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第二十三章 基础检测卷
考查内容：旋转（时间：90 min 满分：120分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3分）
1.以下生活现象中，属于旋转变换的是( )
A.钟表的指针和钟摆的运动 B.电梯的升降
C.火车沿平直轨道行驶 D.地下水水位线逐年下降
【解析】A 选项，钟表的指针和钟摆的运动属于旋转变换，故本选项正确；B 选项，电梯的升
降属于平移现象，故本选项错误；C 选项，火车沿平直轨道行驶属于平移现象，故本选项错误；
D 选项，地下水水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误.故选 A.
2.“我爱中国”这四个汉字拼音的首字母如图所示，其中属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【解析】C
3.在平面直角坐标系中，点 ( 3,6)与点 (3, 6) 的位置关系为( )
A.关于原点中心对称 B.关于 轴对称
C.关于 轴对称 D.以上都不对
【解析】∵ 点 ( 3,6)与点 (3, 6)的横坐标和纵坐标都互为相反数，
∴ 点 ( 3,6)与点 (3, 6) 关于原点中心对称.故选 A.
4.如图，在11 × 6 的正方形网格纸中，△ 的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中
心，将△ 旋转180 后得到△ ′ ′ ′ ，则旋转中心是( )
A.点 B.点 ′ C.点 D.点
【解析】如图所示，连接 ′， ′，则 ′， ′， ′ 的交点为点 ，∴ 旋转中心是点 .故
选 C.
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5.如图，△ 与△ 关于点 中心对称，则下列结论不一定成立的是( )
A. // B. = C. = D. =
【解析】∵ △ 与△ 关于点 中心对称，∴ // ， = ， = ，但 与
不一定相等.故选 B.
6.如图，在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 4，将△ 绕点 顺时针旋转
得到△ ′ ′，当点 ′落在边 上时，线段 ′ 的长为( )
A.2π B.1 C.√3 D.2
3
【解析】∵ ∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 4，∴ = 2，∠ ′ = 60 . ∵ 将
△ 绕点 顺时针旋转得到△ ′ ′，∴ ′ = = 2，∴ △ ′ 为等边三角形，
∴ ′ = = 2 ，故选 D.
7.如图，由图（1）到图（2）再到图（3）的变化过程中，不可能经过的图形变换是( )
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A.平移 B.旋转 C.中心对称 D.轴对称
【解析】由题中图（1）到图（2）再到图（3）的变化过程中，经过的图形变换可能是旋转、
中心对称、轴对称，不可能是平移.故选 A.
8.如图，点 的坐标是( 4,6)，将线段 绕点 顺时针旋转90 ，点 的对应点的坐标是(
)
A.(4,6) B.(6,4) C.( 6, 4) D.( 4, 6)
【解析】如图，画出线段 绕点 顺时针旋转90 后得到的线段 ′ ,分别过点 和点 ′作 轴
的垂线，垂足分别为 ， . ∵ 点 的坐标为( 4,6)，∴ = 4， = 6. ∵ 将线段 绕点 顺
时针旋转90 得到 ′，∴ = ′，∠ ′ = 90 ，∴ ∠ = 90 ∠ ′ = ∠ ′ ，
∴ △ ≌△ ′ (AAS)，∴ ′ = = 4， = = 6，∴ 点 ′的坐标为(6,4) ，
故选 B.
9.如图，在△ 中， = 6，将△ 绕点 按逆时针方向旋转30 后得到△ ′ ′，连接
′ ，则阴影部分的面积为( )
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A.6 B.6√3 C.9√3 D.9
【解析】∵ 将△ 绕点 按逆时针方向旋转30 后得到△ ′ ′，∴ ∠ ′ = 30 , Δ ′ ′ =
Δ ，
∴ 阴影 = △ ′ + △ ′ ′ △ = △ ′ .如图，过 ′ 作 ′ ⊥ 于 . ∵ ′ = = 6，
∠ ′ = 30 ，
1 1
∴ ′ = ′ = 3，∴ △ ′ = × 6 × 3 = 9 ，故选 D. 2 2
10.如图，边长为8 的等边三角形 中， 是高 所在直线上的一个动点，连接 ，将线
段 绕点 逆时针旋转60 得到 ，连接 ，则在点 运动过程中，线段 长度的最小
值是( )
A.1 B. C.2 D.4
3
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1
【解析】如图 ，取 的中点 ，连接 ，则 = = 4 . ∵ 线
2
段 绕点 逆时针旋转60 得到 ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 60 .又∵ △ 是等边三角形，
∴ ∠ = 60 ，即∠ + ∠ = 60 ，
∴ ∠ = ∠ . ∵ 是等边三角形 的高，∴ = = 4 . 又∵ 绕点
逆时针旋转60 得到 ，∴ = .在△ 和
= ,
△ 中，{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS)，
= ,
∴ = .根据垂线段最短，知当 ⊥ 时， 最短，即 最短.易知
1
∠ = × 60 = 30 ，∴ = = = 2 ,∴ 线段 长度的最小值是2 .故
2 2
选 C.
