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第二十三章 素养检测卷
考查内容：旋转（时间：90 min 满分：120 分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3 分）
1.二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下面四副图
片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【解析】A、B、C 中的图形不是中心对称图形，故 A、B、C 不符合题意；D 中的图形是中心
对称图形，故 D 符合题意.故选 D.
2.如图，在△ 中，∠ = 80 ，∠ = 65 ，将△ 绕点 逆时针旋转得到△ ′ ′.当 ′
落在 上时，∠ ′ 的度数为( )
A.65 B.70 C.80 D.85
【解析】由旋转的性质可得出∠ ′ ′ = ∠ . ∵ ∠ + ∠ + ∠ = 180 ，
∴ ∠ = 180 80 65 = 35 ，
∴ ∠ ′ ′ = ∠ = 35 ，∴ ∠ ′ = ∠ + ∠ ′ ′ = 70 ，故选 B.
3.如果点 ( , )在第三象限，则点 ( + 1,3 5) 关于原点的对称点在( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
【解析】点 ( + 1,3 5)关于原点的对称点是( 1,5 3 ). ∵ 点 ( , ) 在第三象限,即
< 0， < 0,∴ 1 < 0，5 3 > 0，∴ ( 1,5 3 ) 是第二象限的点.故选 C.
4.电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉.如图是一款五叶电风
扇，在其持续运转的过程中，叶片 A 旋转到叶片 B 的位置时，旋转的角度可以是( )
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A.60 B.72 C.75 D.108
【解析】由题意得360 ÷ 5 = 72 ，∴ 叶片 A 旋转到叶片 B 的位置时，旋转的角度可以是72
，故选 B.
5.如图，将△ 绕点 顺时针旋转一定的角度得到△ ′ ′，此时点 ′恰在边 上，若 = 2，
′ = 5，则 ′ 的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】
根据旋转性质判定线段关 将△ 绕点 顺时针旋转一定的角度得到△ ′ ′ ，
系 ∴ = ′=2， = ′=5
计算所求线段长度 ′ = ′=5 2=3 ，故选 B
6.如图，将菱形 绕点 逆时针旋转得到菱形 ，点 在 上， 与 相交于 ，
若∠ = ，∠ = ，则 = ( )
A. 1 B.180 3 C.90 45 2 D.
3
90
2 2
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【解析】∵ 将菱形 绕点 逆时针旋转得到菱形 ，∠ = ，
∠ = ， ∴ = ，∠ = ∠ ，∠ = ∠ = ,
180 1
∴ ∠ = ∠ = ∠ = = 90 ，
2 2
∴ = ∠ = ∠ ∠ = 90
1 3
= 90 . 故选 D.
2 2
7.在平面内，由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图，在平面上取定一点 称
为极点，从点 出发引一条射线 称为极轴，再取定一个单位长度，通常规定角度取逆时针
方向为正.线段 的长度称为点 的极径，点 的极坐标就可以用线段 的长度以及从 转动
到 的角度来确定，即 (3, 60 )或 (3, 300 )或 (3, 420 )等，则点 关于点 成中心对称
的点 的极坐标表示不正确的是( )
A. (3, 240 ) B. (3, 450 ) C. (3, 600 ) D. (3, 120 )
【解析】点 关于点 成中心对称的点 的极坐标可以为(3, 240 )或(3, 600 ) 或(3, 120 )，不
可以是(3, 450 ) .故选 B.
8.如图左边的阴影三角形以 ， ， ， ， 中任一点为旋转中心，在旋转角为 90 ( 为正
整数) 的情况下，正好通过 次旋转得到右边的阴影三角形，则对于 的描述正确的是( )
A. = 1，2 可以， = 3不可以 B. = 1，3 可以， = 2 不可以
C. = 1，2，3 都可以 D. = 2，3 可以， = 1 不可以
【解析】将左边的阴影三角形绕点 顺时针旋转90 可得右边的阴影三角形，此时 = 1.将左
边的阴影三角形绕点 逆时针旋转90 ，再将得到的三角形绕点 旋转180 可得右边的阴影
三角形，此时 = 2.将左边的阴影三角形绕点 顺时针旋转90 ，再将得到的三角形绕点 顺
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时针旋转90 ，最后将得到的三角形绕点 逆时针旋转90 可得右边的阴影三角形，此时 = 3
.故选 C.
