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4月下旬之图形的性质—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·绍兴模拟） 如图，将绕点 B 顺时针旋，得（A与D为对应点），若点D刚好落在边AC上，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
2．（2025九下·金华模拟）如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成。A、B、C、D为各多边形顶点，已知正六边形的边长为1，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；平面镶嵌（密铺）；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意可得，
，
，
，
，
.
故答案为： .
【分析】利用正六边形和菱形的性质可得，，再通过勾股定理证得，由SAS判定得到，然后利用菱形面积的计算公式求出四边形的面积.
3．（2025·鹿城模拟）小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形，如图所示，若，则正方形的周长为（　　）
A．14 B．17 C．20 D．24
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设每个三角形的长直角边为，短直角边为，
由题意可得，解得，
∴，
∴正方形的周长为，
故答案为：C．
【分析】设每个三角形的长直角边为，短直角边为，然后根据题意和图形可得关于a、b的方程组，解方程组求出的值，再根据勾股定理求得的长，最后根据正方形的周长边长计算即可求解.
4．（2025·富阳模拟）如图，在矩形ABCD中，，菱形EFGH的三个顶点分别在矩形ABCD的边上，．得到如下两个结论：①面积的最大值为．②点到BC的距离为3．则（　　）
A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；四边形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解： ① 如图1所示：当与重合时，有最大值.
四边形ABCD是矩形
、
四边形EFGH是菱形
② 如图2所示：过点作，垂足为，连接.
四边形ABCD是矩形
四边形EFGH是菱形
又
故答案为：A.
【分析】 ①由于的一条直角边是定值，显然当另一条直角边最大时其面积有最大值，此时斜边必然也最大；由于菱形EFGH的三个顶点分别在矩形ABCD的边上，显然当与重合时，有最大值；由于矩形的四条边已知且已知，利用勾股定理即可求得的最大值即的长，由于，再利用勾股定理即可求得的最大值；
②判断点到的距离，可过点作，垂足为，连接，从而利用平行四边形的性质结合菱形的性质可证，则等于等于3.
5．（2025·浙江模拟）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”。如图是由四个全等的直角三角形（△ABF，△DAE，△BCG，△CDH）拼接而成，连结HF并延长，交BC于点I。若BF=2，EF=1，则BI的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；“赵爽弦图”模型；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点M作IN⊥BG于点N，设FN=a，
∵大正方形ABCD是四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，BF=2，EF=1，
∴GC=BF=2，FG=EF=1，
∴BG=BF+FG=3，
∴BC=.
∵四边形EFGH为正方形，FH是它的对角线，
∴△FGH是等腰直角三角形，
∴IN=FN=a，
∴BN=BF-FN=2-a.
∵∠BNI=∠BGC=90°，∠IBN=∠CBG，
∴△BNI∽△BGC，
∴BN：BG=IN：CG=BI：BC，
∴（2-a)：3=a：2=BI：，解得a=，BI=.
故答案为：B.
【分析】先利用正方形的性质及勾股定理求得BC，再利用等腰直角三角形的判定与性质，可用a表示出IN与BN，再证明△BNI∽△BGC，列出比例式，得到关于a的方程求出a，就可求得BI.
二、填空题
6．（2025九下·金华模拟）如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆.若与线段有两个交点，则满足的条件是　 　.
【答案】 且
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图1，当时，
点是的中点，
，
此时与线段只有一个交点D；
如图2，当时，作，
，点是的中点，
，
，，
，
，
，
此时与线段有2个交点；
当时，作，
，，
，
，
，
此时与线段有2个交点，
综上所述， 且.
故答案为： 且.
【分析】当经过点C时，BD=BC，作，由等腰三角形的性质可得AE、CE的长度，再利用勾股定理求得；当经过点A时，BD=AB，作，由等腰三角形的性质可得AF、CF的长度，再利用勾股定理求得；当时，此时与线段只有一个交点D，利用垂直平分线的性质可得BC=AB=2，综上所述， 且.
7．（2025·绍兴模拟） 如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，连结BE，CE，将沿BE折叠得，再将沿CE折叠得（F与G为对应点），当点G落在内部（不包括 的边）时，则AE长的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
8．（2025年浙江省杭州市中考数学多校联考模拟试卷）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为　 　
【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质
9．（2025九下·金华模拟）如图，分别在三角形纸板的顶点处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线和，相交于点.则的长度是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的重心及应用；三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，连接CP并延长交AB于点F，
由题意可得AD、BE、CF都是的中线，
，
，
，，
，
，
.