二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
11.将如图所示的图案绕其中心至少旋转____度后能与原图案完全重合.
【解析】图案可看作由一个基本图案每次旋转90 ，旋转 4 次组成的，故最小旋转
角为90 .故答案为 90.
12.已知点 ( , 1)与点 ( 4, )关于原点对称，则 的值为___.
【解析】∵ 点 ( , 1)与点 ( 4, )关于原点对称，∴ = 4， = 1，则 的值
为4 ( 1) = 5 .故答案为 5.
13.在如图所示的4 × 4 正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一
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个中心对称图形，这样的涂法有___种.
【解析】根据中心对称图形的定义，可得如图的涂法，且只有一种，故答案为 1.
14.如图，四边形 是正方形，点 为边 上
一点，△ 绕点 顺时针旋转90 得到△ ，连接 ，则△ 为__________
三角形.
【解析】∵ △ 绕点 顺时针旋转90 得到△ ，∴ = ，∠ = 90 ，∴ △
为等腰直角三角形.故答案为等腰直角.
15.如图，将矩形 绕点 旋转得到矩形 ，点 在 上，延长 交 于点 .若∠
= 36 ，则∠ 的度数为____.
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【解析】∵ 将矩形 绕点 旋转得到矩形 ，
∴ = ，∠ = ∠ = 36 ，∠ = ∠ = ∠ = 90 .又∵ = ，∴
Rt△ ≌Rt△ (HL) ，∴ ∠ = ∠ .又∵ ∠ + ∠ = ∠ = 36 ，∴ ∠
= 18 ，故答案为18 .
16.如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限， = = 1，∠ = 120 ，将△ 绕
点 旋转，使点 落在 轴上，则此时点 的坐标为_ ___________________.
【解析】∵ = = 1，∠ = 120 ，∴ ∠ = 30 .设点
的对应点为点 ，点 的对应点为点 .如图（1） ，当点 在 轴
正半轴时，过点 作 ⊥ 于 ，由旋转的性质可得
1 1
∠ = ∠ = 30 ， = = 1，∴ = = ，
2 2
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2 2 √3 √3 1∴ = √ = ，∴ ( ， ) .
2 2 2
如图（2） ，
√3 1
当点 在 轴负半轴时，同理可得 ( ， ) .
2 2
√3 1
综上所述，点 落在 轴上时，点 的坐标为( ， ) 或
2 2
√3 1 √3 1 √3 1
( ， )，故答案为( ， )或( ， ) .
2 2 2 2 2 2
三、解答题（共 6小题）
17.（8 分）如图， 是△ 的边 的中点，连接 并延长到点 ，使 = ，连接 .
（1）图中哪两个图形成中心对称？
【解】△ 和△ 成中心对称.…………（3 分）
（2）若△ 的面积为 4，求△ 的面积.
【解】∵ △ 和△ 成中心对称，△ 的面积为 4，∴ △ 的面积也为 4.…（6 分）
∵ 为 的中点，∴ △ 的面积也为 4，
∴ △ 的面积为 8.…………（8 分）
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18.（10 分）如图，△ 三个顶点的坐标分别为 (2,4) ， (1,1)， (4,3) .
（1）请画出△ 关于原点对称的△ 1 1 1，并写出 1 的坐标；
【解】如图，△ 1 1 1 即为所求.…………（3 分）
1的坐标为( 2, 4) .…………（5 分）
（2）请画出△ 绕点 逆时针旋转90 后的△ 2 2 2，并写出 2 的坐标.
【解】如图，△ 2 2 2 即为所求.…………（8 分）
2的坐标为( 2,2) .…………（10 分）
19.（10 分）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部
分.
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（1）如图（1），直线 经过平行四边形 对角线的交点 ，分别交边 ， 于点 ， ，
则 四边形 _____ 四边形 （填“> “”< ”或“= ” ）；
【解】由题意可知 四边形 = 四边形 .故答案为=.…………（2 分）
（2）如图（2），两个正方形如图所示摆放， 为小正方形对角线的交点，求作过点 的直线
将整个图形分成面积相等的两部分；
【解】如图（1）所示.…………（4 分）
（3）八个大小相同的正方形如图（3）所示摆放，求作直线将整个图形分成面积
相等的两部分（用三种方法分割）.
