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1-4月之四边形—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·龙岗模拟）数学活动课上，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点，小颖同学利用尺规按如下步骤操作：①以为圆心，以长为半径画弧；②以为圆心，以长为半径画弧；两弧交于点，分别连接，．小颖认为：若，则四边形是菱形，她判定四边形为菱形的依据是（　　）
A．两组对边平行 B．四条边相等
C．对角线互相垂直且平分 D．两组对边相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴她判定四边形为菱形的依据是四条边相等．
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形的性质，证明OC=OD，再结合作法证明四边形OCED的四条边相等，再判定它是菱形，然后作出判断．
2．（2025·福田模拟）如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（　　）
A．15 B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，，
，，
∵，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
故选：C
【分析】由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，，则，，根据直线平行性质可得，则，再根据等角对等边可得，根据菱形判定定理可得四边形是菱形，则，，，再根据勾股定理可得AO，根据菱形面积可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
3．（2025·南山模拟）2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，分别是上的点，相交于点是的中点，若，，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
4．（2025·福田模拟）如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边上，将沿折叠．使点B落在射线上的点处，连接．已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．①②
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵将沿折叠．使点B落在射线上的点处，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∵将沿折叠．使点B落在射线上的点处，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；故②正确；
当点N与C重合时，如图，
∵，
∴，
∵将沿折叠．使点B落在射线上的点处，
∴，
∴，
∴，故③错误；
当最短时，，过M作于T，交延长线于K，如图，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴
在中，，
∴
∴
在中，
，
故④正确，
∴正确的有①②④，
故选：A．
【分析】连接，根据折叠性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据等边三角形性质可得，可判断①；根据三角形内角和定理可得，则，再根据折叠性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据菱形判定定理可判断②；当点N与C重合时，当点N与C重合时，根据三角形内角和定理可得，再根据折叠性质可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据角之间的关系可得判断③；当最短时，，过M作于T，交延长线于K，根据含30°角的直角三角形三角形性质可得AB'，再根据勾股定理可得B'C，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，设，则，，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据勾股定理可判断④.
二、填空题
5．（2025九下·深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，是AB边上一点，过点作交BC的延长线于点，连接EF，分别交AC，CD于点，若，则AE的值为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°=∠B，AB=BC=2，AB=CD=4
∴∠A=∠DCF=90°
∵DF⊥DE
∴∠ADC=∠EDF=90°
∴∠ADE=∠CDF
∴△ADF∽△CDF
∴
设AE=2x，CF=4x
∵AB∥CD
∴
∵AG=2CG
∴CM=x
∵AB∥CD
∴△CMF∽△BEF
∴，即
解得：
∴
故答案为：
【分析】根据矩形性质可得∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°=∠B，AB=BC=2，AB=CD=4，再根据角之间的关系可得∠ADE=∠CDF，再根据相似三角形判定定理可得△ADF∽△CDF，则，设AE=2x，CF=4x，根据平行线分线段成比例定理可得，代值可得CM=x，再根据相似三角形判定定理可得△CMF∽△BEF，则，即，解方程即可求出答案.
6．（2025·福田模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形与y轴分别交于E、F两点，对角线在x轴上，反比例函数的图象过点A并交于点G，连接．若，，且的面积为，则k的值是　 　
【答案】6
【知识点】反比例函数的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点A作轴于点M，轴于点N，
∴，轴，
设点，则
∴， ，
∴ ，
∵，，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点A、G在反比例函数的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴ ，即，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：6．
【分析】过点A作轴于点M，轴于点N，则设点 ，则，轴，设点，则，，根据相似三角形判定定理可得， ，则 ，再根据题意可得 ， ， ，则 ，根据反比例函数性质可得 ，则 ，根据边之间的关系可得MN，DN，BN，再根据平行四边形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得 ，根据 ，结合三角形面积即可求出答案.
7．（2025·深圳模拟）如图，在正方形中，E为上一点，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接交于点G．若，，则的长为　 　．
【答案】6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；正方形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
8．（2025九下·罗湖月考）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是　 　．（填上所有满足条件的序号）
【答案】①②④
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故①正确．
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故②正确．
∵，
∴四边形是菱形，
故③错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】根据平行四边形性质可得，，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则．根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可判断①，②；根据菱形判定定理可判断③；再根据角之间的关系可得，则，根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可判断④.
