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第二十五章 综合检测卷
考查内容：概率初步（时间：90 min/满分：120 分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3 分）
1.小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是( )
A.随机事件 B.不可能事件 C.必然事件 D.确定性事件
2.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发
生的规律，二十四个节气分别为春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、
小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立
冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏
季的概率为( )
A. 1 B. 1 C.1 D.1
24 12 6 4
3.小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4 ,下列说法正确的是
( )
A.小星定点投篮 1 次，不一定能投中 B.小星定点投篮 1 次，一定可以投中
C.小星定点投篮 10 次，一定投中 4 次 D.小星定点投篮 4 次，一定投中 1 次
4.豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的
三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，
放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为( )
A.1 B.1 C.1 D.1
9 6 5 3
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5.为验证“掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有数字 1 到 6），标有数字 1 的面朝
1
上的概率是 ”,某同学做了下面两个模拟试验：①取一枚崭新的质地均匀的骰子（骰子的六个
6
面上分别标有数字 1 到 6），在平滑的地面上做反复投掷试验，计算标有数字 1 的面朝上次数
与总投掷次数的比值；②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字 1，2，3，
4，5，6，转动转盘，计算指针落在标有数字 1 区域的次数与总次数的比值（指针落在分界线
不计）.你认为下面说法正确的是( )
A.试验①科学 B.试验②科学
C.两个试验都不科学 D.两个试验都科学
6.一个盒子内装有除颜色外无其他差别的 4 个球，分别为 1 个红球、1 个绿球、2 个白球，小
明随机摸出 1 个球不放回，再随机摸出 1 个球，则两次都摸到白球的概率是( )
A. 1 B.1 C.1 D.1
12 6 4 2
7.在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3 中的两个，能让红灯发光的概率是( )
A.1 B.2 C.3 D.1
3 3 4 2
8.如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则
飞镖落在阴影区域的概率为( )
A.3 B.2 C.1 D.√2
4 3 2 2
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9.以下四个不透明的盒子里分别装了一些球，这些球除颜色外完全相同.四名同学在其中的某一
个盒子里玩摸球游戏，每人摸 20 次，每次摸 1 个球，摸完后放回，再摸下一次，下表是他们
摸出红球、白球的次数情况.根据表中的数据进行推测，他们从哪个盒子里摸球的可能性最大(
)
小红 小明 小华 小丽
红球（次） 3 10 7 5
白球（次） 17 10 13 15
A. B. C. D.
10.如图，公园里的方桌旁有 4 个圆凳，甲、乙、丙、丁 4 人随机坐到这 4 个圆凳上（每人坐
一个圆凳），则甲坐在乙对面的概率为( )
A.1 B.1 C.1 D.2
4 2 3 3
二、填空题（共 6小题，每小题 5分）
11.“水中捞月”属于________事件.（填“必然”“不可能”或“不确定”）
12.小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这 5 位著名数学家的生平简介，知晓他们
取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中
一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是__.
13.为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数 35 134 271 451 631 899 1350
m
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
n
估计这种幼苗移植成活的概率是____（结果精确到0.1 ）.
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14.一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同.随机从中摸一个球，恰好摸到绿
3
球的概率是 ，则袋子中至少有___个绿球.
5
15.小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分
别一致.完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都
不匹配的概率是__.
16.如图，有四张大小、材质完全相同的卡片，卡片上书写文字若干.现将它们置于暗箱，摇匀
后随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的文字恰能正确判定四边形为正方形的概率为__.
三、解答题（共 5小题）
17.（8 分）“年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿!”6 月 18 日上午，某商家举行有
奖销售活动，抽奖活动设置翻奖牌，翻奖牌的正面、反面如图（1）.若只能在 9 个数字中选择
一个数字翻牌，请解决下面的问题：
（1）抽到以下奖品的可能性最小的是___；（填字母）
A.平板 B.手机 C.球拍 D.水壶
（2）请你设计图（2）中翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”“球拍”“水壶”，使得抽到“水
壶”的可能性> 抽到“球拍”的可能性> 抽到“手机”的可能性.