故答案为：.
【分析】由题意可得AD、BE、CF都是的中线，由的三边长可判定，进而通过勾股定理计算出CF的长度，再利用中线的性质求得CP的长度.
10．（2025·富阳模拟）如图，在矩形ABCD中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和．
②作直线MN交CD于点，若，对角线AC的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如图所示，连接AE.
垂直平分
四边形ABCD是矩形
故答案为：.
【分析】由尺规作图方法知MN垂直平分AC，则EA等于EC，先在中应用勾股定理求出AD，再在中应用勾股定理即可求得AC.
11．（2025·杭州模拟）如图，点P是正方形的中心，过点P的线段和将正方形分割成4个相同的四边形，这4个四边形拼成正方形．连接，记和的面积分别为，设；
（1）若A，B，Q三点共线，则　 　
（2）正方形和的面积之比为　 　．（用含k的代数式表示）
【答案】（1）
（2）
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)如图，连接BQ，
设BF=x，
由题意可得，，
，，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：.
(2)设AB=m，PF=n，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)设BF=x，当A，B，Q三点共线时，易证，利用相似三角形的性质求得，由勾股定理可得，进而证得，然后计算出四边形GPFB的面积，从而计算出k的值.
(2)设AB=m，PF=n，由题意可得PH=PF=FQ=n，故，，进而得到，再利用 求得，继而得到，而，故可得.
三、作图题
12．（2025·富阳模拟）如图1，在中，是的平分线．用尺规作是边AB上一点．
小明：如图2．以为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点，连接CE，则.
小丽：以点为圆心，CD长为半径作弧，交AB于点，连接CE，则．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦…我明白了！
（1）给出小明作法中的证明．
（2）指出小丽作法中存在的问题．
【答案】（1）证明：如图所示，设AD交CE于点O.
平分
（2）答：无法证明，理由如下：
如图所示，连接DE.
平分
在和中，只有两个条件
无法证明
在和中，只有两个条件
无法证明
在和中，虽然有
但不存在“SSA”这一证明方法
无法证明
综上所述，小丽的作法不能保证.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用小明的作法，可利用角平分线的概念结合“”来证明，进而利用全等的性质结合邻补角的概念求得AD与CE的夹角为，即有；
（2）小丽的作法不正确，因为即使DC＝DE，但利用已知条件无法证明、和，即不能求得AD与CE的夹角为.
13．（2025·绍兴模拟）已知，，为了得到矩形ABCD，甲、乙两位同学的作图方法如下.
甲：如图1，以点A为圆心，BC长为半径画弧，再以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点D与B位于AC的异侧，连结AD，CD，得四边形ABCD.
乙：如图2，分别以点A，C为圆心，大于的相同长为半径画弧，连结两弧交点的直线交AC于点O，连结BO；再以点O为圆心，OB长为半径画弧，交线段BO的延长线于点D，连接AD，CD，得四边形ABCD.
请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由.
【答案】解：甲、乙两位同学的作法都正确.
甲作法正确的理由如下：
由图1作法可知：，，
又点B，D在AC异侧，
所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为 ，
所以四边形ABCD是矩形.
或
甲、乙两位同学的作法都正确.
乙作法正确的理由如下：
由图2作法可知，点O是AC的中点，即，且，
所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为，
所以四边形ABCD是矩形.
【知识点】矩形的判定；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-线段的和差
14．（2025九下·金华模拟）尺规作图问题：
如图1，已知，用尺规作图方法作以为邻边的平行四边形.
（1）如图2，根据作图痕迹，判定四边形为平行四边形的依据是什么？
（2）在图1中，请你再作一个平行四边形(方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明).
【答案】（1）解：一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形.
（2）解：如图3，
依据：两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】(1)根据作图痕迹可得，故四边形ABCD是平行四边形.
(2)以点A为圆心，BC的长度为半径画弧，再以点C为圆心，AB的长度为半径画弧，两弧的交点即为点D，然后连接AD、CD即可得到平行四边形ABCD.
