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1-4月之图形基础与三角形—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025九下·深圳模拟）如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH∥AF
∵
∴AF∥DE∥BH
∴∠1+∠ABH=180°，∠2+∠HBE=180°
∵∠1=90°，∠2=110°
∴∠ABH=90°，∠HBE=70°
∴∠ABE=∠ABH+∠HBE=160°
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠C=135°
∴∠CBE=360°-∠ABC-∠ABE=65°
故答案为：B
【分析】过点B作BH∥AF，根据直线平行性质可得AF∥DE∥BH，再根据角之间的关系可得∠ABH=90°，∠HBE=70°，则∠ABE=∠ABH+∠HBE=160°，再根据直线平行性质可得∠ABC=∠C=135°，再根据角之间的关系即可求出答案.
2．（2025九下·深圳模拟）如图，一束阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板MN反射到天花板上形成光斑．下午两个不同时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3m，当时，光斑移动的距离AB为（　　）
A．3m B． C． D．6m
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F
由题意可得：CE=DF=3，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN
∴∠APC=∠PCM=45°，∠BPD=∠PDM=30°
在Rt△PCE中，
∴AP=2PE=6
在Rt△PDF中，
∴
∴
∴光斑移动的距离AB为
故答案为：B
【分析】过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F，由题意可得：CE=DF=3，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，根据直线平行性质可得∠APC=∠PCM=45°，∠BPD=∠PDM=30°，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得PE，PF，再根据边之间的关系即可求出答案.
3．（2025九下·南山模拟）为倡导绿色出行，我市在地铁口设置了共享单车服务。图①是某款共享单车的实物图，图②是其结构示意图支架AB和 CD与地面平行，∠BCD=70°，∠BAC=50°.当∠MAC为多少度时，AM平行于支撑杆BE （　　）
A．60 B．70 C．115
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵AB和CD与地面平行，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝70°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝180° 50° 70°＝60°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝60°时，AM平行于支撑杆BE．
故答案为：A．
【分析】利用平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝70°，再利用角的运算求出∠ACB＝180° 50° 70°＝60°即可.
4．（2025·深圳模拟） 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则. 如图2，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行. 若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵∠NCD＝58°，
∴∠OCB＝58°，
∴∠BCD＝180° ∠NCD ∠OCB＝180° 58° 58°＝64°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＋∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180° 64°＝116°，
∴∠MBA＝＝32°，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出∠BCD＝180° ∠NCD ∠OCB＝180° 58° 58°＝64°，再利用平行线的性质及角的运算求出∠ABC＝180° 64°＝116°，最后求出∠MBA＝＝32°即可.
5．（2025九下·罗湖月考）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（　　）米．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点E作于点I，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵长为米，米，，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
故答案为：A．
【分析】过点E作于点I，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，则，再根据正切定义可得，代值计算可得IE，再根据勾股定理即可求出答案.
6．（2025·高州模拟）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；解直角三角形；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴是等边三角形，
故答案为：C
【分析】根据绝对值及二次根式的非负性可得，再根据特殊角的三角函数值可得再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
7．（2025·深圳模拟）如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点C作AC的垂线，在垂线上取一点E，使得CE=AC=2，连接DE，取CE的中点O，连接OA，OD
∴，∠ACE=90°
∴∠ACB+∠BCE=90°
∵∠BCD=90°
∴∠DCE+∠BCE=90°
∴∠DCE=∠ACB
∵△BCD面积始终为2，∠BCD=90°
∴，即
∵CE=AC=2
∴
∴，即
∵∠DCE=∠ACB
∴△AEC∽△ABC
∴∠EDC=∠BAC=90°
∵CE=2
∴点D在以点O为圆心，CE长为半径的圆上
∴
∵
∴AD的最大值为
故答案为：D
【分析】过点C作AC的垂线，在垂线上取一点E，使得CE=AC=2，连接DE，取CE的中点O，连接OA，OD，根据勾股定理可得OA，再根据角之间的关系可得∠DCE=∠ACB，再根据三角形面积可得，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得△AEC∽△ABC，则∠EDC=∠BAC=90°，可得点D在以点O为圆心，CE长为半径的圆上，根据垂径定理可得，根据边之间的关系可得，则AD的最大值为，即可求出答案.
