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1-4月之二次函数—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·龙岗模拟）已知二次函数的图像与轴分别交于点，，与一次函数的图像分别交于点，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：对于一次函数，
当时，，
解得：，
∵二次函数的图像与轴分别交于点，，
当时，，
解得：或，
∴，，
∵二次函数的图像与一次函数的图像分别交于点，，
∴，
解得：或，
∴，
∴，
∴=．
故答案为：C．
【分析】
本题考查二次函数与一次函数的交点问题，令，求出点，的坐标，再由二次函数与一次函数的解析式联立方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式计算即可．解题的关键是求出，，三点的坐标．
2．（2025九下·中山开学考）如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（　　）
A．3.7 B．4.1 C．5.5 D．5
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题可知，把点，代入解析式 中，
解得，
∴ 弹力球第一次着地前抛物线的解析式为 ：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：或（舍去），
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：或（舍去），
∴该抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B的坐标为，则点的坐标为，
∵圆柱形的高为，
当时，则，
解得：或（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
∵筐的底面半径为，直径为，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
∴，
∴选项B中的满足条件，
故答案为：B．
【分析】根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案．
3．（2024九下·福田模拟）如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（　　）．
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，则，，，
，
当时，有最大值，
即，
解得，
，
当点Q在上时，
如图，，
当时，，
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长为，当点Q在上时，求得．当时，有最大值，配合图象可得方程，即可求得；当点Q在上时，可求得，把代入即可得到答案．
4．（2025九下·佛山模拟）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是（　　）
A． B．或 C．2 D．2或
【答案】D
【知识点】切线的性质；二次函数-动态几何问题；圆-动点问题
二、填空题
5．（2025·中山模拟）已知抛物线经过点，其中．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是　 　（填序号）．
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
三、解答题
6．（2025·深圳模拟）背景：2026年开始，深圳市体育中考将把球类运动作为必选项目．在某次校园“篮球比赛”活动中，小李同学展示了精彩的投篮技巧．假设小李投篮时篮球的运动路线是抛物线，如图1．已知以下信息：
①球员小李罚球线处投篮．罚球线到篮筐中心的水平距离为4.5米；
②篮筐的高度为3.05米；
③小李投篮时，篮球运动路线的最高点在离他的水平距离3米处，高度为3.5米．
（1）求小李投篮时，篮球出手时的高度；
（2）在刚才的投篮过程中，如图2，有一个防守队员小姜在小李正前方1米处，想跳起来去阻挡篮球入筐．已知小姜手臂向上伸展的时候，指尖距离脚底的最大高度为1.9米；小姜竖直弹跳的最大高度为，请问小姜是否能完成本次防守，说明理由．
【答案】（1）解：以点为原点建立平面直角坐标系，设，
将点代入，
解得
∴
当时，得
∴米
（2）解：令x=1，得y=2.7，2.7-1.9=0.8（米）
小姜最大摸高为1.9+0.6=2.5(米)
2.7>2.5
∴小姜不能完成本次防守
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据待定系数法将点代入解析式可得，再将x=0代入解析式即可求出答案.
（2）令x=1，求出y值，再求出小姜最大摸高，再比较大小即可求出答案.
7．（2025九下·深圳模拟）综合与探究
【定义】对于y关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．
【示例】如图（a），根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为-2，即．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）直接写出反比例函数的R[1，3]的值为 ▲ ；
（2）已知二次函数的图象经过点．
①求该函数的表达式；
②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的的值．
（3）已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值．
【答案】（1）4
（2）解：①将代入函数表达式得：，则，
故函数的表达式为；
②如图所示
③根据函数的性质，
当时，取得最大值12，
由可知当时，取得最小值-4，
．
（3）解：
随增大而增大，
当时，，当时，.
的图象经过点，
，即，
两个函数的相等，
当，则随增大而减小，
当时，，解得.
当，则，
由图象可知，
当时，解得（舍），
，即.
综上所述，或3.
【知识点】反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；正比例函数的性质；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）∵k=6>0
∴反比例函数的图象，y随x的增大而减小
∴当x=1时，y的最大值为6
当x=3时，y的最小值为2
∴R[1，3]的值为：6-2=4
故答案为：4
【分析】（1）根据新定义及反比例函数的性质即可求出答案.
（2）①根据待定系数法将点(2，-3)代入二次函数解析式即可求出答案.
②根据描点法作出图象即可求出答案.
②根据二次函数的性质结合新定义即可求出答案.
（3）根据新定义及正比例函数的性质可得a的值，再分类讨论即可求出答案.
8．（2025·南山模拟）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m，过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB=0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为Y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），在桌面上的落点为D，经测试，抛物线L的解析式为y=a（x-1）2+0.45，且当x=2时，y=0.25。
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？
（3）乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L'：y=- （x-p）（x-3.5）的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为60°接球，球拍击球面的中心线EF长为0.16m，下沿E在×轴上，假设抛物线L，L'与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：
①点为D的坐标为　 　.
②球拍到桌边的距离CE的最大值是　 　，CE的最小值是　 　.
【答案】（1）解：把x＝2，y＝0.25代入y＝a（x 1）2＋0.45，
可得：（2 1）2a＋0.45＝0.25，
解得：a＝ ，
∴y＝ (x 1)2＋0.45.
（2）解：由题意得，，
，
当时，.
乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离为.
答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离为0.268m.
（3）（2.5，0）；0.73；0.45
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）①当y＝0时，即0＝ 0.2x2＋0.4x＋0.25，
解得：x1＝2.5，x2＝ 0.5，
∴D（2.5，0），
故答案为：（2.5，0）；
②由①可得：乒乓球反弹后沿抛物线L'的关系式为：y＝-（x 2.5）（x-3.5），
当y＝0时，即-（x-2.5）（x-3.5）＝0，
∴x1＝2.5，x2＝3.5．
∴OM＝3.5m.