9.如图，在边长为 6 的正方形 内作∠ = 45 ， 交 于点 ， 交 于点 ，连
接 ，将△ 绕点 顺时针旋转90 得到△ .若 = 3，则 的长为( )
A.2 B.3 C.1 D.1
2 2
【解析】∵ 把△ 绕点 顺时针旋转90 得到△ ，∴ = ， = ，
∠ = ∠ ，∠ = ∠ = ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 180 ，
∴ ， ， 三点共线.∵ ∠ = 90 ，∠ = 45 ，∴ ∠ + ∠ = 45 ，
∴ ∠ + ∠ = 45 ，∴ ∠ = ∠ .在△ 和△ 中，
= ,
{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS)，∴ = .设 = ，∵ = 6 ，
= ,
= 3，∴ = = 3，则 = + = 3 + ， = 6 ，
∴ = 3 + . ∵ ∠ = 90 ，∴ (6 )2 + 32 = (3 + )2，解得 = 2，∴ 的长为 2.故选 A.
10.如图，在△ 中，∠ = 90 ， = 8， = 6.将△ 绕点 旋转得△ ′ ′，连接 ′，
分别取 ′， ′ 的中点 ， ，连接 ，则 的取值范围是( )
A.1 ≤ ≤ 9 B.1 9 1 9≤ ≤ C. < < D.1 < < 9
2 2 2 2
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【解析】如图 ，取 ′ 的中点 ，连接 ， . ∵ ∠ = 90 ，
= 8， = 6，∴ = √ 2 + 2 = √64 + 36 = 10 .由
旋转的性质可知 ′ ′ = = 8， ′ = = 10 ，
′ = = 6.又∵ 点 ， ， 分别是 ′， ′， ′ 的中点，
∴ 是△ ′ 的中位线， 是Rt△ ′ ′的中位线，∴ = 5， = 4.当点 , ,
不共线时， < < + ，即1 < < 9;当点 在线段 上时，
= + = 5 + 4 = 9;当点 在线段 上时， = = 5 4 = 1 .综
上所述，1 ≤ ≤ 9 ，故选 A.
二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
11.如图，△ 与△ 关于点 成中心对称， 为△ 的高，若 = 5， = 2，则
△ = ___.
【解析】∵△ 与△ 关于点 成中心对称，∴ = = 5 ，
1 1
△ = △ ，∴ △ = × = × 5 × 2 = 5，∴ 2 2 △ = 5 .故答案为 5.
12.如图，在△ 中，∠ = 64 ，将△ 在平面内绕点 旋转到△ ′ ′的位置，使 ′
// ，则旋转角的度数为____.
【解析】
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判断旋转角 △ 在平面内绕点 旋转到△ ′ ′的位置，∴∠ ′ 为旋转角
∵ ′// ，∴∠ ′=∠ =64 .由旋转得 = ′ ,
计算旋转角 ∴∠ ′ =∠ ′=64 ，
∴∠ ′=180 ∠ ′ ∠ ′ =180 2×64 =52 ，故答案为 52
13.若与点 ( + 2,3 )关于原点对称的点 在第四象限，则 的取值范围是________.
【解析】∵ 与点 ( + 2,3 )关于原点对称的点 在第四象限，∴ 点 在第二象
+ 2 < 0,
限，∴ { 解得 < 2，故答案为 < 2 .
3 > 0,
14.如图，△ 和△ 关于点 成中心对称，若 = 1， = 2，∠ = 90 ，则
的长是_____.
【解析】∵△ 与△ 关于点 成中心对称，∴ △ ≌△ ， , , 三点共
线，∴ = = 2， = = 1，∠ = ∠ = 90 ，∴ = 2. ∵ 在
Rt△ 中，∠ = 90 ，∴ = √ 2 + 2 = 2√2，故答案为2√2 .
15.如图， ⊥ ，等腰直角三角形 的腰 在 上，∠ = 45 ，将△ 绕点

逆时针旋转75 得到△ ，点 的对应点 恰好落在 上，则 的值为_ _.

【解析】由旋转知∠ = 75 .又∵ ∠ = 45 ，
∴ ∠ = 180 75 45 = 60 .∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，
∴ ∠ = 30 .设 = ，则 = 2 . ∵△ 是由等腰直角三角形 旋转得
到的，∴△ 也是等腰直角三角形，∴ 设 = = ，则由勾股定理得
2 + 2 = (2 )2，解得 = √2 （负值已舍去），即 = = √2 ，
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√2 √2
∴ = = ，故答案为 .
