资源简介

第二十二章 基础检测卷
考查内容：二次函数（时间：90 min，满分：120分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3 分）
1.下列各式中， 是 的二次函数的是( )
A. 1 1 = B. = 2 + + 1
2
C. = 2 2 1 D. = √ 2 1
2.二次函数 = 2 + 1( ≠ 0) 的图象经过点(1,1)，则代数式 + 2 的值为( )
A. 3 B.0 C.2 D.5
3.如图，抛物线对称轴为直线 = 1 ，与 轴的一个交点为 ( 1,0) ，则另一个交点的坐标是(
)
A.(3,0) B.( 3,0) C.(1,0) D.(2,0)
4.以下是四位同学以接力的方式将二次函数 = 2 2 + 4 3 化为顶点式的过程，每位同学
只负责其中的一步，其中出错的步骤有( )
解： = 2 2 + 4 3 = 2( 2 + 2 ) 3①
= 2( 2 + 2 + 1 1) 3②
= 2( + 1)2 1 3③
= 2( + 1)2 4④ .
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
22/66
5.如图，点 (2.18, 0.51) ， (2.68,0.54)在二次函数 = 2 + + ( ≠ 0) 的图象上，则
方程 2 + + = 0 的一个解的近似值可能是( )
A.2.18 B.2.68 C. 0.51 D.2.45
6.将抛物线 = 2 + ( + 1) + ( > 1) 向上平移 2 个单位，所得抛物线顶点一定在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.已知二次函数 = 2 + + 的图象如图所示，给出以下结论：① + + < 0；② 2
4 > 0 ；③ > 0 ，其中正确结论的个数是( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个
8.某茶杯的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计），
点 、点 位于杯口处，且 = 10 cm ，点 是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最
大深度（点 到 的距离）为4 cm，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为2 cm（点
到 的距离），则 的长度为( )
23/66
A.5√2 cm B.2√5 cm C.√5 cm D.5√2 cm
2
5
9.已知函数 = 2 + 1在 ≤ ≤ 1 上的最大值是 1，最小值是 ，则 的取值范围是(
4
)
A. ≥ 2 B. 10 ≤ ≤
2
C. 1 2 ≤ ≤ D.
1
≤
2 2
10.如图，已知抛物线 的解析式为 = 2 4 ，将点 (0, )向右平移 5 个单位长度得到点 ，
若线段 与 只有一个公共点，那么 的取值范围是( )
A. = 4 B. = 4或0 < < 5
C.0 ≤ < 5 D. = 4或0 < ≤ 5
二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
11.请写出一个图象开口向下，且经过点(0,1) 的二次函数的解析式:_______________________
____.
12.如图所示，四个函数图象对应的解析式分别是① = 2，② = 2，③ = 2，④ =
2，则 ， ， ， 的大小关系是______________.（用“> ”连接）
24/66
13.如图，已知抛物线经过( 2, 3)和(3, 3) 两点，如果点(1, 1)与(2, 2)在此抛物线上，那么
1___ 2.（填“> “”< ”或“= ”）
14.若抛物线 = 2 + （ 是常数）与 轴没有交点，则 的取值范围是______.
3
15.一种礼炮的升空高度 (m)与飞行时间 (s) 的关系式是 = 2 + 12 21 .若这种礼炮在
4
升空后到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为___s .
16.新定义：我们把抛物线 = 2 + + （其中 ≠ 0）与抛物线 = 2 + + 称为“关
联抛物线”.例如：抛物线 = 2 + 2 + 3的“关联抛物线”为抛物线 = 2 2 + + 3 .已知抛物
线 1： = 6
2 + + 9 4( > 0)的“关联抛物线”为 2，抛物线 2的顶点为 ，且抛物线
2与 轴相交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，若四边形 是正方形，那么抛物
线 1 的解析式为________________.
三、解答题（共 6小题）
17.（8 分）在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 + 经过点 (1,3)和点 (3,0) .
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
（2）求出这条抛物线的对称轴和顶点坐标.
25/66
18.（10 分）如图，抛物线 = 2 + 2 + 3与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， .
（1）求点 、点 、点 的坐标；
（2）若抛物线顶点为 ，求△ 的面积.
19.（10 分）某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，如图，在一个边长为30 cm 的正
方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒.
（1）若无盖纸盒的底面积为484 cm2 ，则剪掉的小正方形的边长为多少？
（2）无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边
长；如果没有，说明理由.
26/66
20.（12 分）如图，抛物线 = 2 + 与直线 = + 相交于点 ( 2,0)和点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点 的坐标，并结合图象写出不等式 2 + < + 的解集；
（3）若关于 的方程 2 + = 在 2 ≤ ≤ 1 的范围内只有一个实数根或有两个相等的实
数根，求出 的取值范围.
