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2024-2025学年上海市闵行区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共有6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）已知a＜b，下列各式中不正确的是（　　）
A．2a＜2b B．1﹣2a＞1﹣2b C．a﹣b＜0 D．|a|＜|b|
2．（2分）如图，若其中∠1＝∠5，则与∠2互补的角有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2分）已知某个不等式的解集是x＜﹣2，下列说法正确的是（　　）
A．0是这个不等式的解
B．﹣3不是这个不等式的解
C．小于﹣3的数都是这个不等式的解
D．小于﹣1的数都是这个不等式的解
4．（2分）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　）
A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1
5．（2分）下列语句中真命题的个数是（　　）
①两直线平行，同旁内角相等；
②三角形的三条高交于三角形内一点；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c；
④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤命题“对顶角相等”的逆命题是真命题；
⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若BD∥AE，∠CAE＝55°，则∠DBC的度数是（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
二、填空题（本大题共有12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）用不等式表示“x与y的一半的和是非负数”：　 　 ．
8．（2分）不等式﹣2x+5＞﹣3的解集是　 　 ．
9．（2分）如图，已知直线a、b相交，这两条直线的锐角夹角是　 　 ．
10．（2分）△ABC中，如果∠A是∠B的两倍，且∠C比∠A大30°，那么△ABC是　 　 三角形．（按角分类）
11．（2分）已知△ABC是等腰三角形，若AB＝5cm，AC＝3cm，那么△ABC的周长是　 　 cm．
12．（2分）若一个30°角的两边分别与另一个角的两边平行，则另一个角为　 　 ．
13．（2分）如图，AB∥CD，∠D＝58°，∠B＝38°，则∠E＝　 　 °．
14．（2分）如图，已知将△DAC旋转到△ECB的位置，使得点A、C、B在同一条直线上，请写出线段AB、AD、BE之间的数量关系：　 　 ．
15．（2分）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是 　 　 ．
16．（2分）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于2.5%又不超过4%．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组　 　 ．
17．（2分）如图，在△ABC中，延长BC到D，∠ABC、∠ACD的角平分线相交于点A1点．∠A1BC与∠A1CD的外角平分线交于点A2，∠A2BC与∠A2CD的外角平分线交于点A3，依次类推，∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的外角平分线交于点An，如果∠A＝m°，那∠An＝　 　 °．（用含m、n的表示）．
18．（2分）在△ABC中，∠BAC＝50°，点D是边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使点C落在直线AB上的点E处，如果△BED是直角三角形，那么∠ACB＝ 　 　 °．
三、简答题（本大题共有5题，第19题满分33分，第20题满分33分，第21题满分33分，第22题满分33分，第23题满分33分，共33分）
19．（5分）解不等式：3（2x+1）≤7﹣2（5x﹣6），并把它的解集在数轴上表示出来．
20．（6分）求不等式组：的整数解．
21．（7分）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围．
22．（5分）如图，已知AM∥CN，且∠1＝∠2，那么AB∥CD吗？为什么？
解：∵AM∥CN（已知），
∴∠GAM＝∠GCN（ 　 　 ）．
又∵∠1＝∠2，
∴∠　 　 +∠　 　 ＝∠　 　 +∠　 　 ，
即∠　 　 ＝∠　 　 ，
∴AB∥CD（ 　 　 ）．
23．（10分）（1）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法．
如图1，已知：∠1与∠2是直线AB、CD被直线EF所截得到的一对内错角，AB∥CD，直线AB、CD分别与直线EF相交于点M、N．