15．（2025·鹿城模拟）尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线．
小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？
小外：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分．
（1）按照小温的说法，在图中用尺规作的角平分线．
（2）小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明．
【答案】（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：正确，
证明：四边形为平行四边形，
，
，
由作图可知，，
，
，
平分．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）根据尺规作图作角平分线的方法即可；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行”可得AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠AEB=∠CBE，由等边对等角可得∠AEB=∠ABE，再结合角平分线的概念即可判断求解．
（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：正确，
证明：四边形为平行四边形，
，
，
由作图可知，，
，
，
平分．
16．（2025·衢江模拟）小明研究一道尺规作图题：作一边上的高线．他的作法如下：如图，在中，，以为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以、为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点，则为边上的高线．
（1）你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由．
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）解：同意，理由如下：连接，
由作图可知：，
∴垂直平分，
∴，即：为边上的高线．
（2）由（1）知：，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】勾股定理；线段垂直平分线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）由作图可知：，根据线段的垂直平分线的判定“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可得垂直平分，则结论可得证；
（2）在Rt△AFC中，用勾股定理求出，在Rt△ABF中，用勾股定理求出的值，由线段的和差BC=BF+CF求出的长，再根据三角形的面积公式S△ABC=BC·AF计算即可求解．
（1）解：同意，证明如下：
连接，
由作图可知：，
∴垂直平分，
∴，即：为边上的高线．
（2）由（1）知：，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积．
17．（2025·湖州模拟）如图1，，点P在的平分线上，交于点B．用尺规作图的方法在射线上确定一点C，使是等腰三角形．
小明：如图2，以点A圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形．
小华：以P为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形．
小明：小华，你的作法有问题．
小华：真的吗？让我们仔细想一想．
（1）证明：小明所作的是等腰三角形；
（2）小华所作的一定是等腰三角形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请给出反例．
【答案】（1）证明：∵点P在的平分线上，，
∴，
∴．
在△ABC和△ACP中
∴（SAS）．
∴，
∴，
即是等腰三角形．
（2）解：小华所作的△APC一定是等腰三角形，理由如下：
设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，
过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则有，
在Rt△PEB和Rt△PFC1中
∴（HL），
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
∴小华所作的△APC一定是等腰三角形．
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义以及平行线的性质得出，由等角对等边可得出，结合图形用边角边可证，由全等三角形的性质并结合等腰三角形的定义即可判断求解；
（2）设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，根据HL定理可得，由全等三角形的性质得出，再根据已知条件和三角形外角的定义和性质得出为等腰三角形．进而根据等腰三角形的性质得出，即可得出为等腰三角形．
（1）证明：因为点P在的平分线上，，
所以，
所以．
因为，，，
所以．
所以，
所以，
即是等腰三角形．
（2）解：小华的作法没有问题，理由如下：
设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，
过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则有，
因为，
所以，
所以，
由（1）知，
所以，
所以，
所以，
所以为等腰三角形．
因为，
所以，
所以，
所以为等腰三角形．
因此，小华的作法没有问题．
四、解答题
18．（2025·鹿城模拟）如图，内接于，连结交于点D，交于点E，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）若，设的半径为r，求的面积（用含r的代数式表示）．
【答案】（1）证明：如图1，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2，过点C作于M，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接并延长交于F，连接，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
．
答：三角形ABC的面积为.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形；求正弦值
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可得，再由同角的余角可得，由等角对等边可得，最后由三角函数定义tan∠1=tan∠CAE=即可求证；
（2）如图2，过点C作于M，根据勾股定理可求得AE的值，由面积法可求得CM的值，在Rt△CDM中，用勾股定理求得EM的值，由等腰三角形的三线合一可得：，最后由圆周角定理和对顶角相等可得∠ADB=∠B，再根据等角对等边即可求解；
（3）如图3，连接并延长交于F，连接，先根据垂径定理得：，，根据三角形的内角和定理得：，则，是等腰直角三角形，设，则，由勾股定理和三角形的面积即可求解．
（1）证明：如图1，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2，过点C作于M，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接并延长交于F，连接，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
．
19．（2024九下·西湖模拟）在内接于，点在上，连结，分别交于点，，．
（1）求证：．
（2）若．
①求证：．
②若，，求的长．
【答案】（1）证明：延长交于点，连结MB，如图，
为的直径，
，
．
，，
，
即，
．
（2）①证明：，
，
，
．
，，∠FAB=∠CAE，
，
．
②，，
，
．
设，则，
∴，
设，则，
，，
，
，
，
，，
．
，，
，
，
，即，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）延长交于点，连结BM，利用圆周角定理得∠ABM=90°，利用三角形两锐角互余和圆周角定理得，即可得到结论；
（2）①利用平行线的性质和圆周角定理的推论可得，再利用三角形的外角的性质和角的运算可得∠CAF=∠CFA，最后利用等腰三角形的判定定理解答即可；
②利用相似三角形的判定与性质得到，设，则，设，则，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
20．（2025·绍兴模拟） 如图，在中，直径BC=6，，AD是的切线，点D为切点.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，线段AO交于点E，连结DE，若，求AE的长；
（3）如图3，线段AC交于点F，连结DF，若，求AF的长.
