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2024年广东省广州市第二中学中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九下·广州模拟）下列各数中，最大的是（　　）
A． B．0 C．4 D．
2．（2024九下·广州模拟）下列几何体中，正视图是圆形的几何体是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·广州模拟）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·广州模拟）有一组数据：19，19，18，19，20，19，18，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．19，19 B．19，18 C．18，18 D．18，19
5．（2024九下·广州模拟）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024九下·广州模拟）下列说法中错误的是（　　）．
A．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
B．角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上
C．顺次连接四边形各边中点所得图形是平行四边形
D．在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
7．（2024九下·广州模拟）已知点在第三象限，则实数的取值范围在数轴上表示正确的为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九下·广州模拟）关于一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过第二、三、四象限 B．当时，
C．函数值随自变量的增大而减小 D．图象与轴交于点
9．（2024九下·广州模拟）如图，为的中位线，的角平分线交于点F，若，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
10．（2024九下·广州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数，的图象上，轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若的面积为8，，则k的值为（　　）
A．2 B．4 C．－2 D．－4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九下·广州模拟）比较大小：　 　2（填“”，“”或“”）．
12．（2024九下·广州模拟）分解因式： 　 　．
13．（2024九下·广州模拟）如图，圆锥的底面半径为1 cm，母线AB的长为3 cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为　 　度．
14．（2024九下·广州模拟）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，，、交于点．，则的长为　 　．
15．（2024九下·广州模拟）在矩形中，，，点P在边上．若将沿折叠，使点落在矩形对角线上的点处，则的长为　 　．
16．（2024九下·广州模拟）如图，正方形，为上一个动点，交于点．过点作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值，其中正确的结论有　 　（填序号）．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（2024九下·广州模拟）解二元一次方程组：．
18．（2024九下·广州模拟）如图，点、在上，且．求证：．
19．（2024九下·广州模拟）已知两个多项式．
（1）化简；
（2）若，求x的值．
20．（2024九下·广州模拟）某校九年级1班班主任计划对班级每位学生进行家访，家访的形式有到家家访、电话家访、信息家访、到校家访，以下是该班级家访的条形统计图和扇形统计图．
（1）扇形统计图中到家家访的圆心角为__________；
（2）补全条形统计图；
（3）若选择“到家家访”的四位学生分别为A、B、C、D，班主任决定本周从这4人中随机选取两人进行到家家访，用列表法或画树状图法求本周恰好选中A、B两人的概率．
21．（2024九下·广州模拟）我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
22．（2024九下·广州模拟）某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比每套B品牌服装进价多25元，若用2000元购进A种服装的数量是用750元购进B种服装数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
（2）若A品牌服装每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，要使总的获利超过1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？
23．（2024九下·广州模拟）如图，为的直径，点C在上．
（1）尺规作图：求作的中点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）过点D作交延长线于点E（画出图形即可，不必尺规作图），求证：与相切；
（3）连接，若，求的值．
24．（2024九下·广州模拟）已知抛物线与x轴交于两点，且A在B的左边，与y轴交于点C．
（1）求c的值；
（2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于D点，点Q为x轴下方的抛物线上任意一点，直线与抛物线的对称轴分别交于E，F两点，求的取值范围．
25．（2024九下·广州模拟）已知线段．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，当时，作，与交于点D，求的最小值，并直接写出此时线段的长：
（3）如图3，当时，点E是线段上，关于对称线段为，延长交的延长线于点G，求当点E在方向上运动时，点G的运动路径长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
，
∴最大的是4，
故答案为：C．
【分析】化简绝对值，比较大小即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、正视图是长方形，故此选项错误；
B、正视图是三角形，故此选项错误；
C、正视图是长方形，故此选项错误；
D、正视图是圆形，故此选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据简单几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．
4．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将此组数据从小到大排列为
18，18，19，19，19，19，20，
19出现了4次，是此组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是19，
∵处于最中间的数是19，
∴这组数据的中位数是19.
故答案为：A.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此可求出已知数据的众数和中位数.