图（1） 图（2）
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18.（10 分）如图，现有一个质地均匀的转盘被平均分成 6 份，分别标有 2、3、4、5、6、7
这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针落在分界线不
计）.
（1）转动转盘，转出的数字大于 4 的概率是多少？
（2）小明手中现有两张分别写有数字 3 和 4 的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的
数字，与小明手中两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度.
①这三条线段能构成直角三角形的概率是多少？
②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？
19.（12 分）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将 5 种生活现象分别制成表面看
上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个不透明的口袋中（如图）.甲口袋中装有 A、B 两
张卡片，乙口袋中装有 C、D、E三张卡片.注：没有生成新物质的变化叫做物理变化(A、C) ；
生成新物质的变化叫做化学变化(B、D、E) .
（1）若从乙口袋中随机抽取 1 张卡片，抽到化学变化的概率是 _________________________
（2）从两个口袋中分别随机抽出 1 张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均
是物理变化的概率.
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20.（14 分）小明正在参加数学竞赛，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，其中第一
道题有 3 个选项，第二道题有 4 个选项，而这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”
没有使用（使用“求助”可让主持人去掉其中一道题的一个错误选项）.
（1）如果小明第一道题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概率是
多少？
（2）如果小明将“求助”留在第二道题使用，请用画树状图法或列表法求小明顺利过关的概率.
（3）请你从概率的角度分析，建议小明在第几道题使用“求助”，才能使他顺利过关的概率较
大.
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21.（16 分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了某市 50 名教
师某日“微信运动”中的步数情况并进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
步数 （步） 频数 频率
0≤ <4 000 8
4 000≤ <8 000 15 0.3
8 000≤ <12 000 12
12 000≤ <16 000 0.2
16 000≤ <20 000 3 0.06
20 000≤ <24 000 0.04
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出 ， ， ， 的值并补全频数分布直方图.
（2）该市约有 37 800 名教师（假设所有教师都开启了“微信运动”），用调查的样本数据估计
该日“微信运动”中的步数不少于 12 000 步的教师有多少名.
（3）若在 50 名被调查的教师中，选取该日“微信运动”中的步数不少于 16 000 步的两名教师
与大家分享心得，求被选取的两名教师的步数恰好都在 20 000 步或 20 000 步以上的概率.
66/66第二十五章 综合检测卷
考查内容：概率初步（时间：90 min/满分：120 分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3 分）
1.小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是( )
A.随机事件 B.不可能事件 C.必然事件 D.确定性事件
【解析】小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是随
机事件.故选 A.
2.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发
生的规律，二十四个节气分别为春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、
小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立
冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏
季的概率为( )
A. 1 B. 1 C.1 D.1
24 12 6 4
6 1
【解析】从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为 = ，故选 D.
24 4
3.小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4 ,下列说法正确的是
( )
A.小星定点投篮 1 次，不一定能投中 B.小星定点投篮 1 次，一定可以投中
C.小星定点投篮 10 次，一定投中 4 次 D.小星定点投篮 4 次，一定投中 1 次
【解析】小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4 ，
则由概率的定义可知，小星定点投篮 1 次，不一定能投中，故 A 正确，B 错误；
小星定点投篮 10 次，不一定投中 4 次，故 C 错误；
小星定点投篮 4 次，不一定投中 1 次，故 D 错误.
故选 A.
4.豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的
三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，
放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为( )
105/115
A.1 B.1 C.1 D.1
9 6 5 3
【解析】把 3 张卡片分别记为 A、B、C，画树状图如下：
由图可知，共有 9 种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有 3 种，
3 1
∴ 两次抽取的卡片正面相同的概率为 = .故选 D.