求证：∠1＝∠2．
证明：假设　 　 ，过点N画一条直线GH，使得∠1＝∠ENG，如图2所示，根据　 　 ，可得AB∥GH，又因为AB∥CD，这样直线GH、CD都过点N，这与　 　 矛盾．
说明假设不成立，所以∠1＝∠2．
（2）如图3，已知△ABC≌△DEF，∠CFA＝∠CAF，∠1＝30°，∠D＝105°，求∠E的度数．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠　 　 ＝∠　 　 （ 　 　 ）．
又：∠D＝105°，∠1＝30°，
∴∠CAF＝∠　 　 ﹣∠　 　 ＝ 　 　 ．
∵∠CFA＝∠CAF．
又∵∠CFA＝∠　 　 +∠　 　 （ 　 　 ），
∴∠B＝45°．
∵△ABC≌△DEF，
∴∠　 　 ＝∠　 　 ＝45°（ 　 　 ）．
四、解答题（本大题共有3题，第24、25题满分21分，第26题满分21分，共21分）
24．（6分）小明准备乘坐出租车从商场回家，商场到家的距离为30公里，当地出租车的收费标准是：起步价为12元（3公里以内），超过3公里低于15公里，每公里收费2元，15公里以上每公里单价是在2元的基础上上浮50%，小明发现身上只有75元现金，请问他能直接乘出租车回家吗？
25．（6分）如图，点D、E、H分别在线段AB、BC、AC上，连接DE，过点C画CF交DH的延长线于点F，且满足∠BDE＝∠FCA，若BC∥DF，∠B＝∠F，求证DE∥AC．
26．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC．垂足为D，点E在AC上，BE交AD于点F，∠AFE＝∠AEB．
（1）点B到直线AD的距离是线段　 　 的长度：若BF＝5EF，AE＝EC，那么△ABF与△ABC的面积的比值是　 　 ．
（2）求证：BE平分∠ABC．
五、综合题（本大题共1题，满分10分）
27．（10分）在一副三角尺中∠B＝90°，∠C＝90°，∠BPA＝45°，∠CPD＝60°．
（1）将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上）
①联结AD．测得∠1＝45°，则∠2的度数是多少？
②将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，当三角尺PCD的边PD与射线PB重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？
（2）若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线MN上），三角尺PCD绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，同时三角尺PAB以每秒3°的速度顺时针旋转，当三角尺PAB的边PB与射线PN重合时两块三角尺都停止运动．运动　 　 秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案）
2024-2025学年上海市闵行区七年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D A C C B B
二、填空题（本大题共有12题，每题2分，满分24分）
7．xy≥0．
8．x＜4．
9．50°．
10．直角．
11．13或11．
12．30°或150°．
13．20．
14．AB＝AD+BE．
15．如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等．
16．．
17．，
18．40或90或110．
三、简答题（本大题共有5题，第19题满分33分，第20题满分33分，第21题满分33分，第22题满分33分，第23题满分33分，共33分）
19．解：由题知，
3（2x+1）≤7﹣2（5x﹣6），
6x+3≤7﹣10x+12，
6x+10x≤7+12﹣3，
16x≤16，
x≤1．
数轴表示如下：
．
20．解：由2＜x得：x，
由3（x）得：x≤2，
则不等式组的解集为x≤2，
所以不等式组的整数解为﹣1、0、1、2．
21．解：由5x＞3（x+a）﹣10得：x，
由3﹣x得：x，
因为不等式组无解，
所以，
解得a＞5．
22．解：∵AM∥CN（已知），
∴∠GAM＝∠GCN（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠1＝∠2，
∴∠GAM+∠1＝∠GCN+∠2，
即∠GAB＝∠GCD，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；GAM；1；GCN；2；GAB；GCD；同位角相等，两直线平行．
23．（1）证明：假设∠1≠∠2，
过点N画一条直线GH，使得∠1＝∠ENG，如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥GH，
又因为AB∥CD，这样直线GH、CD都过点N，
这与过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行矛盾．
