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手拉手模型
手拉手模型：
【特征】：有公共顶点的两个等腰三角形，顶角相等.
因为顶点相连的四条边，形象的可以看做两双手，所以通常称为手拉手模型.
【探究】：下面三类“手拉手”会得到哪些结论呢
①等边三角形手拉手
②等腰直角三角形手拉手(正方形手拉手等)
③任意等腰三角形手拉手
【举例】：如何寻找基本全等三角形
【结论】:△头左左≌△头右右(SAS)
如何判断“头”和“左右手”.
头：公共顶点；
左右手：
想象一个人趴在等腰三角形中，头是三角形的顶点，左手能摸到的底角标记为左；右手能摸到的底角标记为右.
接下来让左手拉(连线)左手，右手拉右手，就得到了△头左左≌△头右右.
真题精炼
1已知 ，点B ，C分别在射线AN ，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°-2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E.
(1)如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点.
(2) 如图2,当点D在∠MAN内部时,作DF∥AN,交射线AM于点F ,用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明.
2在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况, 证明结论.如图, 已知△ABC,CA=CB,⊙O是△ABC的外接圆, 点D在⊙O上(AD > BD) ,连接AD、BD、CD.
【特殊化感知】
(1)如图1, 若 点D在AO延长线上，则AD-BD与CD的数量关系为 ；
【一般化探究】
(2)如图2,若∠ACB=60°,点C、D在AB同侧,判断AD-BD与CD数量关系并说明理由;
【拓展性延伸】
(3)若∠ACB=α, 直接写出AD、BD、CD满足的数量关系. (用含α的式子表示)
3【模型建立】 (1)如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上.①求证:AE=CD;②用等式写出线段AD,BD ,DF的数量关系,并说明理由.
【模型应用】 (2)如图2,△ABC是直角三角形, AB= AC ,CD⊥BD, 垂足为D,点C关于AD的对称点F在BD边上 .用等式写出线段AD，BD ，DF的数量关系，并说明理由.
【模型迁移】 (3)在(2)的条件下 ，若 ,求cos∠AFB的值.
4通过探究图形变化规律，再结合内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到数学天地.
(1) 发现问题: 如图1, 在△ABC和△AEF中, ,连接BE,CF,延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系: ,
(2) 类比探究: 如图2, 在△ABC和△AEF中, , 连接BE,CF , 延长BE , FC交于点D . 请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形， 连接BE,CF,且点B ,E, F在一条直线上, 过点A作AM⊥BF,垂足为点M .则BF,CF,AM之间的数量关系： ；
5(1) 已知:如图, 为等边三角形，点D为BC边上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等边 连接CE.
求证: (1)①BD=CE; ②∠DCE=120°;
(2)如图, 在△ABC中,. ，点D为BC上的一动点(点D不与B、C重合) ,以AD为边作等腰Rt△ADE,∠DAE =90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列) ,连接CE，类比题(1)请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；(3)如图，在(2)的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰 ∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列) , 连接CE; ①则题(2)的结论还成立吗 请直接写出,不需论证; ②连结BE,若BE =10, BC=6, 直接写出AE的长.
6.△ABC和△ADE都是等边三角形.
(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有 (或PA+PC=PB)成立; 请证明.
(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时,连接BD, CE相交于点P ,连接PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系 并加以证明；
(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时, 连接BD, CE相交于点P , 连接PA, 猜想线段PA、PBPC之间有怎样的数量关系 直接写出结论，不需要证明.
7两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：如图1，若 和 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE分别是底边.求
证：
(2)解决问题：如图2，若 和 均为等腰直角三角形， 点A,D，E在同一条直线上，CM为 冲DE边上的高，连接BE，请判断 的度数及线段CM，AE ，BE之间的数量关系并说明理由.
8如图1， 是等边三角形，点D在 的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转 , 得到线段AE,连接BD , DE, CE.
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明.
(2) 延长ED交直线BC于点F .
① 如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为
② 如图3，当点F为线段BC中点，且ED=EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由.
9正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，且 ，连接EF交边AD于点G.过点A作 垂足为点M，交边CD于点N .若 ，则线段AN的长为 .
10如图1，在 中， ，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时 针旋转 得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F.
(1) 求证:
(2) 如图2,连接AF , DC, 已知 ，判断AF与DC的位置关系，并说明理由.
11已知在 中，O为BC边的中点，连接AO，将 C绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角)，得到 连接AE,CF.
(1) 如图1, 当 且 时，则AE与CF满足的数量关系是 .
(2) 如图2,当 且 时，(1)中的结论是否仍然成立 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 .
(3) 如图3, 延长AO到点D, 使( ,连接DE,当A '=6时,求DE的长.
12正方形ABCD ，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD对角线AC相交于点H , 连接DG.以下结论:①∠EAB=∠GAD;②△AFC∽△AGD;③2AE =AH·AC;(④DG⊥AC.正确个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
13如图,在△ABC中,∠CAB=55°,∠ABC=25°, 在同一平面内, 将△ABC绕A点逆时针旋转70°, 得到△ADE, 连接EC, 则tan∠DEC的值是 .
14如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE +BG =2a +2b ,其中正确结论是
15如图，. , AE与BD交于点F .
(1) 求证:
(2) 求 的度数.
16.如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF ,连接CF.
(1) 【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：
(2) 【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系 并说明理由 .
17如图1, △ABC和△DCE都是等边三角形.
(1)探究发现：
与△ACE是否全等 若全等，加以证明；若不全等，请说明理由.
(2)拓展运用：
若B、C、E三点不在一条直线上， 求BD的长.
