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1-4月之一次函数与反比例函数—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·高州模拟）初二（1）班在学习了一次函数的知识后，对于一次函数的图象经过的象限，大家议论纷纷：小红说：它经过第一、二、三象限；小龙说：它经过第二、三、四象限；小彬说：它经过第一、二、四象限；小航说：它经过第一、三、四象限．其中说法是正确的是（　　）
A．小红 B．小龙 C．小彬 D．小航
2．（2023·广州）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2021·坪山模拟）如图，直线分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线于点A、B，且．下列结论：①与相似；②；③；④．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025·深圳模拟）如图1，在中，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，过点作，垂足为．设点运动的路程为，与的差为，与的函数图象如图2所示，点，是线段，与轴的交点，则图2中点对应的点位置到点对应的点位置所经历的时长为（　　）
A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒
5．（2025九下·佛山模拟）张院士的动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记，与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数：滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．若在整个往返过程中，，则（　　）．
A．6或9 B．18 C．6或18 D．9或18
二、填空题
6．（2025九下·深圳模拟）科学课上，同学们用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数．当密度计悬浮在密度为的水中时，．当密度计悬浮在另一种液体中时，，该液体的密度为　 　．
7．（2023·恩平模拟）如图，A，C是反比例函数图象上的点，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别是点B，D，连接、、，线段交于点E，且E恰好是的中点．当的面积为时，k的值是　 　．
8．（2025九下·南山模拟）如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC=2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，且四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式　 　.
9．（2025·宝安模拟）把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为　 　．
10．（2025九下·广州模拟）一元二次方程有两个相等的实数根，点）是反比例函数上的两个点，若，则　 　（填“小于”或“＞”或“=”）.
11．（2025·深圳模拟）如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为　 　．
12．（2025·南山模拟）如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为　 　．
13．（2025·深圳模拟） 如图，把一块含 角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点 O 重合，点 B 在 x 轴上，点 A 在函数 的图象上. 把三角板绕点 O 逆时针旋转到 的位置，使得点 B' 恰好也在函数 的图象上，此时点 A' 落在函数 的图象上，则 k 的值为　 　.
14．（2025九下·佛山模拟）在平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为　 　．
三、解答题
15．（2025九下·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点.点是线段AB上一点，且与的面积比为1：2.
（1）求和的值；
（2）将绕点逆时针旋转，得到判断点是否落在函数的图象上，并说明理由.
16．（2025九下·佛山模拟）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结．
（1）如图2，连结、，当的面积为2时：
①______；②求的面积；
（2）如图3，将沿翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：在中，，，
直线经过第一、二、四象限．
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的性质即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵正比例函数y1=ax的图象经过点（1，-1），
∴a=-1，
∵ 反比例函数的图象位于第一、第三象限 ，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，即该函数的图象一定不会经过第三象限，
故A、B、D三个选项都是错误的，不符合题意；只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】将点（1，-1）代入正比例函数y1=ax可求出a=-1，根据反比例函数的图象与系数的关系，由反比例函数的图象位于第一、第三象限，得b＞0，进而根据一次函数的图象与系数的关系：y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，即可判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
一次函数中，
令，得，
令，得，
，
，
∴，
与都是等腰直角三角形，
，
同理可得，
；
故①符合题意；
与都是等腰直角三角形，
故②符合题意；
故③符合题意；
设，
则，，
由结论③可得：，
∴，
∴，
故④符合题意；
故正确的有①②③④，共4个，
故答案为：D．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，易得与都是等腰直角三角形，得到∠CBF=∠DAE=45°，进而得到∠PBC=∠PAB=45°，，从而得到BP=AP，即可判断②；由∠AOB=135°，得出∠OBC+∠OAB=45°，进一步得到∠BOC=∠BAO，∠AOD=∠ABO，即可得到，即可判断①；再根据，可得，即可判断③；设，则，，再根据，即可得到k=8，即可判断④。
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵过点作，垂足为，
∴，
