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宜春一中2024—2025学年第二学期高二年级期中考试
数学试卷
一 选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数在处可导，且，则（ ）
A. B. C. D. 2
2．若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3.已知数列满足，若，则（ ）
A．28 B．13 C．18 D．20
4．在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ）
A．3 B． C．-4 D．4
6.已知函数是奇函数，函数g是偶函数，且当x＞0时，＞0，g＞0，则当x＜0时，
以下说法正确的是（ ）
A.+g＞0 B.—g＞0 C.g＞0 D.＞0
7.已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在上可导，且f (1)=1，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若数列为等差数列，则是等差数列
B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C．若数列为等比数列，且，，则
D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则t的最小值为2
11. 已知数列的前项和为，且满足，，，
则下列说法正确的有（ ）
A. 数列等比数列 B. 数列为等差数列
C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．记为等差数列的前项和，若，则 .
13．若不等式有解，则实数m的取值范围为 .
已知数列满足，，则 .
四 解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
15.在数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
16.已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求的单调区间和极值.
17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，把按照下图排列规律的数，称为五边形数，记五边形数构成的数列为，数列的前项和为，满足.

(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．已知函数 .
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值.
19.对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.
(1)判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
(2)已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；
(3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
宜春一中2024—2025学年第二学期高二年级期中考试
数学试卷
1．D 2．C 3.C 4．A 5.B 6.B. 7.C 8．B
9.AB 10.ABC
【详解】对于A，由，得，∴，故A正确；
对于B，，
当时，，当时，，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；
对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．
ACD
12．45 13． 14.3
【详解】由可知：
当为偶数时，，当为奇数时，，
所以，
即
，由此解得.
15.【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以...................................................................................................6'
因为，所以................................13'
16.【答案】(1)；
(2)递增区间为，递减区间为，极大值，极小值.
【详解】（1）函数，求导得，
则，解得，于是，，
所以所求切线方程为：，即............................6'
（2）由（1）知，函数，定义域为，求导得，
当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减........................................................10'
当时，取得极大值，当时，取得极小值，
所以函数的递增区间为，递减区间为，
极大值，极小值..................................................................................15'
17.【答案】(1)， (2)
【详解】（1）由题意可知，当时，
累加得
当时，满足上式. ........................................................................................................4'
.当时，，且，
两式相减得，，即
数列是首项为1，公比为的等比数列，.............................................................7'
（2）
②
①-②得
，
...........................................15'
18．【答案】(1)见解析 (2)
【详解】
.........................................8'
（2）当时，不等式可化为，
变形为
同构函数，求导得，
所以在上是增函数，而原不等式可化为，
根据单调性可得：，
再构造，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，即满足不等式成立的b≥,所以的最小值为；.............................17'
19.【答案】(1)数列为周期数列，周期为2，(2)，(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）因为，，
所以数列是周期数列，其最小正周期为2..............................................................................4'
（2）因为无穷数列是周期为的周期数列，且，，
所以当为偶数时，；
当为奇数时，，
因为对一切正整数恒成立，
所以当为偶数时，，故只需即可；
当为奇数时，恒成立，故只需即可；
综上，对一切正整数恒成立，常数的取值范围为.......................................................9'
（3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以数列是周期为的周期数列，
因为，
即，因为，
所以，，
所以数列的周期为，
所以，即，显然方程无解，
所以不存在非零常数，使得是周期数列.......................17'宜春一中2024—2025学年第二学期高二年级期中考试
数学参考答案
1．D 2．C 3.C 4．A 5.B 6.B. 7.C 8．B
9.AB 10.ABC
【详解】对于A，由，得，∴，故A正确；
对于B，，
当时，，当时，，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；
对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．
ACD
12．45 13． 14.3
【详解】由可知：
当为偶数时，，当为奇数时，，
所以，
即
，由此解得.
15.【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以...................................................................................................6'
因为，所以................................13'
16.【答案】(1)；
(2)递增区间为，递减区间为，极大值，极小值.
【详解】（1）函数，求导得，
则，解得，于是，，
所以所求切线方程为：，即............................6'
（2）由（1）知，函数，定义域为，求导得，
当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减........................................................10'
当时，取得极大值，当时，取得极小值，
所以函数的递增区间为，递减区间为，
极大值，极小值..................................................................................15'
17.【答案】(1)， (2)
【详解】（1）由题意可知，当时，
累加得
当时，满足上式. ........................................................................................................4'
.当时，，且，
两式相减得，，即
数列是首项为1，公比为的等比数列，.............................................................7'
（2）
②
①-②得
，
...........................................15'
18．【答案】(1)见解析 (2)
【详解】
.........................................8'
（2）当时，不等式可化为，
变形为
同构函数，求导得，
所以在上是增函数，而原不等式可化为，
根据单调性可得：，
再构造，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，即满足不等式成立的b≥,所以的最小值为；.............................17'
19.【答案】(1)数列为周期数列，周期为2，(2)，(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）因为，，
所以数列是周期数列，其最小正周期为2..............................................................................4'
（2）因为无穷数列是周期为的周期数列，且，，
所以当为偶数时，；
当为奇数时，，
因为对一切正整数恒成立，
所以当为偶数时，，故只需即可；
当为奇数时，恒成立，故只需即可；
综上，对一切正整数恒成立，常数的取值范围为.......................................................9'
（3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以数列是周期为的周期数列，
因为，
即，因为，
所以，，
所以数列的周期为，
所以，即，显然方程无解，
所以不存在非零常数，使得是周期数列.......................17'

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