(3)若B、C、E三点在一条直线上(如图2)，且 和 的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长.
18如图1,在△ABC中, 点D, E分别在边AB, AC上,且AD= AE=1, 连接DE,现将△ADE绕点A顺时针方向旋转, 旋转角为( 如图2,连接CE,BD,CD.
(1) 当( 时, 求证:CE=BD.
(2) 如图3,当α=90°时,延长CE交BD于点F ,求证:CF垂直平分BD.
(3)在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数.
19.为等边三角形， 于点D ，E为线段AD上一点，. 以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF ，连接CE，N为CE的中点.
(1) 如图1, EF与AC交于点G, 连接NG, 求线段NG的长.
(2) 如图2, 将 绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN ，MN .当 时，猜想 的大小是否为定值，并证明你的结论.
(3) 连接BN , 在 绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出 的面积.
20.如图1，在等腰直角三角形ADC中， 点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG ，连接AG，CE .将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为
(1)如图2，在旋转过程中，
① 判断 与 是否全等，并说明理由.
② 当 时, AG与EF交于点H , 求GH的长.
(2) 如图3, 延长CE交直线AG于点P .
① 求证:
② 在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值 若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
21.回答下列问题：
(1) 如图1,在Rt△ABC中, AB= AC, D为BC边上一点(不与点B ,C重合) ,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 .
(2) 如图2, 在Rt△ABC与 中,. 将△AD1 绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD ，BD ，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论.
(3) 如图3,在四边形ABCD中,. 若 求AD的长.
22如图，在 中， 将 绕点B逆时针旋转( 得到 则AC边的中点D与其对应点 的距离是 .
23如图,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°,连接AC, BD交于点M,连接OM .下列结论:①AC= BD;②∠AMB=40°;③OM平分∠BOC;④MO平分∠BMC , 其中正确的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.1
24已知△ABC和△ADE是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90°, BD,CE交于点F,连接AF.结论:①BD=CE;②BF⊥CF;③AF平分∠CAD;④∠AFE=45°.正确结论个数有() .
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
25如图,△ABC和△ECD都是等边三角形, 且点B、C、D在一条直线上, 连接BE、AD,点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且 则△CMN的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.不等边三角形
26如图，点A，B，C在一条直线上， 均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD、BD于点M、P ,CD交BE于点Q, 连接PQ , BM .
下列结论：①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④MB平分∠AMC.
其中结论正确的有( ).
A.1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
27四边形ABCD中, AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,BD长为 .
1已知 点B，C分别在射线AN ，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°-2α得到线段BD ,过点D作AN的垂线交射线AM于点E.
(1)如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点.
(2) 如图2,当点D在∠MAN内部时,作DF∥AN,交射线AM于点F ,用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明.
【答案】(1)见解析
(2)EF=2AC,证明见解析
【解析】(1)连接CD,
由题意得:BC=BD,∠CBD=180°-2α,
∴∠BDC=∠BCD=α,
∵∠A=α,
∴∠BDC=∠A,
∴CA=CD,
∵DE⊥AN,
∴∠1+∠A=∠2+∠BDC=90°,
∴∠1=∠2,
∴CD=CB,
∴CA=CE,
∴点C是AB的中点.
(2) EF=2AC,证明如下:
在射线AM上取点H ,使得BH=BA,取EF的中点G,连接DG,
∵BH=BA,
∴∠BAH=∠BHA=α,
∴∠ABH=180°-2α=∠CBD,
∴∠ABC=∠HBD,
∵BC=BD,
∴△ABC≌△HBD(SAS),
∴AC=DH,∠BHD=∠A=α,
∴∠FHD=∠BHA+∠BHD=2α,
∵DF∥AN,
∴∠EFD=∠A=α,∠EDF=∠3=90°,
∵G是AE的中点,
∴GF=GD,EF=2GD,
∴∠GFD=∠GDF=a,
∴∠HGD=2a,
∴∠HGD=∠FHD,
∴DG=DH,
∵AC=DH,
∴DG=AC,
∴EF=2AC
【标注】【知识点】旋转
2.在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况,证明结论.如图,已知△ABC,CA=CB,⊙O是△ABC的外接圆,点D在OO上(AD>BD) ,连接AD、BD、CD.
【特殊化感知】
(1)如图1,若∠ACB=60°,点D在AO延长线上,则AD-BD与CD的数量关系为 ;【一般化探究】
(2)如图2,若∠ACB=60°,点C、D在AB同侧,判断AD-BD与CD的数量关系并说明理由;【拓展性延伸】
(3)若∠ACB=α,直接写出AD、BD、CD满足的数量关系.(用含α的式子表示)
【答案】(1)AD-BD=CD;
(2)AD-BD=CD,理由见解析.
(3)当点O、D在AB同侧时 当点C、D在AB两侧时，
【解析】(2)若 点C、D在AB同侧,AD-BD与CD的数量关系为:AD-BD=CD,理由延长BD至点E使DE=OD,连接CE,如图,
【模型建立】
(1)如图1,△ABC和△BDE都是等边三角形,点O关于AD的对称点F在BD边上.
①求证:AE=CD;
②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由.
【模型应用】
(2)如图2,△ABC是直角三角形,AB=AC,CD⊥BD,垂足为D,点C关于AD的对称点F在BD边上.用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由.
为等边三角形，
∴四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE=CD,∠DCE=∠E=60°,
∴∠ACD=∠BCE.