当时，则，
∴此时，
由图2得时，，
∵与的差为，
∴，
∴，
当时，且与的差为，此时停止运动了，说明点P与点C重合，
∵，
∴说明点P与点Q重合，
则，
即，
则，
由图2得，在点M时，则，
即，
在中，，
设
则，
故，
∴，
解得，
∴，
∵一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，
∴（秒），
由图2得，在点N时，则，
即，
此时点P是的中点，
∴，
则（秒），
∴（秒），
故答案为：C．
【分析】过点作，垂足为，得出当时，则，，再解读当时，且与的差为，且此时停止运动了，说明点P与点C重合，则，运用，得，设故，分别算出在点M时，以及在点N时的时间，再计算它们的差值，即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，
∵，
∴，
∴，
∴是的一次函数，
∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数；
∴当时，，
∴，
∴，
∴滑块从点到点所用的时间为，
当，时，，
解得：；
∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿，
∴滑块从点到点的滑动时间为，
∴滑块返回的速度为，
∴，
∴，
∴，
∴与的函数表达式为，
当，时，
，
解得：，
综上所述，当或时，．
故答案为：C．
【分析】设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入求得d关于t的函数，进而①当时，②当时，分别令，进而即可求解．
6．【答案】0.8
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设h关于的函数解析式为：
将=1，h=20代入解析式，可得k=1×20=20
∴h关于的函数解析式为：
将h=25代入解析式可得：
解得：=0.8
故答案为：0.8
【分析】设h关于的函数解析式为：，根据待定系数法将点(1，20)代入解析式可得h关于的函数解析式为：，再将h=25代入解析式即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
8．【答案】y＝ ．
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵OC＝2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，
∴AO NO＝AB AM，
∴△ABE和四边形EMON的面积相等为2，
∵MG∥AB，
∴，
∴，
∴，
∴S△AEM＝，
∴△ABM面积为2.5，
∴矩形ABCO面积为：4×2.5＝10，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴xy＝ 10，
∴经过B的双曲线的解析式是y＝ ．
故答案为：y＝ ．
【分析】先证出MG∥AB，利用平行线分线段成比例的性质可得，求出，再求出△ABM面积为2.5，利用矩形的性质求出矩形ABCO面积为：4×2.5＝10，再求出xy＝ 10，从而可得经过B的双曲线的解析式是y＝ ．
9．【答案】
【知识点】点的坐标；反比例函数的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，如图，
在中，，
∴，
∴，
在中，∠，
∴∠，
∴，
∴，
∵∠
∴
在中，∠，
∴，
∴，
∴，
设，则
∴，
∴
∵A，C均在反比例函数图象上，
∴
解得，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设反比例函数解析式为，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，解，求出，，将点A，C坐标代入反比例函数解析式可得，即，则OB=5，即可求出答案.
10．【答案】>
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；函数值；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴点、是反比例函数上的两个点，
又∵，
∴，
故填：>．
【分析】本题考查反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，据此可列出方程，解方程可求出m的值，再根据点、是反比例函数上的两个点，利用反比例函数函数得性质可比较出的大小．
11．【答案】8
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设，
∵它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴矩形的面积为，
故答案为：．
【分析】设，，则，将点E坐标代入反比例函数解析式可得，再根据两点间距离可得，，再根据矩形面积即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：设，则．
设，则，
，
∴，
∵，
∴，
那么直线 的比例系数可表示为 或，
∴
变形得．
又，
∴．
故答案为：-10
【分析】设，则．设，则，根据三角形面积可得，根据，求出，再根据直线 的斜率即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作AC⊥OB于点C，如图所示：
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴AC＝OB＝OC＝BC，
设AC＝m，则OC＝m，
∴A（m，m），
∵点A在y＝上，
∴m2＝4，
∴m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∴OC＝AC＝2，
∴OA＝=，OB＝2OC＝4，
过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，
∵OA'＝A'B'，∠OA'B'＝90°，
∴∠OA'E＋∠DA'B'＝90°，∠OA'E＋∠A'OE＝90°，
∴∠DA'B'＝∠A'OE，
又∠B'DA'＝∠A'EO＝90°，
∴△B'DA'≌△A'EO（AAS），
∴A'E＝B'D，A'D＝OE，
作B'G⊥x轴于点G，
∵B'点在y＝上，
∴xB'yB'＝4，
设B'（a，b），
∴ab＝4，
∵OB'＝OB＝4，OG2＋B'G2＝OB'2，
∴a2＋b2＝42＝16，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝16＋2×4＝24，（a b）2＝a2＋b2 2ab＝16 2×4＝16 8＝8，
∵a＞0，b＞0，且b＞a，
∴，
解得：，
设A'（p，q），
∴A'E＝q，B'D＝xB' xA'＝
∴①，
∴p＋q＝，
同理可得q p＝②，
由①②得，
∴A'(，)，
∴k＝×=，
故答案为：．
【分析】作AC⊥OB于点C，过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，设B'（a，b），先求出，再设A'（p，q），求出，可得A'(，)，最后求出k＝×=即可.
