资源简介

反比例函数
模型原理
1.反比例函数面积问题的基本公式
过反比例函数 图象上一点，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点组成一个矩形，矩形的面积 .(如图2-1--1)
作一个坐标轴的垂线，连接垂足、原点所围成三角形的面积为 (如图2-1-2)
2.反比例函数面积问题的解题方法
(1)利用k的几何意义进行面积转化 .
如图2--1--3，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为E ，F，则根据k的几何意义可得， 而 梯形.所以
真题精炼
1.如图，点A在双曲线 上，连接AO并延长，交双曲线 于点B ，点C为x轴上一点,且AO= AC,连接BC, 若△ABC的面积是6,则k的值为( )
A.2 B. 3 C. 4 D.5
2.坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF中心，EF∥x轴，点E在双曲线 (k为常数， 上，将正六边形ABCDEF向上平移、 个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k值为( )
D.3
3.如图，过 的图象上点A ，分别作x轴，y轴的平行线交 的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 若 则k的值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.1
4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数 在第一象限内的图像交于点C.若点A坐标为((2,0) 则k的值是( ).
5.如图, 直线y=x+1、y=x--1与双曲线 分别相交于点A、B、C、D.若四边形ABCD的面积为4 , 则k的值是( )
A. C.
6.如图，在坐标系中，点A、B在函数 的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB， 则k的值为( )
A.3 C. 4 D.6
7.如图，矩形OABC的顶点A ，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且 反比例函数 的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M ,连接OD,OM,DM .若 的面积为3 ，则k的值为 ()
A. 2 B. 3 C. 4 D.5
8如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(2 ,0),B( ,1),△OA'B与 关于直线OB对称，反比例函数 的图象与A'B交于点C.若 ，则k的值为( )
9.如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数 的图象上 .点A的坐标为(m，2).连接OA,OB, AB.若 则k的值为 .
10.如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数 和 的图象上.若BD∥y轴,点D的横坐标为3 ,则
A. 36 B. 18 C. 12 D.9
11如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO =3，以AB为边向上作正方形ABCD .若图象经过点C的反比例函数的解析式是 则图象经过点D的反比例函数的解析式是 .
12如图，在平面直角坐标系中， 的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数 的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD .若△ACD的面积是1 , 则k的值是 .
13.如图，反比例函数 在第一象限的图象上有A(1，6)，B(3，b)两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点.若AD 连接CD，记 的面积分别为 则 的值为 .
14.如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数 的图象与边MN、OM分别交于点A、B(点B不与点M重合) .若AB⊥OM于点B,则k的值为 .
15.已知反比例函数 的图象经过点A(2,3).
(1)求该反比例函数的表达式.
(2)如图，在反比例函数 的图象上点A的右侧取点C，过点A作y轴的垂线交直线CH于点D.
① 过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B ，求证：O，B，D三点共线.
② 若AC=2OA,求证:∠AOD=2∠DOH .
16.已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数 图象上的一个动点，连接AO，AO的延长线交反比例函数 的图象于点B ，过点A作 轴于点E.
(1) 如图1, 过点B作 轴于点F ,连接EF .
① 若 ，求证：四边形AEFO是平行四边形.
② 连接BE , 若 求 的面积.
(2) 如图2, 过点E作 交反比例函数 的图象于点P，连接OP.试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中， 的面积是否会发生变化 请说明理由 .
1.如图，点A在双曲线 上，连接AO并延长，交双曲线 于点B，点C为x轴上一点,且AO=AC,连接BC,若△ABC的面积是6,则k的值为( ) .
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】如图,过A作AD⊥x轴于D.
由题意，8
∵AO=AC,AD⊥OC,
∴OC=2OD=2a.
又设直线OA为y= mx,
∴直线
联立
∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，
∴△OED是等边三角形，
∴DE=OD,
∵EH⊥OD,
设OD=2m,则OH=m ,HE= m,
∴B(m, m),D(2m,0),
∵将正六边形ABCDEF向上平移 个单位长度，点D恰好落在双曲线上，
∴点 在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
解得m=2或m=0(舍去),
故选:A.
2如图，过 的图象上点A ，分别作x轴，y轴的平行线交 的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S ，S ，S ，S ，若 则k的值为( ).
∴k=4.
故选:C.
3.如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥z轴，点E在双曲线 k为常数,k >0)上,将正六边形ABCDEF向上平移 个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为( )
A.4 B. 3 C.2 D.3
【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作EH⊥x轴于H，连接OE，可证明△OED是等边三角形，则 进而得到 设OD =2m,则 则E(m, m),D(2m,0),即可得到点(2m， 在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到 据此求解即可.
【详解】解：如图所示，过点E作EH⊥x轴于H，连接OE，
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【解析】设A(a,b),则l
∵点A在 )的图象上，则
同理，∵B，D两点在 的图象上，则 故
即 故 ab=2,
∴k=2,
故选:C.