9 3
5.为验证“掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有数字 1 到 6），标有数字 1 的面朝
1
上的概率是 ”,某同学做了下面两个模拟试验：①取一枚崭新的质地均匀的骰子（骰子的六个
6
面上分别标有数字 1 到 6），在平滑的地面上做反复投掷试验，计算标有数字 1 的面朝上次数
与总投掷次数的比值；②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字 1，2，3，
4，5，6，转动转盘，计算指针落在标有数字 1 区域的次数与总次数的比值（指针落在分界线
不计）.你认为下面说法正确的是( )
A.试验①科学 B.试验②科学
C.两个试验都不科学 D.两个试验都科学
【解析】①取一枚崭新的质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有数字 1 到 6），
1
在平滑的地面上做反复投掷试验，标有数字 1 的面朝上的概率是 ；
6
②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字 1，2，3，4，5，6，转动转盘，
1
指针落在标有数字 1 区域的概率是 ，两个试验都科学.故选 D.
6
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6.一个盒子内装有除颜色外无其他差别的 4 个球，分别为 1 个红球、1 个绿球、2 个白球，小
明随机摸出 1 个球不放回，再随机摸出 1 个球，则两次都摸到白球的概率是( )
A. 1 B.1 C.1 D.1
12 6 4 2
【解析】画树状图如下：
由图可知，共有 12 种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果有 2 种，∴ 两次都摸到白球
2 1
的概率是 = .故选 B.
12 6
7.在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3 中的两个，能让红灯发光的概率是( )
A.1 B.2 C.3 D.1
3 3 4 2
【解析】画树状图如图，
2 1
则共有 6 种等可能的结果，其中能让红灯发光的结果有 2 种，∴ 能让红灯发光的概率为 = .
6 3
故选 A.
8.如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则
飞镖落在阴影区域的概率为( )
107/115
A.3 B.2 C.1 D.√2
4 3 2 2
【解析】设 = 2 ，则圆的直径为2 ，小正方形的边长为√2 ，∴ 飞镖落在阴影区域的概
(√2 )2 1
率为 = .故选 C.
(2 )2 2
9.以下四个不透明的盒子里分别装了一些球，这些球除颜色外完全相同.四名同学在其中的某一
个盒子里玩摸球游戏，每人摸 20 次，每次摸 1 个球，摸完后放回，再摸下一次，下表是他们
摸出红球、白球的次数情况.根据表中的数据进行推测，他们从哪个盒子里摸球的可能性最大(
)
小红 小明 小华 小丽
红球（次） 3 10 7 5
白球（次） 17 10 13 15
A. B. C. D.
【解析】由题意知白球的数量可能大于红球的数量，∴ 他们在 B 盒摸球的可能性最大.故选 B.
10.如图，公园里的方桌旁有 4 个圆凳，甲、乙、丙、丁 4 人随机坐到这 4 个圆凳上（每人坐
一个圆凳），则甲坐在乙对面的概率为( )
108/115
A.1 B.1 C.1 D.2
4 2 3 3
【解析】如图（1），把四个圆凳分别记为①②③④，设甲坐在④上，画树状图如图（2），
2 1
则共有 6 种等可能的结果，其中甲坐在乙对面的结果有 2 种，∴ 甲坐在乙对面的概率为 =
6 3
，故选 C.
二、填空题（共 6小题，每小题 5分）
11.“水中捞月”属于________事件.（填“必然”“不可能”或“不确定”）
【解析】“水中捞月”一定不会发生，属于不可能事件.
12.小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这 5 位著名数学家的生平简介，知晓他们
取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中
一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是__.
【解析】因为共有 5 位数学家，赵爽是其中一位，所以随机选取其中一位，选到数学家赵爽的
1 1
概率是 ，故答案为 .
5 5
13.为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数 35 134 271 451 631 899 1350
109/115
m
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
n
估计这种幼苗移植成活的概率是____（结果精确到0.1 ）.
【解析】根据题表中数据，这种幼苗移植成活的频率逐渐稳定在 0.9 左右，∴ 估计这种幼苗
移植成活的概率是 0.9.故答案为 0.9.