√2 2 2
16.如图，在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 4，点 为 上一点，将线段 绕点 顺
时针旋转得线段 ，点 在射线 上，当 的垂直平分线 经过△ 一边中点时，
的长为_________.
【解析】∵ ∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 4，∴ = 8， = 4√3. 的垂直平
分线 经过△ 一边中点，可分为以下三种情况：①当 经过 的中点 时，
1
交 于点 ，如图（1），则 = = 4. ∵ 绕点 顺时针旋转得线段 ，
2
∴ = ，∴ ∠ = ∠ = 30 .∵ ∠ 是△ 的外角，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 60 .连接 ，∵ 垂直平分 ，∴ = ，
1
∴ △ 是等边三角形，∴ = ，∴ = ，∴ = = 2.②当 经过
2
1
的中点 时，交 于点 ，如图（2），则 = = 2.由旋转可得 = ,
2
则∠ = ∠ = 30 ， ⊥ ，∴ ∠ = 60 ，∴ ∠ = 30 ，
2 10
∴ 在Rt△ 中， = √3，∴ = √3.连接 ，∵ 点 在 上，∴ = ，
3 3
∴ ∠ = ∠ = 30 .∵ ∠ 是△ 的外角，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 60 ，∴ ∠ = 90 ， ∴ ⊥ .在Rt△ 中，
10 1 5
∠ = 30 , = √3，∴ = = √3，∴ 由勾股定理得
3 2 3
= √ 2 2 = 5.③当 经过 的中点 时，如图（3）,则
1
= = 2√3.同理可证 ⊥ .在Rt△ 中，∠ = 30 ， = 2√3 ，
2
∴ = 3.综上, 的长为 2 或 5 或 3.故答案为 2 或 3 或 5.
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三、解答题（共 6小题）
17.（8 分）如图所示，把△ 绕点 旋转至△ 的位置，延长 交 于 ，交 于 ，
若∠ = 10 ，∠ = 25 ，∠ = 120 ，求∠ 的度数.
【解】由旋转可知△ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ = 25 ，∠ = ∠ .…………（2 分）
∵ ∠ = ∠ + ∠ + ∠ = 120 ，∠ = 10 ，
∴ ∠ = (120 10 ) ÷ 2 = 55 ，…………（6 分）
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 55 + 10 = 65 .
∵ ∠ 是△ 的外角，∴ ∠ = ∠ + ∠ = 25 + 65 = 90 .…（8 分）
18.（12 分）将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之
为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成
的图形（“花瓣”在圆中是均匀分布的）.
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（1）在 A、B、C、D、E 这 5 个图形中，是轴对称图形的有________________，是中心对称
图形的有__________.（填字母）
【解】在 A、B、C、D、E这 5 个图形中，是轴对称图形的有 A、B、C、D、E ，是
中心对称图形的有 A、C、E.故答案为 A、B、C、D、E,A、C、E .…………（4 分）
（2）当花瓣数大于 1 时，若花瓣的个数是______，则花瓣图形既是轴对称图形，又是中心对
称图形；若花瓣的个数是______，则花瓣图形是轴对称图形，不是中心对称图形.
【解析】若花瓣的个数是偶数，则花瓣图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
若花瓣的个数是奇数，则花瓣图形是轴对称图形，不是中心对称图形.故答案为偶
数，奇数.…………（8 分）
（3）根据上面的结论，试判断下列花瓣图形是什么图形（填“轴对称图形”或“中心对称图形”）
：①九瓣图形是______________________；
②十二瓣图形是_________________________________________________________
_______________________________________________.
【解析】
①轴对称图形，
②轴对称图形、中心对称图形.…………（12 分）
19.（10 分）如图，在正方形 中，对角线 ， 相交于点 .在线段 上任取一点 （端
点除外），连接 ， .将线段 绕点 逆时针旋转，使点 落在 的延长线上的点 处.
（1）请补全图形，并证明 = .
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【解】补全图形如图（1） 所示.…………（2 分）
证明：∵ 四边形 是正方形，∴ = ，
∠ = ∠ = 45 .又∵ = ，
∴ △ ≌△ (SAS)，∴ = .…………（4 分）
（2）当点 在线段 上的位置发生变化时，∠ 的大小是否发生变化？请说明理由.
