资源简介

旋转模型
1.旋转
(1)定义:
在平面内，一个图形绕着定点O旋转一定角度得到另一个图形的变化过程叫作旋转，定点O叫作旋转中心，旋转的角度叫作旋转角 .如果点A经过旋转变为点. ，那么这两个点称为旋转的对应点.
(2)性质:
①图形旋转是图形上每一点绕某个定点旋转固定角度的位置移动；
②对应点到旋转中心的距离相等；
③旋转前后图形的大小和形状没有改变；
④两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等，都等于旋转角 ；
⑤旋转中心是旋转过程中唯一不动的点.
2.旋转对称图形
定义：在平面内，一个图形绕一个定点旋转一定角度后，能够与原图重合，该图形叫作旋转对称图形.
3.旋转三要素
①定点一旋转中心 ；②旋转方向 ；③旋转角度 .
4.中心对称图形
(1)中心对称图形：在平面内 ，一个图形绕某一定点旋转： ，能够和原图重合，叫作中心对称图形.
(2)中心对称：把一个图形绕某个点旋转： ，如果它能与另一图形重合，那这两个图形成中心对称.
真题精炼
1在Rt△ABC中,∠ACB=90°, AC=1, BC=3.
(1)问题发现如图1, 将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE,连接AD, BE ,线段AD与BE的数量关系是 ，AD与BE的位置关系是 ；(2)类比探究将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD ，BE，线段AD与BE的数量关系、位置关系与
(1)中结论是否一致 若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；(3)迁移应用如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得△CDE，当D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长.
2【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和∠ ,设AB=2.
【操作探究】
如图1,先将△ADB和△A'D'C的边AD、A'D'重合, 再将△A'D'C绕着点A按顺时针方向旋转,旋转角为( ，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC .
(1)当α=60°时, BC = ; 当 时,α= °;
(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
(3)如图2，取BC的中点F ，将△A'D'C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 .
3【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，
∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,连接AD, BE,探究AD ,BE的位置关系.
(1)如图1,当m=1时, 直接写出AD, BE的位置关系: ;
(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立 若成立，给出证明；若不成立，说明理由.
【拓展应用】(3)当 时, 将△CDE绕点C旋转, 使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长.
4如图，已知点A(3，0)，点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为(7,h),则h= .
5如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点.若 以下结论: ①BD=CE;②BD⊥CE; ③当点E在BA的延长线上时, ④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为 其中正确结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
6如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE ，AB的中点，
将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M ，N距离的最大值和最小值；
(2)将 E绕顶点C逆时针旋转1 20°(如图2) , 求MN的长.
7在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.
(1)操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①.试判断： 的形状为
(2)深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若 AD=4.
探究--：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②.求 的面积
探究二：连接AE，取AE的中点H ，连接DH ，如图③ .求线段DH长度的最大值和最小值.
8 是直角三角形， ，以CE为斜边作直角三角形CDE,且CD= DE . F是AE边上一点, 连接BD和BF,且 AF长为 .
9
(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD,CE.求证:.
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， .连接BD,CE .请直接写出 的值 .
(3)【拓展提升】如图3, △ABC和△ADE都是直角三角形,. 且 .连接BD,CE . ①求 的值; ②延长CE交BD于点F ,交AB于点G .求 的值.
10在 中， ，将线段CA绕点C旋转 ，得到线段CD，连接AD、 BD .
(1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则 的度数为 ；
(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时①在图2中依题意补全图形，并求 的度数；②若 的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE.用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明.
11已知 和 都为等腰三角形，
(1) 当 时.
① 如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系： .
② 如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由.
(2) 当 时.
①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由.
②当 时，请直接写出DC的长.
12问题背景：
如图1, 在矩形ABCD中, 点E是边AB的中点，过点E作1 交BD于点F .
实验探究：
(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的， 绕点B按逆时针方向旋转9 ，如图2所示，得到结论：
② 直线AE与DF所夹锐角的度数为 .
(2)小王同学继续将 绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置 .请问探究(1)中的结论是否仍然成立 并说明理由.
(3)拓展延伸：
在以上探究中，当 旋转至D、E、F三点共线时，则 的面积为 .
-
13.P是正方形ABCD内一点,点P到A、B、C距离为2 , 正方形ABCD面积为 .