【标注】【知识点】矩形的周长与面积
【知识点】根据条件求反比例函数解析式(或k的值)
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
4如图，在平面直角坐标系中，一次函数 b的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数 在第一象限内的图像交于点C.若点A坐标为(2，0) 则k的值是( ).
A. B. 2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】解:如图所示,过点C作CD⊥y轴于点D,则CD∥OA
∴△BOA~BDC
解得CD=3
∵点A(2,0)在y
解得：b
∴直线AB的解析式为
当x=3时,
即C(3,
又反比例函数在第一象限内的图象交于点C
故选:C.
5.如图,直线y=x+1. y=z-1与双曲线 分别相交于点A、B、C、D.若四边形ABCD的面积为4,则k的值是( ) .
A. D.1
【答案】A
【解析】连接四边形ABCD的对角线AC、BD,过D作DE⊥z轴,过C作CF⊥x轴,直线y=x-1与z轴交于点M ,如图所示:
根据直线y=x+1、y=x-1与双曲线 交点的对称性可得四边形ABCD是平行四边形，
∵直线y=x-1与x轴交于点M,
∴令y=0,则x=1,∴M(1,0),OM=1,
∵y=x-1与双曲线 分别相交于点C、D，
·联立 即
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解得
故选A.
6如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数 的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB， 则k的值为( )
A.3 B.3 C.4 D.6
【答案】C
【解析】
【分析】
过点A，B分别作y，z轴的垂线，垂足分别为E D，AE，BD交于点C，得出B的横坐标为1，A的纵坐标为1,设A(k,1),B(1,k),则AC=k-1,BC=k-1,根据 即可求解.
【详解】
解:如图所示,过点A ,B分别作y,x轴的垂线,垂足分别为E ,D ,AE ,BD交于点O,
依题意, B的横坐标为1, A的纵坐标为1,设A(k,1), B(1,k)
∴C(1,1),
则AC=k-1,BC=k-1,
又·
∴k-1=3(负值已舍去)
解得:k=4,
故选:C.
【点睛】
本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键.
【标注】【知识点】反比例函数的解析式
【知识点】反比例函数与几何综合
【知识点】切线的性质定理
7如图，矩形OABC的顶点A ，O分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，.且 反比例函数 的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM.若△ODM的面积为3,则k的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC,OA=BC,
设B点的坐标为(a,b),
∵矩形OABC的对称中心M，
·延长OM恰好经过点B，
∵点D在AB上,且
∵D在反比例函数的图象上，
解得: ab=16.
因此本题答案选C.
【标注】【知识点】反比例函数
8如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(2 ,0),B( ,1),△OA'B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数 的图象与A'B交于点C.若A'C= BC,则k的值为( ) .
A.2 C.
【答案】A
【解析】解：如图所示，过点B作BD⊥x轴，
∵O(0,0),A(2 ,0),B( ,1),
∵△OA'B与△OAB关于直线OB对称,
∴∠OBA'=120°,
∴∠OBA'+∠OBD=180°,
∴A',B,D三点共线.
∴A'B=AB=2,
∵A'C=BC,
∴BC=1
∴CD=2
∴C( ,2).
将其代入 得:k=2
故选:A.
【标注】【知识点】反比例函数与三角形综合
9如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数 的图象上.点A的坐标为(m，2).连接OA,OB,AB.若OA=AB,∠OAB=90°,则k的值为 .
【答案】
【解析】解:如图所示,过点A作CD⊥y轴于点D,过点B作BC⊥CD于点C,
∴∠C=∠CDO=90°,
∴VDAO≌VCBA
∴DA=CB,AC=OD
∵点A的坐标为(m,2).
∴AC=OD=2,AD=2C=m
解得 或m=- -1(舍去)
故答案为
【标注】【知识点】反比例函数
10.如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数 )和 的图象上.若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则
A.36 B. 18 C. 12 D.9
【答案】B
【解析】解：连接AC，与BD相交于点P，
设PA=PB=PC=PD=t(t≠0) .
∴点D的坐标为
∴点C的坐标为
∵点C在反比例函数 的图象上，
化简得：
∴点B的纵坐标为
∴点B的坐标为
整理,得:k +k =18.
因此正确答案为：B.
【标注】【知识点】反比例函数
11.如图，已知在平面直角坐标系zOy中，点A在z轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD.若图象经过点C的反比例函数的解析式是 则图象经过点D的反比例函数的解析式是 .
【答案】
【解析】过点C作CE⊥y轴于点E,过点D作DF⊥z轴于点F,如图:
设OB=x,OA=3x,
∴点A的坐标为(-3x,0),点B的坐标为(0,-x).
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC,∠DAB=∠ABC=90°,
∴∠ADF+∠DAF=∠DAF+∠BAO,
∴∠ADF=∠BAO,
同理可证:∠ADF=∠BAO=∠CBE.