∵∠ADC=∠ABC=60°,
∴∠ADC=∠E=60°.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(ASA),
∴AD=BE,
∵BE=BD+DE=BD+CD,
∴AD=BD+CD.
∴AD--BD=CD.
3.【模型建立】
(1)如图1,△ABC和△BDE都是等边三角形,点O关于AD的对称点F在BD边上.
①求证:AE=CD;
②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由.
【模型应用】
(2)如图2,△ABC是直角三角形,AB=AC,CD⊥BD,垂足为D ,点C关于AD的对称点F在BD边上.用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由.
【模型迁移】
(3)在(2)的条件下,若 求cos∠AFB的值.
【答案】(1)①见解析;②AD= DF+BD,理由见解析; (2) AD=DF+BD,理由见解析；
【解析】(1)①证明:∵△ABC和△BDE都是等边三角形,
.. AB=BC,BE=BD,∠ABC=∠EBD=60°,
∴∠ABC--∠CBE=∠EBD--∠CBE,
∴∠ABE=∠CBD,
∴△ABB≥△CBD(SAS).
∴AE=CD.
②AD=DF+BD.理由如下:
∵DF和DC关于AD对称,
∴DF=DC.
∵AE=CD,
∴AE=DF.
∴AD=AE+DE=DF+BD.
(2) AD=DF+BD.理由如下:
过点B作BE⊥AD于点E,得∠BED=90°,具体如下图所示.
∵DF和DC关于AD对称,
∴DF=DC,∠ADP=∠ADC.
∵CD⊥BD,
∴∠ADF=∠ADC=45°,
∴∠EBD=45°
∵△ABC是直角三角形,AB=AO,
∴∠ABC---∠CBE=∠EBD---∠CBE,
∴∠ABE=∠CBD,
∴sin∠ABE=sin∠CBD,
∴AE·BC=CD·AB,
即 AD=DF+BD.
(3)∵BD=3CD=3DF,
∴ AD=DF+3DF=4DF,
∵AD=4
∴DF=DC=2,
∴BD=6.
过点A作 于点H，具体如下图所示.
【标注】【知识点】全等三角形
4综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.
发现问题：如图1，在 和 中， 连接BE,OF,延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系: ,
(2)类比探究:如图2,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=120°,连接BE,CF,延长BE,FC交于点D ,请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸:如图3,△ABC和△AEF均为等腰直角三角形,∠BAC=∠EAF=90°,连接BE,CF,且点B,E,F在一条直线上,过点A作AM⊥BF,垂足为点M'.则BF,CF,AM之间的数量关系： ；
【答案】(1)BE=CF,;30
(2) BE=CF,∠BDC=60°,证明见解析.
(3) BF=CF+2AM
【解析】(1)∵∠BAC=∠EAF=30°,
∴∠BAE=∠CAF,
又∵AB=AC,AE=AF,
..△BAE±△CAF,
∴BE=CF,∠ABE=∠ACF
设AC,BD交于点O.
∵∠AOD=∠ACF+∠BDC=∠ABE+∠BAO
∴∠BDC=∠BAO=∠BAC=30°,
故答案为:BE=CF,30.
(2)结论:BE=CF,∠BDC=60°;
证明:∵∠BAC=∠EAF=120°,
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,
即∠BAE=∠CAF.
又∵AB=AC,AE=AF,
∴△BAE≌△CAF
∴BE=CF,∠AEB=∠AFC
∵∠EAF=120°,AE=AF,
∵∠AEF=∠AFE=30°,
.∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-(∠AFC-30°)=60°,
(3) BF=OF+2AM,理由如下,
∵∠BAC=∠EAF=90°,
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,
即∠BAE=∠OAF,
又∵△ABC和△AEF均为等额直角三角形
∴AB=AC,AE=AF,
∴△BAE≌△CAF(SAS),
∴BE=CF,
在Rt△AEF中,AM⊥BF,
∴BF=BE+EF=OF+2AM;
【标注】【知识点】等腰三角形
5(1)已知：如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等边△ADE.连接CE.
求证：
(1)①BD=CE;
②∠DCE=120°;
(2)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,点D为BC上的一动点(点D不与B、C圆合),以AD为边作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列) ,连接CE,类比题
(1)请你猜想：
①∠DCE的度数;
②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；
(3)如图，在(2)的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，
∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列) ,连接CE;
①则题(2)的结论还成立吗 请直接写出，不需论证；
②连结BE,若BE=10,BC=6,直接写出AE的长.
【答案】(1)①见解析;②见解析;
，理由见解析；
(3)①结论还成立，理由见解析；②
【解析】
【分析】
(1)①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°,AB=AC,AD=AE,进而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出结论；
②由△ABD≤△ACE以及等边三角形的性质,得出∠ACE=∠B=60°,则
∠DCE=∠ACE+∠ACB=120°;
(2)先判定△ABD≌△ACE(SAS) ,得出∠ACE=∠B=45°,BD=OE,在Rt△ DCE中,根据勾股定理得出 即可得到
(3)①运用(2)中的方法得出 ;②根据Rt△BCE中,BE=10,BO=6,求得CE=8,进而得出CD=8-6=2,在Rt△DCE中,求得DE=68,最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AB的长.
(1)①∵△ABC和△ADE是等边三角形,∴AB=AO,AD=AE,∠ACB=∠B=60°,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC-∠DAO=∠DAE-∠DAO,∴∠BAD=∠EAO,在·ABD和△ACE中ABD≌△ACE,∴∠ACE=∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=60°+60°=120°;
(2)①∵∠BAC=∠DAE=90°,..∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即
∠BAD=∠CAE,在△ABD与△ACE中, E∴△ABD≌△ACE(SAS) ,.