∴CE＝3.5-2.74-0.03＝0.73（m），
如图，当乒乓球反弹后沿抛物线L'过点F时，过点F作FM⊥x轴于M，
在Rt△EFM中，∠FEM＝60°，EF＝0.16m，
∴EM＝EF＝0.08m，FM＝EF＝0.08m，
当y＝0.08时，即-0.5（x-2.5）（x-3.5）＝0.08，
解得：x1＝2.7（E在BC上舍去），x2＝3.3，
即CM＝3.3m，
∴CE＝3.3-2.74-0.03-0.08＝0.45（m）．
故答案为：0.73，0.45．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先利用线段的和差求出OG的长，再将x=1.4代入解析式求出y值，再列出算式求出乒乓球到球网顶端H的距离为即可；
（3）①将y=0代入解析式求出x的值，可得点D的坐标；
②将y=0代入解析式求出x的值，可得OM的长，再求出CE的长即可；当乒乓球反弹后沿抛物线L'过点F时，过点F作FM⊥x轴于M，先求出EM＝EF＝0.08m，FM＝EF＝0.08m，再将其代入解析式求出x的值，可得CM的长，最后求出CE的长即可.
9．（2025九下·南山模拟）如图，是某公园的一种水上娱乐项目，数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究。下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池，以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，0为坐标原点，建立平面直角坐标系，他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为　 　；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称.
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度
差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固，如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上，请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号），
【答案】（1）
（2）解：①此人腾空后的最大高度为米；
抛物线BD的解析式为；
②由①可得，
将y=0代入解析式，可得，
解得：x1=8或x2=-2（舍），
∴OD=8米，
∵OE=12米，
∴DE=12-8=4>3，
∴落点D在安全范围内.
（3）解：如图，EF即为所求钢索，
∵ACB所在抛物线为，
∴令y=4，可得，
解得：x1=-8，x2=2（舍），
∴M（-8，4），
∵B为（0，2），
∴直线BM为，
∵EF//BM，
∴设EF的解析式为，
联立方程组，
∴，
∴，
∴△=64-4（-8n+16）=0，
解得：n=0，
∴直线EF的解析式为y=x，
∵M（-8，4），
∴令x=-8，则y=x=×（-8）=2，
∴EN=2米，ON=8米，
∵∠ENO=90°，
∴EF=EO=（米），
答：这条钢架的长度为米.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）根据题意可得：水滑道ACB所在抛物线的顶点C为（-3，），
∴设抛物线的解析式为，
将点B（0，2）代入，可得：，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为；
故答案为：.
（2）①根据题意可得：抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，
∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称，
∴点B是它们的中心，
∵C（-3，），B（0，2），
∴抛物线BD的顶点为（3，），
∴此人腾空后的最大高度为米，
设抛物线BD为，
将点B（0，2）代入，可得，
解得：m=，
∴抛物线BD的解析式为；
故答案为：.
【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将点B（0，2）代入解析式求出a的值即可；
（2）①设抛物线BD为，再将点B（0，2）代入解析式求出抛物线BD的解析式即可；
②将y=0代入解析式，可得，再求出x的值，可得OD的长，再利用线段的和差求出DE的长并比较大小即可；
（3）设EF的解析式为，联立方程组可得，再求出n的值，求出直线直线EF的解析式为y=x，再求出EN=2米，ON=8米，最后利用勾股定理求出EF的长即可.
10．（2025九下·广州模拟）已知点在函数的图象上.
（1）若，求的值：
（2）抛物线与轴交于两点M，N（在的左边），与轴交于点，记拋物线的顶点为.
①为何值时，点到达最高处；
②设的外接圆圆心为与轴的另一个交点为，当时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把代入得；
故的值为1；
（2）解：①在中，令，则，
解得或，
，，
点在函数的图象上，
，
令，得，
即当，且，
则，解得：（正值已舍去），
即时，点到达最高处；
②假设存在，理由：
对于，当时，，即点，
由①得，，，，对称轴为直线，
由点、的坐标知，，
作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，
则，
则直线的表达式为：．
当时，，
则点的坐标为．
由垂径定理知，点在的中垂线上，则．
四边形为平行四边形，
则，
解得：，
即，且，
则，
∴顶点E的坐标为，或．
【知识点】平行四边形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；正切的概念
【解析】【分析】本题反比例函数和二次函数综合运用题，一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识．
（1）把代入得，再进行计算可求出n的值；
（2）①令，则，解方程可求出x的值，据此可求出点M和N的值，再根据
点在函数的图象上，可得，令，得，据此可得当，且，解方程组可求出m的值，进而可求出答案；
②当时，，据此可求出点G的坐标为，利用点、的坐标知，，作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，进而可得，据此可求出直线的表达式为：，得到点的坐标为；由垂径定理知，点在的中垂线上，则；由四边形为平行四边形，则，求出，进而可得，且，解得，据此可求出点E的坐标.
11．（2025九下·广州模拟）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎.刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB，CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑.已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体AB的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米.
请尝试数学建模解决以下问题：
（1）在图1中，以为原点，水平直线BC为轴，AB所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体AB的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段AE，FG组成，其中点在顶棚抛物线形骨架上，交AE于点.为不影响耕作，将点E到地面的距离定为1.5米.求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度.
【答案】（1）解：由题意可得，
设与之间的函数关系式，将点代入，
得，解得．
水流所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：点到地面的距离定为1.5米，
将代入得：
，
解得：，
，
，
设直线的函数关系式为，将点，代入得，
，解得：，
直线的函数关系式为，
设，
，
，
，
，
当时，有最大值，为1，
做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，求一次函数关系式及勾股定理．
（1）设与之间的函数关系式，将点代入可列出方程：，解方程可求出a的值，据此可求出水流所在抛物线的函数表达式；
（2）根据点到地面的距离定为1.5米，据此可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出，再利用勾股定理可求出，
设直线的函数关系式为，将点，代入得，
解方程可求出k和b的值，据此可得直线的函数关系式为，设，则，可得出，利用二次函数的性质可求出FG的最大值，进而可求出做这一个支架所需铝合金材料的最大长度.