【解】如图（2）所示.…………（10 分）
20.（12 分）如图，将△ 绕点 逆时针旋转得到△ ，点 在边 上，∠ = 75 .
（1）求∠ 的大小；
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【解】由旋转得△ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ = 75 ， = ，…………（2 分）
∴ ∠ = ∠ = 75 ，…………（3 分）
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 30 .…………（5 分）
（2）若∠ = 45 ， 与 交于点 ，试探究线段 与 的数量关系，
并说明理由.
【解】 = .理由：∵ ∠ = 75 ，∠ = 45 ，∴ ∠ = 60 .…………（7 分）
∵ ∠ = ∠ = 75 ，∴ ∠ = 30 ，∴ ∠ = 30 . ∵ ∠ = ∠ = 45 ，
∴ ∠ = ∠ = 30 ，∴ ∠ = ∠ .…………（9 分）
又∵ = ，∴ △ ≌△ ，∴ = .…………（12 分）
21.（12 分）如图，将正方形 中的
△ 绕点 顺时针旋转到△ ′的位置，且 = 2， = 1 .
（1）求 ′ 的长；
【解】∵ 四边形 为正方形，∴ ∠ = 90 . ∵ △ 绕点 顺时针旋转到
△ ′的位置，∴ ∠ ′ = ∠ = 90 ， = ′ = 2 ，（4 分）
∴ △ ′为等腰直角三角形，∴ ′ = √ 2 + ′ 2 = 2√2 .（6 分）
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（2）连接 ，若 = 3，求∠ 的度数.
【解】∵ ′ = = 1，(2√2)2 + 12 = 32，即 2′ + ′ 2 = 2，∴ △ ′ 是直角三角形，
∠ ′ = 90 .…………（9 分）
又∵ △ ′是等腰直角三角形，∴ ∠ ′ = 45 ，∴ ∠ ′ = 45 + 90 = 135 ，（11 分）
∴ ∠ = ∠ ′ = 135 .…………（12 分）
22（. 14 分）如图（1），在Rt△ 与Rt△ 中，∠ = ∠ = 90 ，∠ = 30 ，∠ = 45
，把△ 绕点 顺时针方向旋转 (0 < ≤ 180 )得到△ ′ ′ .
（1）在旋转过程中，当 ′ ⊥ 时，求 的度数.
【解】∵ ∠ = ∠ = 90 ，∠ = 45 ，∴ ∠ = 45 .…………（1 分）
当 ′ ⊥ 时，∠ ′ = 90 ∠ = 45 ，即 = 45 .…………（3 分）
（2）如图（2），在旋转过程中，若边 ′ ′与边 相交于点 ，与边 相交于点 ，连接 ′ ，
设∠ ′ ′ = ，∠ ′ = ，∠ ′ = ，试探究 + + 的度数是否发生变化.若不变，请求
出这个度数；若变化，请说明理由.
【解】 + + 的度数不变.∵ ∠ 是△ ′ 的外角，
∴ ∠ = ∠ ′ + ∠ ′ = + .又∵ ∠ 是△ ′ 的外角，
∠ ′ ′ = 90 30 = 60 ,∴ ∠ = ∠ ′ + ∠ ′ ′ = + 60 .…………（6 分）
在△ 中，∠ + ∠ + ∠ = 180 ，即45 + + 60 + + = 180 ，
∴ + + = 180 45 60 = 75 .…………（8 分）
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（3）在旋转过程中，当 ′ ′与△ 的一边垂直时，求出 的度数.
【解】分类讨论：①当 ′ ′ ⊥ 时，如图（1） ，易知∠1 = 90 60 = 30
，即 = 30 .…………（10 分）
②当 ′ ′ ⊥ 时，如图（2） ，易知∠2 = 90 60 = 30 ，
∴ ∠ ′ = 90 + 30 = 120 ，即 = 120 .…………（12 分）
③当 ′ ′ ⊥ 时，如图（3） ,易知∠3 = 90 30 = 60 ，
∴ ∠4 = 60 ，
∴ ∠5 = 180 60 45 = 75 ，
∴ ∠ ′ = 90 + 75 = 165 ，
即 = 165 .