14.如图,在正方形ABCD外取一点E,连接DE, AE ,CE,过点D作DE的垂线交AE于点P,若 下列结论: ①△APD≌△CED ;②AE⊥CE;③点C到直线DE的距离为 ；④S正方形 其中正确结论的序号为
15.等边三角形内一点P ，A
16.如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转到平行四边形 的位置，使点 落在BC上， 与CD交于点E，若 ，则CE的长为
17.如图，在四边形ABCD中，. ,连接AC、BD ,若 则BD的长为 .
18.如图，P是等边. 内部一点， 的大小之比是5:6:7, 则以PA、PB、PC为边的三角形的三个角的大小之比(从小到大)是( ).
A.2:3:4 B. 3:4:5 C. 4:5:6 D.不能确定
19.在 中,. 将△AB( 绕点B顺时针旋转得到 其中点A，C的对应点分别为.
(1) 如图1, 当点 落在AC的延长线上时，求 的长.
(2) 如图2, 当点 落在AB的延长线上时，连接( 交 于点M ,求BM的长.
(3) 如图3, 连接. 直线 交 于点D ，点E为AC的中点，连接DE.在旋转过程中，DE是否存在最小值 若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由.
20在 中， 中,( 点B ，C ，E不共线，点P为直线DE上一点，且
(1)如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ ，(用含α的代数
(2) 如图2,点A, E在直线BC同侧, 求证:BP平分.
(3)若 将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥D 时，直线PC交BD于点G ，点M是PD中点，请直接写出GM的长.
21.如图,∠ABC=15°,∠ACB=37.5°,∠DAC=75°, DC=2,则BD的长为
22.四边形ABCD中, AB= AD, BC=BD, 若 则∠BDC度数( ) .
A. 2α D. 180°-3α
23.如图1，在 中， D为 内部的一动点(不在边上)，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转( 使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转 使点A到达点E的位置,连接AD,CD, AE, AF, BF,EF
(1) 求证:
(2)解答下列问题：
的最小值为
② 当 取得最小值时，求证：
(3) 如图2,M, N , P分别是DF, AF , AE的中点,连接MP,NP,在点D运动的过程中,请判断 的大小是否为定值.若是，求出其度数；若不是，请说明理由.
1.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,BC=3.
(1)问题发现
如图1, 将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE,连接AD, BE ,线段AD与BB的数量关系是 ，AD与BE的位置关系是 ；
(2)类比探究
将△OAB绕点C'按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、位置关系与(1)中结论是否一致 若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长.
【答案】(1)BE=3AD;AD⊥BE
(2)一致；理由见解析
【解析】
【分析】
(1)延长DA交BE于点H,根据旋转得出CD=AC=1,CE=BC=3,
，根据勾股定理得出
根据等腰三角形的性质得出
根据三角形内角和定理求出
即可得出结论；
(2)延长DA交BE于点H,证明△ACD∽△BCE,得出
∠ADC=∠BEC,根据三角形内角和定理得出∠EHN =∠DCN=90°,即可证明结论;
(3)过点C作CN⊥AB于点N，根据等腰三角形的性质得出 根据勾股定理得出 证明△ACN∽△ABC,得出 求出 根据解析(2)得出
【详解】
(1)解:延长DA交BE于点H,如图所示:
∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE,
∴CD=AC=1,CE=BC=3,∠ACD=∠AOB=90°,
∴根据勾股定理得：
∴BE=3AD,
∵CD=AC,CE=BC,∠ACD=∠ACB=90°,
∴AD⊥BE.
(2)解：线段AD与BE的数量关系、位置关系与(1)中结论一致；理由如下：延长DA交BE于点H，如图所示：
。
∵将△CAB绕点C旋转得到△CDE,
∴CD=AC=1,CE=BC=3,∠ACD=∠BCE.∠DCE=∠AOB=00°,
∴△AOD∽△BCE,
∴BE=3AD;
又∵∠ENH=∠OND,∠HEN+∠ENH+∠EHN=180°,∠CND+∠CDN+∠DON=180°,
∴∠EHN=∠DCN=90°,
∴AD⊥BE;
(3)解:过点C作CN⊥AB于点N,如图所示:
根据旋转可知:AC=CD,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,BC=3,
∴根据勾股定理得：
∵∠ANO=∠ACB=90°,∠A=∠A,
∴△AON∽△ABC.
解得：
根据解析(2)可知：
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.
2.【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A'D'C,∠ADB=∠A'D'C=90°,∠B=∠C=30°,设AB=2.