12．（2024·深圳模拟）请阅读信息，并解决问题：
问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．
处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根，
测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦”高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米．
解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值．
任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
【答案】解：任务
如图，以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，
则点为原点，
由题意得，，，
则点的坐标为，
令抛物线的解析式为，
将点代入中得，
，
解得：，
则抛物线的解析式为．
任务（米），
将代入得，
，（舍），
（米，
（米），（米），
琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米．
任务3：将代入得，
，（舍），
，
该艺术品顶部应该安装在第5根和第6根琴弦之间
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务1：如图建立平面直角坐标系，则点为原点，然后运用待定系数法函数解析式即可；
任务2：将代入函数解析式即求出的长，然后利用线段的和差求出长即可解题；
任务3：将代函数解析式出的值，然后判断解题．
13．（2025·茂南模拟）对于二次函数和一次函数，我们把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点A(1，0)和抛物线E上的点B(2，n)，请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t=2时，抛物线的顶点坐标为 .
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值.
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标 .
【应用】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由.
【答案】【尝试】 ：（1）（，-）．
（2）∵将x＝1代入y=2x2 7x+5，得 y＝0，
∴点A（1，0）在抛物线l上．
（3）将x＝2代入抛物线 y=2x2 7x+5的解析式中，得：
n＝-1．
【发现】 ：（1，0）、（2，-1）．
【应用】 ：将x＝1代入，y＝0，即点A在抛物线上．
将x＝2代入，计算得：y＝ 6≠-1，
即可得抛物线不经过点B，
二次函数不是二次函数和一次函数y＝ x＋1的一个“再生二次函数”．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：【尝试】（1）∵将t＝2代入抛物线l中，得：＝2x2 7x+5＝2（x ）2 ，
∴此时抛物线的顶点坐标为：（，-）．
【发现】∵将抛物线E的解析式展开，得：
＝t（x 1）（x-3） （x-1）+t(x-1)= t（x 1）（x-2） （x-1）
∴抛物线l必过定点（1，0）、（2，-1）．
【分析】【尝试】：（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；
（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；
（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．
【发现】：将抛物线l展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．
【应用】：将发现中得到的两个定点坐标代入二次函数中进行验证即可．
14．（2025·深圳模拟） 综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
（1）【分析问题】
①二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线　 　；
②如图2，已知二次函数经过点，且与图象均经过和，则的取值范围是　 　；
（2）解决问题】
以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
【答案】（1）；
（2）解：如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）①由中点坐标公式得：x＝（2＋5）＝，
故答案为：x＝；
②由题意得：y1＝a1（x 2）（x 5）＝a1（x2 7x＋10），
则10a＝6，则a1＝，
由题意知，y2的开口比y1的小，
则a2＞，
故答案为：a2＞．
【分析】（1）①利用轴对称公式列出算式求解即可；
②根据题意列出方程10a＝6，求出a的值，再结合y2的开口比y1的小，求出a2＞即可；
（2）设新拱门抛物线解析式为，求出抛物线顶点坐标为，再将点B、D的坐标分别代入解析式求出h的值，从而可得h的取值范围.
15．（2025·深圳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点（-1，3），且与一次函数y=×的图象交于点A和点 B（3，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线AB上方的部分沿AB翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形AMNK的边MN与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C　 　（填坐标），边NK与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线y=x对称；请你帮小聪计算出矩形AMNK的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形EFGH的边EH过点A，边EF与心形图的左边缘相切，边GH与心形图的右边缘相切，边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形EFGH的面积为　 　；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小
【答案】（1）解：将点（ 1，3）和B（3，3）代入抛物线y＝ax2＋bx＋6，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝ x2＋2x＋6；
（2）（1，7）；
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）①∵y＝ x2＋2x＋6＝ （x 1）2＋7，
∴顶点C的坐标为（1，7），
∵抛物线y＝ x2＋2x＋6经过点（ 1，3），且与一次函数y＝x的图象交于点A和点B（3，3），
联立，
解得：x＝ 2或x＝3（舍），
∴A（ 2， 2），
分别过点C、D作y轴、x轴的平行线相交于点E，
当x＝1时，y＝x＝1，则E（1，1），
∵C（1，7），
∴CE＝6，
∵点D与点C关于直线y＝x对称，
∴CE＝DE＝6，
∴D（7，1），
∴AK＝9，AM＝9，
∴矩形AMNK的面积＝AM AK＝81，
故答案为：（1，7）；
②如图，作直线y＝ x分别交EF、HG于点M、N，令直线AB与FG的交点为K，则MN⊥AK，
由①可知，A（ 2， 2），
∴OA＝=，
由题意可知，FG⊥AK，则MN∥FG，
∵直线MN的解析式为y＝ x，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋n，
∵边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，即直线FG与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 3x＋n 6＝0，
∴（ 3）2 4（n 6）＝0，
解得：n＝，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋，
联立，
解得：，
∴K（，），
∴OK＝，
∴AK＝OA＋OK＝，
∵EF⊥FG，AK⊥FG，
∴EF∥AK，
∴设直线EF的解析式为y＝x＋m，
∴边EF与心形图的左边缘相切，即直线EF与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 x＋m 6＝0，
∴（ 1）2 4（m 6）＝0，
解得：m＝，
∴直线EF的解析式为y＝x＋，
同理可求OM＝，
∴MN＝，
∴矩形EFGH的面积为AK MN＝×=，
∵＜81，
∴方案二的矩形面积更小，
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①先将抛物线的解析式化为顶点式，再求出点D的坐标，最后利用矩形的面积公式列出算式求解即可；
②先利用函数解析式联立方程组求出AK和MN的长，再利用矩形的面积公式列出算式求出矩形的面积，再比较大小即可.