9．（2022·广州）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为　 　； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为　 　
【答案】120；75°
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'可知，△BPP′为等边三角形，
∴∠PP′B=60°，
当点P' 落在边BC上时，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；
将线段BA绕点B逆时针旋转60°，点A落在点E，连接BE，设EP′交BC于G点，如下图所示：
则∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，
∴∠ABP=∠EBP′，
且BA=BE，BP=BP′，
∴△ABP≌△EBP′(SAS)，
∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，
由点P' 落在边BC上时，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，
∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，
∴△EBG于△P′CG均为30°、60°、90°直角三角形，
设EG=x，BC=2y，
则BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′=CG=y-x，
∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=BC，
又已知AB=BC，
∴EP′=AB，
又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，
∴AB=AP，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，
当CP′⊥EF于H时，CP′有最小值，
此时∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，
故答案为：120°，75°．
【分析】分类讨论，结合图形，利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
10．（2025·深圳模拟）如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为　 　．
【答案】8
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设，
∵它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴矩形的面积为，
故答案为：．
【分析】设，，则，将点E坐标代入反比例函数解析式可得，再根据两点间距离可得，，再根据矩形面积即可求出答案.
11．（2025·宝安模拟）如图，在中，，将沿对角线翻折至与相交于点，连接，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
，
，
，
，
，
，
设
，
过点作于点，如图
，
，
，
设
，
在中，，
，
，
，
，
故答案是：．
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理可得，根据平行线分线段成比例定理可得，即，设，则，过点作于点，根据等腰直角三角形性质可得， 再根据勾股定理可得AC，设，则，再根据勾股定理建立方程，化简可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．（2025·深圳模拟）在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵
∴，
设，
∴在中，，
即，
∴，
∵，的延长线，的延长线，
∴，
∵，
∴
∴在中，，，
即，，
∴，，
在中，，
则，
∵将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，
∴，，，，
∴，
即，
∴，
解得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（两个相似三角形的高的比等于相似比），
故答案为：．
【分析】分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，根据菱形性质可得，，，根据直线平行性质可得，设，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，根据边之间的关系可得，再根据正弦定义可得，，根据勾股定理可得BE，根据折叠性质可得，，，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，，再根据边之间的关系可得ZF，再根据相似三角形判定定理可得，再根据其性质即可求出答案.
13．（2025九下·佛山模拟）如图是王先生家的菜团，图2是该菜谱的示意图，该菜谱可看作矩形，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，．已知菱形的面积为6，则阴影部分的面积之和为　 　．
【答案】5
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：连接交于点，设交于点，交于点，连接，
∵四边形为矩形，
∴，
∵点，分别是边，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴三点共线，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形，四边形均为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的面积为6，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：5．
【分析】连接交于点，设交于点，交于点，连接，根据矩形性质可得，再根据线段中点可得，，则，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，再根据菱形性质可得，，，，则，根据全等三角形性质可得，则，由平行四边形判定定理可得，则三点共线，且，根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据平行四边形判定定理可得四边形，四边形均为平行四边形，则，再根据平行线分线段成比例定理可得，则，再根据菱形面积可得，再根据平行四边形面积即可求出答案.
三、作图题
14．（2025九下·罗湖月考）如图，在中，．
（1）按如下步骤用直尺（不带刻度）和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，不写作法．）
①在上取一点，使；②作的平分线交于点；③连接．
（2）若，，求出（1）中所作的四边形的面积．
【答案】（1）解：所求图形，如图所示．
（2）解：∵根据作图，平分，则，
又，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
过D作交于G，
又，，
∴，
，
∴菱形的面积为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）①以A为圆心，以长为半径画弧，交于点，则；
②根据角的平分线的基本作图，解答即可；
③用直尺连接．
（2）根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质可得，则，即，根据菱形判定定理可得四边形是菱形，过D作交于G，则，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得DG，再根据菱形面积即可求出答案.