5．【答案】C
【知识点】分式的加减法；二次根式的加减法；积的乘方运算；求算术平方根
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据分式的加法，二次根式的加法，算术平方根，积的乘方运算逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；矩形的判定；圆周角定理
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，故选项A符合题意；
B、角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，原说法正确，故选项B不符合题意；
C、顺次连接四边形各边中点所得图形是平行四边形，原说法正确，故选项C不符合题意；
D、在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，原说法正确，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】由矩形的判定、角平分线的判定、中点四边形，圆周角定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：点在第三象限，
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
实数的取值范围在数轴上表示正确的为
故答案为：D．
【分析】根据第三象限内点的坐标特点列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并在数轴上表示出来即可．
8．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项A不符合题意
，
函数值随自变量的增大而增大，
当时，
选项B，C不符合题意；
当时，，
图象与轴交于点，选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵为的中位线，
∴，
∵
∴
∵
∴
∵BF平分
∴
∴
∴
∵D为AB的中点
∴
故答案为：B．
【分析】先根据三角形的中位线的性质得出，，从而求出，再结合角平分线的定义，得出△BDF是等腰三角形，即，再根据中点的性质求出AB即可.
10．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；相似三角形的判定；反比例函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应边
11．【答案】
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：
【分析】直接比较大小即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为： ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可。
13．【答案】120
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】设侧面展开的圆心角度数为n°，由题意知圆锥的底面周长展开后即为扇形的弧长，可列方程得：
2π×1=，
解得：n=120。
故答案为：120。
【分析】由圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长，再根据弧长的计算公式代入即可求得扇形的中心角度数。
14．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
15．【答案】3或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
16．【答案】②③④
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图1，连接、，交于点，
四边形是正方形，
，，，，
，
，，，四点共圆，
，，
，
，故①不正确；
，，
，
，，
，
，故②正确；
如图，将绕点顺时针旋转至，使和重合，连接，
则，，，
、、三点在同一直线上，
，
，
又，
，
，即，故③正确；
如图，作，垂足为，作，垂足为，
点是对角线上的点，
四边形是正方形，有，
，
，
又，
，
，
，
：，
，故④正确．
故答案为：②③④．
【分析】连接、，交于点，根据正方形的性质可得，，，四点共圆，进而可得，于是可判断①；由余角的性质可得，从而可利用证明，可得，再根据正方形的性质即可判断②；如图，将绕点顺时针旋转至，使和重合，连接，根据旋转的性质和可推得，进而可得，进一步即可判断③；如图，作于，于，由题意易得四边形是正方形，进一步即可推出，可得，进而得，然后利用等腰直角三角形的性质即可判断④，于是可得答案．
17．【答案】解：
①②得，，
解得，
把代入①得，
解得，
∴方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
18．【答案】证明：∵
∴
在中，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵
∴
（2）解：∵
∴
∴
∴
解得：

【知识点】整式的加减运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据整式的加减进行计算即可求出答案
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
20．【答案】（1）
（2）解：电话家访人数为：
补全条形统计图如下：
（3）解：列表如下：
A B Ｃ Ｄ
A
B
C
D
由表格可知，共有12种等可能情况，其中满足本周恰好选中A、B两人的有2种，故本周恰好选中A、B两人的概率：.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）这次抽取的学生人数为：
扇形统计图中D部分所对应的扇形圆心角度数为：
故答案为：．
【分析】（1）由到校的人数除以所占百分比求出抽取的总人数，即可求出答案.
（2）作差法求出人数，补全条形统计图即可；
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出正好抽到A、B两人的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．【答案】解：过点P作PD⊥MN于D
∴MD=PD cot45°=PD，
ND=PD cot30°=PD，
∵MD+ND=MN=2，
即PD+PD=2，
∴PD==﹣1≈1.73﹣1=0.73＞0.6．
答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据题意，在△MNP中，∠MNP=30°，∠PMN=45°，MN=2千米，是否搬迁看P点到MN的距离与0.6的大小关系，若距离大于0.6千米则不需搬迁，反之则需搬迁，因此求P点到MN的距离，作PD⊥MN于D点．
22．【答案】（1）解：设每套A品牌服装进价为x元，则每套B品牌服装进价为元，
根据题意，
解得，
经检验，是原方程的根，
故，
答：每套A品牌服装进价为100元，则每套B品牌服装进价为75元．
（2）解：设购进a套A品牌服，则购进套B品牌，
根据题意，
解得，
故至少17套．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每套A品牌服装进价为x元，则每套B品牌服装进价为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进a套A品牌服，购进套B品牌，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
23．【答案】（1）解：如图，即为所求；
．
（2）证明：如图，记与的交点为，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
（3）解：记交于点Q，连接，，，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵根据相切有，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先连接，再作的垂直平分线即可；
（2）记与的交点为，根据圆周角定理可得，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）记交于点Q，连接，，，根据勾股定理可得，再根据圆周角定理可得，根据切线性质可得，再根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，，则，，化简计算可得，，根据勾股定理可得，则，即：，再根据勾股定理可得，代入等式即可求出答案.