16．（2025·中山模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为．
（1）求抛物线所对应的函数表达式．
（2）当时，求矩形的周长．
（3）当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值．
【答案】（1）
（2）15
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
17．（2025·潮阳模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标；
（3）以点为圆心，画半径为的圆，为上一个动点，请求出的最小值．
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴，．
∴将代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在点，理由如下：
直线的解析式为，将代入得
解得：
∴直线的解析式为：
∵抛物线对称轴与轴交于点，
∴当时，，
∴，
①当时，设直线交对称轴于点，
∵，，二次函数对称轴为，
∴，，轴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点的坐标为；
②∵，，
∴
∴
∴是直角三角形，
当时，根据点关于抛物线对称轴对称，
则直线经过点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或；
（3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，
如图，在上取点，使，连接，
，
∴，
，
，
又，
，
，即，
当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，
的最小值为．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线对称性可得，，再根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点A坐标代入直线解析式可得直线的解析式为：，将x=3代入直线解析式可得，分情况讨论：①当时，设直线交对称轴于点，根据等腰直角三角形性质可得是等腰直角三角形，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即点坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，M坐标代入解析式可得直线的解析式为，联立抛物线解析式即可求出答案；根据两点间距离可得，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，当时，根据点关于抛物线对称轴对称，则直线经过点坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点D，B坐标代入解析式可得直线的解析式为，联立抛物线解析式即可求出答案.
（3）在上取点，使，连接，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，根据边之间的关系当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，根据勾股定理可得CF，即可求出答案.
（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴，．
∴将代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在点，理由如下：
直线的解析式为，将代入得
解得：
∴直线的解析式为：
∵抛物线对称轴与轴交于点，
∴当时，，
∴，
①当时，设直线交对称轴于点，
∵，，二次函数对称轴为，
∴，，轴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点的坐标为；
②∵，，
∴
∴
∴是直角三角形，
当时，根据点关于抛物线对称轴对称，
则直线经过点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或；
（3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，
如图，在上取点，使，连接，
，
∴，
，
，
又，
，
，即，
当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，
的最小值为．
18．（2025九下·罗湖月考）已知二次函数．
（1）若函数图象经过点，解决下列问题：
①求该二次函数的表达式；
②若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标．
（2）设点，是该函数图象上的两点，若，求证：．
【答案】（1）解：①将代入可得，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，
解得：，
把代入，
得，即．
（2）证明：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；配方法的应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法将点(2，5)代入解析式即可求出答案.
②根据点的平移可得，根据二次函数对称轴公式建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由题意可得，再将点M，N坐标代入解析式可得，再结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：①将代入可得，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，
解得：，
把代入，
得，即．
（2）证明：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
19．（2025·兴宁模拟）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，且．
（1）如图，求抛物线的解析式；
（2）如图，点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，连接，交轴于点，的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）如图，在（）的条件下，点在上（点不与点重合），过点作轴交抛物线于点，交于点，连接，点在上，连接，交于点，若，，，求点坐标．
【答案】（1）解：（）令得，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：过作轴于，如图：
由得或，
∴，
∵点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：过作轴于，如图：
∵，，，
∴直线解析式为，直线的解析式为，
设（），则，，
∴，
，
∵，
∴
解得（舍去）或，
∴，
∴，
∵，
∴轴，，
∵轴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线解析式为，
把代入，得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征可得，即，再根据边之间的关系可得，则，再根据待定系数法将点A坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）过作轴于，根据x轴上点的坐标特征可得，由题意可得，根据两点间距离可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）过作轴于，求出直线解析式为，直线的解析式为，设（），则，，根据两点间距离可得，，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，则，再根据角之间的关系可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据两点间距离可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，，再根据边之间的关系可得，建立方程，解方程可得m=9，则，设直线的解析式为，再根据待定系数法将点P，E坐标代入解析式可得直线解析式为，再将x=5代入即可求出答案.
（1）解：（）令得，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：过作轴于，如图：
由得或，
∴，
∵点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：过作轴于，如图：
∵，，，
∴直线解析式为，直线的解析式为，
设（），则，，
∴，
，
∵，
∴
解得（舍去）或，
∴，
∴，
∵，
∴轴，，
∵轴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线解析式为，
把代入，得，
∴．
20．（2025·深圳模拟）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：如图所将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过和，
∴此抛物线的对称轴为直线；
（2）∵二次函数经过和，
∴，
将代入可得：，
∴，
∴，
∵的图象均经过和，
∴，
∵由图象可得：的顶点在的下方，
∴，
解得：；
【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，解不等式即可求出答案.
（3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可求出答案.
21．（2025九下·佛山模拟）综合与实践．
【实践背景】
人体工学座椅通常具有可调节的功能，座椅的倾斜度、高度和深度等都可以根据使用者的需求进行调整．座椅在如图1的形态下，靠背与座面基本垂直，脚板收拢于座面下方，其结构简图如图3所示．
【实践操作】
现需要将座椅从图1的形态变成适合小李的图2的形态，使得靠背与脚板平行，请在图4中用尺规作图法画出脚板；（保留作图痕迹，不要求写出作法）
【升级设计】
如图5，现将上述座椅简图置于平面直角坐标系中，把靠背由直变曲，并赋予座面一定的座位深度，使其不再与地面平行．其中曲线是二次函数的部分图象，点为顶点：线段（实际生产时取）；
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如果座椅两扶手之间相距，现在还要制作一个无盖的长方体形纸箱用于包装此座椅，提供如下面积足够大的长方形纸皮，请你直接在图6中画出设计图（纸箱的展开图），并在图中标明尺寸．（要求：包装箱的体积最小）
【答案】（实践操作）解：如图所示，即为所求．
（1）解：∵点为顶点，
∴可设二次函数的表达式为，
把代入表达式，得，
解得：，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：根据题意可得，当座椅位于图3位置时，体积最小，此时，所需的长方体的长宽高分别是，
设计图如图所示．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；通过函数图象获取信息；作图-平行线；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【分析】（实践操作）根据尺规作平行线的方法作图即可求出答案.