说明假设不成立，所以∠1＝∠2，
故答案为：∠1≠∠2；内错角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠BAC＝∠D（全等三角形的对应角相等 ）．
又：∠D＝105°，∠1＝30°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠1＝ 75°．
∵∠CFA＝∠CAF．
又∵∠CFA＝∠B+∠1（ 三角形的外角性质），
∴∠B＝45°．
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝45°（全等三角形的对应角相等），
故答案为：BAC；D；全等三角形的对应角相等；BAC；1；75°；B；1；三角形的外角性质；E；B；全等三角形的对应角相等．
四、解答题（本大题共有3题，第24、25题满分21分，第26题满分21分，共21分）
24．解：他不能直接乘出租车回家，理由如下：
设小明可乘出租车的里程为x公里，
根据题意得：12+2×（15﹣3）+2×（1+50%）（x﹣15）＝75，
解得：x＝28，
∵28＜30，
∴他不能直接乘出租车回家．
25．证明：∵BC∥DF，
∴∠B+∠BDF＝180°，∠F+∠BCF＝180°，∠ACB＝∠AHD，
∵∠B＝∠F，
∴∠BDF＝∠BCF，
∵∠BDE＝∠FCA，∠BDE+∠FDE＝∠BDF，∠FCA+∠ACB＝∠BCF，
∴∠FDE＝∠ACB，
∴∠FDE＝∠AHD，
∴DE∥AC．
26．解：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，
∴点B到直线AD的距离是线段BD的长度，
连接CF，如图所示，
∵AE＝EC，根据等底登高的三角形面积相等，
∴可得S△ABE＝S△CBE，S△AEF＝S△CEF，
∴S△ABF＝S△CBF，
又∵BF＝5EF，
∴S△CBF＝5S△CEF，
设S△CEF＝x，则S△ABF＝S△CBF＝5x，
则SABE＝S△CBE＝6x，
则S△ABC＝S△ABE+S△CBE＝12x，
∴；
故答案为：BD，，
（2）证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，根据同角的余角相等，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠AFE＝∠AEB，且∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠BFD＝∠AEB，
在△BDF中，∠BFD+∠FBD＝90°，在△ABE中，∠AEB+∠ABE＝90°，
由于∠BFD＝∠AEB，根据等角的余角相等，
∴可得∠FBD＝∠ABE，即BE平分∠ABC．
五、综合题（本大题共1题，满分10分）
27．解：（1）①∠BPA＝45°，∠CPD＝60°，
∴∠APD＝180°﹣∠BPA﹣∠CPD＝75°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠APD＝180°﹣45°﹣75°＝60°；
②当PD'∥AB时，
则∠D'PC＝∠B＝90°，
∴∠DPD'＝∠D'PC﹣∠DPC＝90°﹣60°＝30°，
∴t＝30÷3＝10（秒）；
当D'C∥AP时，
∵∠C＝90°，∠CPD＝60°，
∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠CPD＝30°，
∵旋转，
∴∠D'＝∠D＝30°，
∵D'C∥AP，
∴∠APD'＝∠D'＝30°，
∴∠DPD'＝∠APD﹣∠APD'＝75°﹣30°＝45°，
∴t＝45÷3＝15（秒），
综上所述：当10秒或15秒时，其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行；
（2）设旋转时间为t秒，由题意得，∠MPA＝3t，∠NPD＝2t，
①当PA∥CD时，
则∠APC＝∠C＝90°，
∵∠MPA+∠APC+∠DPC+∠NPD＝180°，
∴3t+90°+60°+2t＝180°，
解得：t＝6；
②当AB∥PD时，
∴∠BPD＝∠B＝90°，
∵∠MPA+∠APB+∠DPB+∠NPD＝180°，
∴3t+45°+90°+2t＝180°，
解得：t＝9；
③当CD∥AP时，
则∠APD＝∠D＝30°，
∵∠MPA+∠NPD﹣∠APD＝180°，
∴3t+2t﹣30°＝180°，
解得：t＝42；
④当AB∥PD时，
则∠APD＝∠A，
∵∠B＝90°，∠BPA＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠BPA＝45°，
∴∠APD＝45°，
∴∠MPA+∠NPD﹣∠APD＝180°3t+2t﹣45°＝180°，
解得：t＝45，
综上所述：运动时间为6或9或42或45秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行．
故答案为：6或9或42或45．
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