综上所述， 的度数为30 或120 或165 .…………（14 分）
58/115第二十三章 基础检测卷
考查内容：旋转（时间：90 min 满分：120分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3 分）
1.以下生活现象中，属于旋转变换的是( )
A.钟表的指针和钟摆的运动 B.电梯的升降
C.火车沿平直轨道行驶 D.地下水水位线逐年下降
2.“我爱中国”这四个汉字拼音的首字母如图所示，其中属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，点 ( 3,6)与点 (3, 6) 的位置关系为( )
A.关于原点中心对称 B.关于 轴对称
C.关于 轴对称 D.以上都不对
4.如图，在11 × 6 的正方形网格纸中，△ 的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中
心，将△ 旋转180 后得到△ ′ ′ ′ ，则旋转中心是( )
A.点 B.点 ′ C.点 D.点
5.如图，△ 与△ 关于点 中心对称，则下列结论不一定成立的是( )
A. // B. = C. = D. =
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6.如图，在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 4，将△ 绕点 顺时针旋转
得到△ ′ ′，当点 ′落在边 上时，线段 ′ 的长为( )
A.2π B.1 C.√3 D.2
3
7.如图，由图（1）到图（2）再到图（3）的变化过程中，不可能经过的图形变换是( )
A.平移 B.旋转 C.中心对称 D.轴对称
8.如图，点 的坐标是( 4,6)，将线段 绕点 顺时针旋转90 ，点 的对应点的坐标是(
)
A.(4,6) B.(6,4) C.( 6, 4) D.( 4, 6)
9.如图，在△ 中， = 6，将△ 绕点 按逆时针方向旋转30 后得到△ ′ ′，连接
′ ，则阴影部分的面积为( )
A.6 B.6√3 C.9√3 D.9
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10.如图，边长为8 的等边三角形 中， 是高 所在直线上的一个动点，连接 ，将线
段 绕点 逆时针旋转60 得到 ，连接 ，则在点 运动过程中，线段 长度的最小
值是( )
A.1 B. C.2 D.4
3
二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
11.将如图所示的图案绕其中心至少旋转____度后能与原图案完全重合.
12.已知点 ( , 1)与点 ( 4, )关于原点对称，则 的值为___.
13.在如图所示的4 × 4 正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一
个中心对称图形，这样的涂法有___种.
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14.如图，四边形 是正方形，点 为边 上
一点，△ 绕点 顺时针旋转90 得到△ ，连接 ，则△ 为__________
三角形.
15.如图，将矩形 绕点 旋转得到矩形 ，点 在 上，延长 交 于点 .若∠
= 36 ，则∠ 的度数为____.
16.如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限， = = 1，∠ = 120 ，将△ 绕
点 旋转，使点 落在 轴上，则此时点 的坐标为____________________.
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三、解答题（共 6小题）
17.（8分）如图， 是△ 的边 的中点，连接 并延长到点 ，使 = ，连接 .
（1）图中哪两个图形成中心对称？
（2）若△ 的面积为 4，求△ 的面积.
18.（10分）如图，△ 三个顶点的坐标分别为 (2,4) ， (1,1)， (4,3) .
（1）请画出△ 关于原点对称的△ 1 1 1，并写出 1 的坐标；
（2）请画出△ 绕点 逆时针旋转90 后的△ 2 2 2，并写出 2 的坐标.
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19.（10分）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部
分.
（1）如图（1），直线 经过平行四边形 对角线的交点 ，分别交边 ， 于点 ， ，
则 四边形 _____ 四边形 （填“> “”< ”或“= ” ）；
（2）如图（2），两个正方形如图所示摆放， 为小正方形对角线的交点，求作过点 的直线
将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图（3）所示摆放，求作直线将整个图形分成面积
相等的两部分（用三种方法分割）.
20.（12分）如图，将△ 绕点 逆时针旋转得到△ ，点 在边 上，∠ = 75 .
（1）求∠ 的大小；
（2）若∠ = 45 ， 与 交于点 ，试探究线段 与 的数量关系，
并说明理由.
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21.（12分）如图，将正方形 中的△ 绕点 顺时针旋转到△ ′的位置，且 = 2，
= 1 .
（1）求 ′ 的长；
（2）连接 ，若 = 3，求∠ 的度数.
22（. 14分）如图（1），在Rt△ 与Rt△ 中，∠ = ∠ = 90 ，∠ = 30 ，∠ = 45
，把△ 绕点 顺时针方向旋转 (0 < ≤ 180 )得到△ ′ ′ .
（1）在旋转过程中，当 ′ ⊥ 时，求 的度数.
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（2）如图（2），在旋转过程中，若边 ′ ′与边 相交于点 ，与边 相交于点 ，连接 ′ ，
设∠ ′ ′ = ，∠ ′ = ，∠ ′ = ，试探究 + + 的度数是否发生变化.若不变，请求
出这个度数；若变化，请说明理由.
（3）在旋转过程中，当 ′ ′与△ 的一边垂直时，求出 的度数.
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