（1）设二次函数的表达式为，根据待定系数法将点E坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据题意得出当座椅位于图3位置时，体积最小，画图即可．
22．（2025·白云模拟）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．
（1）如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上．
① ：
②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求点D的坐标；
③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图像上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
【答案】（1）①1；②；③1
（2）或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
1 / 11-4月之二次函数—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·龙岗模拟）已知二次函数的图像与轴分别交于点，，与一次函数的图像分别交于点，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九下·中山开学考）如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（　　）
A．3.7 B．4.1 C．5.5 D．5
3．（2024九下·福田模拟）如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（　　）．
A．1 B． C． D．2
4．（2025九下·佛山模拟）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是（　　）
A． B．或 C．2 D．2或
二、填空题
5．（2025·中山模拟）已知抛物线经过点，其中．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是　 　（填序号）．
三、解答题
6．（2025·深圳模拟）背景：2026年开始，深圳市体育中考将把球类运动作为必选项目．在某次校园“篮球比赛”活动中，小李同学展示了精彩的投篮技巧．假设小李投篮时篮球的运动路线是抛物线，如图1．已知以下信息：
①球员小李罚球线处投篮．罚球线到篮筐中心的水平距离为4.5米；
②篮筐的高度为3.05米；
③小李投篮时，篮球运动路线的最高点在离他的水平距离3米处，高度为3.5米．
（1）求小李投篮时，篮球出手时的高度；
（2）在刚才的投篮过程中，如图2，有一个防守队员小姜在小李正前方1米处，想跳起来去阻挡篮球入筐．已知小姜手臂向上伸展的时候，指尖距离脚底的最大高度为1.9米；小姜竖直弹跳的最大高度为，请问小姜是否能完成本次防守，说明理由．
7．（2025九下·深圳模拟）综合与探究
【定义】对于y关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．
【示例】如图（a），根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为-2，即．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）直接写出反比例函数的R[1，3]的值为 ▲ ；
（2）已知二次函数的图象经过点．
①求该函数的表达式；
②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的的值．
（3）已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值．
8．（2025·南山模拟）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m，过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB=0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为Y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），在桌面上的落点为D，经测试，抛物线L的解析式为y=a（x-1）2+0.45，且当x=2时，y=0.25。
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？
（3）乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L'：y=- （x-p）（x-3.5）的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为60°接球，球拍击球面的中心线EF长为0.16m，下沿E在×轴上，假设抛物线L，L'与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：
①点为D的坐标为　 　.
②球拍到桌边的距离CE的最大值是　 　，CE的最小值是　 　.
9．（2025九下·南山模拟）如图，是某公园的一种水上娱乐项目，数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究。下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池，以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，0为坐标原点，建立平面直角坐标系，他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为　 　；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称.
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度
差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固，如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上，请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号），
10．（2025九下·广州模拟）已知点在函数的图象上.
（1）若，求的值：
（2）抛物线与轴交于两点M，N（在的左边），与轴交于点，记拋物线的顶点为.
①为何值时，点到达最高处；
②设的外接圆圆心为与轴的另一个交点为，当时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标；若不存在，请说明理由.
11．（2025九下·广州模拟）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎.刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB，CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑.已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体AB的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米.
请尝试数学建模解决以下问题：
（1）在图1中，以为原点，水平直线BC为轴，AB所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体AB的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段AE，FG组成，其中点在顶棚抛物线形骨架上，交AE于点.为不影响耕作，将点E到地面的距离定为1.5米.求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度.
12．（2024·深圳模拟）请阅读信息，并解决问题：
问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．
处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根，
测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦”高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米．
解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值．
任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
13．（2025·茂南模拟）对于二次函数和一次函数，我们把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点A(1，0)和抛物线E上的点B(2，n)，请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t=2时，抛物线的顶点坐标为 .
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值.
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标 .
【应用】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由.
14．（2025·深圳模拟） 综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
（1）【分析问题】
①二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线　 　；
②如图2，已知二次函数经过点，且与图象均经过和，则的取值范围是　 　；
（2）解决问题】
以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
15．（2025·深圳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点（-1，3），且与一次函数y=×的图象交于点A和点 B（3，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线AB上方的部分沿AB翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形AMNK的边MN与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C　 　（填坐标），边NK与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线y=x对称；请你帮小聪计算出矩形AMNK的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形EFGH的边EH过点A，边EF与心形图的左边缘相切，边GH与心形图的右边缘相切，边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形EFGH的面积为　 　；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小
16．（2025·中山模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为．
（1）求抛物线所对应的函数表达式．
（2）当时，求矩形的周长．
（3）当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值．
17．（2025·潮阳模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标；
（3）以点为圆心，画半径为的圆，为上一个动点，请求出的最小值．
18．（2025九下·罗湖月考）已知二次函数．
（1）若函数图象经过点，解决下列问题：
①求该二次函数的表达式；
②若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标．
（2）设点，是该函数图象上的两点，若，求证：．
19．（2025·兴宁模拟）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，且．
（1）如图，求抛物线的解析式；
（2）如图，点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，连接，交轴于点，的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）如图，在（）的条件下，点在上（点不与点重合），过点作轴交抛物线于点，交于点，连接，点在上，连接，交于点，若，，，求点坐标．
20．（2025·深圳模拟）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
21．（2025九下·佛山模拟）综合与实践．
【实践背景】
人体工学座椅通常具有可调节的功能，座椅的倾斜度、高度和深度等都可以根据使用者的需求进行调整．座椅在如图1的形态下，靠背与座面基本垂直，脚板收拢于座面下方，其结构简图如图3所示．
【实践操作】
现需要将座椅从图1的形态变成适合小李的图2的形态，使得靠背与脚板平行，请在图4中用尺规作图法画出脚板；（保留作图痕迹，不要求写出作法）
【升级设计】
如图5，现将上述座椅简图置于平面直角坐标系中，把靠背由直变曲，并赋予座面一定的座位深度，使其不再与地面平行．其中曲线是二次函数的部分图象，点为顶点：线段（实际生产时取）；
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如果座椅两扶手之间相距，现在还要制作一个无盖的长方体形纸箱用于包装此座椅，提供如下面积足够大的长方形纸皮，请你直接在图6中画出设计图（纸箱的展开图），并在图中标明尺寸．（要求：包装箱的体积最小）
22．（2025·白云模拟）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．
（1）如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上．
① ：
②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求点D的坐标；
③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图像上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：对于一次函数，
当时，，
解得：，
∵二次函数的图像与轴分别交于点，，
当时，，
解得：或，
∴，，
∵二次函数的图像与一次函数的图像分别交于点，，
∴，
解得：或，
∴，
∴，
∴=．
故答案为：C．
【分析】
本题考查二次函数与一次函数的交点问题，令，求出点，的坐标，再由二次函数与一次函数的解析式联立方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式计算即可．解题的关键是求出，，三点的坐标．
2．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题可知，把点，代入解析式 中，
解得，
∴ 弹力球第一次着地前抛物线的解析式为 ：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：或（舍去），
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：或（舍去），
∴该抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B的坐标为，则点的坐标为，
∵圆柱形的高为，
当时，则，
解得：或（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
∵筐的底面半径为，直径为，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
∴，
∴选项B中的满足条件，
故答案为：B．
【分析】根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案．
3．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，则，，，
，
当时，有最大值，
即，
解得，
，
当点Q在上时，
如图，，
当时，，
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长为，当点Q在上时，求得．当时，有最大值，配合图象可得方程，即可求得；当点Q在上时，可求得，把代入即可得到答案．
4．【答案】D
【知识点】切线的性质；二次函数-动态几何问题；圆-动点问题
5．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
6．【答案】（1）解：以点为原点建立平面直角坐标系，设，
将点代入，
解得
∴
当时，得
∴米
（2）解：令x=1，得y=2.7，2.7-1.9=0.8（米）
小姜最大摸高为1.9+0.6=2.5(米)
2.7>2.5
∴小姜不能完成本次防守
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据待定系数法将点代入解析式可得，再将x=0代入解析式即可求出答案.