（1）解：所求图形，如图所示．
（2）解：∵根据作图，平分，则，
又，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
过D作交于G，
又，，
∴，
，
∴菱形的面积为．
15．（2025九下·深圳模拟）如图（a），在中，．
（1）【实践与操作】在图（a）的基础上，请利用尺规，用2种方法作四边形ABDC是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）【推理与计算】在（1）的条件下，若，求菱形ABDC的面积．
【答案】（1）解：如图所示，四边形ABDC即为所要作的菱形
（2）解：如图，连接AD交BC于点，
四边形ABDC是菱形，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质作图即可求出答案.
（2）连接AD交BC于点，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得AE，可求出AD，再根据菱形性质即可求出答案.
四、解答题
16．（2025九下·南山模拟）
（1）【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F， G.
①判断△AFG的形状并说明理由.
②求证： BF=20G.
（2）【迁移应用】
记的面积为，的面积为，当时，求的值
（3）【拓展延伸】
若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面
积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值.
【答案】（1）证明：①解：如图1中，△AFG是等腰三角形．
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF＝∠AHG＝90°，
∵AH＝AH，
∴△AHF≌△AHG（ASA），
∴AF＝AG，
∴△AFG是等腰三角形．
②证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．
∵AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF，
∵∠AGF＝∠OGL，
∴∠OGL＝∠OLG，
∴OG＝OL，
∵OL∥AB，
∴△DLO∽△DFB，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OD，
∴BF＝2OL，
∴BF＝2OG．
（2）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，
∵∠DAK＝∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，
∴，
∵S1＝ OG DK，S2＝ BF AD，
又∵BF＝2OG，，
∴，
设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，
∴．
（3）解：设OG＝a，AG＝k.
①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k＋2a，AC＝2（k＋a），
∴AD2＝AC2 CD2＝[2（k＋a）]2 （k＋2a）2＝3k2＋4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，即，
∴，
∴BE＝，
由题意：10××2a×＝AD （k＋2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2＋4ka，
∴k＝2a，
∴AD＝a，
∴BE＝=，AB＝4a，
∴tan∠BAE＝．
②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k 2a，AC＝2（k a），
∴AD2＝AC2 CD2＝[2（k a）]2 （k 2a）2＝3k2 4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，即，
∴，
∴BE＝，
由题意：10××2a×＝AD （k 2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2 4ka，
∴k＝a，
∴AD＝a，
∴BE＝＝a，AB＝a，
∴tan∠BAE＝，
综上所述，tan∠BAE的值为或．
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①先利用“ASA”证出△AHF≌△AHG，再利用全等三角形的性质可得AF＝AG，从而可证出△AFG是等腰三角形；
②过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG，先证出△DLO∽△DFB，利用相似三角形的性质可得，再结合BD＝2OD，利用等量代换可得BF＝2OG；
（2）过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，先证出△ADK∽△ACD，利用相似三角形的性质可得，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，再求出即可；
（3）①连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上，先证出△ABE∽△DAF，利用相似三角形的性质可得，即，再求出AD2＝10ka，再结合BE＝=，AB＝4a，求出tan∠BAE＝即可；
②当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF，先证出△ABE∽△DAF，利用相似三角形的性质可得，即，再求出AD2＝10ka，再结合BE＝＝a，AB＝a，求出tan∠BAE＝，从而得解.
17．（2025·龙岗模拟）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，连接，．
（1）如图（），若，分别是边，的中点，连接，则______
（2）当时，请回答下列问题：
①如图（），求的值；
②如图（），若平分时，求的值；
③如图（），若时，求的值．
【答案】（1）
（2）解：（2）①过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
∴；
②将延长交延长线于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∴.
∵平分
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
③延长与延长线交于点，过作于点，设，
∵，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴.
∴，
∴
∴．
∵四边项是菱形，
∴，
∴
∴
∴即
∴
∴
解得，
∵，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
18．（2025·南山模拟）已知菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，点F是边AD上一点，连接EF、BE、CF，
（1）【特例探究】
①如图1，若∠ABC=60°且EF//CD，线段BE、CF满足的数量关系是 ▲ .
