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1-4月之数与式—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·深圳模拟） 深度求索（Deep Seek）是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术，挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，Deep Seek 的 H800 芯片在每秒可以处理 3000GB数据的同时，执行 580万亿次浮点运算，数据 580万亿可用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·宝安模拟）宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值． 某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·深圳模拟）在“双减”政策推动下，学校开展了丰富多彩的社团活动．书法社和绘画社开始招募新成员．起初，书法社的报名数比绘画社报名数的还多人；后来，绘画社有人改报了书法社，此时，书法社的报名数是绘画社报名数的倍．设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，则下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·南山模拟）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为，则满足方程（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·佛山模拟）如图，圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表，记它的外圆周长为a，中间的方孔周长为b．当时，阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·深圳模拟）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则×与y的和为（　　）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
7．（2025九下·罗湖月考）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、解答题
8．（2025·宝安模拟）小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示：
解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步）
小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________；
9．（2025·深圳模拟）在化简的过程中，小深、小圳同学分别给出了如下的部分运算过程：
小深：原式
……
小圳：原式
……
（1）小深解法的依据是　 　，小圳解法的依据是　 　；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）试选一种解法，写出完整的解答过程．
10．（2025·福田模拟）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行使费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6 元/干瓦时，续航里程：a干米，每千米行驶费用： 元．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
11．（2025九下·深圳模拟）综合与实践
背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车．
素材1 燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：a千米，每千米行驶费用：元；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用： ▲ 元．
素材2 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元.
素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．
问题解决
任务1 用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
任务2 分别求出这两款车的每千米行驶费用．
任务3 每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？ （年费用=年行驶费用+年其它费用）
12．（2025·南山模拟）综合与实践
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 某公司生产传统艺术织品，今年初，公司承接到2160个艺术织品的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成，甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天。
素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天。
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半。
问题解决：
（1）任务1．确定工作效率
求甲、乙两部门原来每天分别生产多少个传统艺术织品。
（2）任务2.拟订设计方案
①若设甲部门工作m天，则甲部门完成传统艺术织品 ▲ 个，乙部门工作时间可表示为 ▲ 天。
②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
13．（2025九下·南山模拟）根据如表所示素材，探索完成任务。
深圳华强北电子配件采购方案
素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同：
采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元）
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
素材二 售价A：30元/件，B：100元/件
素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍
问题解决
任务一 求A、B充电器每件进价
任务二 求获利最大的进货方案及最大利润.
14．（2025·深圳模拟）落实《健康中国行动（2019-2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
如何确定排球和足球购买方案？
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等.
素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠
问题解决
任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格。
任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少
15．（2025·深圳模拟）某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为．
（1）起飞区的边的长为______（用含x的代数式表示）；
（2）若起飞区的面积为，求原正方形空地的边长．
16．（2025·兴宁模拟）下面是小琼学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某中学组织学生们到离学校的郊区进行社会调查．一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设… 等量关系：步行的时间﹣骑自行车时间＝
解法二 设… 等量关系：步行的速度＝骑自行车的速度
任务：
（1）解法一所列的方程中的x表示_________，解法二所列的方程中的x表示_________；
A．步行的速度为
B．骑自行车的速度为
C．步行的时间为
（2）任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：580万亿=580000000000000=5.8×1014，
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值.
3．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，根据题意建立方程组即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每天遗忘的百分比为x，
则根据题意可得：，
故答案为：D．
【分析】设每天遗忘的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
5．【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
6．【答案】A
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：如图：
由图可知：x＋（ 1）＋6＝7＋a＋y＝x＋a＋b＝6＋y＋b，
∴a＝2，b＝3，
如图：
由图可知：x＋7＋c＝ 1＋2＋d＝6＋y＋3＝c＋d＋3＝c＋2＋6，
∴c＝ 2，
∴和为6，
如图：
∴x＋y＝1＋（ 3）＝ 2，
故答案为：A．
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出算式求出x＋y＝1＋（ 3）＝ 2即可.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故答案为：C．
【分析】 设停车场内车道的宽度为， 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求出答案.
8．【答案】一，原方程没有化成一般形式
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由
故
（第一步）
（第二步）
∴原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：一；原方程没有化成一般形式．
【分析】根据公式法解方程的基本步骤即可求出答案.
9．【答案】（1）②；③
（2）解：小深：原式；
或者小圳：原式．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据分式的基本性质与乘法分配律即可求出答案.
（2）将分式除法转换为乘法，去中括号，结合平方差公式进行化简即可求出答案.