【解】∠ 的大小不发生变化.…………（5 分）
理由如下：过点 作 ⊥ 于 ，作 ⊥ 于 ，如图
（2） .∵四边形 是正方形，∴ ∠ = ∠ = 45 .又
∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ = ，∠ = 90 .………（8 分）
∵ = ， = ，∴ △ ≌ △ (HL) ，
∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，即
∠ = 90 ,∴ ∠ 的大小不发生变化.…………（10 分）
20（. 10 分）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知点 (0,4)，点 在 轴负半轴上，且∠
= 30 ，将△ 绕点 顺时针旋转得△ ，点 ， 旋转后的对应点分别为 ， ，记旋转
角为 .
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（1）如图（1）， 恰好经过点 时.
①求此时旋转角 的度数.
【解】由旋转可知 = . ∵ ∠ = 30 ，∴ ∠ = ∠ = 60 ，∴△ 是等边三角
形…………，（2 分）
∴ ∠ = 60 ，∴ 旋转角 的度数为60 .…………（3 分）
②求出此时点 的坐标.
【解】如图 ，过点 作 ⊥ 轴于 . ∵ ∠ = 90 ， (0,
4) ，
∠ = 30 ，∴ 易得 = = 4√3.∵ = 60 ，
∴ ∠ = 60 ，∴ 易得 = 2√3， = 6 ，
∴ ( 2√3, 6) .…………（6 分）
（2）如图（2），若0 < < 90 ，设直线 和直线 交于点 ，猜测 与 的位置关系，
并说明理由.
【解】 ⊥ ，理由：∵ ∠ = ， = ，
1 1
∴ ∠ = (180 ) = 90 ，
2 2
1 1
∴ ∠ = 180 60 (90 ) = 30 + . ∵ ∠ = , = ,
2 2
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1 1 1 1∴ ∠ = (180 ) = 90 ,∴ ∠ = 90 30 = 60 . ∴ ∠ + ∠ =
2 2 2 2
60
1
+ 30
1
+ = 90 ，
2 2
∴ ∠ = 90 ，∴ ⊥ . …………（10 分）
21.（12 分）在Rt△ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ，将△ 绕点 顺时针旋转一定
的角度 得到△ ，点 ， 的对应点分别是 ， .
（1）如图（1），连接 ，当点 恰好在 上时，求∠ 的大小；
【解】∵ 将△ 绕点 顺时针旋转一定的角度 得到△ ，∴ = ，
∠ = ∠ = 30 ，∠ = ∠ = 90 ，
∴ ∠ = ∠ = (180 ∠ ) ÷ 2 = 75 ，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 15 .…………（4 分）
（2）如图（2），若 = 60 ，点 是 的中点，连接 ， ， ，判断四边形 的
形状，并证明你的结论.
【解】四边形 是平行四边形，证明如下：在Rt△ 中，∵ 点 是边 中
1
点，∴ = = = . ∵ ∠ = 90 ，∠ = 30 ，∴ ∠ = 60 ，
2
1
= ，∴ = = = .…………（7 分）
2
∵ △ 绕点 顺时针旋转60 得到△ ，∴ ∠ = ∠ = 60 ，
= ， = ， = ，∴ = ，△ 为等边三角形，
∴ = = . ∵ = ，∠ = ∠ = 60 ， = ，
∴ △ ≌△ (SAS) ，…………（10 分）
∴ = ，∴ = ，而 = ，∴ 四边形 是平行四边形.……（12 分）
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22.（14 分）【阅读材料】
（1）如图（1），等边△ 内有一点 ，若点 到顶点 ， ， 的距离分别为 3，4，5，求∠
的度数.为了解决本题，我们可以将△ 绕顶点 旋转到△ ′处，连接 ′ ，此时
△ ′≌△ ，这样就可以利用旋转变换，将三条线段 ， ， 转化到一个三角形中，
从而求出∠ = ______.
【解】∵△ ′≌△ ，∴ ′ = = 3， ′ = = 4，∠ ′ = ∠ .由题意知旋转角
∠ ′ = 60 ，∴△ ′为等边三角形，∴ ′ = = 3 ，
∠ ′ = 60 ,则 ′ 2 + ′ 2 = 2,∴△ ′ 为直角三角形，且∠ ′ = 90 ，
∴ ∠ = ∠ ′ = ∠ ′ + ∠ ′ = 60 + 90 = 150 .故答案为150 .…（3 分）
（2）请你利用（1）中的思想方法，解决下面的问题.如图（2），△ 中，∠ = 90 ，
= ， ， 为 上的点且∠ = 45 ，求证： 2 = 2 + 2 .