∠ACE=∠B=45°. BD=CE,∴∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB=90°,
即∠DCE=90°,②BD +CD =DE ,理由:∵∠DCE=90°,∴在Rt△DCE
中，由勾股定理可得：
(3)①(2)中的结论还成立.理由:∵∠BAC=∠DAE=90°,..
∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE,在△ABD与△ACE中,
CABCDC,∠CAE. ABCAC,∠ABD,∠ACD=∠∠BCADE=∠ACDE=CB.∠ADE=CB=CB.
∠ACE+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°,∴∠BCE=90°=∠ECD,∴Rt△DCE中,
,②∵Rt△BCE中,BE=10,BC=6,.
∴Rt△DCE中，68, ∴△ADE是等腰直角三角形,.
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.
【标注】【知识点】全等三角形
6△ABO和△ADE都是等边三角形.
(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立;请证明.
(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时,连接BD, CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系 并加以证明；
(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时,连接BD, CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系 直接写出结论，不需要证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)图②结论: PB=PA+PC,证明见解析
(3)图③结论:PA+PB=PC
【解析】
【分析】
(1)由△ABC是等边三角形,得AB=AC,再因为点P与点A重合,所以PB=AB,PC=AC,PA=0，即可得出结论；
(2)在BP上截取BF=CP,连接AF,证明△BADε△CAE(SAS) ,得∠ABD =∠ACE,再证明△CAP≥△BAF(SAS) ,得∠CAP=∠BAF,AF=AP,然后证明△AFP是等边三角形，得PF=AP，即可得出结论；
(3)在CP上截取CF= BP ,连接AF,证明△BAD≌△CAE(SAS) ,得∠ABD=∠ACE,再证明△BAP≌△CAF(SAS) ,得出∠CAF=∠BAP, AP=AF,然后证明△AFP是等边三角形,得PF=AP,即可得出结论:PA+PB=PF+CF=PC.
(1)
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,
∵点P与点A重合，
. PB=AB,PC=AC,PA=0,
∴PA+PB=PC或PA+PC=PB;
(2)
解:图②结论:PB=PA+PC
证明:在BP上截取BF=CP,连接AF,
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAO=∠DAE=60°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD;
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS) ,
∴∠ABD=∠ACE,
∵AC=AB,CP=BF,
∴△CAP≌△BAF(SAS) ,
∴∠CAP=∠BAF,AF=AP,
∴∠CAP+∠OAF=∠BAF+∠CAF,
∴∠FAP=∠BAC=60°,
∴△AFP是等边三角形，
∴PF=AP,
∴PA+PC=PF+BF=PB;
(3)
解:图③结论:PA+PB=PC,
理由:在CP上截取CF=BP,连接AF,
:△ABC和△ADE都是等边三角形,
. AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS) ,
∴∠ABD=∠ACE,
∵AB=AC,BP=CF,
∴△BAP≌△CAF(SAS) ,
∴∠CAF=∠BAP,AP=AF,
∴∠BAF+∠BAP=∠BAF+∠CAF,
∴∠FAP=∠BAC=60°,
∴△AFP是等边三角形，
∵PF=AP,
∴PA+PB=PF+CF=PC,
即PA+PB=PC.
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键.
【标注】【知识点】全等三角形
7两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：
如图1,若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形, BC, DE分别是底边.求证:BD=CE;
(2)解决问题:如图2,若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)∠DCE=90°;AE=AD+DE=BE+2CM
【解析】
【分析】
(1)先判断出∠BAD=∠CAE,进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE,即可得出结论;
(2)同(1)的方法判断出△BAD≌△CAE,得出AD=BE,∠ADC=∠BEC,最后用角的差,即可得出结论.
(1)
证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE.
(2)
解:∠AEB=90°,AE=BE+2CM.
理由如下:由(1)的方法得,△ACDa△BCE,
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,
∵△ODE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠OED=45°,
∴∠ADC=180°-∠CDE=135°,
∴∠BEC=∠ADC=135°,
∵CD=CE,CM⊥DE,
∴DM=ME、
∴DM=ME=CM,
∴DE=2CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键.
8如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AE,连接BD,DE,CE.
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明.
(2)延长ED交直线BC于点F.
① 如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 、
② 如图3，当点F为线段BC中点，且ED=EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由.
【答案】(1) BD=OE,证明见解析
(2)① BE=AE+CE
② ∠BAD=45°,理由见解析
【解析】(1)∵△ABC是等边三角形,
. AB=AC,∠BAC=60°.
∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE，
.. AD=AE,∠DAE=60°,
.∠BAC=∠DAE,
..∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
..△ABD≌△ACE(SAS),
.. BD=CE.
(2)① BE=AE+CE,
理由：∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE,
由(1)得BD=CE.
∴BE=DE+BD=AE+CE.
② 过点A作AG⊥EF于点G,连接AF,如下图.
∵△ADE是等边三角形,AG⊥DE,
∵△ABC是等边三角形，点F为线段BO的中点，
即∠BAD=∠FAG,
∴△BAD∽△FAG,
∴∠ADB=∠AGF=90°.
∵BD=CE,CE=DE=AD,
∴BD=AD,
即△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
9如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE=DF ，连接EF交边AD于点G.过点A作AN⊥EF,垂足为点M ,交边OD于点N.若BE=5,CN=8,则线段AN的长为 .