（2）令x=1，求出y值，再求出小姜最大摸高，再比较大小即可求出答案.
7．【答案】（1）4
（2）解：①将代入函数表达式得：，则，
故函数的表达式为；
②如图所示
③根据函数的性质，
当时，取得最大值12，
由可知当时，取得最小值-4，
．
（3）解：
随增大而增大，
当时，，当时，.
的图象经过点，
，即，
两个函数的相等，
当，则随增大而减小，
当时，，解得.
当，则，
由图象可知，
当时，解得（舍），
，即.
综上所述，或3.
【知识点】反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；正比例函数的性质；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）∵k=6>0
∴反比例函数的图象，y随x的增大而减小
∴当x=1时，y的最大值为6
当x=3时，y的最小值为2
∴R[1，3]的值为：6-2=4
故答案为：4
【分析】（1）根据新定义及反比例函数的性质即可求出答案.
（2）①根据待定系数法将点(2，-3)代入二次函数解析式即可求出答案.
②根据描点法作出图象即可求出答案.
②根据二次函数的性质结合新定义即可求出答案.
（3）根据新定义及正比例函数的性质可得a的值，再分类讨论即可求出答案.
8．【答案】（1）解：把x＝2，y＝0.25代入y＝a（x 1）2＋0.45，
可得：（2 1）2a＋0.45＝0.25，
解得：a＝ ，
∴y＝ (x 1)2＋0.45.
（2）解：由题意得，，
，
当时，.
乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离为.
答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离为0.268m.
（3）（2.5，0）；0.73；0.45
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）①当y＝0时，即0＝ 0.2x2＋0.4x＋0.25，
解得：x1＝2.5，x2＝ 0.5，
∴D（2.5，0），
故答案为：（2.5，0）；
②由①可得：乒乓球反弹后沿抛物线L'的关系式为：y＝-（x 2.5）（x-3.5），
当y＝0时，即-（x-2.5）（x-3.5）＝0，
∴x1＝2.5，x2＝3.5．
∴OM＝3.5m.
∴CE＝3.5-2.74-0.03＝0.73（m），
如图，当乒乓球反弹后沿抛物线L'过点F时，过点F作FM⊥x轴于M，
在Rt△EFM中，∠FEM＝60°，EF＝0.16m，
∴EM＝EF＝0.08m，FM＝EF＝0.08m，
当y＝0.08时，即-0.5（x-2.5）（x-3.5）＝0.08，
解得：x1＝2.7（E在BC上舍去），x2＝3.3，
即CM＝3.3m，
∴CE＝3.3-2.74-0.03-0.08＝0.45（m）．
故答案为：0.73，0.45．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先利用线段的和差求出OG的长，再将x=1.4代入解析式求出y值，再列出算式求出乒乓球到球网顶端H的距离为即可；
（3）①将y=0代入解析式求出x的值，可得点D的坐标；
②将y=0代入解析式求出x的值，可得OM的长，再求出CE的长即可；当乒乓球反弹后沿抛物线L'过点F时，过点F作FM⊥x轴于M，先求出EM＝EF＝0.08m，FM＝EF＝0.08m，再将其代入解析式求出x的值，可得CM的长，最后求出CE的长即可.
9．【答案】（1）
（2）解：①此人腾空后的最大高度为米；
抛物线BD的解析式为；
②由①可得，
将y=0代入解析式，可得，
解得：x1=8或x2=-2（舍），
∴OD=8米，
∵OE=12米，
∴DE=12-8=4>3，
∴落点D在安全范围内.
（3）解：如图，EF即为所求钢索，
∵ACB所在抛物线为，
∴令y=4，可得，
解得：x1=-8，x2=2（舍），
∴M（-8，4），
∵B为（0，2），
∴直线BM为，
∵EF//BM，
∴设EF的解析式为，
联立方程组，
∴，
∴，
∴△=64-4（-8n+16）=0，
解得：n=0，
∴直线EF的解析式为y=x，
∵M（-8，4），
∴令x=-8，则y=x=×（-8）=2，
∴EN=2米，ON=8米，
∵∠ENO=90°，
∴EF=EO=（米），
答：这条钢架的长度为米.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）根据题意可得：水滑道ACB所在抛物线的顶点C为（-3，），
∴设抛物线的解析式为，
将点B（0，2）代入，可得：，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为；
故答案为：.
（2）①根据题意可得：抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，
∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称，
∴点B是它们的中心，
∵C（-3，），B（0，2），
∴抛物线BD的顶点为（3，），
∴此人腾空后的最大高度为米，
设抛物线BD为，
将点B（0，2）代入，可得，
解得：m=，
∴抛物线BD的解析式为；
故答案为：.