②如图2，若∠ABC=90°且EF⊥CD，判定线段BE、CF满足的数量关系，并说明理由：
（2）【一般探究】
如图3，根据特例的探究，若∠BAC=α，AE=EF，请求出·的值（用含α的式子表示）；
（3）【发现应用】
如图3，根据 “一般探究”中的条件，若菱形边长为1，，点F在直线AD上运动，则△CEF面积的最大值为　 　.
【答案】（1）解：①BE=CF；
②CF＝BE，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AC＝AB，
∵EF⊥AC，
∴AF＝AE，
∴，
∴△ABE∽△ACF，
，
∴CF＝BE.
（2）解： 如图，过点B作BO⊥AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=α，
∴AB=BC，∠DAC=∠BAC= ∠ACB=α，
∵AE=EF，
∴∠AFE-∠DAC-α，
∴△ABC∽△AEF，
∴，
∵∠DAC=∠BAC=α，
∴△ABE∽△ACF，
∴
∵AB=BC，BO⊥AC.
∴AC=2AO，AO=AB·cos∠BAC，
∴AC=2AB·cosα，
∴.
（3）
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠DAC＝∠BAC＝60°，
∵EF∥CD，
∴∠AFE＝∠ADC＝60°，
∴△AEF是等边三角形，∠BAE＝∠CAF＝60°，
∴AE＝AF，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF；
故答案为：BE＝CF，
【分析】（1）①先证出△ABC和△ADC都是等边三角形，可得AB＝AC，∠DAC＝∠BAC＝60°，再证出△AEF是等边三角形，∠BAE＝∠CAF＝60°，利用“SAS”证出△ABE≌△ACF，再利用全等三角形的性质可得BE＝CF；
②先证出△ABE∽△ACF，再利用相似三角形的性质可得，最后求出CF＝BE即可；
（2）过点B作BO⊥AC于点O，先证出△ABC∽△AEF，可得，再结合∠DAC=∠BAC=α，证出△ABE∽△ACF，利用相似三角形 的性质可得，再结合AC=2AB·cosα，最后求出即可.
1 / 11-4月之四边形—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·龙岗模拟）数学活动课上，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点，小颖同学利用尺规按如下步骤操作：①以为圆心，以长为半径画弧；②以为圆心，以长为半径画弧；两弧交于点，分别连接，．小颖认为：若，则四边形是菱形，她判定四边形为菱形的依据是（　　）
A．两组对边平行 B．四条边相等
C．对角线互相垂直且平分 D．两组对边相等
2．（2025·福田模拟）如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（　　）
A．15 B． C． D．
3．（2025·南山模拟）2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，分别是上的点，相交于点是的中点，若，，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
4．（2025·福田模拟）如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边上，将沿折叠．使点B落在射线上的点处，连接．已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．①②
二、填空题
5．（2025九下·深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，是AB边上一点，过点作交BC的延长线于点，连接EF，分别交AC，CD于点，若，则AE的值为　 　．
6．（2025·福田模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形与y轴分别交于E、F两点，对角线在x轴上，反比例函数的图象过点A并交于点G，连接．若，，且的面积为，则k的值是　 　
7．（2025·深圳模拟）如图，在正方形中，E为上一点，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接交于点G．若，，则的长为　 　．
8．（2025九下·罗湖月考）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是　 　．（填上所有满足条件的序号）
9．（2022·广州）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为　 　； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为　 　
10．（2025·深圳模拟）如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为　 　．
11．（2025·宝安模拟）如图，在中，，将沿对角线翻折至与相交于点，连接，则的值为　 　．
12．（2025·深圳模拟）在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，若，则的值为　 　．
13．（2025九下·佛山模拟）如图是王先生家的菜团，图2是该菜谱的示意图，该菜谱可看作矩形，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，．已知菱形的面积为6，则阴影部分的面积之和为　 　．
三、作图题
14．（2025九下·罗湖月考）如图，在中，．
（1）按如下步骤用直尺（不带刻度）和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，不写作法．）
①在上取一点，使；②作的平分线交于点；③连接．
（2）若，，求出（1）中所作的四边形的面积．
15．（2025九下·深圳模拟）如图（a），在中，．
（1）【实践与操作】在图（a）的基础上，请利用尺规，用2种方法作四边形ABDC是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）【推理与计算】在（1）的条件下，若，求菱形ABDC的面积．
四、解答题
16．（2025九下·南山模拟）
（1）【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F， G.