21.（12 分）某旅游点的一家商铺销售一批成本为每件 50 元的商品，规定销售单价不低于成本
价，又不高于 70 元/件，销售量 （件）与销售单价 （元/件）的关系可以近似看作一次函
数（如图）.
（1）请直接写出 关于 的函数解析式：_________________（不必写出 的取值范围）.
（2）设该商铺销售这批商品获得的总利润为 元，当销售单价为多少时，获得的总利润最大？
最大总利润是多少？
（3）若该商铺要保证销售这批商品的利润不低于 4 000 元，则 的取值范围是____________.
27/66
1
22.（14 分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知直线 = 2与 轴交于点 ，与
2
轴交于点 ，过 ， 两点的抛物线 = 2 + + ( ≠ 0)与 轴的另一个交点为点 ( 1,0) ，
点 是抛物线上位于第四象限内的动点，过点 分别作 轴和 轴的平行线，分别交直线 于
点 ， .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是 轴上的任意一点，若△ 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点 的坐标；
（3）当 = 时，求点 的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点 是 轴上的一个动点，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，
连接 ， ，则 + 的最小值为_____.
28/66第二十二章基础检测卷
考查内容：二次函数（时间：90 min，满分：120分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3分）
1.下列各式中， 是 的二次函数的是( )
A. 1 = B.
1
= 2 + + 1
2
C. = 2 2 1 D. = √ 2 1
【解析】C
2.二次函数 = 2 + 1( ≠ 0) 的图象经过点(1,1)，则代数式 + 2 的值为( )
A. 3 B.0 C.2 D.5
【解析】∵ 二次函数 = 2 + 1( ≠ 0)的图象经过点(1,1) ，
∴ + 1 = 1，∴ + 2 = 0 ，故选 B.
3.如图，抛物线对称轴为直线 = 1 ，与 轴的一个交点为 ( 1,0) ，则另一个交点的坐标是(
)
A.(3,0) B.( 3,0) C.(1,0) D.(2,0)
【解析】由抛物线的对称性可得与 轴另一个交点的坐标为(3,0) ，故选 A.
4.以下是四位同学以接力的方式将二次函数 = 2 2 + 4 3 化为顶点式的过程，每位同学
只负责其中的一步，其中出错的步骤有( )
解： = 2 2 + 4 3 = 2( 2 + 2 ) 3①
= 2( 2 + 2 + 1 1) 3②
= 2( + 1)2 1 3③
= 2( + 1)2 4④ .
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
35/115
【解析】 = 2 2 + 4 3 = 2( 2 2 ) 3 ，
2( 2 + 2 + 1 1) 3 = 2( + 1)2 + 2 3 ,
故①③错误.故选 B.
5.如图，点 (2.18, 0.51) ， (2.68,0.54)在二次函数 = 2 + + ( ≠ 0) 的图象上，则
方程 2 + + = 0 的一个解的近似值可能是( )
A.2.18 B.2.68 C. 0.51 D.2.45
【解析】由图象得 2 + + = 0 的一个解介于 2.18 和 2.68 之间，故选 D.
6.将抛物线 = 2 + ( + 1) + ( > 1) 向上平移 2 个单位，所得抛物线顶点一定在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】将抛物线 = 2 + ( + 1) + ( > 1)
+1 1
向上平移 2 个单位可得抛物线 = 2 + ( + 1) + + 2 = ( )2 + ( + 3)2，
2 4
+1 1 +1 1
∴ 所得抛物线顶点坐标为( ， ( + 3)2).∵ > 1，∴ > 0， ( + 3)2 > 0，
2 4 2 4
∴ 所得抛物线顶点一定在第一象限，故选 A.
7.已知二次函数 = 2 + + 的图象如图所示，给出以下结论：① + + < 0；② 2
4 > 0 ；③ > 0 ，其中正确结论的个数是( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个
36/115
【解析】由图象可知，当 = 1时， = + + < 0，故①正确；
抛物线与 轴有两个交点，则 2 4 > 0，故②正确；

抛物线开口向下，则 < 0，对称轴在 轴的左侧，则 < 0，所以 < 0 ，故③错误.
2
故选 B.