24．【答案】（1）解：∵点在上，
，
；

（2）解：根据（1）可得抛物线解析式为，如图1，
令，则，
解得，
则，
当在轴上方抛物线上时，如图1，设交轴于点，
在和中
，
，
∴的坐标为．
设直线的解析式为，
代入，得，解得，
故的解析式为．
令，
得或．
∴点的坐标为；
如图2，当在轴下方抛物线上时，的解所式为，
令，
得或．
∴点的坐标为，
综上，点的坐标为或．
（3）解：设，
设直线的解析式为，
代入坐标得，，
解得．
所以直线的解析式为，
当时，，
，
设直线的解析式为，
代入坐标得，，
解得．
直线的解析式为，
当时，，
∴，．
，
∴，
∴，
，
故．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定-ASA；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据（1）可得抛物线解析式为，根据x轴上点的坐标特征求出点B坐标，分情况讨论：当在轴上方抛物线上时，设交轴于点，根据全等三角形判定定理可得，则的坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得故的解析式为，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案；当在轴下方抛物线上时，的解所式为，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
（3）设，设直线的解析式为，代入点A，Q坐标，可得所以直线的解析式为，求出点E坐标，则，设直线的解析式为，代入点B，Q坐标可得直线的解析式为，求出点F坐标，则，再根据边之间的关系可得，则，结合二次函数的性质即可求出答案.
25．【答案】（1）解：∵，
∴是等边三角形，
∴；
（2）的最小值为，
（3）解：连接，
∵，
∴，
设，，
则，，，
∵，
∴，
在中，即，
∴，
∴，
∴点在的外接圆上，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴点的路径为以2为半径，为圆心角的弧上，
∴点G的运动路径长为．
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；弧长的计算；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
1 / 12024年广东省广州市第二中学中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九下·广州模拟）下列各数中，最大的是（　　）
A． B．0 C．4 D．
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
，
∴最大的是4，
故答案为：C．
【分析】化简绝对值，比较大小即可求出答案.
2．（2024九下·广州模拟）下列几何体中，正视图是圆形的几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、正视图是长方形，故此选项错误；
B、正视图是三角形，故此选项错误；
C、正视图是长方形，故此选项错误；
D、正视图是圆形，故此选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据简单几何体的三视图即可求出答案.
3．（2024九下·广州模拟）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．
4．（2024九下·广州模拟）有一组数据：19，19，18，19，20，19，18，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．19，19 B．19，18 C．18，18 D．18，19
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将此组数据从小到大排列为
18，18，19，19，19，19，20，
19出现了4次，是此组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是19，
∵处于最中间的数是19，
∴这组数据的中位数是19.
故答案为：A.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此可求出已知数据的众数和中位数.
5．（2024九下·广州模拟）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法；二次根式的加减法；积的乘方运算；求算术平方根
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据分式的加法，二次根式的加法，算术平方根，积的乘方运算逐项进行判断即可求出答案.
6．（2024九下·广州模拟）下列说法中错误的是（　　）．
A．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
B．角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上
C．顺次连接四边形各边中点所得图形是平行四边形
D．在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；矩形的判定；圆周角定理
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，故选项A符合题意；
B、角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，原说法正确，故选项B不符合题意；
C、顺次连接四边形各边中点所得图形是平行四边形，原说法正确，故选项C不符合题意；
D、在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，原说法正确，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】由矩形的判定、角平分线的判定、中点四边形，圆周角定理逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024九下·广州模拟）已知点在第三象限，则实数的取值范围在数轴上表示正确的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：点在第三象限，
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
实数的取值范围在数轴上表示正确的为
故答案为：D．
【分析】根据第三象限内点的坐标特点列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并在数轴上表示出来即可．
8．（2024九下·广州模拟）关于一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过第二、三、四象限 B．当时，
C．函数值随自变量的增大而减小 D．图象与轴交于点
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项A不符合题意
，
函数值随自变量的增大而增大，
当时，
选项B，C不符合题意；
当时，，
图象与轴交于点，选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
9．（2024九下·广州模拟）如图，为的中位线，的角平分线交于点F，若，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵为的中位线，
∴，
∵
∴
∵
∴
∵BF平分
∴
∴
∴
∵D为AB的中点
∴
故答案为：B．
【分析】先根据三角形的中位线的性质得出，，从而求出，再结合角平分线的定义，得出△BDF是等腰三角形，即，再根据中点的性质求出AB即可.