【证明】如图（1），把△ 绕点 逆时针旋转90 得到△ ′ ，连接 ′ , ……（4 分）
则 ′ = ， ′ = ，∠ ′ = ∠ ，∠ ′ = ∠ ,∠ ′ = 90 .
又∵ ∠ = 90 ，∠ = 45 ，∴ ∠ ′ = 90 45 = 45 ，
∴ ∠ = ∠ ′ . …………（5 分）
= ′,
在△ 和△ ′ 中，{∠ = ∠ ′ ,
= ,
∴ △ ≌△ ′ (SAS)，∴ ′ = .…………（7 分）
∵ ∠ = 90 ， = ，∴ ∠ ′ = ∠ = ∠ = 45 ，
∴ ∠ ′ = 45 + 45 = 90 ，∴ 由勾股定理得 2′ 2 = ′ + 2 ，
即 2 = 2 + 2 .…………（9 分）
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（3）如图（3），在Rt△ 中，∠ = 90 ， = 1，∠ = 30 ，点 为Rt△ 内
一点，连接 ， ， ，且∠ = ∠ = ∠ = 120 ，求 + + 的值.
【解】∵ 在Rt△ 中，∠ = 90 ， = 1，∠ = 30 ，∴ = 2 ，
∴ = √ 2 2 = √3 .…………（10 分）
如图（2），将△ 绕点 顺时针旋转60 至△ ′ ′ 处，连接 ′ ，……（11 分）
则∠ ′ = ∠ + 60 = 30 + 60 = 90 ，…………（12 分）
′ = = 2， = ′， ′ ′ = ，∠ ′ = 60 ,∴△ ′ 是等边三角形，
∴ = ′，∠ ′ = ∠ ′ = 60 . ∵ ∠ = ∠ = ∠ = 120 ，
∴ ∠ + ∠ ′ = ∠ ′ ′+ ∠ ′ = 120 + 60 = 180 ，
∴ ， ， ′， ′ 四点共线（13 分）
在Rt△ ′ 中， ′ = √ 2 + ′ 2 = √(√3)2 + 22 = √7 ，
∴ + + = ′ ′+ ′+ = ′ = √7 .…………（14 分）
72/115第二十三章 素养检测卷
考查内容：旋转（时间：90 min 满分：120 分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3 分）
1.二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下面四副图
片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，在△ 中，∠ = 80 ，∠ = 65 ，将△ 绕点 逆时针旋转得到△ ′ ′.当 ′
落在 上时，∠ ′ 的度数为( )
A.65 B.70 C.80 D.85
3.如果点 ( , )在第三象限，则点 ( + 1,3 5) 关于原点的对称点在( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
4.电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉.如图是一款五叶电风
扇，在其持续运转的过程中，叶片 A 旋转到叶片 B 的位置时，旋转的角度可以是( )
A.60 B.72 C.75 D.108
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5.如图，将△ 绕点 顺时针旋转一定的角度得到△ ′ ′，此时点 ′恰在边 上，若 = 2，
′ = 5，则 ′ 的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.如图，将菱形 绕点 逆时针旋转得到菱形 ，点 在 上， 与 相交于 ，
若∠ = ，∠ = ，则 = ( )
A.45
1
B.180
3 C.90 2 D. 390
2 2
第 6 题图 第 7 题图
7.在平面内，由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图，在平面上取定一点 称
为极点，从点 出发引一条射线 称为极轴，再取定一个单位长度，通常规定角度取逆时针
方向为正.线段 的长度称为点 的极径，点 的极坐标就可以用线段 的长度以及从 转动
到 的角度来确定，即 (3, 60 )或 (3, 300 )或 (3, 420 )等，则点 关于点 成中心对称
的点 的极坐标表示不正确的是( )
A. (3, 240 ) B. (3, 450 ) C. (3, 600 ) D. (3, 120 )
8.如图左边的阴影三角形以 ， ， ， ， 中任一点为旋转中心，在旋转角为 90 ( 为正
整数) 的情况下，正好通过 次旋转得到右边的阴影三角形，则对于 的描述正确的是( )
A. = 1，2 可以， = 3不可以 B. = 1，3 可以， = 2 不可以
C. = 1，2，3 都可以 D. = 2，3 可以， = 1 不可以
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9.如图，在边长为 6 的正方形 内作∠ = 45 ， 交 于点 ， 交 于点 ，连
接 ，将△ 绕点 顺时针旋转90 得到△ .若 = 3，则 的长为( )
A.2 B.3 C.1 D.1
2 2
10.如图，在△ 中，∠ = 90 ， = 8， = 6.将△ 绕点 旋转得△ ′ ′，连接 ′，
分别取 ′， ′ 的中点 ， ，连接 ，则 的取值范围是( )
A.1 ≤ ≤ 9 B.1 9≤ ≤ C.