【操作探究】
如图1,先将△ADB和△A'D'C的边AD、A'D'重合,再将△A'D'C绕着点A按顺时针方向旋转,旋转角为α(0°≤α≤360°),旋转过程中△ADB保持不动,连接BC.
(1)当a=60°时,BC= ;当BC=2 时,α=
(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
(3)如图2，取BC的中点F，将△A'D'C绕着点A旋转一周，点/的运动路径长为 .
【答案】(1)2;30或210
(2)画图见解析
(3)2π
【解析】(1)解:∵△ADB和△A'D'C中∠ADB=∠A'D'C=90°,∠B=∠C=30°,
∴∠BAD=∠CA'D'=90°-30°=60°,
∴当α=60°时,A'C与AD重合,如下图所示:连接BC,
:AB=AC=2,∠BAC=60°,
..△ABC为等边三角形,
∴BC=AB=2;当BC=2 时，
.当BC=2 时,△ABC为直角三角形,∠BAC=90°,
∴AB⊥AC,当AC在AB下方时,如下图所示:
:∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°,
∴此时α=∠DAD'=∠CAD'-∠DAC=60°-30°=30°;
当AC在AB上方时，如下图所示：
∵∠DAB=∠D'AC=60°,
∴此时α=∠DAB+∠BAC+∠D'AC=210°;综上分析可知，当BC=2 时,α=30°或210°:
因此正确答案为:2;30或210.
(2)解:当a=90°时,如下图所示:
∵AB=AC=2,
∵∠DAD'=α=90°,
又∵∠ADB=∠AD'C=90°,
∴四边形ADED'是矩形,
∵AD=AD',
∴四边形ADED'是正方形，
∴AD=DE=D'E=1,
∴BE=BD-DE= -1,
∵∠DAG=∠DAD'-∠CAD'=90°-60°=30°,
即两块三角板重叠部分图形的面积为
(3)解:∵AB=AC,F为BC的中点,∴AF⊥BC,
∴∠AFB=90°,
∴将△A'D'C绕着点A旋转一周，点F在以AB为直径的圆上运动，∵AB=2∴点F运动的路径长为2π.
因此正确答案为：2π.
3.【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,连接AD,BE,探究AD,BE的位置关系.
(1)如图1,当m=1时,直接写出AD,BE的位置关系: ;
(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立 若成立，给出证明；若不成立，说明理由.【拓展应用】
(3)当m= ,AB=4 ,DE=4时,将△CDE绕点C旋转,使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长.
【答案】(1)BE⊥AD
(2)成立；理由见解析
(3)BE=6 或4
【解析】
【分析】
(1)根据m=1,得出AC=BC,DC=EC,证明△DCA≌△ECB,得出∠DAC=∠CBE,根据∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG,求出∠GAB+∠ABG=90°,即可证明结论;
(2)证明△DCA∽△ECB,得出∠DAC=∠CBE,根据
∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG,求出∠GAB+∠ABG=90°,即可证明结论：
(3)分两种情况，当点E在线段AD上时，当点D在线段AE上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可.
【详解】
(1)解:∵m=1,
∴AC=BC,DO=EO.
∵∠DCE=∠AOB=90°,
∴∠DCA+∠AOE=∠ACE+∠ECB=90°,
∴∠DCA=∠ECB,
∴△DOAm△EOB,
..∠DAC=∠CBE.
··∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG.
=∠CBE+∠CAB+∠ABG
=∠CAB+∠CBA
=180°-∠ACB
=90°
∴∠AGB=180°-90°=90°,
∴BE⊥AD;
故答案为:BE⊥AD.
(2)解：成立；理由如下：
∵∠DOE=∠ACB=90°,
∴∠DOA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°,
..∠DOA=∠ECB,
∴△DCA∽△ECB,
∴∠DAC=∠CBE.
∵∠GAB+∠ABG=∠DAO+∠CAB+∠ABG,
=∠CBE+∠CAB+∠ABG
=∠CAB+∠CBA
=180°-∠ACB
=90°,
∴∠AGB =180°-90°=90°,
∴BE⊥AD;
设AE=x,则AD=AE+DE=x+4,
根据解析(2)可知,△DCA∽△ECB,
根据解析(2)可知,BE⊥AD,
∴∠AEB=90°,
根据勾股定理得：
解得:x=2或x=-8(舍去),
∴此时
当点D在线段AE上时，连接BE，如图所示：
设AD=y,则AE=AD+DE=y+4.