10．（2024九下·广州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数，的图象上，轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若的面积为8，，则k的值为（　　）
A．2 B．4 C．－2 D．－4
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；相似三角形的判定；反比例函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应边
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九下·广州模拟）比较大小：　 　2（填“”，“”或“”）．
【答案】
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：
【分析】直接比较大小即可求出答案.
12．（2024九下·广州模拟）分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为： ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可。
13．（2024九下·广州模拟）如图，圆锥的底面半径为1 cm，母线AB的长为3 cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为　 　度．
【答案】120
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】设侧面展开的圆心角度数为n°，由题意知圆锥的底面周长展开后即为扇形的弧长，可列方程得：
2π×1=，
解得：n=120。
故答案为：120。
【分析】由圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长，再根据弧长的计算公式代入即可求得扇形的中心角度数。
14．（2024九下·广州模拟）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，，、交于点．，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
15．（2024九下·广州模拟）在矩形中，，，点P在边上．若将沿折叠，使点落在矩形对角线上的点处，则的长为　 　．
【答案】3或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
16．（2024九下·广州模拟）如图，正方形，为上一个动点，交于点．过点作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值，其中正确的结论有　 　（填序号）．
【答案】②③④
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图1，连接、，交于点，
四边形是正方形，
，，，，
，
，，，四点共圆，
，，
，
，故①不正确；
，，
，
，，
，
，故②正确；
如图，将绕点顺时针旋转至，使和重合，连接，
则，，，
、、三点在同一直线上，
，
，
又，
，
，即，故③正确；
如图，作，垂足为，作，垂足为，
点是对角线上的点，
四边形是正方形，有，
，
，
又，
，
，
，
：，
，故④正确．
故答案为：②③④．
【分析】连接、，交于点，根据正方形的性质可得，，，四点共圆，进而可得，于是可判断①；由余角的性质可得，从而可利用证明，可得，再根据正方形的性质即可判断②；如图，将绕点顺时针旋转至，使和重合，连接，根据旋转的性质和可推得，进而可得，进一步即可判断③；如图，作于，于，由题意易得四边形是正方形，进一步即可推出，可得，进而得，然后利用等腰直角三角形的性质即可判断④，于是可得答案．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（2024九下·广州模拟）解二元一次方程组：．
【答案】解：
①②得，，
解得，
把代入①得，
解得，
∴方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
18．（2024九下·广州模拟）如图，点、在上，且．求证：．
【答案】证明：∵
∴
在中，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．（2024九下·广州模拟）已知两个多项式．
（1）化简；
（2）若，求x的值．
【答案】（1）解：∵
∴
（2）解：∵
∴
∴
∴
解得：

【知识点】整式的加减运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据整式的加减进行计算即可求出答案
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
20．（2024九下·广州模拟）某校九年级1班班主任计划对班级每位学生进行家访，家访的形式有到家家访、电话家访、信息家访、到校家访，以下是该班级家访的条形统计图和扇形统计图．
（1）扇形统计图中到家家访的圆心角为__________；
（2）补全条形统计图；
（3）若选择“到家家访”的四位学生分别为A、B、C、D，班主任决定本周从这4人中随机选取两人进行到家家访，用列表法或画树状图法求本周恰好选中A、B两人的概率．
【答案】（1）
（2）解：电话家访人数为：
补全条形统计图如下：
（3）解：列表如下：
A B Ｃ Ｄ
A
B
C
D
由表格可知，共有12种等可能情况，其中满足本周恰好选中A、B两人的有2种，故本周恰好选中A、B两人的概率：.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）这次抽取的学生人数为：
扇形统计图中D部分所对应的扇形圆心角度数为：
故答案为：．
【分析】（1）由到校的人数除以所占百分比求出抽取的总人数，即可求出答案.