【答案】4
【解析】如图,连接AE,AF,EN,
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=BC=CD,∠ABE=∠BCD=∠ADF=90°,
∵BE=DF,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴∠BAE=∠DAF,AE=AF,
∴∠EAF=∠BAD=90°,
∴△EAF为等腰直角三角形，
∵AN⊥EF,
∴EM=FM,∠EAM=∠FAM=45°,
∴△AEM≌△AFM(SAS) ,△EMN≌△FMN(SAS).
∴EN=FN,
设DN=x,
∵BE=DF=5,ON=8,
∴CD=CN+DN=x+8,
∴EN=FN=DN+DF=x+5,CE=BC-BE=CD-BE=x+8-5=x+3,在Rt△ECN中，由勾股定理可得：
解得:x=12,
∴DN=12,AD=BC=BE+CE=5+x+3=20,
故答案为：4
【标注】【知识点】正方形与全等综合
10如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°, AB=AC ,D为△ABC内一点,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F.
(1)求证:BD=CE,BD⊥CE.
(2) 如图2,连接AF,DC,已知∠BDC=135°,判断AF与DC的位置关系,并说明理由、
【答案】(1)证明见解析
(2) AF//CD、证明见解析、
【解析】(1)如图1,∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,
∴AD=AE,∠DAE=90°,
∠BAC=90°,
.∠BAC=∠DAE,
..∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△CAE中,
∴△ABD≌△CAE(SAS),
.. BD=CE.∠ABD=∠ACE,
又∵∠AOB=∠COF,
∴∠BFC=∠BAC=90°,
. BD⊥CE.
(2)如图2,作AG⊥BF于G,AH⊥CE于H,
由(1)知△ABD≌△CAE,
∴AG=AH,
又∵AG⊥BF,AH⊥CE,
∴AF平分∠BFE,
又∵∠BFE=90°,
∴∠AFD=∠FDC.
11已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角),得到△EOF,连接AE,CF.
(1)如图1,当∠BAC=90°且AB= AC时,则AE与CF满足的数量关系是 .
(2)如图2,当∠BAC=90°且AB≠AC时,(1)中的结论是否仍然成立 若成立,请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
(3) 如图3,延长AO到点D,使OD=OA,连接DE,当AO=CF=5,BC=6时,求DE的长.
【答案】(1) AE=CF
(2)成立；证明见解析.
【解析】(1)∵AB=AC ,∠BAC=90°,O为BC中点,
由旋转性质可知,△AOC≌△EOF,
. OA=OE,OC=OF,∠AOC=∠EOF,
.. OA=OC=OE=OF,
∠AOC+∠COE=∠EOF+∠COE,
即∠AOE=∠COF,
在△AOB和△COF中
△AOE≌△COF(SAS),
∴AE=CF.
(2)(1)中结论仍然成立；理由如下：
∠BAC=90°,O是BC中点,
由旋转性质可知,△AOC≌△EOF,
∵OA=OE,OC=OF,∠AOC=∠EOF,
∴OA=OC=OE=OF,∠AOC+∠OOE=∠EOF+∠COE,
即∠AOE=∠COF,
在△AOE和△COF中
∴△AOE≌△OOF(SAS),
∴AE=CF.
(3)由旋转性质可知,△AOC≌△EOF,
∴OA=OE,OC=OF,∠AOC=∠EOF,
∵∠AOC=∠EOF,
∵OA=OE,OO=OF,∠AOC=∠EOF,
∵∠AOC=∠EOF,
∴∠AOC+∠COE=∠EOF+∠OOE,
即∠AOE=∠COF,
△AOE∽△COF,
∵AO=CF=5,BC=6,O是BC中点,
∠OAE=∠OEA,∠OED=∠ODE,
:∠OAE+∠OEA+∠OED+∠ODE=180°,
∴2∠OEA+2∠OED=180°,
..∠OEA+∠OED=∠AED=90°,
∵AD=OA+OD=10.
12.如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H ，连接DG.以下四个结论：
①∠EAB=∠GAD;
②△AFC∽△AGD;
③2AE =AH·AC;
④DG⊥AC.
其中正确的个数为( )
A.1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴∠EAG=∠BAD=90°,∠FAG=∠AFG=∠DAC=∠ACB=45°,AF= AG,AC= AD,
∴∠EAG-∠BAG=∠BAD-∠BAG,
∴∠EAB=∠DAG,故①正确;
∴∠FAC=∠DAG,
∴△FAC∽△GAD,故②正确,
∴∠ADG=∠ACB=45°,
延长DG交AC于点N,
:∠CAD=45°,∠ADG=45°.
∴∠AND=90°,
∴DG⊥AC,故④正确,
∵∠FAC=∠FAH,∠AFG=∠ACF=45°,
∴△AFH∽△ACF,
故③正确.
故选D.
13如图,在△ABC中,∠CAB=55°,∠ABC=25°,在同一平面内,将△ABC绕A点逆时针旋转70°,得到△ADE,连接EC,则tan∠DEC的值是 .
【答案】1
【解析】由旋转的性质可知:AE=AC,∠CAE=70°,
∴∠ACE=∠AEC=55°,
又∵∠AED=∠ACB,∠CAB=55°,∠ABC=25°,
故答案为：1.
【标注】【知识点】旋转性质综合应用
14.如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE +BG =2a +2b ,其中正确结论是 (填序号)
【答案】①②③
【解析】设BE,DG交于O,
∵四边形ABCD和EFGC都为正方形,
·BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE,即∠BCE=∠DCG,在△BCE和△DCG中,
∴△BCE≌△DCG(SAS),
. BE=DG,
.∠1=∠2,
∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠BOG=90°,
∴BE⊥DG;故①②正确.