8．（2025·白云模拟）如图，在中，，，是边上一点，且，过点作交于点，交于点，过点作于点，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，交于点．记的面积为，四边形的面积为，的面积为，请判断下列结论中正确个数为（　　）
①；②是等腰三角形；③；④．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
二、填空题
9．（2025·福田模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、（其中），点P在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则t的最小值是　 　
【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵、、，
∴，
∴，
∵，
∴
要t最小，就是点A到上的一点的距离最小，
∴点P在上，
∵，
∴，
∴t的最小值是，
故答案为：．
【分析】连接，根据两点间距离可得，则，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得，要t最小，就是点A到上的一点的距离最小，则点P在上，再根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．（2025·佛山模拟）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为　 　．
【答案】米
【知识点】含30°角的直角三角形
11．（2025·深圳模拟） 如图，在中，，，点D、E分别在边BC和边AB的延长线上，连接DE，且，，延长ED交AC于点F，如果点F恰好是AC的中点，那么AB=　 　.
【答案】＋1
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵BC＝6，CD＝4，
∴BD＝BC CD＝6 4＝2，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝180°＋∠ABC＝180° 120°＝60°，
如图，过点D作DM⊥BE于M，
∴∠BMD＝90°，
∴∠BDM＝90° ∠CBE＝30°，
∴BM＝BD＝×2＝1，
∴DM＝==，
∵DE＝3，
∴在Rt△DME中，ME＝==，
∴BE＝BM＋ME＝1＋，
取BC的中点N，连接FN，
∴CN＝BN＝BC＝×6＝3，
∵点F是AC的中点，
∴FN是△ABC的中位线，
∴FN∥AB，FN＝AB，
∴DN＝CD CN＝4 3＝1，
由FN∥AB可知，FN∥BE，
∴△FND∽△EBD，
∴，
∴FN＝EB＝，
∴AB＝2FN＝＋1，
故答案为：＋1．
【分析】过点D作DM⊥BE于M，取BC的中点N，连接FN，先证出FN是△ABC的中位线，再利用中位线的性质可得FN∥AB，FN＝AB，利用线段的和差求出DN的长，再证出△FND∽△EBD，利用相似三角形的性质可得，求出FN的长，最后求出AB＝2FN＝＋1即可.
三、解答题
12．（2025·潮阳模拟）在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，）
（1）求、之间的距离（结果保留根号）；
（2）小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①：的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位）
【答案】（1）解：连接，
由题意得，，米，
在中，，
由勾股定理得，即，
解得，，
∵，
∴，
∴米；
（2）解：∵在的东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴路线②更近．
【知识点】二次根式的混合运算；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）连接，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据方向角可得，根据等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，再根据勾股定理可得，则米，再根据勾股定理可得BC，再根据边之间的关系可得AB+BC，再比较大小即可求出答案.
（1）解：连接，
由题意得，，米，
在中，，
由勾股定理得，即，
解得，，
∵，
∴，
∴米；
（2）解：∵在的东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴路线②更近．
13．（2025·深圳模拟）【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是．
解决问题：
（1）任务1：
①同理可得，的取值范围是 ▲ ，的取值范围是 ▲ ．
②如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明．
（2）任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识）
（3）任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是 ▲ ．
【答案】（1）①，；
②证明：∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC
∵
∴
∴
（2）解：设，，
∵，，
∴，，
作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF
则△DEF内部即为所求范围
（3）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；几何概率
【解析】【解答】（1）①∵x+y+z=1
∴y+z=1-x
∵y+z>x
∴1-x>x，解得：
∴
∵x+y+z=1
∴x+z=1-y
∵x+z>y
∴1-y>y，解得：
∴
故答案为：，
（3）∵△ABC为等边三角形，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点
∴
∴一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是
故答案为：
【分析】（1）①根据题意即可求出答案.
②根据等边三角形性质及三角形面积即可求出答案.
（2）设，，，由（1）①可得，，，作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF，则△DEF内部即为所求范围.