8.某茶杯的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计），
点 、点 位于杯口处，且 = 10 cm ，点 是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最
大深度（点 到 的距离）为4 cm，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为2 cm（点
到 的距离），则 的长度为( )
A.5√2 cm B.2√5 cm C.√5 cm D.5√2 cm
2
【解析】以点 为原点，水平、竖直方向线为 轴、 轴建立平面直角坐标系，
4
设抛物线的解析式为 = 2( ≠ 0).将 (5,4)代入，得4 = 25 ，解得 = ，
25
4 4 4 5√2
∴ = 2.将 = 2代入 = 2，得2 = 2，解得 = ± ，
25 25 25 2
5√2 5√2
∴ ( ，2) ， ( ，2)，∴ = 5√2 cm .故选 A.
2 2
5
9.已知函数 = 2 + 1在 ≤ ≤ 1 上的最大值是 1，最小值是 ，则 的取值范围是(
4
)
A. ≥ 2 B. 10 ≤ ≤
2
C. 1 2 ≤ ≤ D.
1
≤
2 2
1
【解析】∵ 函数 = 2 + 1的图象的对称轴为直线 = ，
2
1 1 1 5
∴ 当 = 时， 有最小值，此时 = 1 = .
2 4 2 4
5
∵ 函数 = 2 + 1在 ≤ ≤ 1 上的最小值是 ，
4
1
∴ ≤ .∵ 当 = 1时， 2 + 1 = 1，解得
2 1
= 2， 2 = 1 ,
1
∴ 2 ≤ ≤ .
2
37/115
10.如图，已知抛物线 的解析式为 = 2 4 ，将点 (0, )向右平移 5 个单位长度得到点 ，
若线段 与 只有一个公共点，那么 的取值范围是( )
A. = 4 B. = 4或0 < < 5
C.0 ≤ < 5 D. = 4或0 < ≤ 5
【解析】因为点 坐标为(0, )，且点 由点 向右平移 5 个单位长度得到，
所以点 的坐标为(5, ).当 > 0时，
将 = 5代入抛物线的解析式，得 = 52 4 × 5 = 5 ，
所以线段 与 只有一个公共点时， ≤ 5，故此时 的取值范围是0 < ≤ 5 .
当 ≤ 0时，令 = 0，则 2 4 = 0，解得 = 0或 4，
即抛物线与 轴的交点坐标为(0,0)和(4,0)，则此时只有线段 经过抛物线的顶点时，
线段 与 只有一个公共点.因为抛物线的顶点坐标为(2, 4)，
所以此时 = 4.综上所述， 的取值范围是 = 4或0 < ≤ 5 .故选 D.
二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
11.请写出一个图象开口向下，且经过点(0,1) 的二次函数的解析式:_______________________
____.
【解析】∵ 二次函数的图象开口向下，且经过点(0,1)，
∴ 该二次函数的解析式可以是 = 2 + 1，故答案为 = 2 + 1 （答案不唯一）.
12.如图所示，四个函数图象对应的解析式分别是① = 2，② = 2，③ = 2，④ =
2，则 ， ， ， 的大小关系是______________.（用“> ”连接）
38/115
【解析】根据开口大小可知| | > | |，| | > | |.
又因为 > 0 ， > 0， < 0, < 0，所以 > > > .
13.如图，已知抛物线经过( 2, 3)和(3, 3) 两点，如果点(1, 1)与(2, 2)在此抛物线上，那么
1___ 2.（填“> “”< ”或“= ）”
【解析】∵ 抛物线经过( 2, 3)和(3, 3)两点，
2+3 1
∴ 抛物线的对称轴为直线 = = .
2 2
∵ 抛物线的开口向下，点(1, 1)与(2, 2)在此抛物线上，∴ 1 > 2 .故答案为> .
14.若抛物线 = 2 + （ 是常数）与 轴没有交点，则 的取值范围是______.
【解析】∵ 抛物线 = 2 + 与 轴没有交点，∴ 2 + = 0 没有实数根，
1 1
∴ Δ = ( 1)2 4 × 1 × = 1 4 < 0，∴ > .故答案为 > .
4 4
3
15.一种礼炮的升空高度 (m)与飞行时间 (s) 的关系式是 = 2 + 12 21 .若这种礼炮在
4
升空后到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为___s .
3 3 3
【解析】 = 2 + 12 21 = ( 8)2 + 27. ∵ < 0，
4 4 4
∴ 这个二次函数图象开口向下,∴ 当 = 8 时，达到最高点.故答案为 8.
16.新定义：我们把抛物线 = 2 + + （其中 ≠ 0）与抛物线 = 2 + + 称为“关
39/115
联抛物线”.例如：抛物线 = 2 + 2 + 3的“关联抛物线”为抛物线 = 2 2 + + 3 .已知抛物
线 1： = 6
2 + + 9 4( > 0)的“关联抛物线”为 2，抛物线 2的顶点为 ，且抛物线
2与 轴相交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，若四边形 是正方形，那么抛物
线 1 的解析式为________________.