【答案】（1）证明：因为BC是的直径，，
所以AB是的切线.
又因为AD是的切线，
所以.
（2）解： 如图，连结OD，
因为 ，，，
所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以.
所以，所以，
所以.
（3）解：如图，连接OA，OD，FB，BD，
因为，且，所以.
所以，
因为，所以，
所以.
因为，所以，
所以，且，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，
因为BC是的直径，所以，所以，
所以.
【知识点】勾股定理；切线长定理；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
21．（2025九下·金华模拟）如图，在中，过三点的交于点，连结.
（1）求证：.
（2）如图2，已知为的切线，连结并延长交于点.
①求证：；
②若，求的值.
【答案】（1）解： .
.
（2）解：①如图，延长 交 于点 ，连结 .
切 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，即 .
② 设 ，则 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
，
由 得 ，则 ，
，
，
，
，
又 ，
，
设 ，则 ，得 ，解得 ， ，
.
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得，再利用补角的性质证得，进而证得AD=AE.
(2) ① 由平行四边形的性质可得，再通过垂径定理证得BF=CF，进而得到AB=AC，接着等腰三角形的性质可得，然后通过圆周角定理证得 .
② 设 ，则 ，利用圆心角定理可得，由可得，再通过AAS判定得到，进而表示出CE、DE的长度，然后通过求得，可得，最后计算出.
22．（2025·镇海区模拟）已知内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点．
（1）若，_______，求的度数．
①；②．
（作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．）
（2）若，求的长．
（3）若，求证：．
【答案】（1）若选择①，；若选择②，
（2）解：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
答：
（3）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
1 / 14月下旬之图形的性质—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·绍兴模拟） 如图，将绕点 B 顺时针旋，得（A与D为对应点），若点D刚好落在边AC上，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九下·金华模拟）如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成。A、B、C、D为各多边形顶点，已知正六边形的边长为1，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·鹿城模拟）小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形，如图所示，若，则正方形的周长为（　　）
A．14 B．17 C．20 D．24
4．（2025·富阳模拟）如图，在矩形ABCD中，，菱形EFGH的三个顶点分别在矩形ABCD的边上，．得到如下两个结论：①面积的最大值为．②点到BC的距离为3．则（　　）
A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对
5．（2025·浙江模拟）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”。如图是由四个全等的直角三角形（△ABF，△DAE，△BCG，△CDH）拼接而成，连结HF并延长，交BC于点I。若BF=2，EF=1，则BI的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2025九下·金华模拟）如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆.若与线段有两个交点，则满足的条件是　 　.
7．（2025·绍兴模拟） 如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，连结BE，CE，将沿BE折叠得，再将沿CE折叠得（F与G为对应点），当点G落在内部（不包括 的边）时，则AE长的取值范围是　 　.
8．（2025年浙江省杭州市中考数学多校联考模拟试卷）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为　 　
9．（2025九下·金华模拟）如图，分别在三角形纸板的顶点处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线和，相交于点.则的长度是　 　.
10．（2025·富阳模拟）如图，在矩形ABCD中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和．
②作直线MN交CD于点，若，对角线AC的长为　 　．
11．（2025·杭州模拟）如图，点P是正方形的中心，过点P的线段和将正方形分割成4个相同的四边形，这4个四边形拼成正方形．连接，记和的面积分别为，设；
（1）若A，B，Q三点共线，则　 　
（2）正方形和的面积之比为　 　．（用含k的代数式表示）
三、作图题
12．（2025·富阳模拟）如图1，在中，是的平分线．用尺规作是边AB上一点．
小明：如图2．以为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点，连接CE，则.
小丽：以点为圆心，CD长为半径作弧，交AB于点，连接CE，则．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦…我明白了！
（1）给出小明作法中的证明．
（2）指出小丽作法中存在的问题．
13．（2025·绍兴模拟）已知，，为了得到矩形ABCD，甲、乙两位同学的作图方法如下.