（3）根据几何概率即可求出答案.
14．（2025九下·罗湖月考）在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．
（1）填空：
①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（___________，___________）；
②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为___________；
（2）如图3，经过得到，又将经过得到，连接，，求证：四边形是平行四边形．
（3）如图4，在中，，，，若经过（2）中的变换得到的四边形恰好是正方形时，则的长为___________．
【答案】（1）①；②2
（2）证明：∵经过得到，
∴，
∴，；
∵经过得到，
∴，
∴
∴；
∵，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证。
故四边形是平行四边形．
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）①解：根据新定义的意义，得答案为，
故答案为：；
②解：根据旋转相似变换，得到，
根据得是边长为的等边三角形，得到，，
于是，
故，
故答案为：2，逆60°．
（3）解：以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴将经过得到，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴将经过得到，
此时
∴四边形是正方形．
故答案为：．
【分析】（1）①根据新定义即可求出答案.
②根据旋转相似变换，得到，根据等边三角形判定定理可得，，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
（2）根据题意可得，，由相似三角形性质可得，，则，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（3）以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则，根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据余弦定义及特殊角的三角形函数值可得AF，再根据题意可得，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得AE，再根据题意可得，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（1）①解：根据新定义的意义，得答案为，
故答案为：；
②解：根据旋转相似变换，得到，
根据得是边长为的等边三角形，得到，，
于是，
故，
故答案为：2，逆60°．
（2）证明：∵经过得到，
∴，
∴，；
∵经过得到，
∴，
∴
∴；
∵，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证。
故四边形是平行四边形．
（3）解：以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴将经过得到，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴将经过得到，
此时
∴四边形是正方形．
故答案为：．
15．（2025九下·深圳模拟）综合与探究
【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．
如图（a），在中，是BC边上一点，连接AD，若，则称点是中BC边上的“亮点”．
（1）【概念理解】
如图（b），在Rt△ABC中，分别是的高线，角平分线，中线．请判断三点中哪些是中BC边上的“亮点”，并说明理由．
（2）【性质应用】
如图（c），在中，．若是BC边上的“亮点”，求BD的长．
（3）【拓展提升】
如图（d），内接于是中BC边上的“亮点”且．若，求的值．
【答案】（1）.
理由：是的高线，
，
又
点是中BC边上的亮点
在Rt中，AF是的中线，
点是中BC边上的亮点.
（2）解：①当时，
如图，作于点，
，
，
设，
则有，
解得（舍）
即.
②当时，由①可知，设，则有，
解得（舍）
即.
综上所述，或9.
（3）解：延长AD交于点，连接，
，
．
点是中BC边上的亮点，
，
．
由可知CE是直径.
设，则．
．
在Rt中，．
又，
．解得．
．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形高的性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，即点是中BC边上的高点，再根据三角形中线性质可得，即，再根据亮点定义即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当时，作于点，根据正弦定义可得AE，再根据勾股定理可得CE，设，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x=2，再根据边之间的关系即可求出答案；②当时，由①可知，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得a=3，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）延长AD交于点，连接，根据相似三角形判定定理可得，则，即，根据亮点定义可得，则，再根据正弦定义可得，设，则，根据勾股定理可得AE，CD，再代入等式，解方程即可求出答案.