连接BD,EG,如图所示,
贝故③正确.
15如图,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC,AE与BD交于点F.
(1)求证:AE=BD、
(2)求∠AFD的度数、
【答案】(1)证明见解析、
(2)90°、
【解析】(1)∵AC⊥BC,DC⊥EC,
.∠AOB=∠ECD=90°,
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE,
即∠ACE=∠BCD,
又AC=BC,DC=BC,
△ACE≌△BCD,
·AE=BD、
(2)∵△ACE≌△BCD,
∴∠A=∠B.
没AE与BC交于O点,
∴∠AOC=∠BOF,
∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°,
∴∠BFO=∠ACO=90°,
故。
16如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.
(1)【问题解决】
如图1,若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD.
(2)【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段OE ，CF与CD之间存在怎样的数量关系 并说明理由.
【答案】(1)证明见解析.
(2) FC=CD+CE;证明见解析.
【解析】(1)在CD上截取CH=CE,如图1所示,
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH=60°,
∴△CEH是等边三角形，
∴EH=EC=CH,∠CEH=60°,
∴△DEF是等边三角形，
. DE=FE,∠DEF=60°,
∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°,
∴∠DEH=∠FEC,
在△DEH和△FEC中,
△DEH≌△FEC(SAS),
. DH=CF,
∴CD=CH+DH=CE+CF,
∴CE+CF=CD.
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=60°,
过D作DG//AB,交AC的延长线于点G,如图2所示,
∵GD∥AB,
∴∠GDC=∠B=60°,∠DGC=∠A=60°,
∴∠GDC=∠DGC=60°,
∴△GCD为等边三角形，
∴DG=CD=CG,∠GDC=60°,
∵△EDF为等边三角形，
.. ED=DF,∠EDF=∠GDC=60°,
..∠EDG=∠FDC,
在△EGD和△FCD中,
.△EGD≌△FCD(SAS),
. EG=FC,
FC=EG=CG+CE=CD+CE.
【标注】【知识点】等边三角形与全等
17如图1,△ABC和△DCE都是等边三角形.
(1)探究发现：
△BCD与△ACE是否全等 若全等，加以证明；若不全等，请说明理由.
(2)拓展运用：
若B、C、E三点不在一条直线上,∠ADC=30°,AD=3,CD=2,求BD的长.
(3)若B、C、E三点在一条直线上(如图2) ,且△ABC和△DCE的边长分别为1和2,求△ACD的面积及AD的长.
【答案】(1)全等，证明见解析.
(2)
【解析】(1)∵△ABC和△DCE都是等边三角形,
∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
在△BCD和△ACE中,
∴△ACE≌△BCD(SAS)、
(2)如图3,由(1)得:△BCD≌△ACE,
. BD=AE,
△DCE都是等边三角形，
..∠CDE=60°,CD=DE=2,
∠ADC=30°,
在Rt△ADE中,AD=3,DE=2,
(3)如图2,过A作AF⊥CD于F,
∴B、C、E三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE=180°,
∵△ABC和△DCE都是等边三角形,
∴∠BCA=∠DCE=60°,
∴∠ACD=60°,
在Rt△ACF中,
在Rt△AFD中,
. AD=
【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用
18如图1,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC= +1,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE=1,连接DE,现将△ADE绕点A顺时针方向旋转,旋转角为α(0°<α<360°),如图2,连接CE,BD,CD.
(1)当0°<α<180°时,求证:CE=BD.
(2)如图3,当α=90°时,延长CE交BD于点F,求证:CF垂直平分BD
(3)在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)根据题意:AB=AC,AD=AE,∠CAB=∠EAD=90°,∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE=90°,
∴∠CAE=∠BAD,
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在△ACE和△ABD中,
∴△ACE≌△ABD(SAS),
∴CE=BD.
(2)根据题意:AB=AC,AD=AE,∠CAB=∠EAD=90°,
△ACE≌△ABD(SAS),
…∠ACE=∠ABD,
且∠AEC=∠FEB,
∴∠EFB=90°,
∴CF⊥BD,
∴AB=AC= +1,AD=AE=1,∠CAB=∠EAD=90°,
∴BC=CD,
∵CF⊥BD,
∴CF是线段BD的垂直平分线.
(3)△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值，∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图：
:AB=AC= +1,AD=AE=1,∠CAB=∠EAD=90°,DG⊥BO于G,
∴△BCD的面积的最大值为：
旋转用α=135°.
19.△ABC为等边三角形, AB=8,AD⊥BC于点D ,E为线段AD上一点, AE =2 .以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点.
(1)如图1,EF与AC交于点G,连接NG,求线段NG的长.
(2) 如图2,将△AEF绕点A逆时针旋转,旋转角为α, M为线段EF的中点,连接DN,MN.当30°(3)连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【解析】(1)解:如图1中,连接BE,CF.
∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,
∴AB=BC=AC=8,BD=CD=4,
∵△ABC,△AEF为等边三角形,
∴AB=AC,AE=AF.∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
∴△BAE≌△CAF(SAS),
∵EN=CN,EG=FG,
(2) 结论:∠DNM =120°是定值.
理由:连接BE,CF.同法可证△BAE≌△CAF(SAS),
∴∠ABE=∠ACF,
∴∠EBC+∠BCF=∠ABC-∠ABE+∠ACB+∠ACF=120°,
∵EN=NC,EM =MF,
∴MN//CF.