甲：如图1，以点A为圆心，BC长为半径画弧，再以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点D与B位于AC的异侧，连结AD，CD，得四边形ABCD.
乙：如图2，分别以点A，C为圆心，大于的相同长为半径画弧，连结两弧交点的直线交AC于点O，连结BO；再以点O为圆心，OB长为半径画弧，交线段BO的延长线于点D，连接AD，CD，得四边形ABCD.
请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由.
14．（2025九下·金华模拟）尺规作图问题：
如图1，已知，用尺规作图方法作以为邻边的平行四边形.
（1）如图2，根据作图痕迹，判定四边形为平行四边形的依据是什么？
（2）在图1中，请你再作一个平行四边形(方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明).
15．（2025·鹿城模拟）尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线．
小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？
小外：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分．
（1）按照小温的说法，在图中用尺规作的角平分线．
（2）小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明．
16．（2025·衢江模拟）小明研究一道尺规作图题：作一边上的高线．他的作法如下：如图，在中，，以为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以、为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点，则为边上的高线．
（1）你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由．
（2）若，，，求的面积．
17．（2025·湖州模拟）如图1，，点P在的平分线上，交于点B．用尺规作图的方法在射线上确定一点C，使是等腰三角形．
小明：如图2，以点A圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形．
小华：以P为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形．
小明：小华，你的作法有问题．
小华：真的吗？让我们仔细想一想．
（1）证明：小明所作的是等腰三角形；
（2）小华所作的一定是等腰三角形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请给出反例．
四、解答题
18．（2025·鹿城模拟）如图，内接于，连结交于点D，交于点E，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）若，设的半径为r，求的面积（用含r的代数式表示）．
19．（2024九下·西湖模拟）在内接于，点在上，连结，分别交于点，，．
（1）求证：．
（2）若．
①求证：．
②若，，求的长．
20．（2025·绍兴模拟） 如图，在中，直径BC=6，，AD是的切线，点D为切点.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，线段AO交于点E，连结DE，若，求AE的长；
（3）如图3，线段AC交于点F，连结DF，若，求AF的长.
21．（2025九下·金华模拟）如图，在中，过三点的交于点，连结.
（1）求证：.
（2）如图2，已知为的切线，连结并延长交于点.
①求证：；
②若，求的值.
22．（2025·镇海区模拟）已知内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点．
（1）若，_______，求的度数．
①；②．
（作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．）
（2）若，求的长．
（3）若，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；平面镶嵌（密铺）；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意可得，
，
，
，
，
.
故答案为： .
【分析】利用正六边形和菱形的性质可得，，再通过勾股定理证得，由SAS判定得到，然后利用菱形面积的计算公式求出四边形的面积.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设每个三角形的长直角边为，短直角边为，
由题意可得，解得，
∴，
∴正方形的周长为，
故答案为：C．
【分析】设每个三角形的长直角边为，短直角边为，然后根据题意和图形可得关于a、b的方程组，解方程组求出的值，再根据勾股定理求得的长，最后根据正方形的周长边长计算即可求解.
4．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；四边形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解： ① 如图1所示：当与重合时，有最大值.
四边形ABCD是矩形
、
四边形EFGH是菱形
② 如图2所示：过点作，垂足为，连接.
四边形ABCD是矩形
四边形EFGH是菱形
又
故答案为：A.
【分析】 ①由于的一条直角边是定值，显然当另一条直角边最大时其面积有最大值，此时斜边必然也最大；由于菱形EFGH的三个顶点分别在矩形ABCD的边上，显然当与重合时，有最大值；由于矩形的四条边已知且已知，利用勾股定理即可求得的最大值即的长，由于，再利用勾股定理即可求得的最大值；
②判断点到的距离，可过点作，垂足为，连接，从而利用平行四边形的性质结合菱形的性质可证，则等于等于3.
5．【答案】B
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；“赵爽弦图”模型；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点M作IN⊥BG于点N，设FN=a，
∵大正方形ABCD是四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，BF=2，EF=1，
∴GC=BF=2，FG=EF=1，
∴BG=BF+FG=3，
∴BC=.
∵四边形EFGH为正方形，FH是它的对角线，
∴△FGH是等腰直角三角形，
∴IN=FN=a，
∴BN=BF-FN=2-a.