16．（2025·潮阳模拟）【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______；
（2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，请求出的长．
【答案】（1）；
（2）解：．
理由：如图，
过点作于点，
，
，，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，
．
．
线段绕点顺时针旋转得到线段，
．
．
是以为底边的等腰三角形，，
，．
．
．
．
，
．
设，则，
，
，
．
．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）当时，和是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）过点作于点，根据等腰三角形性质可得，，再根据余弦定义可得，，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）过点作于点，过点作，交延长线于点，根据直线平行判定定理可得，再根据旋转性质可得，则，再根据等腰三角形性质可得，，再根据三角形外角性质可得，根据三角形内角和定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，则，设，则，根据平行线分线段成比例定理可得，则．根据边之间的关系可得，根据相似三角形性质可得，则，代值可得BE=6，建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 11-4月之图形基础与三角形—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025九下·深圳模拟）如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九下·深圳模拟）如图，一束阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板MN反射到天花板上形成光斑．下午两个不同时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3m，当时，光斑移动的距离AB为（　　）
A．3m B． C． D．6m
3．（2025九下·南山模拟）为倡导绿色出行，我市在地铁口设置了共享单车服务。图①是某款共享单车的实物图，图②是其结构示意图支架AB和 CD与地面平行，∠BCD=70°，∠BAC=50°.当∠MAC为多少度时，AM平行于支撑杆BE （　　）
A．60 B．70 C．115
4．（2025·深圳模拟） 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则. 如图2，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行. 若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·罗湖月考）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（　　）米．
A． B． C． D．
6．（2025·高州模拟）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
7．（2025·深圳模拟）如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（　　）
A．5 B． C． D．
8．（2025·白云模拟）如图，在中，，，是边上一点，且，过点作交于点，交于点，过点作于点，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，交于点．记的面积为，四边形的面积为，的面积为，请判断下列结论中正确个数为（　　）
①；②是等腰三角形；③；④．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．（2025·福田模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、（其中），点P在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则t的最小值是　 　
10．（2025·佛山模拟）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为　 　．
11．（2025·深圳模拟） 如图，在中，，，点D、E分别在边BC和边AB的延长线上，连接DE，且，，延长ED交AC于点F，如果点F恰好是AC的中点，那么AB=　 　.
三、解答题
12．（2025·潮阳模拟）在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，）
（1）求、之间的距离（结果保留根号）；
（2）小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①：的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位）
13．（2025·深圳模拟）【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是．
解决问题：
（1）任务1：
①同理可得，的取值范围是 ▲ ，的取值范围是 ▲ ．
②如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明．
（2）任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识）
（3）任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是 ▲ ．
14．（2025九下·罗湖月考）在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．
（1）填空：
①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（___________，___________）；
②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为___________；
（2）如图3，经过得到，又将经过得到，连接，，求证：四边形是平行四边形．
（3）如图4，在中，，，，若经过（2）中的变换得到的四边形恰好是正方形时，则的长为___________．
15．（2025九下·深圳模拟）综合与探究
【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．
如图（a），在中，是BC边上一点，连接AD，若，则称点是中BC边上的“亮点”．
（1）【概念理解】
如图（b），在Rt△ABC中，分别是的高线，角平分线，中线．请判断三点中哪些是中BC边上的“亮点”，并说明理由．
（2）【性质应用】
如图（c），在中，．若是BC边上的“亮点”，求BD的长．
（3）【拓展提升】
如图（d），内接于是中BC边上的“亮点”且．若，求的值．
16．（2025·潮阳模拟）【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______；
（2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，请求出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH∥AF
∵
∴AF∥DE∥BH
∴∠1+∠ABH=180°，∠2+∠HBE=180°
∵∠1=90°，∠2=110°
∴∠ABH=90°，∠HBE=70°
∴∠ABE=∠ABH+∠HBE=160°
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠C=135°
∴∠CBE=360°-∠ABC-∠ABE=65°
故答案为：B
【分析】过点B作BH∥AF，根据直线平行性质可得AF∥DE∥BH，再根据角之间的关系可得∠ABH=90°，∠HBE=70°，则∠ABE=∠ABH+∠HBE=160°，再根据直线平行性质可得∠ABC=∠C=135°，再根据角之间的关系即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F
由题意可得：CE=DF=3，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN
∴∠APC=∠PCM=45°，∠BPD=∠PDM=30°
在Rt△PCE中，
∴AP=2PE=6
在Rt△PDF中，
∴
∴
∴光斑移动的距离AB为
故答案为：B
【分析】过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F，由题意可得：CE=DF=3，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，根据直线平行性质可得∠APC=∠PCM=45°，∠BPD=∠PDM=30°，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得PE，PF，再根据边之间的关系即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵AB和CD与地面平行，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝70°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝180° 50° 70°＝60°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝60°时，AM平行于支撑杆BE．
故答案为：A．
【分析】利用平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝70°，再利用角的运算求出∠ACB＝180° 50° 70°＝60°即可.