14．【答案】
【知识点】最简二次根式；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，
∵，
∴，（，） ，
∵当时，，
∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为，
∴此时点Q的运动路径长为；
∵当时，，
∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为，
∴此时点Q的运动路径长为；
综上分析可知，点Q运动路径的长为．
故答案为：．
【分析】设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，根据，得出，然后分两种情况，或，得出与的函数关系式，即可得出Q横纵坐标的关系式，找出点Q的运动轨迹，根据勾股定理求出运动轨迹的长即可．
15．【答案】（1）解：将代入，
得，，
，
将代入，
得，，
解得，，
故所求和的值分别为，5；
（2）（2）点是落在函数的图象上．理由如下：
，
时，，解得，
．
与的面积比为，
为中点，
，，
．
如图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．
将绕点逆时针旋转，得到△，
，，．
．
在△与中，
，
△，
，，
在第二象限，
，
点是落在函数的图象上．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】本题考查待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征．
（1）将代入可列出方程，解方程可求出的值；将代入可列出方程，解方程可求出的值；
（2）令y=0，根据一次函数的解析式可求出点坐标为．根据与的面积比为，得出为中点，利用中点坐标公式求出点坐标为．过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．利用旋转的性质可得：，，，利用角的运算可得：，利用全等三角形的判定定理可证明△，利用全等三角形的性质可得，，又在第二象限，得出，据此可判断点是落在函数的图象上．
16．【答案】（1）①4；
解：②在矩形中，，，
，
反比例函数的解析式是：，
，
即点D的纵坐标是3，
令，
解得：，
D，
同理，当时，，
，
，，，，
；
（2）解：过点D作轴于点G，则，
，即点D的纵坐标是3，
令，
解得：，
，
同理可得，当时，，
，
，，，，
由折叠的性质可知：，，，
，
轴，
，
，
，
，
，
即，
，
轴，
是直角三角形，，
，
解得：，
即k的值为．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：①的面积为2，反比例函数图象在第一象限，
即有，
，
故答案为：4；
【分析】（1）①根据反比例函数的几何意义即可求出但.
②根据解析式代入得出点和的坐标，进而利用割补法求三角形面积，即可求出答案.
（2）过点D作轴于点G，类比于②用表示出，根据反比例函数的性质和折叠的性质以及相似三角形的判定和性质用表示出，再结合勾股定理建立等式，解方程即可求出答案.
（1）解：①的面积为2，反比例函数图象在第一象限，
即有，
，
故答案为：4；
②在矩形中，，，
，
反比例函数的解析式是：，
，
即点D的纵坐标是3，
令，
解得：，
D，
同理，当时，，
，
，，，，
；
（2）解：过点D作轴于点G，则，
，即点D的纵坐标是3，
令，
解得：，
，
同理可得，当时，，
，
，，，，
由折叠的性质可知：，，，
，
轴，
，
，
，
，
，
即，
，
轴，
是直角三角形，，
，
解得：，
即k的值为．
1 / 11-4月之一次函数与反比例函数—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·高州模拟）初二（1）班在学习了一次函数的知识后，对于一次函数的图象经过的象限，大家议论纷纷：小红说：它经过第一、二、三象限；小龙说：它经过第二、三、四象限；小彬说：它经过第一、二、四象限；小航说：它经过第一、三、四象限．其中说法是正确的是（　　）
A．小红 B．小龙 C．小彬 D．小航
【答案】C
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：在中，，，
直线经过第一、二、四象限．
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的性质即可求出答案.