【解析】∵ 抛物线 1： = 6
2 + + 9 4( > 0)的“关联抛物线”为 2，
6
∴ 2 的解析式为 =
2 + 6 + 9 4( > 0)，∴ 对称轴为直线 = = 3，
2
∴ 顶点 的坐标为( 3, 4). ∵ 点 关于 轴的对称点为 ，∴ 点 坐标为( 3,4)，
∴ 的中点坐标为( 3,0). ∵ 四边形 是正方形，抛物线 2与 轴相交于 ， 两点，
∴ = = 8， 与 互相平分.设点 在点 的右边，
∴ 点 的横坐标为 3 + 4 = 1，
1
∴ 点 的坐标为(1,0)，∴ + 6 + 9 4 = 0，解得 = ，
4
3 1 7
∴ 抛物线 1的解析式为 =
2 + .
2 4 4
三、解答题（共 6小题）
17.（8 分）在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 + 经过点 (1,3)和点 (3,0) .
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
【解】∵ 抛物线 = 2 + 经过点 (1,3)和点 (3,0) ，
+ = 3,
∴ { …………（2 分）
9 + 3 = 0,
3
= ,
解得{ 29 …………（3 分）
= ,
2
3 9
∴ 这条抛物线所对应的二次函数的解析式为 = 2 + .…………（4 分）
2 2
（2）求出这条抛物线的对称轴和顶点坐标.
3 2 9 3 2 3 9 9 3 3 27【解】 = + = ( 3 ) = ( 2 3 + ) = ( )2 + ……（6 分）
2 2 2 2 4 4 2 2 8
3 3 27
∴ 这条抛物线的对称轴为直线 = ，顶点坐标为( , ) .…………（8 分）
2 2 8
18.（10 分）如图，抛物线 = 2 + 2 + 3与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， .
（1）求点 、点 、点 的坐标；
40/115
【解】当 = 0时， = 3，∴ (0,3) .…………（2 分）
当 = 0时，0 = 2 + 2 + 3，解得 = 1或 = 3，
∴ (3,0) ， ( 1,0) .…………（6 分）
（2）若抛物线顶点为 ，求△ 的面积.
【解】∵ = 2 + 2 + 3 = ( 1)2 + 4 ，
∴ (1,4) ，…………（8 分）
1
∴△ 的面积为 × (3 + 1) × 4 = 8 .…………（10 分）
2
19.（10 分）某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，如图，在一个边长为30 cm 的正
方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒.
（1）若无盖纸盒的底面积为484 cm2 ，则剪掉的小正方形的边长为多少？
【解】设剪掉的小正方形的边长为 cm ，
则无盖纸盒的底面的边长为(30 2 )cm ，…………（1 分）
∴ (30 2 )2 = 484 ，…………（3 分）
解得 1 = 4， 2 = 26 .…………（4 分）
∵ 30 2 > 0， > 0，∴ 0 < < 15 ，
∴ = 26 舍去,…………（5 分）
∴ 剪掉的小正方形的边长为4 cm .…………（6 分）
（2）无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边
41/115
长；如果没有，说明理由.
【解】有.…………（7 分）
设剪掉的小正方形的边长为 cm，无盖纸盒的侧面积为 cm2 ，
15
∴ = 4(30 2 ) = 8 2 + 120 = 8( )2 + 450 ，…………（8 分）
2
15
∴ 当 = 时， 有最大值，最大值为 450.
2
15
答：无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为450 cm2 ，此时剪掉的小正方形的边长为 cm .
2
（10 分）
20.（12 分）如图，抛物线 = 2 + 与直线 = + 相交于点 ( 2,0)和点 .
（1）求抛物线的解析式；
【解】将点 ( 2,0)代入 = 2 + 得0 = 4 2 ，解得 = 2，
∴ 抛物线的解析式为 = 2 2 .…………（4 分）
（2）求点 的坐标，并结合图象写出不等式 2 + < + 的解集；
【解】将点 的坐标代入 = + 得0 = 2 + ，解得 = 2，
∴ 直线的解析式为 = 2 .…………（5 分）
= 2, = 1, = 2,
联立{ 解得{ 或{
= 2 2 , = 3 = 0,
∴ 点 的坐标为(1, 3) .…………（7 分）
从图象看，不等式 2 + < + 的解集为 < 2或 > 1 .…………（8 分）
（3）若关于 的方程 2 + = 在 2 ≤ ≤ 1 的范围内只有一个实数根或有两个相等的实
数根，求出 的取值范围.