4．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵∠NCD＝58°，
∴∠OCB＝58°，
∴∠BCD＝180° ∠NCD ∠OCB＝180° 58° 58°＝64°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＋∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180° 64°＝116°，
∴∠MBA＝＝32°，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出∠BCD＝180° ∠NCD ∠OCB＝180° 58° 58°＝64°，再利用平行线的性质及角的运算求出∠ABC＝180° 64°＝116°，最后求出∠MBA＝＝32°即可.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点E作于点I，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵长为米，米，，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
故答案为：A．
【分析】过点E作于点I，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，则，再根据正切定义可得，代值计算可得IE，再根据勾股定理即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；解直角三角形；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴是等边三角形，
故答案为：C
【分析】根据绝对值及二次根式的非负性可得，再根据特殊角的三角函数值可得再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点C作AC的垂线，在垂线上取一点E，使得CE=AC=2，连接DE，取CE的中点O，连接OA，OD
∴，∠ACE=90°
∴∠ACB+∠BCE=90°
∵∠BCD=90°
∴∠DCE+∠BCE=90°
∴∠DCE=∠ACB
∵△BCD面积始终为2，∠BCD=90°
∴，即
∵CE=AC=2
∴
∴，即
∵∠DCE=∠ACB
∴△AEC∽△ABC
∴∠EDC=∠BAC=90°
∵CE=2
∴点D在以点O为圆心，CE长为半径的圆上
∴
∵
∴AD的最大值为
故答案为：D
【分析】过点C作AC的垂线，在垂线上取一点E，使得CE=AC=2，连接DE，取CE的中点O，连接OA，OD，根据勾股定理可得OA，再根据角之间的关系可得∠DCE=∠ACB，再根据三角形面积可得，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得△AEC∽△ABC，则∠EDC=∠BAC=90°，可得点D在以点O为圆心，CE长为半径的圆上，根据垂径定理可得，根据边之间的关系可得，则AD的最大值为，即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
9．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵、、，
∴，
∴，
∵，
∴
要t最小，就是点A到上的一点的距离最小，
∴点P在上，
∵，
∴，
∴t的最小值是，
故答案为：．
【分析】连接，根据两点间距离可得，则，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得，要t最小，就是点A到上的一点的距离最小，则点P在上，再根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．【答案】米
【知识点】含30°角的直角三角形
11．【答案】＋1
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵BC＝6，CD＝4，
∴BD＝BC CD＝6 4＝2，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝180°＋∠ABC＝180° 120°＝60°，
如图，过点D作DM⊥BE于M，
∴∠BMD＝90°，
∴∠BDM＝90° ∠CBE＝30°，
∴BM＝BD＝×2＝1，
∴DM＝==，
∵DE＝3，
∴在Rt△DME中，ME＝==，
∴BE＝BM＋ME＝1＋，
取BC的中点N，连接FN，
∴CN＝BN＝BC＝×6＝3，
∵点F是AC的中点，
∴FN是△ABC的中位线，
∴FN∥AB，FN＝AB，
∴DN＝CD CN＝4 3＝1，
由FN∥AB可知，FN∥BE，
∴△FND∽△EBD，
∴，
∴FN＝EB＝，
∴AB＝2FN＝＋1，
故答案为：＋1．
【分析】过点D作DM⊥BE于M，取BC的中点N，连接FN，先证出FN是△ABC的中位线，再利用中位线的性质可得FN∥AB，FN＝AB，利用线段的和差求出DN的长，再证出△FND∽△EBD，利用相似三角形的性质可得，求出FN的长，最后求出AB＝2FN＝＋1即可.
12．【答案】（1）解：连接，
由题意得，，米，
在中，，
由勾股定理得，即，
解得，，
∵，
∴，
∴米；
（2）解：∵在的东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴路线②更近．
【知识点】二次根式的混合运算；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）连接，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据方向角可得，根据等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，再根据勾股定理可得，则米，再根据勾股定理可得BC，再根据边之间的关系可得AB+BC，再比较大小即可求出答案.