2．（2023·广州）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵正比例函数y1=ax的图象经过点（1，-1），
∴a=-1，
∵ 反比例函数的图象位于第一、第三象限 ，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，即该函数的图象一定不会经过第三象限，
故A、B、D三个选项都是错误的，不符合题意；只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】将点（1，-1）代入正比例函数y1=ax可求出a=-1，根据反比例函数的图象与系数的关系，由反比例函数的图象位于第一、第三象限，得b＞0，进而根据一次函数的图象与系数的关系：y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，即可判断得出答案.
3．（2021·坪山模拟）如图，直线分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线于点A、B，且．下列结论：①与相似；②；③；④．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
一次函数中，
令，得，
令，得，
，
，
∴，
与都是等腰直角三角形，
，
同理可得，
；
故①符合题意；
与都是等腰直角三角形，
故②符合题意；
故③符合题意；
设，
则，，
由结论③可得：，
∴，
∴，
故④符合题意；
故正确的有①②③④，共4个，
故答案为：D．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，易得与都是等腰直角三角形，得到∠CBF=∠DAE=45°，进而得到∠PBC=∠PAB=45°，，从而得到BP=AP，即可判断②；由∠AOB=135°，得出∠OBC+∠OAB=45°，进一步得到∠BOC=∠BAO，∠AOD=∠ABO，即可得到，即可判断①；再根据，可得，即可判断③；设，则，，再根据，即可得到k=8，即可判断④。
4．（2025·深圳模拟）如图1，在中，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，过点作，垂足为．设点运动的路程为，与的差为，与的函数图象如图2所示，点，是线段，与轴的交点，则图2中点对应的点位置到点对应的点位置所经历的时长为（　　）
A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒
【答案】C
【知识点】解直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵过点作，垂足为，
∴，
当时，则，
∴此时，
由图2得时，，
∵与的差为，
∴，
∴，
当时，且与的差为，此时停止运动了，说明点P与点C重合，
∵，
∴说明点P与点Q重合，
则，
即，
则，
由图2得，在点M时，则，
即，
在中，，
设
则，
故，
∴，
解得，
∴，
∵一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，
∴（秒），
由图2得，在点N时，则，
即，
此时点P是的中点，
∴，
则（秒），
∴（秒），
故答案为：C．
【分析】过点作，垂足为，得出当时，则，，再解读当时，且与的差为，且此时停止运动了，说明点P与点C重合，则，运用，得，设故，分别算出在点M时，以及在点N时的时间，再计算它们的差值，即可求出答案.
5．（2025九下·佛山模拟）张院士的动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记，与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数：滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．若在整个往返过程中，，则（　　）．
A．6或9 B．18 C．6或18 D．9或18
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，
∵，
∴，
∴，
∴是的一次函数，
∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数；
∴当时，，
∴，
∴，
∴滑块从点到点所用的时间为，
当，时，，
解得：；
∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿，
∴滑块从点到点的滑动时间为，
∴滑块返回的速度为，
∴，
∴，
∴，
∴与的函数表达式为，
当，时，
，
解得：，
综上所述，当或时，．
故答案为：C．
【分析】设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入求得d关于t的函数，进而①当时，②当时，分别令，进而即可求解．
二、填空题
6．（2025九下·深圳模拟）科学课上，同学们用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数．当密度计悬浮在密度为的水中时，．当密度计悬浮在另一种液体中时，，该液体的密度为　 　．
【答案】0.8
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设h关于的函数解析式为：
将=1，h=20代入解析式，可得k=1×20=20
∴h关于的函数解析式为：
将h=25代入解析式可得：
解得：=0.8
故答案为：0.8
【分析】设h关于的函数解析式为：，根据待定系数法将点(1，20)代入解析式可得h关于的函数解析式为：，再将h=25代入解析式即可求出答案.