①判断△AFG的形状并说明理由.
②求证： BF=20G.
（2）【迁移应用】
记的面积为，的面积为，当时，求的值
（3）【拓展延伸】
若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面
积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值.
17．（2025·龙岗模拟）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，连接，．
（1）如图（），若，分别是边，的中点，连接，则______
（2）当时，请回答下列问题：
①如图（），求的值；
②如图（），若平分时，求的值；
③如图（），若时，求的值．
18．（2025·南山模拟）已知菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，点F是边AD上一点，连接EF、BE、CF，
（1）【特例探究】
①如图1，若∠ABC=60°且EF//CD，线段BE、CF满足的数量关系是 ▲ .
②如图2，若∠ABC=90°且EF⊥CD，判定线段BE、CF满足的数量关系，并说明理由：
（2）【一般探究】
如图3，根据特例的探究，若∠BAC=α，AE=EF，请求出·的值（用含α的式子表示）；
（3）【发现应用】
如图3，根据 “一般探究”中的条件，若菱形边长为1，，点F在直线AD上运动，则△CEF面积的最大值为　 　.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴她判定四边形为菱形的依据是四条边相等．
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形的性质，证明OC=OD，再结合作法证明四边形OCED的四条边相等，再判定它是菱形，然后作出判断．
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，，
，，
∵，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
故选：C
【分析】由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，，则，，根据直线平行性质可得，则，再根据等角对等边可得，根据菱形判定定理可得四边形是菱形，则，，，再根据勾股定理可得AO，根据菱形面积可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
4．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵将沿折叠．使点B落在射线上的点处，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∵将沿折叠．使点B落在射线上的点处，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；故②正确；
当点N与C重合时，如图，
∵，
∴，
∵将沿折叠．使点B落在射线上的点处，
∴，
∴，
∴，故③错误；
当最短时，，过M作于T，交延长线于K，如图，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴
在中，，
∴
∴
在中，
，
故④正确，
∴正确的有①②④，
故选：A．
【分析】连接，根据折叠性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据等边三角形性质可得，可判断①；根据三角形内角和定理可得，则，再根据折叠性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据菱形判定定理可判断②；当点N与C重合时，当点N与C重合时，根据三角形内角和定理可得，再根据折叠性质可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据角之间的关系可得判断③；当最短时，，过M作于T，交延长线于K，根据含30°角的直角三角形三角形性质可得AB'，再根据勾股定理可得B'C，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，设，则，，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据勾股定理可判断④.
5．【答案】
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°=∠B，AB=BC=2，AB=CD=4
∴∠A=∠DCF=90°
∵DF⊥DE
∴∠ADC=∠EDF=90°
∴∠ADE=∠CDF
∴△ADF∽△CDF
∴
设AE=2x，CF=4x
∵AB∥CD
∴
∵AG=2CG
∴CM=x
∵AB∥CD
∴△CMF∽△BEF
∴，即
解得：
∴
故答案为：
【分析】根据矩形性质可得∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°=∠B，AB=BC=2，AB=CD=4，再根据角之间的关系可得∠ADE=∠CDF，再根据相似三角形判定定理可得△ADF∽△CDF，则，设AE=2x，CF=4x，根据平行线分线段成比例定理可得，代值可得CM=x，再根据相似三角形判定定理可得△CMF∽△BEF，则，即，解方程即可求出答案.
6．【答案】6
【知识点】反比例函数的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点A作轴于点M，轴于点N，
∴，轴，
设点，则
∴， ，
∴ ，
∵，，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点A、G在反比例函数的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴ ，即，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：6．
【分析】过点A作轴于点M，轴于点N，则设点 ，则，轴，设点，则，，根据相似三角形判定定理可得， ，则 ，再根据题意可得 ， ， ，则 ，根据反比例函数性质可得 ，则 ，根据边之间的关系可得MN，DN，BN，再根据平行四边形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得 ，根据 ，结合三角形面积即可求出答案.