（2）作差法求出人数，补全条形统计图即可；
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出正好抽到A、B两人的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．（2024九下·广州模拟）我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【答案】解：过点P作PD⊥MN于D
∴MD=PD cot45°=PD，
ND=PD cot30°=PD，
∵MD+ND=MN=2，
即PD+PD=2，
∴PD==﹣1≈1.73﹣1=0.73＞0.6．
答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据题意，在△MNP中，∠MNP=30°，∠PMN=45°，MN=2千米，是否搬迁看P点到MN的距离与0.6的大小关系，若距离大于0.6千米则不需搬迁，反之则需搬迁，因此求P点到MN的距离，作PD⊥MN于D点．
22．（2024九下·广州模拟）某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比每套B品牌服装进价多25元，若用2000元购进A种服装的数量是用750元购进B种服装数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
（2）若A品牌服装每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，要使总的获利超过1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？
【答案】（1）解：设每套A品牌服装进价为x元，则每套B品牌服装进价为元，
根据题意，
解得，
经检验，是原方程的根，
故，
答：每套A品牌服装进价为100元，则每套B品牌服装进价为75元．
（2）解：设购进a套A品牌服，则购进套B品牌，
根据题意，
解得，
故至少17套．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每套A品牌服装进价为x元，则每套B品牌服装进价为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进a套A品牌服，购进套B品牌，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
23．（2024九下·广州模拟）如图，为的直径，点C在上．
（1）尺规作图：求作的中点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）过点D作交延长线于点E（画出图形即可，不必尺规作图），求证：与相切；
（3）连接，若，求的值．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
．
（2）证明：如图，记与的交点为，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
（3）解：记交于点Q，连接，，，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵根据相切有，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先连接，再作的垂直平分线即可；
（2）记与的交点为，根据圆周角定理可得，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）记交于点Q，连接，，，根据勾股定理可得，再根据圆周角定理可得，根据切线性质可得，再根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，，则，，化简计算可得，，根据勾股定理可得，则，即：，再根据勾股定理可得，代入等式即可求出答案.
24．（2024九下·广州模拟）已知抛物线与x轴交于两点，且A在B的左边，与y轴交于点C．
（1）求c的值；
（2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于D点，点Q为x轴下方的抛物线上任意一点，直线与抛物线的对称轴分别交于E，F两点，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵点在上，
，
；

（2）解：根据（1）可得抛物线解析式为，如图1，
令，则，
解得，
则，
当在轴上方抛物线上时，如图1，设交轴于点，
在和中
，
，
∴的坐标为．
设直线的解析式为，
代入，得，解得，
故的解析式为．
令，
得或．
∴点的坐标为；
如图2，当在轴下方抛物线上时，的解所式为，
令，
得或．
∴点的坐标为，
综上，点的坐标为或．
（3）解：设，
设直线的解析式为，
代入坐标得，，
解得．
所以直线的解析式为，
当时，，
，
设直线的解析式为，
代入坐标得，，
解得．
直线的解析式为，
当时，，
∴，．
，
∴，
∴，
，
故．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定-ASA；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据（1）可得抛物线解析式为，根据x轴上点的坐标特征求出点B坐标，分情况讨论：当在轴上方抛物线上时，设交轴于点，根据全等三角形判定定理可得，则的坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得故的解析式为，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案；当在轴下方抛物线上时，的解所式为，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
（3）设，设直线的解析式为，代入点A，Q坐标，可得所以直线的解析式为，求出点E坐标，则，设直线的解析式为，代入点B，Q坐标可得直线的解析式为，求出点F坐标，则，再根据边之间的关系可得，则，结合二次函数的性质即可求出答案.
25．（2024九下·广州模拟）已知线段．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，当时，作，与交于点D，求的最小值，并直接写出此时线段的长：
（3）如图3，当时，点E是线段上，关于对称线段为，延长交的延长线于点G，求当点E在方向上运动时，点G的运动路径长．
【答案】（1）解：∵，
∴是等边三角形，
∴；
（2）的最小值为，
（3）解：连接，
∵，
∴，
设，，
则，，，
∵，
∴，
在中，即，
∴，
∴，
∴点在的外接圆上，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴点的路径为以2为半径，为圆心角的弧上，
∴点G的运动路径长为．
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；弧长的计算；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
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