7．（2023·恩平模拟）如图，A，C是反比例函数图象上的点，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别是点B，D，连接、、，线段交于点E，且E恰好是的中点．当的面积为时，k的值是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
8．（2025九下·南山模拟）如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC=2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，且四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式　 　.
【答案】y＝ ．
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵OC＝2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，
∴AO NO＝AB AM，
∴△ABE和四边形EMON的面积相等为2，
∵MG∥AB，
∴，
∴，
∴，
∴S△AEM＝，
∴△ABM面积为2.5，
∴矩形ABCO面积为：4×2.5＝10，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴xy＝ 10，
∴经过B的双曲线的解析式是y＝ ．
故答案为：y＝ ．
【分析】先证出MG∥AB，利用平行线分线段成比例的性质可得，求出，再求出△ABM面积为2.5，利用矩形的性质求出矩形ABCO面积为：4×2.5＝10，再求出xy＝ 10，从而可得经过B的双曲线的解析式是y＝ ．
9．（2025·宝安模拟）把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；反比例函数的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，如图，
在中，，
∴，
∴，
在中，∠，
∴∠，
∴，
∴，
∵∠
∴
在中，∠，
∴，
∴，
∴，
设，则
∴，
∴
∵A，C均在反比例函数图象上，
∴
解得，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设反比例函数解析式为，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，解，求出，，将点A，C坐标代入反比例函数解析式可得，即，则OB=5，即可求出答案.
10．（2025九下·广州模拟）一元二次方程有两个相等的实数根，点）是反比例函数上的两个点，若，则　 　（填“小于”或“＞”或“=”）.
【答案】>
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；函数值；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴点、是反比例函数上的两个点，
又∵，
∴，
故填：>．
【分析】本题考查反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，据此可列出方程，解方程可求出m的值，再根据点、是反比例函数上的两个点，利用反比例函数函数得性质可比较出的大小．
11．（2025·深圳模拟）如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为　 　．
【答案】8
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设，
∵它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴矩形的面积为，
故答案为：．
【分析】设，，则，将点E坐标代入反比例函数解析式可得，再根据两点间距离可得，，再根据矩形面积即可求出答案.
12．（2025·南山模拟）如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：设，则．
设，则，
，
∴，
∵，
∴，
那么直线 的比例系数可表示为 或，
∴
变形得．
又，
∴．
故答案为：-10
【分析】设，则．设，则，根据三角形面积可得，根据，求出，再根据直线 的斜率即可求出答案.
13．（2025·深圳模拟） 如图，把一块含 角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点 O 重合，点 B 在 x 轴上，点 A 在函数 的图象上. 把三角板绕点 O 逆时针旋转到 的位置，使得点 B' 恰好也在函数 的图象上，此时点 A' 落在函数 的图象上，则 k 的值为　 　.
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作AC⊥OB于点C，如图所示：
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴AC＝OB＝OC＝BC，
设AC＝m，则OC＝m，
∴A（m，m），
∵点A在y＝上，
∴m2＝4，
∴m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∴OC＝AC＝2，
∴OA＝=，OB＝2OC＝4，
过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，
∵OA'＝A'B'，∠OA'B'＝90°，
∴∠OA'E＋∠DA'B'＝90°，∠OA'E＋∠A'OE＝90°，
∴∠DA'B'＝∠A'OE，
又∠B'DA'＝∠A'EO＝90°，
∴△B'DA'≌△A'EO（AAS），
∴A'E＝B'D，A'D＝OE，
作B'G⊥x轴于点G，
∵B'点在y＝上，
∴xB'yB'＝4，
设B'（a，b），
∴ab＝4，
∵OB'＝OB＝4，OG2＋B'G2＝OB'2，
∴a2＋b2＝42＝16，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝16＋2×4＝24，（a b）2＝a2＋b2 2ab＝16 2×4＝16 8＝8，
∵a＞0，b＞0，且b＞a，
∴，
解得：，
设A'（p，q），
∴A'E＝q，B'D＝xB' xA'＝
∴①，
∴p＋q＝，
同理可得q p＝②，
由①②得，
∴A'(，)，
∴k＝×=，
故答案为：．
【分析】作AC⊥OB于点C，过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，设B'（a，b），先求出，再设A'（p，q），求出，可得A'(，)，最后求出k＝×=即可.