10．【答案】（1）
（2）①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】一元一次不等式的应用
11．【答案】任务1：
任务2：由题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元．
任务3：设每年行驶里程为，
由题意，得，
解得．
答：当每年行驶里程大于4500km时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
12．【答案】（1）解：设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产2x个传统艺术织品，
根据题意得：
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×60＝120（个）．
答：甲部门每天生产120个传统艺术织品，乙部门每天生产60个传统艺术织品.
（2）解：①120m，（36 2m）；
②根据题意得：m≤（36 2m），
解得：m≤9．
设支付的总费用为w元，则w＝4800m＋3000（36 2m）＝ 1200m＋108000，
∵ 1200＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝9时，w取得最小值，最小值为 1200×9＋108000＝97200，此时36 2m＝36 2×9＝18（天）．
答：应安排甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）①根据题意得：若设甲部门工作m天，则甲部门完成传统艺术织品120m个，
乙部门工作时间可表示为（天）．
故答案为：120m，（36 2m）；
【分析】（1）设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产2x个传统艺术织品，根据“ 甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天 ”列出方程，再求解即可；
（2）①利用“总件数=工作效率×时间”求出甲部门完成艺术品的数量；再利用“工作时间=工作总量÷效率”求出乙部门的时间；
②设支付的总费用为w元，利用“总费用=单价×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
13．【答案】解：任务一：设A、B充电器每件进价分别为a元、b元，
由题意可得，，
解得 ，
答：A、B充电器每件进价分别为20元，80元；
任务二：设购进A种充电器x件，则购进B种充电器 （1000 x）件，利润为w元，
w＝（30 20）x＋（100 80）（1000 x）＝ 10x＋20000，
∴w随x的增大而减小，
∵A数量不少于B数量的4倍，
∴x≥4（1000 x），
解得x≥800，
∴当x＝800时，w取得最大值，
此时w＝12000，1000 x＝200，
答：获利最大的进货方案是购买A种充电器800件，B种充电器200件，最大利润是12000元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设A、B充电器每件进价分别为a元、b元，根据“第一次和第二次采购总费用”列出方程组，再求解即可；
任务二：设购进A种充电器x件，则购进B种充电器 （1000 x）件，利润为w元，利用“总利润=每件的利润×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
14．【答案】解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是（x＋20）元，
根据题意，得，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的根，
故x＋20＝100，
答：每个排球80元，每个足球100元；
任务2：设排球购买m个，则足球购买了（60 m）个，
根据题意，得60 m≥m，
解得：0≤m≤40，
设总费用为w元，根据题意w＝0.75×80×m＋100×0.8（60 m）＝ 20m＋4800，
故y随x的增大而减小，
∴m＝40时，w最小，最小为4000元，
答：方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设排球的单价为x元，则足球的单价是（x＋20）元，根据“ 用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等 ”列出方程，再求解即可；
任务二：设排球购买m个，则足球购买了（60 m）个，根据“ 购买足球的数量不少于排球的数量的”列出不等式60 m≥m，求出m的取值范围，再利用“总费用=单价×数量”列出函数解析式，再求解即可.
15．【答案】（1）；
（2）解∶ 设原正方形空地的边长为．
可列方程为：，
解得：，舍去
答：原正方形空地的边长为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据设原正方形空地的边长为，可用x表示出起飞区的边的长.
故答案为：；
【分析】（1）根据题意列出的代数式；
（2）根据“ 起飞区的面积为”列出方程求解．
（1）解：根据题意，起飞区的边的长为，
故答案为：；
（2）解∶ 根据题意可得：，即，
解得：，舍去
答：原正方形空地的边长为．
16．【答案】（1）A，C
（2）解法一：设步行的速度为，则骑自行车的速度为，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
答：步行的速度为，骑自行车的速度为；
解法二：设步行的时间为，则骑自行车的时间为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
此时，，
答：步行的速度为，骑自行车的速度为．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意知，解法一所列的方程中的x表示步行的速度为；
解法二所列的方程中的x表示步行的时间为．
故答案为：A，C；
【分析】（1）根据列表中给出的等量关系即可求出答案.
（2）解法一：设步行的速度为，则骑自行车的速度为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；
解法二：设步行的时间为，则骑自行车的时间为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；
（1）解：根据题意知，解法一所列的方程中的x表示步行的速度为；
解法二所列的方程中的x表示步行的时间为．
故答案为：A，C；
（2）解法一：设步行的速度为，则骑自行车的速度为，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
答：步行的速度为，骑自行车的速度为；
解法二：设步行的时间为，则骑自行车的时间为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
此时，，
答：步行的速度为，骑自行车的速度为．
1 / 11-4月之数与式—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·深圳模拟） 深度求索（Deep Seek）是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术，挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，Deep Seek 的 H800 芯片在每秒可以处理 3000GB数据的同时，执行 580万亿次浮点运算，数据 580万亿可用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：580万亿=580000000000000=5.8×1014，
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
2．（2025·宝安模拟）宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值． 某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值.