【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将点B（0，2）代入解析式求出a的值即可；
（2）①设抛物线BD为，再将点B（0，2）代入解析式求出抛物线BD的解析式即可；
②将y=0代入解析式，可得，再求出x的值，可得OD的长，再利用线段的和差求出DE的长并比较大小即可；
（3）设EF的解析式为，联立方程组可得，再求出n的值，求出直线直线EF的解析式为y=x，再求出EN=2米，ON=8米，最后利用勾股定理求出EF的长即可.
10．【答案】（1）解：把代入得；
故的值为1；
（2）解：①在中，令，则，
解得或，
，，
点在函数的图象上，
，
令，得，
即当，且，
则，解得：（正值已舍去），
即时，点到达最高处；
②假设存在，理由：
对于，当时，，即点，
由①得，，，，对称轴为直线，
由点、的坐标知，，
作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，
则，
则直线的表达式为：．
当时，，
则点的坐标为．
由垂径定理知，点在的中垂线上，则．
四边形为平行四边形，
则，
解得：，
即，且，
则，
∴顶点E的坐标为，或．
【知识点】平行四边形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；正切的概念
【解析】【分析】本题反比例函数和二次函数综合运用题，一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识．
（1）把代入得，再进行计算可求出n的值；
（2）①令，则，解方程可求出x的值，据此可求出点M和N的值，再根据
点在函数的图象上，可得，令，得，据此可得当，且，解方程组可求出m的值，进而可求出答案；
②当时，，据此可求出点G的坐标为，利用点、的坐标知，，作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，进而可得，据此可求出直线的表达式为：，得到点的坐标为；由垂径定理知，点在的中垂线上，则；由四边形为平行四边形，则，求出，进而可得，且，解得，据此可求出点E的坐标.
11．【答案】（1）解：由题意可得，
设与之间的函数关系式，将点代入，
得，解得．
水流所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：点到地面的距离定为1.5米，
将代入得：
，
解得：，
，
，
设直线的函数关系式为，将点，代入得，
，解得：，
直线的函数关系式为，
设，
，
，
，
，
当时，有最大值，为1，
做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，求一次函数关系式及勾股定理．
（1）设与之间的函数关系式，将点代入可列出方程：，解方程可求出a的值，据此可求出水流所在抛物线的函数表达式；
（2）根据点到地面的距离定为1.5米，据此可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出，再利用勾股定理可求出，
设直线的函数关系式为，将点，代入得，
解方程可求出k和b的值，据此可得直线的函数关系式为，设，则，可得出，利用二次函数的性质可求出FG的最大值，进而可求出做这一个支架所需铝合金材料的最大长度.
12．【答案】解：任务
如图，以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，
则点为原点，
由题意得，，，
则点的坐标为，
令抛物线的解析式为，
将点代入中得，
，
解得：，
则抛物线的解析式为．
任务（米），
将代入得，
，（舍），
（米，
（米），（米），
琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米．
任务3：将代入得，
，（舍），
，
该艺术品顶部应该安装在第5根和第6根琴弦之间
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务1：如图建立平面直角坐标系，则点为原点，然后运用待定系数法函数解析式即可；
任务2：将代入函数解析式即求出的长，然后利用线段的和差求出长即可解题；
任务3：将代函数解析式出的值，然后判断解题．
13．【答案】【尝试】 ：（1）（，-）．
（2）∵将x＝1代入y=2x2 7x+5，得 y＝0，
∴点A（1，0）在抛物线l上．
（3）将x＝2代入抛物线 y=2x2 7x+5的解析式中，得：
n＝-1．
【发现】 ：（1，0）、（2，-1）．
【应用】 ：将x＝1代入，y＝0，即点A在抛物线上．
将x＝2代入，计算得：y＝ 6≠-1，
即可得抛物线不经过点B，
二次函数不是二次函数和一次函数y＝ x＋1的一个“再生二次函数”．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：【尝试】（1）∵将t＝2代入抛物线l中，得：＝2x2 7x+5＝2（x ）2 ，
∴此时抛物线的顶点坐标为：（，-）．
【发现】∵将抛物线E的解析式展开，得：
＝t（x 1）（x-3） （x-1）+t(x-1)= t（x 1）（x-2） （x-1）
∴抛物线l必过定点（1，0）、（2，-1）．
【分析】【尝试】：（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；
（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；
（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．
【发现】：将抛物线l展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．
【应用】：将发现中得到的两个定点坐标代入二次函数中进行验证即可．
14．【答案】（1）；
（2）解：如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）①由中点坐标公式得：x＝（2＋5）＝，
故答案为：x＝；
②由题意得：y1＝a1（x 2）（x 5）＝a1（x2 7x＋10），
则10a＝6，则a1＝，
由题意知，y2的开口比y1的小，
则a2＞，
故答案为：a2＞．
【分析】（1）①利用轴对称公式列出算式求解即可；
②根据题意列出方程10a＝6，求出a的值，再结合y2的开口比y1的小，求出a2＞即可；
（2）设新拱门抛物线解析式为，求出抛物线顶点坐标为，再将点B、D的坐标分别代入解析式求出h的值，从而可得h的取值范围.