∵∠BNI=∠BGC=90°，∠IBN=∠CBG，
∴△BNI∽△BGC，
∴BN：BG=IN：CG=BI：BC，
∴（2-a)：3=a：2=BI：，解得a=，BI=.
故答案为：B.
【分析】先利用正方形的性质及勾股定理求得BC，再利用等腰直角三角形的判定与性质，可用a表示出IN与BN，再证明△BNI∽△BGC，列出比例式，得到关于a的方程求出a，就可求得BI.
6．【答案】 且
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图1，当时，
点是的中点，
，
此时与线段只有一个交点D；
如图2，当时，作，
，点是的中点，
，
，，
，
，
，
此时与线段有2个交点；
当时，作，
，，
，
，
，
此时与线段有2个交点，
综上所述， 且.
故答案为： 且.
【分析】当经过点C时，BD=BC，作，由等腰三角形的性质可得AE、CE的长度，再利用勾股定理求得；当经过点A时，BD=AB，作，由等腰三角形的性质可得AF、CF的长度，再利用勾股定理求得；当时，此时与线段只有一个交点D，利用垂直平分线的性质可得BC=AB=2，综上所述， 且.
7．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
8．【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质
9．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的重心及应用；三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，连接CP并延长交AB于点F，
由题意可得AD、BE、CF都是的中线，
，
，
，，
，
，
.
故答案为：.
【分析】由题意可得AD、BE、CF都是的中线，由的三边长可判定，进而通过勾股定理计算出CF的长度，再利用中线的性质求得CP的长度.
10．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如图所示，连接AE.
垂直平分
四边形ABCD是矩形
故答案为：.
【分析】由尺规作图方法知MN垂直平分AC，则EA等于EC，先在中应用勾股定理求出AD，再在中应用勾股定理即可求得AC.
11．【答案】（1）
（2）
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)如图，连接BQ，
设BF=x，
由题意可得，，
，，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：.
(2)设AB=m，PF=n，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)设BF=x，当A，B，Q三点共线时，易证，利用相似三角形的性质求得，由勾股定理可得，进而证得，然后计算出四边形GPFB的面积，从而计算出k的值.
(2)设AB=m，PF=n，由题意可得PH=PF=FQ=n，故，，进而得到，再利用 求得，继而得到，而，故可得.
12．【答案】（1）证明：如图所示，设AD交CE于点O.
平分
（2）答：无法证明，理由如下：
如图所示，连接DE.
平分
在和中，只有两个条件
无法证明
在和中，只有两个条件
无法证明
在和中，虽然有
但不存在“SSA”这一证明方法
无法证明
综上所述，小丽的作法不能保证.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用小明的作法，可利用角平分线的概念结合“”来证明，进而利用全等的性质结合邻补角的概念求得AD与CE的夹角为，即有；
（2）小丽的作法不正确，因为即使DC＝DE，但利用已知条件无法证明、和，即不能求得AD与CE的夹角为.
13．【答案】解：甲、乙两位同学的作法都正确.
甲作法正确的理由如下：
由图1作法可知：，，
又点B，D在AC异侧，
所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为 ，
所以四边形ABCD是矩形.
或
甲、乙两位同学的作法都正确.
乙作法正确的理由如下：
由图2作法可知，点O是AC的中点，即，且，
所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为，
所以四边形ABCD是矩形.
【知识点】矩形的判定；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-线段的和差
14．【答案】（1）解：一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形.
（2）解：如图3，
依据：两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】(1)根据作图痕迹可得，故四边形ABCD是平行四边形.
(2)以点A为圆心，BC的长度为半径画弧，再以点C为圆心，AB的长度为半径画弧，两弧的交点即为点D，然后连接AD、CD即可得到平行四边形ABCD.