（1）解：连接，
由题意得，，米，
在中，，
由勾股定理得，即，
解得，，
∵，
∴，
∴米；
（2）解：∵在的东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴路线②更近．
13．【答案】（1）①，；
②证明：∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC
∵
∴
∴
（2）解：设，，
∵，，
∴，，
作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF
则△DEF内部即为所求范围
（3）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；几何概率
【解析】【解答】（1）①∵x+y+z=1
∴y+z=1-x
∵y+z>x
∴1-x>x，解得：
∴
∵x+y+z=1
∴x+z=1-y
∵x+z>y
∴1-y>y，解得：
∴
故答案为：，
（3）∵△ABC为等边三角形，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点
∴
∴一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是
故答案为：
【分析】（1）①根据题意即可求出答案.
②根据等边三角形性质及三角形面积即可求出答案.
（2）设，，，由（1）①可得，，，作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF，则△DEF内部即为所求范围.
（3）根据几何概率即可求出答案.
14．【答案】（1）①；②2
（2）证明：∵经过得到，
∴，
∴，；
∵经过得到，
∴，
∴
∴；
∵，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证。
故四边形是平行四边形．
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）①解：根据新定义的意义，得答案为，
故答案为：；
②解：根据旋转相似变换，得到，
根据得是边长为的等边三角形，得到，，
于是，
故，
故答案为：2，逆60°．
（3）解：以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴将经过得到，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴将经过得到，
此时
∴四边形是正方形．
故答案为：．
【分析】（1）①根据新定义即可求出答案.
②根据旋转相似变换，得到，根据等边三角形判定定理可得，，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
（2）根据题意可得，，由相似三角形性质可得，，则，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（3）以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则，根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据余弦定义及特殊角的三角形函数值可得AF，再根据题意可得，再根据正切定义及特殊角的三角函数值可得AE，再根据题意可得，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（1）①解：根据新定义的意义，得答案为，
故答案为：；
②解：根据旋转相似变换，得到，
根据得是边长为的等边三角形，得到，，
于是，
故，
故答案为：2，逆60°．
（2）证明：∵经过得到，
∴，
∴，；
∵经过得到，
∴，
∴
∴；
∵，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证。
故四边形是平行四边形．
（3）解：以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴将经过得到，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴将经过得到，
此时
∴四边形是正方形．
故答案为：．
15．【答案】（1）.
理由：是的高线，
，
又
点是中BC边上的亮点
在Rt中，AF是的中线，
点是中BC边上的亮点.
（2）解：①当时，
如图，作于点，
，
，
设，
则有，
解得（舍）
即.
②当时，由①可知，设，则有，
解得（舍）
即.
综上所述，或9.
（3）解：延长AD交于点，连接，
，
．
点是中BC边上的亮点，
，
．
由可知CE是直径.
设，则．
．
在Rt中，．
又，
．解得．
．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形高的性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，即点是中BC边上的高点，再根据三角形中线性质可得，即，再根据亮点定义即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当时，作于点，根据正弦定义可得AE，再根据勾股定理可得CE，设，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x=2，再根据边之间的关系即可求出答案；②当时，由①可知，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得a=3，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）延长AD交于点，连接，根据相似三角形判定定理可得，则，即，根据亮点定义可得，则，再根据正弦定义可得，设，则，根据勾股定理可得AE，CD，再代入等式，解方程即可求出答案.
16．【答案】（1）；
（2）解：．
理由：如图，
过点作于点，
，
，，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，
．
．
线段绕点顺时针旋转得到线段，
．
．
是以为底边的等腰三角形，，
，．
．
．
．
，
．
设，则，
，
，
．
．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）当时，和是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）过点作于点，根据等腰三角形性质可得，，再根据余弦定义可得，，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）过点作于点，过点作，交延长线于点，根据直线平行判定定理可得，再根据旋转性质可得，则，再根据等腰三角形性质可得，，再根据三角形外角性质可得，根据三角形内角和定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，则，设，则，根据平行线分线段成比例定理可得，则．根据边之间的关系可得，根据相似三角形性质可得，则，代值可得BE=6，建立方程，解方程即可求出答案.
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