【解】由题意可知抛物线 = 2 + 与直线 = 在 2 ≤ ≤ 1 的范围内只有一个交点，
抛物线的顶点坐标为( 1,1)，∴ 的取值范围是 3 ≤ < 0 或 = 1 .…………（12 分）
42/115
21.（12 分）某旅游点的一家商铺销售一批成本为每件 50 元的商品，规定销售单价不低于成本
价，又不高于 70 元/件，销售量 （件）与销售单价 （元/件）的关系可以近似看作一次函
数（如图）.
（1）请直接写出 关于 的函数解析式：_________________（不必写出 的取值范围）.
400 = 60 + ,
【解析】设 关于 的函数解析式为 = + ，则{ 解得
300 = 70 + ,
= 10,
{ 故 关于 的函数解析式为 = 10 + 1 000 .故答案为
= 1 000.
= 10 + 1 000 .…………（4 分）
（2）设该商铺销售这批商品获得的总利润为 元，当销售单价为多少时，获得的总利润最大？
最大总利润是多少？
【解】由题意可得
= ( 50)( 10 + 1 000) = 10 2 + 1 500 50 000(50 ≤ ≤ 70) .
…………（6 分）
∵ 函数 = 10 2 + 1 500 50 000 的图象开口向下，对称轴是直线
1 500
= = 75 ，…………（8 分）
20
∴ 当50 ≤ ≤ 70时， 随 的增大而增大，∴ 当 = 70时， 最大 = 6 000 .故当销售
单价为 70 元/件时，获得的总利润最大，最大总利润是 6 000 元.…………（9 分）
（3）若该商铺要保证销售这批商品的利润不低于 4 000 元，则 的取值范围是____________.
【解析】当 = 4 000时，4 000 = 10 2 + 1 500 50 000，解得 1 = 60 ，
2 = 90. ∵ 10 < 0，∴ ≥ 4 000时，60 ≤ ≤ 90.又∵ 50 ≤ ≤ 70 ，
∴ 60 ≤ ≤ 70.故答案为60 ≤ ≤ 70 .…………（12 分）
1
22.（14 分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知直线 = 2与 轴交于点 ，与
2
轴交于点 ，过 ， 两点的抛物线 = 2 + + ( ≠ 0)与 轴的另一个交点为点 ( 1,0) ，
43/115
点 是抛物线上位于第四象限内的动点，过点 分别作 轴和 轴的平行线，分别交直线 于
点 ， .
（1）求抛物线的解析式；
1
【解】直线 = 2与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
2
则点 ， 的坐标分别为(4,0)，(0, 2) ，（1 分）
则抛物线的解析式为 = ( 4)( + 1) = ( 2 3 4) ，
1 1 3
∴ 4 = 2，解得 = ，则抛物线的解析式为 = 2 2 .…………（3 分）
2 2 2
（2）点 是 轴上的任意一点，若△ 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点 的坐标；
【解】(4 + 2√5, 0)或(4 2√5, 0)或( 4,0) .…………（6 分）
设点 ( , 0)，由点 , , 的坐标得 2 = 20， 2 = ( 4)2， 2 = 2 + 4 ，
∴ 20 = ( 4)2或20 = 2 + 4，解得 = 4 + 2√5或4 2√5或 4（舍去）或 4 ，
即点 的坐标为(4 + 2√5, 0)或(4 2√5, 0)或( 4,0) .
（3）当 = 时，求点 的坐标；
1 3 1 3 1
【解】设点 ( , 2 2)，当 2 2 = 2时， = 2 3 ，
2 2 2 2 2
1 3
∴ 点 ( 2 3 , 2 2) .（8 分）
2 2
∵ , , , 共线， = ，∴ = ，即 (
2 3 ) = 4 0 ，
解得 1 = 2 = 2，则点 的坐标为(2, 3) .…………（11 分）
（4）在（3）的条件下，若点 是 轴上的一个动点，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，
44/115
连接 ， ，则 + 的最小值为_____.
1 3
【解析】∵ 抛物线的解析式为 = 2 2 ，
2 2
3 3
∴ 抛物线的对称轴为直线 = .如图,将线段 向右平移 个单位得到 ,
2 2
则四边形 是平行四边形，
3 11
∴ = , = = ,则 ( ,0) .
2 2
3
作 (2, 3)关于直线 = 的对称点 1(1, 3) , 2
连接 1, 1 ,则 = 1 ，
11 3√13
∴ 1 = √(1 )2 + ( 3 0)2 = . 2 2
3√13
∵ + = + 1 ≥ 1 = （当且仅当 , 1, 共线时等号成立）， 2
3√13 3√13
∴ + 的最小值为 .故答案为 .…………（14 分）
2 2
45/115

展开更多......

收起↑