14．（2025九下·佛山模拟）在平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为　 　．
【答案】
【知识点】最简二次根式；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，
∵，
∴，（，） ，
∵当时，，
∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为，
∴此时点Q的运动路径长为；
∵当时，，
∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为，
∴此时点Q的运动路径长为；
综上分析可知，点Q运动路径的长为．
故答案为：．
【分析】设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，根据，得出，然后分两种情况，或，得出与的函数关系式，即可得出Q横纵坐标的关系式，找出点Q的运动轨迹，根据勾股定理求出运动轨迹的长即可．
三、解答题
15．（2025九下·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点.点是线段AB上一点，且与的面积比为1：2.
（1）求和的值；
（2）将绕点逆时针旋转，得到判断点是否落在函数的图象上，并说明理由.
【答案】（1）解：将代入，
得，，
，
将代入，
得，，
解得，，
故所求和的值分别为，5；
（2）（2）点是落在函数的图象上．理由如下：
，
时，，解得，
．
与的面积比为，
为中点，
，，
．
如图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．
将绕点逆时针旋转，得到△，
，，．
．
在△与中，
，
△，
，，
在第二象限，
，
点是落在函数的图象上．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】本题考查待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征．
（1）将代入可列出方程，解方程可求出的值；将代入可列出方程，解方程可求出的值；
（2）令y=0，根据一次函数的解析式可求出点坐标为．根据与的面积比为，得出为中点，利用中点坐标公式求出点坐标为．过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．利用旋转的性质可得：，，，利用角的运算可得：，利用全等三角形的判定定理可证明△，利用全等三角形的性质可得，，又在第二象限，得出，据此可判断点是落在函数的图象上．
16．（2025九下·佛山模拟）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结．
（1）如图2，连结、，当的面积为2时：
①______；②求的面积；
（2）如图3，将沿翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值．
【答案】（1）①4；
解：②在矩形中，，，
，
反比例函数的解析式是：，
，
即点D的纵坐标是3，
令，
解得：，
D，
同理，当时，，
，
，，，，
；
（2）解：过点D作轴于点G，则，
，即点D的纵坐标是3，
令，
解得：，
，
同理可得，当时，，
，
，，，，
由折叠的性质可知：，，，
，
轴，
，
，
，
，
，
即，
，
轴，
是直角三角形，，
，
解得：，
即k的值为．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：①的面积为2，反比例函数图象在第一象限，
即有，
，
故答案为：4；
【分析】（1）①根据反比例函数的几何意义即可求出但.
②根据解析式代入得出点和的坐标，进而利用割补法求三角形面积，即可求出答案.
（2）过点D作轴于点G，类比于②用表示出，根据反比例函数的性质和折叠的性质以及相似三角形的判定和性质用表示出，再结合勾股定理建立等式，解方程即可求出答案.
（1）解：①的面积为2，反比例函数图象在第一象限，
即有，
，
故答案为：4；
②在矩形中，，，
，
反比例函数的解析式是：，
，
即点D的纵坐标是3，
令，
解得：，
D，
同理，当时，，
，
，，，，
；
（2）解：过点D作轴于点G，则，
，即点D的纵坐标是3，
令，
解得：，
，
同理可得，当时，，
，
，，，，
由折叠的性质可知：，，，
，
轴，
，
，
，
，
，
即，
，
轴，
是直角三角形，，
，
解得：，
即k的值为．
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