：(1)由题意：10 × 2 = 10 + 10 × 0.045，
又(2 + + 0.02 + 0.045) × 10 = 1，解得 = 0.005， = 0.025，
平的值为：50 × 0.05 + 60 × 0.25 + 70 × 0.45 + 80 × 0.2 + 90 × 0.05 = 69.5，
中位数为：0.005 × 10 + 0.025 × 10 = 0.3，则中位数位于[65,75)，
10
0.45 × 0.2 + 65 =
40
9 + 65 ≈ 69.4．
(2)
性别
志愿者 合计
男生 女生
想去冰上赛区 35 20 55
不想去冰上赛区 25 40 65
合计 60 60 120
2 = ( )
2 120×(35×40 25×20)2
( + )( + )( + )( + ) = 60×60×55×65 ≈ 7.552 > 6.635，
所以有 99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关．
(3)男生被抽中的人数 可能取值为 2，3，4．
2 2
( = 2) = 4 2 = 2 ( = 3) =
3 14 2 = 8
4
4 5， 4 15， ( = 4) =
4 1
4
=
6 6 6 15
．
的分布列为：
2 3 4
2 8 1
5 15 15
( ) = 2 × 25+ 3 ×
8
15 + 4 ×
1 8
15 = 3．
18.解：(1)当 = 0 时， ( ) = (ln 2) 2，
则 ( ) = ′( ) = 2 ln 3 ， (1) = 3，
求导得 ′( ) = 2ln 1，则 ′(1) = 1，
所以曲线 ( )在(1, (1))处的切线方程为 + + 2 = 0．
(2)( ) ( ) = ′( ) = 2 ln 3 ，且定义域 ∈ (0, + ∞).
因为若 ( )有两个极值点，所以 1， 2是方程 2 ln 3 = 0 的两个正根，
即 2 ln 3 = ， (2ln 3) = ．
令 ( ) = (2ln 3)，则 ′( ) = 2ln 1，
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所以，当 ′( ) > 0 时， > ；当 ′( ) < 0 时，0 < <
因此，当 ∈ (0, )时， ( )单调递减；当 ∈ ( , + ∞)时， ( )单调递增，
所以当 = 时， ( )有最小值 ( ) = 2 ，
→ 0, ( ) = (2ln 3) → 0，
2ln 3 = 0 3 3时， = 2，0 < < 2时，2ln 3 < 0,
3
所以当 0 < < 2时， ( ) = (2ln 3) < 0，
3
所以当 0 < < 2时， 2 < ( ) < 0，
当 ∈ ( , + ∞)时 ( ) > 2 ，
所以若 ( )的两个极值点时 ∈ ( 2 , 0);
( )由( )可知 ( ) = (2ln 3)， = ( 1) = ( 2)，
且 ( ) = 0 时， = ，又 0 < 1 < 2，
所以 0 < 1 < < 2 < ，
令 ( 2) = ( 2) + 2 2，
′( 2) = 2ln 2 2， < 2 < 时 ′( 2)单调递增，
且 ′( ) = 0，
所以 2 ∈ ( , )时， ′( 2) < 0， 2 ∈ ( , )时， ′( 2) > 0
所以 ( 2)在( , )单调递减，在( , )单调递增，
所以 ( 2) ≥ ( ) = 2 3 + 2 = 0，
即 ( 2) + 2 > 2，
又因为 0 < 1 < ，所以 2 > 2 1
故 ( 2) + 2 > 2 > 2 1，
又因为 = ( 2)，故 2 1 < + 2 成立．
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19. 3解：(1)因为 = = 2 ，所以
2 = 34
2 1， 2 = 4
2，
2 2
故椭圆 4 方程为： 2 + 2 = 1，
2
又因为点 ( 2, 2 )在椭圆 上，代入得：
2
2 +
2
2 = 1，所以
2 = 4， 2 = 1，
2
所以椭圆 方程为： 4 +
2 = 1．
(2)( ) ( 3, 0) = 3折叠前可知 1 ，所以直线 方程为： 3 ( + 3)，
因为直线 与椭圆 交于 ， 两点，
= 33 ( + 3)所以 ，
2 + 24 = 1
8 3
= 0 2 =
解得 1 7 1 = 1
或
= 1
，
2 7
8 3 1
又因为点 在 轴上方，所以 (0,1)， ( 7 , 7 ).
折叠后，建立空间直角坐标系：以 2为 轴，以 轴的负半轴反方向为 轴，以折后 轴的正半轴为 轴，
可得： ′(0,0,1)， ( 8 37 ,
1
7 , 0)，
| | = ( 8 3所以 ′ 7 0)
2 + ( 1 27 0) + (0 1)
2 = 11 27 ．
( )折叠前△ 2的周长为 4 = 8，
折叠后△ ′ 32的周长为4 × 8 = 6，
∴ | | | ′ | = 8 6 = 2，
在图 ①中，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，直线 的方程为 = 3，
= 3
联立 2 + 2
，
4 = 1
得( 2 + 4) 2 2 3 1 = 0，
2 3 1 2 2 21 + 2 = 2+4， 1 2 = 2+4， = 12 + 4( + 4) = 16 + 16 > 0，
| | = 1 + 2| | = 1 + 2 ( + )2 4 = 4(
2+1)
1 2 1 2 1 2 2+4 ，
建空间直角坐标系后，可得 ′( 1, 0, 1)， ( 2, 2, 0)，
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| ′ | = ( 2 21 2) + 1 + 22 = ( 1 )22 + 2 21 + 2
= 2[( 1 + 2)2 4 1 2] + ( 21 + 2) 2 1 2
2 2 3 2 1 2 3 2 1= ( 2 +4 ) 4( 2 +4 ) + ( 2 +4 ) 2( 2 +4 )
16 4+30 2= +8 2+4 ，
又因为| | | ′ | = 2，
4( 2+1) 16 4+30 2+8
所以 2+4 2+4 = 2，
整理得：6 4 + 23 2 4 = 0，(6 2 1)( 2 + 4) = 0，
2 = 1 6所以 6，因此 =± 6 ，又倾斜角为锐角，
6
所以存在直线 ，直线方程为： 6 + 3 = 0．
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