14.一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同.随机从中摸一个球，恰好摸到绿
3
球的概率是 ，则袋子中至少有___个绿球.
5
3
【解析】由于绿球的数量一定是正整数,且恰好摸到绿球的概率是 ，∴ 袋子中至少有 3 个绿
5
球，故答案为 3.
15.小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分
别一致.完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都
不匹配的概率是__.
【解析】由题意可得共有 6 种等可能的结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，
红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝.其中每个笔帽和笔
2 1
芯的颜色都不匹配的结果有 2 种，∴ 每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 = ，故答案
6 3
1
为 .
3
16.如图，有四张大小、材质完全相同的卡片，卡片上书写文字若干.现将它们置于暗箱，摇匀
后随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的文字恰能正确判定四边形为正方形的概率为__.
【解析】四张卡片分别用 A、B、C、D 表示，根据题意列表如下：
A B C D
A (B,A) (C,A) (D,A)
B (A,B) (C,B) (D,B)
C (A,C) (B,C) (D,C)
D (A,D) (B,D) (C,D)
共有 12 种等可能的情况，其中抽到的两张卡片上的文字恰能正确判定四边形为正方形的情况
4 1 1
有 4 种，则抽到的两张卡片上的文字恰能正确判定四边形为正方形的概率为 = .故答案为 .
12 3 3
110/115
三、解答题（共 5小题）
17.（8 分）“年中狂欢购，回馈不停歇，惊喜连连，等你来拿!”6 月 18 日上午，某商家举行有
奖销售活动，抽奖活动设置翻奖牌，翻奖牌的正面、反面如图（1）.若只能在 9 个数字中选择
一个数字翻牌，请解决下面的问题：
（1）抽到以下奖品的可能性最小的是___；（填字母）
A.平板 B.手机 C.球拍 D.水壶
2 2 1
【解析】∵ （抽到“水壶”）= ， （抽到“球拍”）= ， （抽到“手机”）= ， （抽到“平
9 9 9
2 1 2
板”）= ， < ，∴ 抽到的奖品的可能性最小的是“手机”.故答案为 B.…………（3 分）
9 9 9
（2）请你设计图（2）中翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”“球拍”“水壶”，使得抽到“水
壶”的可能性> 抽到“球拍”的可能性> 抽到“手机”的可能性.
图（1） 图（2）
【解】如图所示.（答案不唯一）…………（8 分）
18.（10 分）如图，现有一个质地均匀的转盘被平均分成 6 份，分别标有 2、3、4、5、6、7
这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针落在分界线不
计）.
（1）转动转盘，转出的数字大于 4 的概率是多少？
111/115
【解】∵ 转盘被平均分成 6 份，∴ 共有 6 种等可能的结果，且大于 4 的结果有 3 种，（2 分）
3 1
∴ 转出的数字大于 4 的概率是 = .（3 分）
6 2
（2）小明手中现有两张分别写有数字 3 和 4 的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的
数字，与小明手中两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度.
①这三条线段能构成直角三角形的概率是多少？
【解】∵ 转盘被平均分成 6 份，∴ 共有 6 种等可能的结果，其中只有转出的数字为 5 时，这
三条线段能构成直角三角形，即符合要求的结果有 1 种，…………（5 分）
1
∴ 这三条线段能构成直角三角形的概率是 .…………（6 分）
6
②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？
【解】∵ 转盘被平均分成 6 份，∴ 共有 6 种等可能的结果，其中转出的数字为 3 或 4 时，这
三条线段能构成等腰三角形，即符合要求的结果有 2 种，…………（8 分）
2 1
∴ 这三条线段能构成等腰三角形的概率是 = .…………（10 分）
6 3
19.（12 分）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将 5 种生活现象分别制成表面看
上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个不透明的口袋中（如图）.甲口袋中装有 A、B 两
张卡片，乙口袋中装有 C、D、E三张卡片.注：没有生成新物质的变化叫做物理变化(A、C) ；
生成新物质的变化叫做化学变化(B、D、E) .