15．【答案】（1）解：将点（ 1，3）和B（3，3）代入抛物线y＝ax2＋bx＋6，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝ x2＋2x＋6；
（2）（1，7）；
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）①∵y＝ x2＋2x＋6＝ （x 1）2＋7，
∴顶点C的坐标为（1，7），
∵抛物线y＝ x2＋2x＋6经过点（ 1，3），且与一次函数y＝x的图象交于点A和点B（3，3），
联立，
解得：x＝ 2或x＝3（舍），
∴A（ 2， 2），
分别过点C、D作y轴、x轴的平行线相交于点E，
当x＝1时，y＝x＝1，则E（1，1），
∵C（1，7），
∴CE＝6，
∵点D与点C关于直线y＝x对称，
∴CE＝DE＝6，
∴D（7，1），
∴AK＝9，AM＝9，
∴矩形AMNK的面积＝AM AK＝81，
故答案为：（1，7）；
②如图，作直线y＝ x分别交EF、HG于点M、N，令直线AB与FG的交点为K，则MN⊥AK，
由①可知，A（ 2， 2），
∴OA＝=，
由题意可知，FG⊥AK，则MN∥FG，
∵直线MN的解析式为y＝ x，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋n，
∵边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，即直线FG与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 3x＋n 6＝0，
∴（ 3）2 4（n 6）＝0，
解得：n＝，
∴直线FG的解析式为y＝ x＋，
联立，
解得：，
∴K（，），
∴OK＝，
∴AK＝OA＋OK＝，
∵EF⊥FG，AK⊥FG，
∴EF∥AK，
∴设直线EF的解析式为y＝x＋m，
∴边EF与心形图的左边缘相切，即直线EF与抛物线y＝ x2＋2x＋6只有一个交点，
∴联立，
整理得：x2 x＋m 6＝0，
∴（ 1）2 4（m 6）＝0，
解得：m＝，
∴直线EF的解析式为y＝x＋，
同理可求OM＝，
∴MN＝，
∴矩形EFGH的面积为AK MN＝×=，
∵＜81，
∴方案二的矩形面积更小，
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①先将抛物线的解析式化为顶点式，再求出点D的坐标，最后利用矩形的面积公式列出算式求解即可；
②先利用函数解析式联立方程组求出AK和MN的长，再利用矩形的面积公式列出算式求出矩形的面积，再比较大小即可.
16．【答案】（1）
（2）15
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
17．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴，．
∴将代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在点，理由如下：
直线的解析式为，将代入得
解得：
∴直线的解析式为：
∵抛物线对称轴与轴交于点，
∴当时，，
∴，
①当时，设直线交对称轴于点，
∵，，二次函数对称轴为，
∴，，轴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点的坐标为；
②∵，，
∴
∴
∴是直角三角形，
当时，根据点关于抛物线对称轴对称，
则直线经过点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或；
（3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，
如图，在上取点，使，连接，
，
∴，
，
，
又，
，
，即，
当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，
的最小值为．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线对称性可得，，再根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点A坐标代入直线解析式可得直线的解析式为：，将x=3代入直线解析式可得，分情况讨论：①当时，设直线交对称轴于点，根据等腰直角三角形性质可得是等腰直角三角形，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即点坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，M坐标代入解析式可得直线的解析式为，联立抛物线解析式即可求出答案；根据两点间距离可得，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，当时，根据点关于抛物线对称轴对称，则直线经过点坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点D，B坐标代入解析式可得直线的解析式为，联立抛物线解析式即可求出答案.
（3）在上取点，使，连接，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，根据边之间的关系当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，根据勾股定理可得CF，即可求出答案.
（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴，．
∴将代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在点，理由如下：
直线的解析式为，将代入得
解得：
∴直线的解析式为：
∵抛物线对称轴与轴交于点，
∴当时，，
∴，
①当时，设直线交对称轴于点，
∵，，二次函数对称轴为，
∴，，轴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点的坐标为；
②∵，，
∴
∴
∴是直角三角形，
当时，根据点关于抛物线对称轴对称，
则直线经过点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或；
（3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，
如图，在上取点，使，连接，
，
∴，
，
，
又，
，
，即，
当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，
的最小值为．
18．【答案】（1）解：①将代入可得，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，
解得：，
把代入，
得，即．
（2）证明：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；配方法的应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法将点(2，5)代入解析式即可求出答案.
②根据点的平移可得，根据二次函数对称轴公式建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由题意可得，再将点M，N坐标代入解析式可得，再结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：①将代入可得，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，
解得：，
把代入，
得，即．
（2）证明：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
19．【答案】（1）解：（）令得，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：过作轴于，如图：
由得或，
∴，
∵点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：过作轴于，如图：
∵，，，
∴直线解析式为，直线的解析式为，
设（），则，，
∴，
，
∵，
∴
解得（舍去）或，
∴，
∴，
∵，
∴轴，，
∵轴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线解析式为，
把代入，得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征可得，即，再根据边之间的关系可得，则，再根据待定系数法将点A坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）过作轴于，根据x轴上点的坐标特征可得，由题意可得，根据两点间距离可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）过作轴于，求出直线解析式为，直线的解析式为，设（），则，，根据两点间距离可得，，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，则，再根据角之间的关系可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据两点间距离可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得，，再根据边之间的关系可得，建立方程，解方程可得m=9，则，设直线的解析式为，再根据待定系数法将点P，E坐标代入解析式可得直线解析式为，再将x=5代入即可求出答案.
（1）解：（）令得，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
把代入得，，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：过作轴于，如图：
由得或，
∴，
∵点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：过作轴于，如图：
∵，，，
∴直线解析式为，直线的解析式为，
设（），则，，
∴，
，
∵，
∴
解得（舍去）或，
∴，
∴，
∵，
∴轴，，
∵轴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线解析式为，
把代入，得，
∴．
20．【答案】（1）；
（2）；
（3）解：如图所将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过和，
∴此抛物线的对称轴为直线；
（2）∵二次函数经过和，
∴，
将代入可得：，
∴，
∴，
∵的图象均经过和，
∴，
∵由图象可得：的顶点在的下方，
∴，
解得：；
【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，解不等式即可求出答案.
（3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可求出答案.
21．【答案】（实践操作）解：如图所示，即为所求．
（1）解：∵点为顶点，
∴可设二次函数的表达式为，
把代入表达式，得，
解得：，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：根据题意可得，当座椅位于图3位置时，体积最小，此时，所需的长方体的长宽高分别是，
设计图如图所示．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；通过函数图象获取信息；作图-平行线；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【分析】（实践操作）根据尺规作平行线的方法作图即可求出答案.
（1）设二次函数的表达式为，根据待定系数法将点E坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据题意得出当座椅位于图3位置时，体积最小，画图即可．
22．【答案】（1）①1；②；③1
（2）或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
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