15．【答案】（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：正确，
证明：四边形为平行四边形，
，
，
由作图可知，，
，
，
平分．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）根据尺规作图作角平分线的方法即可；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行”可得AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠AEB=∠CBE，由等边对等角可得∠AEB=∠ABE，再结合角平分线的概念即可判断求解．
（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：正确，
证明：四边形为平行四边形，
，
，
由作图可知，，
，
，
平分．
16．【答案】（1）解：同意，理由如下：连接，
由作图可知：，
∴垂直平分，
∴，即：为边上的高线．
（2）由（1）知：，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】勾股定理；线段垂直平分线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）由作图可知：，根据线段的垂直平分线的判定“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可得垂直平分，则结论可得证；
（2）在Rt△AFC中，用勾股定理求出，在Rt△ABF中，用勾股定理求出的值，由线段的和差BC=BF+CF求出的长，再根据三角形的面积公式S△ABC=BC·AF计算即可求解．
（1）解：同意，证明如下：
连接，
由作图可知：，
∴垂直平分，
∴，即：为边上的高线．
（2）由（1）知：，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积．
17．【答案】（1）证明：∵点P在的平分线上，，
∴，
∴．
在△ABC和△ACP中
∴（SAS）．
∴，
∴，
即是等腰三角形．
（2）解：小华所作的△APC一定是等腰三角形，理由如下：
设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，
过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则有，
在Rt△PEB和Rt△PFC1中
∴（HL），
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
∴小华所作的△APC一定是等腰三角形．
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义以及平行线的性质得出，由等角对等边可得出，结合图形用边角边可证，由全等三角形的性质并结合等腰三角形的定义即可判断求解；
（2）设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，根据HL定理可得，由全等三角形的性质得出，再根据已知条件和三角形外角的定义和性质得出为等腰三角形．进而根据等腰三角形的性质得出，即可得出为等腰三角形．
（1）证明：因为点P在的平分线上，，
所以，
所以．
因为，，，
所以．
所以，
所以，
即是等腰三角形．
（2）解：小华的作法没有问题，理由如下：
设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，
过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则有，
因为，
所以，
所以，
由（1）知，
所以，
所以，
所以，
所以为等腰三角形．
因为，
所以，
所以，
所以为等腰三角形．
因此，小华的作法没有问题．
18．【答案】（1）证明：如图1，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2，过点C作于M，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接并延长交于F，连接，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
．
答：三角形ABC的面积为.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形；求正弦值
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可得，再由同角的余角可得，由等角对等边可得，最后由三角函数定义tan∠1=tan∠CAE=即可求证；
（2）如图2，过点C作于M，根据勾股定理可求得AE的值，由面积法可求得CM的值，在Rt△CDM中，用勾股定理求得EM的值，由等腰三角形的三线合一可得：，最后由圆周角定理和对顶角相等可得∠ADB=∠B，再根据等角对等边即可求解；
（3）如图3，连接并延长交于F，连接，先根据垂径定理得：，，根据三角形的内角和定理得：，则，是等腰直角三角形，设，则，由勾股定理和三角形的面积即可求解．
（1）证明：如图1，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2，过点C作于M，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接并延长交于F，连接，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
．
19．【答案】（1）证明：延长交于点，连结MB，如图，
为的直径，
，
．
，，
，
即，
．
（2）①证明：，
，
，
．
，，∠FAB=∠CAE，
，
．
②，，
，
．
设，则，
∴，
设，则，
，，
，
，
，
，，
．
，，
，
，
，即，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）延长交于点，连结BM，利用圆周角定理得∠ABM=90°，利用三角形两锐角互余和圆周角定理得，即可得到结论；
（2）①利用平行线的性质和圆周角定理的推论可得，再利用三角形的外角的性质和角的运算可得∠CAF=∠CFA，最后利用等腰三角形的判定定理解答即可；
②利用相似三角形的判定与性质得到，设，则，设，则，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
20．【答案】（1）证明：因为BC是的直径，，
所以AB是的切线.
又因为AD是的切线，
所以.
（2）解： 如图，连结OD，
因为 ，，，
所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以.
所以，所以，
所以.
（3）解：如图，连接OA，OD，FB，BD，
因为，且，所以.
所以，
因为，所以，
所以.
因为，所以，
所以，且，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，
因为BC是的直径，所以，所以，
所以.
【知识点】勾股定理；切线长定理；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
21．【答案】（1）解： .
.
（2）解：①如图，延长 交 于点 ，连结 .
切 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，即 .
② 设 ，则 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
，
由 得 ，则 ，
，
，
，
，
又 ，
，
设 ，则 ，得 ，解得 ， ，
.
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得，再利用补角的性质证得，进而证得AD=AE.
(2) ① 由平行四边形的性质可得，再通过垂径定理证得BF=CF，进而得到AB=AC，接着等腰三角形的性质可得，然后通过圆周角定理证得 .
② 设 ，则 ，利用圆心角定理可得，由可得，再通过AAS判定得到，进而表示出CE、DE的长度，然后通过求得，可得，最后计算出.
22．【答案】（1）若选择①，；若选择②，
（2）解：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
答：
（3）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
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