1 9
< < D.1 < < 9
2 2 2 2
二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
11.如图，△ 与△ 关于点 成中心对称， 为△ 的高，若 = 5， = 2，则
△ = ___.
12.如图，在△ 中，∠ = 64 ，将△ 在平面内绕点 旋转到△ ′ ′的位置，使 ′
// ，则旋转角的度数为____.
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13.若与点 ( + 2,3 )关于原点对称的点 在第四象限，则 的取值范围是________.
14.如图，△ 和△ 关于点 成中心对称，若 = 1， = 2，∠ = 90 ，则
的长是_____.
15.如图， ⊥ ，等腰直角三角形 的腰 在 上，∠ = 45 ，将△ 绕点

逆时针旋转75 得到△ ，点 的对应点 恰好落在 上，则 的值为_ _.

16.如图，在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 4，点 为 上一点，将线段 绕点 顺
时针旋转得线段 ，点 在射线 上，当 的垂直平分线 经过△ 一边中点时，
的长为_________.
三、解答题（共 6小题）
17.（8 分）如图所示，把△ 绕点 旋转至△ 的位置，延长 交 于 ，交 于 ，
若∠ = 10 ，∠ = 25 ，∠ = 120 ，求∠ 的度数.
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18.（12 分）将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之
为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成
的图形（“花瓣”在圆中是均匀分布的）.
（1）在 A、B、C、D、E 这 5 个图形中，是轴对称图形的有________________，是中心对称
图形的有__________.（填字母）
（2）当花瓣数大于 1 时，若花瓣的个数是______，则花瓣图形既是轴对称图形，又是中心对
称图形；若花瓣的个数是______，则花瓣图形是轴对称图形，不是中心对称图形.
（3）根据上面的结论，试判断下列花瓣图形是什么图形（填“轴对称图形”或“中心对称图形”）
：①九瓣图形是______________________；
②十二瓣图形是_________________________________________________________
_______________________________________________.
19.（10 分）如图，在正方形 中，对角线 ， 相交于点 .在线段 上任取一点 （端
点除外），连接 ， .将线段 绕点 逆时针旋转，使点 落在 的延长线上的点 处.
（1）请补全图形，并证明 = .
（2）当点 在线段 上的位置发生变化时，∠ 的大小是否发生变化？请说明理由.
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20（. 10 分）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知点 (0,4)，点 在 轴负半轴上，且∠
= 30 ，将△ 绕点 顺时针旋转得△ ，点 ， 旋转后的对应点分别为 ， ，记旋转
角为 .
（1）如图（1）， 恰好经过点 时. ①求此时旋转角 的度数. ②求出此时点 的坐标.
（2）如图（2），若0 < < 90 ，设直线 和直线 交于点 ，猜测 与 的位置关系，
并说明理由.
21.（12 分）在Rt△ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ，将△ 绕点 顺时针旋转一定
的角度 得到△ ，点 ， 的对应点分别是 ， .
（1）如图（1），连接 ，当点 恰好在 上时，求∠ 的大小；
（2）如图（2），若 = 60 ，点 是 的中点，连接 ， ， ，判断四边形 的
形状，并证明你的结论.
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22.（14 分）【阅读材料】
（1）如图（1），等边△ 内有一点 ，若点 到顶点 ， ， 的距离分别为 3，4，5，求∠
的度数.为了解决本题，我们可以将△ 绕顶点 旋转到△ ′处，连接 ′ ，此时
△ ′≌△ ，这样就可以利用旋转变换，将三条线段 ， ， 转化到一个三角形中，
从而求出∠ = ______.
（2）请你利用（1）中的思想方法，解决下面的问题.如图（2），△ 中，∠ = 90 ，
= ， ， 为 上的点且∠ = 45 ，求证： 2 = 2 + 2 .
（3）如图（3），在Rt△ 中，∠ = 90 ， = 1，∠ = 30 ，点 为Rt△ 内
一点，连接 ， ， ，且∠ = ∠ = ∠ = 120 ，求 + + 的值.
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