7．【答案】6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；正方形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
8．【答案】①②④
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故①正确．
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故②正确．
∵，
∴四边形是菱形，
故③错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】根据平行四边形性质可得，，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则．根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可判断①，②；根据菱形判定定理可判断③；再根据角之间的关系可得，则，根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可判断④.
9．【答案】120；75°
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'可知，△BPP′为等边三角形，
∴∠PP′B=60°，
当点P' 落在边BC上时，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；
将线段BA绕点B逆时针旋转60°，点A落在点E，连接BE，设EP′交BC于G点，如下图所示：
则∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，
∴∠ABP=∠EBP′，
且BA=BE，BP=BP′，
∴△ABP≌△EBP′(SAS)，
∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，
由点P' 落在边BC上时，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，
∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，
∴△EBG于△P′CG均为30°、60°、90°直角三角形，
设EG=x，BC=2y，
则BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′=CG=y-x，
∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=BC，
又已知AB=BC，
∴EP′=AB，
又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，
∴AB=AP，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，
当CP′⊥EF于H时，CP′有最小值，
此时∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，
故答案为：120°，75°．
【分析】分类讨论，结合图形，利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
10．【答案】8
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设，
∵它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴矩形的面积为，
故答案为：．
【分析】设，，则，将点E坐标代入反比例函数解析式可得，再根据两点间距离可得，，再根据矩形面积即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
，
，
，
，
，
，
设
，
过点作于点，如图
，
，
，
设
，
在中，，
，
，
，
，
故答案是：．
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理可得，根据平行线分线段成比例定理可得，即，设，则，过点作于点，根据等腰直角三角形性质可得， 再根据勾股定理可得AC，设，则，再根据勾股定理建立方程，化简可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵
∴，
设，
∴在中，，
即，
∴，
∵，的延长线，的延长线，
∴，
∵，
∴
∴在中，，，
即，，
∴，，
在中，，
则，
∵将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，
∴，，，，
∴，
即，
∴，
解得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（两个相似三角形的高的比等于相似比），
故答案为：．
【分析】分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，根据菱形性质可得，，，根据直线平行性质可得，设，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，根据边之间的关系可得，再根据正弦定义可得，，根据勾股定理可得BE，根据折叠性质可得，，，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，，再根据边之间的关系可得ZF，再根据相似三角形判定定理可得，再根据其性质即可求出答案.
13．【答案】5
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：连接交于点，设交于点，交于点，连接，
∵四边形为矩形，
∴，
∵点，分别是边，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴三点共线，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形，四边形均为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的面积为6，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：5．
【分析】连接交于点，设交于点，交于点，连接，根据矩形性质可得，再根据线段中点可得，，则，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，再根据菱形性质可得，，，，则，根据全等三角形性质可得，则，由平行四边形判定定理可得，则三点共线，且，根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据平行四边形判定定理可得四边形，四边形均为平行四边形，则，再根据平行线分线段成比例定理可得，则，再根据菱形面积可得，再根据平行四边形面积即可求出答案.
14．【答案】（1）解：所求图形，如图所示．
（2）解：∵根据作图，平分，则，
又，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
过D作交于G，
又，，
∴，
，
∴菱形的面积为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）①以A为圆心，以长为半径画弧，交于点，则；
②根据角的平分线的基本作图，解答即可；
③用直尺连接．
（2）根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质可得，则，即，根据菱形判定定理可得四边形是菱形，过D作交于G，则，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得DG，再根据菱形面积即可求出答案.
（1）解：所求图形，如图所示．
（2）解：∵根据作图，平分，则，
又，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
过D作交于G，
又，，
∴，
，
∴菱形的面积为．
15．【答案】（1）解：如图所示，四边形ABDC即为所要作的菱形
（2）解：如图，连接AD交BC于点，
四边形ABDC是菱形，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质作图即可求出答案.
（2）连接AD交BC于点，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得AE，可求出AD，再根据菱形性质即可求出答案.