3．（2025·深圳模拟）在“双减”政策推动下，学校开展了丰富多彩的社团活动．书法社和绘画社开始招募新成员．起初，书法社的报名数比绘画社报名数的还多人；后来，绘画社有人改报了书法社，此时，书法社的报名数是绘画社报名数的倍．设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，则下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，根据题意建立方程组即可求出答案.
4．（2025·南山模拟）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为，则满足方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每天遗忘的百分比为x，
则根据题意可得：，
故答案为：D．
【分析】设每天遗忘的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
5．（2025·佛山模拟）如图，圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表，记它的外圆周长为a，中间的方孔周长为b．当时，阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
6．（2025·深圳模拟）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则×与y的和为（　　）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
【答案】A
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：如图：
由图可知：x＋（ 1）＋6＝7＋a＋y＝x＋a＋b＝6＋y＋b，
∴a＝2，b＝3，
如图：
由图可知：x＋7＋c＝ 1＋2＋d＝6＋y＋3＝c＋d＋3＝c＋2＋6，
∴c＝ 2，
∴和为6，
如图：
∴x＋y＝1＋（ 3）＝ 2，
故答案为：A．
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出算式求出x＋y＝1＋（ 3）＝ 2即可.
7．（2025九下·罗湖月考）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故答案为：C．
【分析】 设停车场内车道的宽度为， 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求出答案.
二、解答题
8．（2025·宝安模拟）小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示：
解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步）
小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________；
【答案】一，原方程没有化成一般形式
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由
故
（第一步）
（第二步）
∴原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：一；原方程没有化成一般形式．
【分析】根据公式法解方程的基本步骤即可求出答案.
9．（2025·深圳模拟）在化简的过程中，小深、小圳同学分别给出了如下的部分运算过程：
小深：原式
……
小圳：原式
……
（1）小深解法的依据是　 　，小圳解法的依据是　 　；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）试选一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）②；③
（2）解：小深：原式；
或者小圳：原式．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据分式的基本性质与乘法分配律即可求出答案.
（2）将分式除法转换为乘法，去中括号，结合平方差公式进行化简即可求出答案.
10．（2025·福田模拟）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行使费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6 元/干瓦时，续航里程：a干米，每千米行驶费用： 元．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
【答案】（1）
（2）①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】一元一次不等式的应用
11．（2025九下·深圳模拟）综合与实践
背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车．
素材1 燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：a千米，每千米行驶费用：元；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用： ▲ 元．
素材2 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元.
素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．
问题解决
任务1 用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
任务2 分别求出这两款车的每千米行驶费用．
任务3 每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？ （年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】任务1：
任务2：由题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元．
任务3：设每年行驶里程为，
由题意，得，
解得．
答：当每年行驶里程大于4500km时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
12．（2025·南山模拟）综合与实践
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 某公司生产传统艺术织品，今年初，公司承接到2160个艺术织品的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成，甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天。
素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天。
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半。
问题解决：
（1）任务1．确定工作效率
求甲、乙两部门原来每天分别生产多少个传统艺术织品。
（2）任务2.拟订设计方案
①若设甲部门工作m天，则甲部门完成传统艺术织品 ▲ 个，乙部门工作时间可表示为 ▲ 天。
②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
【答案】（1）解：设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产2x个传统艺术织品，
根据题意得：
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×60＝120（个）．
答：甲部门每天生产120个传统艺术织品，乙部门每天生产60个传统艺术织品.
（2）解：①120m，（36 2m）；
②根据题意得：m≤（36 2m），
解得：m≤9．
设支付的总费用为w元，则w＝4800m＋3000（36 2m）＝ 1200m＋108000，
∵ 1200＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝9时，w取得最小值，最小值为 1200×9＋108000＝97200，此时36 2m＝36 2×9＝18（天）．
答：应安排甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）①根据题意得：若设甲部门工作m天，则甲部门完成传统艺术织品120m个，
乙部门工作时间可表示为（天）．
故答案为：120m，（36 2m）；
【分析】（1）设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产2x个传统艺术织品，根据“ 甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天 ”列出方程，再求解即可；
（2）①利用“总件数=工作效率×时间”求出甲部门完成艺术品的数量；再利用“工作时间=工作总量÷效率”求出乙部门的时间；
②设支付的总费用为w元，利用“总费用=单价×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
13．（2025九下·南山模拟）根据如表所示素材，探索完成任务。
深圳华强北电子配件采购方案
素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同：
采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元）
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
素材二 售价A：30元/件，B：100元/件
素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍
问题解决
任务一 求A、B充电器每件进价
任务二 求获利最大的进货方案及最大利润.