根据解析(2)可知,△DCA∽△ECB,
根据解析(2)可知,BE⊥AD,
∴∠AEB=90°,
根据勾股定理得：
民
解得： (舍去) ,
∴此时
综上分析可知，BE=6 或4
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.
4如图，已知点A(3，0)，点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为(7,h),则h= .
【答案】
【解析】方法一:在z轴上取点D和点E,使得∠ADB=∠AEC=120°,过点C作CF⊥x轴于点F ，具体如下图：
∵点C的坐标为(7,h),
∴OF=7,CF=h,
在Rt△CEF中,
∠CEF=180°-∠AEC=60°,CF=h,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=60°,
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∴∠CAE=∠ABD,
∵AB=CA,
∴△CAE≌△ABD(AAS).
∴点A(3,0).
∴OA=3.
在Rt△BOD中
解得
故本题答案为：
方法二：
取点
连接AD、CD,则OA=AD,∠OAD=120°,
证△AOB≌△ADC,∠ADO=90°,
过点C作CE⊥x轴,过点D作DE⊥y轴,CE,DE交于点E,
【标注】【知识点】旋转
5.如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转,点M为射线BD、CE的交点.若AB= ,AD=1.以下结论:
①BD=CE;②BD⊥CE;
③当点E在BA的延长线上时，
④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为
其中正确结论有( )
A.1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
【答案】D
【解析】
【分析】
证明△BADν△CAE即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明∠DCM∽∠ECA得 即可判断③；以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小，可得四边形AEMD是正方形，在Rt△MBC中. 然后根据三角形的面积公式即可判断④.
【详解】
解：∵△ABO和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴BA=CA,DA=EA,∠BAO=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE.
∴△BAD≌△OAE,
∴∠ABD=∠ACE,BD=OE,故①正确;
设∠ABD=∠ACE=α,
∴∠EMB=∠DBO+∠BOM=∠DBC+∠BCA+∠AOE=45°-α+45°+α=90°.
∴BD⊥CE,故②正确;
当点E在BA的延长线上时，如图所示
∵∠DCM=∠EOA,∠DMC=∠EAC=90°,
故③正确；
④如图所示，以A为圆心，AD为半径画圆，
∵∠BMC=90°,
∴当CE在⊙A的下方与⊙A相切时,MB的值最小, ∠ADM =∠DAE=∠AEM =90°..四边形AEMD是矩形,
又AE=AD,
∴四边形AEMD是正方形，
. MD=AE=1,
在Rt△MBC中,
∴PB取得最小值时，
故④正确，
故选:D.
6.如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2,AB=4.
(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M ，N距离的最大值和最小值；
(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2) ,求MN的长.
【答案】(1)最大值为3，最小值为1
(2)
【解析】(1)解：通过题意，
当M在NO的延长线上时, M,N的距离最大,最大值为CM+CN=1+2=3,
当M在线段CN上时,M,N的距离最小,最小值为CN-CN=2-1=1;
(2)解：如下图所示，过点N作NP⊥MC，交MC的延长线于点P，
∵△CDE绕顶点C逆时针旋转120°,
∴∠BCE=120°,
∵∠BCN =∠ECM =45°,
∴∠MON=∠BCM-∠ECM=∠BCE=120°,
在Rt△ONP中,
在Rt△MNP中,.
【标注】【知识点】旋转
7.在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和OEFG拼成“L”形图案，如图①.
试判断：△AOF的形状为 .
(2)深入探究
小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2，AD=4.
探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设OG与DF相交于点M，如图②，求△CMF的面积
探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③.
求线段DH长度的最大值和最小值.
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)探究 探究二：线段DH长度的最大值为 最小值为
【解析】
【分析】
(1)由AC=CF,可知△ACF是等腰三角形,再由△ABOω△FGC(SAS),推导出∠AOF=90°,即可判断出△ACF是等腰直角三角形,
(2)探究一:证明△ODMn△FGM(AAS),可得CM=MF,再由等腰三角形的性质可得AD=DF,在Rt△CDM中,勾股定理列出方程 解得CM，即可求△CMF的面积;
探究二:连接DE,取DB的中点P,连接HP,取AD、BC的中点为M、N,连接MN,MH，NH ，分别得出四边形MHPD是平行四边形，四边形HNCP是平行四边形，则
∠MHN=90°,可知H点在以MN为直径的圆上,设MN的中点为T, DT= ，即可得出DH的最大值与最小值.