（1）若从乙口袋中随机抽取 1 张卡片，抽到化学变化的概率是 _________________________
_________________________________________________________________________________
__________________________________ ；
【解】由题意知，共有 3 种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有 2 种，∴ 从乙口袋中
2 2
随机抽取 1 张卡片，抽到化学变化的概率是 .故答案为 .…………（5 分）
3 3
112/115
（2）从两个口袋中分别随机抽出 1 张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均
是物理变化的概率.
【解】列表如下.…………（8 分）
C D E
A (A,C) (A,D) (A,E)
B (B,C) (B,D) (B,E)
共有 6 种等可能的结果，其中抽出的两张卡片均是物理变化的结果有( , ) ，共 1 种，∴ 抽出
1
的两张卡片均是物理变化的概率为 .…………（12 分）
6
20.（14 分）小明正在参加数学竞赛，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，其中第一
道题有 3 个选项，第二道题有 4 个选项，而这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”
没有使用（使用“求助”可让主持人去掉其中一道题的一个错误选项）.
（1）如果小明第一道题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概率是
多少？
【解】∵ 第一道单选题有 3 个选项，∴ 如果小明第一道题不使用“求助”，那么小明答对第一
1
道题的概率是 . …………（4 分）
3
（2）如果小明将“求助”留在第二道题使用，请用画树状图法或列表法求小明顺利过关的概率.
【解】分别用 ， ， 表示第一道题的 3 个选项， ， ， 表示使用“求助”后第二道题剩下的
3 个选项，画树状图如下.…………（7 分）
由图可知共有 9 种等可能的结果，其中小明顺利过关的结果只有 1 种，
1
∴ 小明顺利过关的概率为 . …………（10 分）
9
（3）请你从概率的角度分析，建议小明在第几道题使用“求助”，才能使他顺利过关的概率较
大.
1
【解】如果小明在第一道题使用“求助”，那么他顺利过关的概率为 ；
8
如果小明在第二道题使用“求助”，
113/115
1 1 1
那么他顺利过关的概率为 .∵ > ，
9 8 9
∴ 建议小明在第一道题使用“求助”. …………（14 分）
21.（16 分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了某市 50 名教
师某日“微信运动”中的步数情况并进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
步数 （步） 频数 频率
0≤ <4 000 8
4 000≤ <8 000 15 0.3
8 000≤ <12 000 12
12 000≤ <16 000 0.2
16 000≤ <20 000 3 0.06
20 000≤ <24 000 0.04
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出 ， ， ， 的值并补全频数分布直方图.
【解】a = 8 ÷ 50 = 0.16，b = 12 ÷ 50 = 0.24，c = 50 × 0.2 = 10 ，
d = 50 × 0.04 = 2 .…………（4 分）
补全频数分布直方图如下：…………（7 分）
（2）该市约有 37 800 名教师（假设所有教师都开启了“微信运动”），用调查的样本数据估计
该日“微信运动”中的步数不少于 12 000 步的教师有多少名.
【解】37 800 × (0.2 + 0.06 + 0.04) = 11 340 （名）.
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答：估计该日“微信运动”中的步数不少于 12 000 步的教师有 11 340 名.…………（10 分）
（3）若在 50 名被调查的教师中，选取该日“微信运动”中的步数不少于 16 000 步的两名教师
与大家分享心得，求被选取的两名教师的步数恰好都在 20 000 步或 20 000 步以上的概率.
【解】设步数在16 000 ≤ < 20 000 的 3 名教师分别为 A、B、C，
步数在20 000 ≤ < 24 000的 2 名教师分别为X、Y ，画树状图如下.……（14 分）
由树状图可知，共有 20 种等可能的结果，
其中被选取的两名教师的步数恰好都在 20 000 步或 20 000 步以上的结果有 2 种，
2 1
∴ 被选取的两名教师的步数恰好都在 20 000 步或 20 000 步以上的概率为 = .……（16
20 10
分）
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