16．【答案】（1）证明：①解：如图1中，△AFG是等腰三角形．
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF＝∠AHG＝90°，
∵AH＝AH，
∴△AHF≌△AHG（ASA），
∴AF＝AG，
∴△AFG是等腰三角形．
②证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．
∵AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF，
∵∠AGF＝∠OGL，
∴∠OGL＝∠OLG，
∴OG＝OL，
∵OL∥AB，
∴△DLO∽△DFB，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OD，
∴BF＝2OL，
∴BF＝2OG．
（2）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，
∵∠DAK＝∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，
∴，
∵S1＝ OG DK，S2＝ BF AD，
又∵BF＝2OG，，
∴，
设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，
∴．
（3）解：设OG＝a，AG＝k.
①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k＋2a，AC＝2（k＋a），
∴AD2＝AC2 CD2＝[2（k＋a）]2 （k＋2a）2＝3k2＋4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，即，
∴，
∴BE＝，
由题意：10××2a×＝AD （k＋2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2＋4ka，
∴k＝2a，
∴AD＝a，
∴BE＝=，AB＝4a，
∴tan∠BAE＝．
②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k 2a，AC＝2（k a），
∴AD2＝AC2 CD2＝[2（k a）]2 （k 2a）2＝3k2 4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，即，
∴，
∴BE＝，
由题意：10××2a×＝AD （k 2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2 4ka，
∴k＝a，
∴AD＝a，
∴BE＝＝a，AB＝a，
∴tan∠BAE＝，
综上所述，tan∠BAE的值为或．
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①先利用“ASA”证出△AHF≌△AHG，再利用全等三角形的性质可得AF＝AG，从而可证出△AFG是等腰三角形；
②过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG，先证出△DLO∽△DFB，利用相似三角形的性质可得，再结合BD＝2OD，利用等量代换可得BF＝2OG；
（2）过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，先证出△ADK∽△ACD，利用相似三角形的性质可得，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，再求出即可；
（3）①连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上，先证出△ABE∽△DAF，利用相似三角形的性质可得，即，再求出AD2＝10ka，再结合BE＝=，AB＝4a，求出tan∠BAE＝即可；
②当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF，先证出△ABE∽△DAF，利用相似三角形的性质可得，即，再求出AD2＝10ka，再结合BE＝＝a，AB＝a，求出tan∠BAE＝，从而得解.
17．【答案】（1）
（2）解：（2）①过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
∴；
②将延长交延长线于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∴.
∵平分
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
③延长与延长线交于点，过作于点，设，
∵，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴.
∴，
∴
∴．
∵四边项是菱形，
∴，
∴
∴
∴即
∴
∴
解得，
∵，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
18．【答案】（1）解：①BE=CF；
②CF＝BE，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AC＝AB，
∵EF⊥AC，
∴AF＝AE，
∴，
∴△ABE∽△ACF，
，
∴CF＝BE.
（2）解： 如图，过点B作BO⊥AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=α，
∴AB=BC，∠DAC=∠BAC= ∠ACB=α，
∵AE=EF，
∴∠AFE-∠DAC-α，
∴△ABC∽△AEF，
∴，
∵∠DAC=∠BAC=α，
∴△ABE∽△ACF，
∴
∵AB=BC，BO⊥AC.
∴AC=2AO，AO=AB·cos∠BAC，
∴AC=2AB·cosα，
∴.
（3）
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠DAC＝∠BAC＝60°，
∵EF∥CD，
∴∠AFE＝∠ADC＝60°，
∴△AEF是等边三角形，∠BAE＝∠CAF＝60°，
∴AE＝AF，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF；
故答案为：BE＝CF，
【分析】（1）①先证出△ABC和△ADC都是等边三角形，可得AB＝AC，∠DAC＝∠BAC＝60°，再证出△AEF是等边三角形，∠BAE＝∠CAF＝60°，利用“SAS”证出△ABE≌△ACF，再利用全等三角形的性质可得BE＝CF；
②先证出△ABE∽△ACF，再利用相似三角形的性质可得，最后求出CF＝BE即可；
（2）过点B作BO⊥AC于点O，先证出△ABC∽△AEF，可得，再结合∠DAC=∠BAC=α，证出△ABE∽△ACF，利用相似三角形 的性质可得，再结合AC=2AB·cosα，最后求出即可.
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