【详解】
(1)解:∵两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG,
∴AO=CF,
∴△ACF是等腰三角形，
∵AB=GF,∠FGC=∠ABC=90°. BC=CG,
∴△ABC±△FGC(SAS),
∴∠BAC=∠GFO,
∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠ACG,
∴∠ACG=∠GFC,
∴∠ACF=90°,
∴△ACF是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
(2)探究一:∵CD=GF,∠FMG=∠DMC,∠G=∠CDF=90°,
∴△CDMα△FGM(AAS),
∴CM=MF,
∵AC=CF,CD⊥AF,
∴AD=DF,
∵AB=CD=2,AD=DF=4,
∴DM=4-CM,
在Rt△CDM中,
解得
∴△CMF的面积
探究二:连接DE,取DE的中点P,连接HP,CP,取AD、BC的中点为M、N,连接MN,MH,NH,
∵H是AE的中点,
∴MH∥DE,且MH= DE.
∵OD=CE,
∴CP⊥DE,DP=PE,
∵MH∥DP,且MH=DP,
∴四边形MHPD是平行四边形，
∴MD=HP,MD∥HP,
∵AD∥BC,MD=CN,
∴HP∥CN,HP=ON,
∴四边形HNCP是平行四边形，
∴NH∥CP.
∴∠MHN=90°,
∴H点在以MN为直径的圆上，
设MN的中点为T，
∴DH的最大值为 最小值为 -1.
【点睛】
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键.
7已知△ABC是直角三角形,∠B=90°,AB=3,BC=5,AE=2 ,连接CE,以CE为斜边作直角三角形CDE,且CD=DE. F是AE边上的一点,连接BD和BF,且∠FBD=45°,则AF的长为 .
【答案】
【解析】将线段BD绕点D顺时针旋转90°，得到线段HD，连接BH，连接HE并延长交BC于G
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴∠HBD=45°,HD=BD,
∴点B、F. H三点共线,
又∵△EDC是等腰直角三角形，
∴ED=OD,
∵∠EDH+∠EDB=90°,∠CDB+∠EDB=90°,
∴∠EDH=∠CDB,
∴△EDH≌△ODB(8AS),
∴EH=CB=5,∠DHE=∠OBD,
∴∠BGH=∠BDH=90°,
又∵∠ABC=90°,
∴HE∥AB,
∴△ABF∽△EHF,
∵AE=2
故答案为：
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
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(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD,CE、求证:BD=CE.
(2)【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°.连接BD,CE.请直接写出PI/O 的值.
(3)【拓展提升】如图3,△ABC和△ADE都是直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且 .连接BD,CE.
①求 的值；
②延长CE交BD于点F,交AB于点G.求sin∠BFC的值.
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)证明△BAD≌△CAE,从而得出结论;
(2)证明△BAD-△CAE,进而得出结果;
(3)①先证明△ABC-△ADE,再证得△CAE-△BAD,进而得出结果;
②在①的基础上得出∠ACF=∠ABD,供而∠BFC=∠BAC,进一步得出结果.
(1)证明:∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
·AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°,
∵.∠DAE-∠BAE=∠BAC·∠BAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS) ,
∴BD=CE;
(2)
解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE.
∴∠BAD=∠CAE.
∴△BAD-△CAE,
(3)
解：
∴△ABC∽△ADE,
∴∠CAE=∠BAD,
∴△CAE∽△BAD,
②由①得:△CAE-△BAD.
.∠ACE=∠ABD.
∴∠AGC=∠BGF,
.∠BFC=∠BAC,
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形.
【标注】【知识点】相似三角形
9在Rt△ABC中,AC=BC,将线段CA绕点C旋转α 得到线段CD,连接AD、BD.
(1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 ；
(2)将线段CA绕点C顺时针旋转a时
①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F,交DA的延长线于点E,连结BE.用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明.
【答案】(1)135°
(2)(2)①补全图形见解析;∠ADB=45°;②2BE-AD= CE，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)通过题意得点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的OC上，利用圆内接四边形的性质即可求解；
(2)①通过题意补全图形即可；同(1)，利用圆周角定理即可求解；
②过点C作CH⊥EC于点C,交ED的延长线于点H,证明BE=DE,△CEH是等腰直角三角形,推出EH=2BE-AD，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论.