∴△ADF≌△BAO≌△CBE,
∴OA=FD=EB=3x,OB=FA=EC=z,
∴OE=OF=2x,
∴点C的坐标为(x,2z),点D的坐标为(-2x,3x),
∵点C在反比例函数 的图象上.
..2x =1,|即
∴经过点D的反比例函数解析式为
因此正确答案为：
12如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数 的图象经过OA的中点C,交AB于点D,连接CD .若△ACD的面积是1，则k的值是 .
【答案】
【解析】
【分析】
连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，利用反比例函数k的几何意义得到 ，根据OA的中点C，利用△OCE-△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论.
【详解】
解:连接OD,过G作CE∥AB,交x轴于E,
∵∠ABO=90°,反比例函数 的图象经过OA的中点C,S△ACD=1,
∵CE∥AB,
∴△OCE-△OAB,
故答案为：
【点睛】
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 /k，且保持不变、也考查了相似三角形的判定与性质.
【标注】【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
13如图，反比例函数 在第一象限的图象上有A(1，6)，B(3，b)两点，直线AB与x轴相交于点C,D是线段OA上一点 .若AD-BC= AB·DO,连接CD,记△ADC,△DOC的面积分别为S ,S ,则S -S 的值为 .
【答案】4
【解析】解：如下图所示，连结BD，
∵AD·BC=AB·DO
而∠DAB=∠OAC,
：A(1，6)在反比例函数图象
∴k=6，即反比例函数为
：B(3，b)在反比例函数图象
.. b=2,即B(3,2),
设直线AB为:y= mx+n,
解得：
∴直线AB为:1
.当y=0时,x=4,
.. C(4,0),
··△DAB∽△OAC,
因此正确答案为：4
【标注】【知识点】反比例函数
14如图，△OMN是边长为10的等边三角形 反比例函数 的图象与边MN、OM分别交于点A、B(点B不与点M重合) .若AB⊥OM于点B,则k的值为 .
【答案】9
【解析】解:过点B作BC⊥x轴于点C,过点A作AD⊥x轴于点D,如图,
△OMN是边长为10的等边三角形，
. OM=MN=ON=10,∠MON=∠MNO=∠M=60°,
.∠OBC=∠MAB=∠NAD=30°,
设OC=x,则OB=2x,BC= x,MB=10-2x,MA=2MB=20-4x,
∴NA=10-MA=4x-10, DN= NA=2x-5,AD= DN= (2x-5)=2 -5
. OD=ON-DN=15-2x.
点B(x, x),点A(15-2x,2 x-5 ),
反比例函数 )的图象与边MN、OM分别交于点A、B，
解得x=5(舍去)或x=3,
点B(3,3 ).
因此正确答案为：9
15已知反比例函数 的图象经过点A(2,3).
(1)求该反比例函数的表达式.
(2)如图，在反比例函数 的图象上点A的右侧取点C，过点A作g轴的垂线交直线CH于点D.
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B ，求证：O，B，D三点共线.
②若AC=2OA,求证:∠AOD=2∠DOH.
【答案】
(2)①证明见解析.
② 证明见解析
【解析】(1)··反比例函数 的图象经过点A(2,3),
m=6,
.反比例函数的表达式为
(2)① 过点A作AM⊥x轴于M ,过点C作CN⊥y轴于N , AM交CN于点B,连接OB.
A(2,3),点C在 的图象上，
可以设 则B(2, ),D(m,3),
∴tan∠BOM=tan∠DOH
.∠BOM=∠DOH,
:0,B,D共线.
② 设AC交BD于J
:AD⊥y轴. CB⊥y轴,
∴AD//OB,
AM⊥x轴,DH⊥x轴,
AB//CD,
四边形ABCD是平行四边形，
∠ADC=90°,
.四边形ABCD是矩形，
AJ=JC=JD=JB,
AC=2OA,
AO=AJ,
∴∠AOJ=∠AJO,
∵AD∥OH,
∴∠DOH=∠ADJ,
:JA=JD,
∴∠JAD=∠ADJ.
∵∠AJO=∠JAD+∠JDA,
∴∠AOD=2∠ADJ=2∠DOH.
【标注】【知识点】反比例函数与四边形综合
16【答案】(1)①证明见解析.
② 1.
(2)不改变，证明见解析.
【解析】(1)①设点A的坐标为
则当k=1时，点B的坐标为
∴AE⊥y轴,
∴AB∥OF,
∴四边形AEFO是平行四边形.
②过点B作BD⊥y轴于点D,
AE⊥y轴,
. AE//BD,
.△AEO∽△BDO,
当k=4时 即
(2)不改变,
理由如下：
过点P作PH⊥x轴于点H,PE与z轴交于点G,
设点A的坐标为 点P的坐标为
则
由题意,可知△AEO∽△GHP,四边形AEGO是平行四边形,
解得
:a,b异号,k>0,
∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化.

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