∴∠ENM=∠ECF,
∵BD=DC,EN=NC,
∴DN//BE,
∴∠CDN=∠EBC,
∵∠END=∠NDC+∠NCB,
∴∠DNM=∠DNE+∠BNM=∠NDC+∠BON+∠EOF=∠BBO+∠AOB+∠AOP=∠BBO+∠BCP=120°
(3)如图3-1中,取AC的中点J,连接BJ, JN.
∵AJ=CJ,EN=NC,
∴BN≤BJ+JN,
∴BN≤5
∴当点N在B.7的延长线上时，BN的值最大，如图3-2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K,连接AN.
在Rt△HKN中,∵∠NHK=90°,∠NKH=60°,
【标注】【知识点】平行线的性质；三角形的周长与面积问题；三角形中位线定理；等边三角形
的定义；直角三角形斜边中线性质以及应用
20如图1,在等腰直角三角形ADC中,∠ADC=90°,AD=4.点E是AD的中点,以DE为边作正方形DEFG,连接AG ,CE .将正方形DEFG绕点D顺时针旋转,旋转角为α(0°<α<90°).
(1)如图2，在旋转过程中，
① 判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由.
②当CE=CD时,AG与EF交于点H ,求GH的长.
(2)如图3,延长CE交直线AG于点P .
①求证:AG⊥CP.
② 在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值 若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)①全等，证明见解析.
(2)①证明见解析.
②存在，最大值为：2
【解析】(1)①在等腰直角三角形ADC中, AD=CD,∠ADC=90°,
在正方形DEFG中,GD=ED,∠GDE=90°,
又∵∠ADE+∠EDC=90°,∠ADE+∠ADG=90°,
∴∠ADG=∠CDE,
在△AGD和△CED中,
∴△AGD≌△CED(SAS).
② 如解图2,
过A点作AM⊥GD,垂足为M,交FE于N,
∵点E是AD的中点，
∴在正方形DEFG中,DE=GD=GF=EF=2,
由①得△AGD≌△CED.
∴AG=CE.
又∵CE=CD,
∴AG=AD=CD=4,
∵AM⊥GD,
又：
∴四边形GMNF是矩形，
∴MN=GF=2;
在Rt△AGM中,
∵FG∥AM,
∴∠GAM=∠AGF,
(2)① 由①得△AGD≌△CED,
∴∠GAD=∠ECD,
又∵∠ECD+∠ECA+∠DAC=90°,
∴∠GAD+∠ECA+∠DAC=90°,
即:AG⊥CP.
∴PC=AC·sin∠PAC,
∴当∠PAC最大时, PC最大,
是定值，
∴∠GAD最大时,∠PAC最大,PC最大,
∵AD=4,GD=2,
∴当GD⊥AG,∠GAD=30°时最大,如解图3,
此时
又∵AG⊥CP,EF⊥FG,
∴F点与P点重合，
∴C、E、F、P四点共线,
∴OP=CE+EF=AG+EF=2 +2,
∴线段PC的最大值为：
【标注】【知识点】正方形与全等综合
21回答下列问题：
(1) 如图1,在Rt△ABC中,AB= AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合) ,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 .
(2)如图2,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论.
(3)如图3,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.
【答案】(1) BC=DC+EC
证明见解析.
(3)6.
【解析】(1)BC=DC+EC,
理由如下:∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC--∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠OAE,
在△BAD和△CAE中,
. BD=CE,
∴BC=BD+CD=EC+CD.
理由如下：连接CE，
由(1)得,△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,∠ACE=∠B,
∴∠DCE=90°,
在Rt△ADE中,AD +AE =ED ,又AD=AE,
(3)作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAD',
在△BAD与△CAE中,
∴△BAD≌△OAE(SAS,
∴BD=CE=9,
22如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2.将△ABC绕点B逆时针旋转60°,得到△A BC ，则AC边的中点D与其对应点D 的距离是 .
【答案】
【解析】连接BD、BD ,如图,
∵∠ABC=90°,AB=BC=2,
∵D点为AC的中点，
∵△ABC绕点B逆时针旋转60°,得到△A BO ,
∴△BDD 为等边三角形,
故答案为
23.如图,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M ,连接OM、下列结论:①AC=BD;②∠AMB=40°;③OM平分∠BOC;④MO平分∠BMC,其中正确的个数为( ) .
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】∵∠AOB=∠COD=40°,
∴∠AOB÷∠AOD=∠COD+∠AOD,
即∠AOC=∠BOD.
在△AOC和△BOD中,
∴△AOC≌△BOD(SAS),
∴∠OCA=∠ODB,∠OAC=∠OBD,AC=BD,①正确;
由三角形的外角性质得:∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD.
∴∠AMB=∠AOB=40°,②正确;
作OG⊥MC于G,OH⊥MB于H,如图所示:
则∠OGC=∠OHD=90°,
在△OCO和△ODH中,
..△OCG≌△ODH(AAS),
∴OG=OH,
∴MO平分∠BMC,④正确;
∵∠AOB=∠COD,
∴当∠DOM=∠AOM时,OM才平分∠BOC,
假设∠DOM =∠AOM.
:∠AOC=∠BOD,
..∠COM=∠BOM,
∵MO平分∠BMC,
.∠CMO=∠BMO,
在△COM和△BOM中,
∴△COM≌△BOM(ASA),
∴OB=OC,
∵OA=OB,
∴OA=OC,
与OA>OC矛盾,
∴③错误;
正确的个数为3，
故选B.
24.如图,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90°,BD,CE交于点F,连接AF.下列结论:①BD=CE;②BF⊥CF;③AF平分∠CAD;④∠AFE=45°.其中正确结论的个数有( ).