【答案】解：任务一：设A、B充电器每件进价分别为a元、b元，
由题意可得，，
解得 ，
答：A、B充电器每件进价分别为20元，80元；
任务二：设购进A种充电器x件，则购进B种充电器 （1000 x）件，利润为w元，
w＝（30 20）x＋（100 80）（1000 x）＝ 10x＋20000，
∴w随x的增大而减小，
∵A数量不少于B数量的4倍，
∴x≥4（1000 x），
解得x≥800，
∴当x＝800时，w取得最大值，
此时w＝12000，1000 x＝200，
答：获利最大的进货方案是购买A种充电器800件，B种充电器200件，最大利润是12000元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设A、B充电器每件进价分别为a元、b元，根据“第一次和第二次采购总费用”列出方程组，再求解即可；
任务二：设购进A种充电器x件，则购进B种充电器 （1000 x）件，利润为w元，利用“总利润=每件的利润×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
14．（2025·深圳模拟）落实《健康中国行动（2019-2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
如何确定排球和足球购买方案？
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等.
素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠
问题解决
任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格。
任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少
【答案】解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是（x＋20）元，
根据题意，得，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的根，
故x＋20＝100，
答：每个排球80元，每个足球100元；
任务2：设排球购买m个，则足球购买了（60 m）个，
根据题意，得60 m≥m，
解得：0≤m≤40，
设总费用为w元，根据题意w＝0.75×80×m＋100×0.8（60 m）＝ 20m＋4800，
故y随x的增大而减小，
∴m＝40时，w最小，最小为4000元，
答：方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设排球的单价为x元，则足球的单价是（x＋20）元，根据“ 用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等 ”列出方程，再求解即可；
任务二：设排球购买m个，则足球购买了（60 m）个，根据“ 购买足球的数量不少于排球的数量的”列出不等式60 m≥m，求出m的取值范围，再利用“总费用=单价×数量”列出函数解析式，再求解即可.
15．（2025·深圳模拟）某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为．
（1）起飞区的边的长为______（用含x的代数式表示）；
（2）若起飞区的面积为，求原正方形空地的边长．
【答案】（1）；
（2）解∶ 设原正方形空地的边长为．
可列方程为：，
解得：，舍去
答：原正方形空地的边长为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据设原正方形空地的边长为，可用x表示出起飞区的边的长.
故答案为：；
【分析】（1）根据题意列出的代数式；
（2）根据“ 起飞区的面积为”列出方程求解．
（1）解：根据题意，起飞区的边的长为，
故答案为：；
（2）解∶ 根据题意可得：，即，
解得：，舍去
答：原正方形空地的边长为．
16．（2025·兴宁模拟）下面是小琼学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某中学组织学生们到离学校的郊区进行社会调查．一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设… 等量关系：步行的时间﹣骑自行车时间＝
解法二 设… 等量关系：步行的速度＝骑自行车的速度
任务：
（1）解法一所列的方程中的x表示_________，解法二所列的方程中的x表示_________；
A．步行的速度为
B．骑自行车的速度为
C．步行的时间为
（2）任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度．
【答案】（1）A，C
（2）解法一：设步行的速度为，则骑自行车的速度为，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
答：步行的速度为，骑自行车的速度为；
解法二：设步行的时间为，则骑自行车的时间为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
此时，，
答：步行的速度为，骑自行车的速度为．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意知，解法一所列的方程中的x表示步行的速度为；
解法二所列的方程中的x表示步行的时间为．
故答案为：A，C；
【分析】（1）根据列表中给出的等量关系即可求出答案.
（2）解法一：设步行的速度为，则骑自行车的速度为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；
解法二：设步行的时间为，则骑自行车的时间为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；
（1）解：根据题意知，解法一所列的方程中的x表示步行的速度为；
解法二所列的方程中的x表示步行的时间为．
故答案为：A，C；
（2）解法一：设步行的速度为，则骑自行车的速度为，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
答：步行的速度为，骑自行车的速度为；
解法二：设步行的时间为，则骑自行车的时间为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
此时，，
答：步行的速度为，骑自行车的速度为．
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