A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个
【答案】C
[解析]
如图所示,过点A分别作AM⊥BD于点M , AN⊥CE于点N,
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90°,∴AB=AC,AD=AB,
又∠BAD=∠BAC+∠CAD,∠CAE=∠DAE+∠CAD,∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD与△CAE中,有
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,故①正确.
∠BDA=∠CEA,
在△ADE中,有
∴∠CEA+∠CED+∠ADE=90°,
在△DEF中,有∠EFD+∠CED+∠BDE=180°,
∴∠EFD=90°,即BF⊥CF,故②正确.
∵△BADie△CAE,
∴AM=AN,
又AM⊥BD,AN⊥CE.
∴FA平分∠BFE.
又
故④正确.
如图所示，设AC与BD交点为G，AD与CE交点为H，
在△AFG与△AFH中有AF=AF,∠AFG=∠AFH=45°,
而根据已知条件无法得到FG=FH或AG=AH,GF=HF,则无法得到△AFG与△AFH全等，无法得出AF平分∠CAD，故③错误、
∴正确结论有①②④共3个.
故选C.
25.如图,△ABC和△BCD都是等边三角形,且点B、C、D在一条直线上,连接BE、AD,点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且 则△CMN的形状是( ) .
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D、不等边三角形
【答案】C
【解析】∵△ABC和△ECD是等边三角形,
∴OA=CB,OE=CD,∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE.
即∠BCE=∠ACD,
在△BCE和△ACD中,
∴△BCE≌△ACD(SAS).
∴BE=AD,∠CBM=∠CAN,
∴BM=AN,
在△CBM和△CAN中,
∴△CBM≌△CAN(SAS),
∴CM=CN,∠BCM=∠ACN,
∴∠BCM+∠MCA=∠AON+∠MCA,
即∠BCA=∠MCN=60°,
∴△CMN是等边三角形.
故选C.
26.如图,点A, B,C在一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD、BD于点M、P,CD交BE于点Q ,连接PQ, BM.
下列结论:①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④MB平分∠AMC.
其中结论正确的有( )
A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个
【答案】D
【解析】方法一:∵△ABD、△BCE为等边三角形,
∴AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°,BE=BC,
∴∠ABE=∠DBC,∠PBQ=60°,
在△ABE和△DBC中,
∴△ABE≌△DBC(SAS),
∴①正确;
△ABB≌△DBC,
∵∠BAE=∠BDC,
∵∠BDC+∠BCD=∠ABD=60°,
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°,
∴②正确;
在△ABP和△DBQ中,
∴△ABP≌△DBQ(ASA),
∴BP =BQ,
又∠PBQ=60°,
∴∠BPG=∠BGP=60°.
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确;
过B作BF⊥AE于F,BG⊥CD于G,
·△BAE≌△BDC,∴AE=DC,S△ABE=S△DBC,
∴BF=BG,
∴△MFB≌△MGB(HL),
..∠FMB=∠GMB,即MB平分∠AMC,
∵④正确.
综上所述，正确的结论有4个.
方法二:∵△ABD、△BCE为等边三角形,
.. AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°,BE=BC,
..∠ABE=∠DBC,∠PBQ=60°,
在△ABE和△DBC中,
.△ABE≌△DBC(SAS),
∴①正确;
∵△ABE≌△DBC,
.∠BAE=∠BDC,
∵∠BDC+∠BCD=∠ABD=60°,
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°,
∴②正确;
在△ABP和△DBQ中,
∴△ABP≌△DBQ(ASA),
. BP=BQ,
又∠PBQ=60°,
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确;
∴∠AMC+∠PBQ=180°,
∴P、B、Q、M四点共圆,
∵BP=BQ,
∴BP=BQ,
∴∠BMP=∠BMQ,
即MB平分∠AMO,
∴④正确.
综上所述，正确的结论有4个.
27.如图,在四边形ABCD中, AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD的长为 .
【答案】
【解析】如图所示,过点A作AD'⊥AD,且AD'=AD=4,
则
因为∠ABO=∠ACB=∠ADC=45°,
所以∠BAC=90°,∠D'DC=90°,
因为∠D'AC=∠D'AD+∠DAC,∠DAB=∠BAC+∠DAC,
所以∠D'AC =∠DAB,
在△D'AO和△DAB中,
所以△D'AO≌△DAB(SAS),则OD'= BD,在Rt△ADD'中，由勾股定理可知，
在Rt△DD'C中，由勾股定理可知， 即
∴BC=2CE=2BD,
∴AC=2BD.
(2)过点G作GH⊥AB于H ,连接HF,
:BD//AC,
∴∠FBD=∠FGA,∠D=∠FAG,
∵点F是AD的中点，
∴AF=DF,
∴△AGF≌△DBF(AAS),
∴AG=BD,BF=GF,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠ACB=45°.
∵GH⊥AH,
∴△AHG是等腰直角三角形，
∵∠BHG=∠BCG=90°,BF=GF,
∴∠FBH=∠FHB,∠FBC=∠FCB,
∴∠GFH=∠FBH+∠FHB=2∠FBH,∠GFC=∠FBC+∠FCB=2∠FBC
∴∠HFC=∠GFH+∠GFC=2∠FBH+2∠FBC=2∠ABC=90°,
∵FM⊥BG,
∴∠BFM=90°,
∴∠HFM=∠CFN.
设∠CBG=x,则∠
∴∠HMF=∠BFM+∠FBM=135°-x,
∵ON平分∠ACB,
∴∠HFM=∠CNF,

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