(1)
解:通过题意得:CA=CD=CB,
∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的OC上，如下图所示，
在优弧AB上取点G,连接AG,BG,
∵Rt△ABC中,∠BCA=90°,
∴∠BGA=45°,
∵四边形ADBG是圆内接四边形，
因此正确答案为：135°；
(2)
①补全图形，如图：
通过题意得:CA=CD=CB,
∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如下图所示，
∵Rt△ABC中,∠BCA=90°,
理由如下：
过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，如图：
∵CD=CB,CE是∠BCD的平分线,
∴CE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE,∠EFD=90°,
由①知∠ADB=45°,
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠H=45°, CE=CH,
∵CD=CA,
∴∠CAD=∠CDA,则∠CAE=∠CDH,
∴△AEC≌△DHC,
∴AE=DH,
∴EH=2ED-AD=2BE-AD,
∵△CEH是等腰直角三角形，
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和等腰直角三角形解决问题.
10已知△ABO和△DEC都为等腰三角形,AB=AC,DE=DC,∠BAC=∠EDO=n°
(1)当n=60时.
① 如图1，当点D在AO上时，请直接写出BE与AD的数量关系： .
②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由
(2)当n=90时.
①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由.
②当BE//AC,AB=3 ,AD=1时,请直接写出DC的长.
【答案】(1)① BE=AD
② BE=AD,证明见解析.
(2)① BE= AD，证明见解析.
②5.
【解析】(1)①:AB=AC,DE=DC,∠BAC=∠EDC=60°,
∴△ABC和△DEC是等边三角形,
∴AC=BC,DC=EC,
∴AC-DC=BC-EC,
即BE=AD.
② ∵△ABC和△DEC是等边三角形,
∴AO=BC,DC=EC,∠AOB=∠DOE=60°,
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,
即∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴BE=AD.
(2)①∵AB=AC,DE=DC,∠BAC=∠EDC=90°,
∴∠ACB=∠DCE=45°,BC= AC,EC= DC,
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE,
即∠ACD=∠BCE,
∴△ACD∽△BCE,
. BE= AD.
②设AB与CE交于H,
由(1)知,
:BE//AC,
.△BEH∽△ACH,
:DE=DC,∠EDC=90°,
【标注】【知识点】等边三角形与全等
11.问题背景：
如图1,在矩形ABCD中,AB=2 ,∠ABD=30°,点E是边AB的中点,过点E作EF⊥AB交BD于点F.
实验探究：
(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：
② 直线AE与DF所夹锐角的度数为
(2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究(1)中的结论是否仍然成立 并说明理由
(3)拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 .
【答案】
② 30°
(2)见解析.
1
【解析】(1)①如图,∵∠ABD=30°,∠DAB=90°,EF⊥BE,
故答案为：
② 如图,设AB与DF交于点O,AE与DF交于点H,
∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，
∴∠DBF=∠ABE=90°,
∴△FBD∽△EBA,
又∵∠DOB=∠AOF,
∴∠DBA=∠AHD=30°,
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°.
故答案为:30°.
(2)结论仍然成立，
理由如下：如图，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，
将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，
∴∠ABE=∠DBF,
∴△ABE∽△DBF,
又∵∠DOH=∠AOB,
∴∠ABD=∠AHD=30°,
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°.
(3)如图,当点E在AB的上方时,过点D作DG⊥AE与G,
∴AB=2 ,∠ABD=30°,点E是AB的中点,∠DAB=90°,
∴BE= ,AD=2,DB=4,
∴∠EBF=30°,EF⊥BE,
∴EF=1,
∵D、E、F三点共线,
由(2)可得:
∴△ADE的面积 如图，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE ，交EA的延长线与G，
同理可求：△ADE的面积
故答案为： 或
【标注】【知识点】旋转性质综合应用
12如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2 , ，4，则正方形ABCD的面积为 .
【答案】
【解析】
如图,将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM,连接PM,过点B作BH⊥PM于H.
∵BP=BM= ,∠PBM=90°,
:∠BPM=∠BMP=45°,
∴∠CNB=∠APB=135°,
..∠APB+∠BPM=180°,
∴A,P,M共线,
∵BH⊥PM,
∴PH=HM,
∴BH=PH=HM=1,
∴AH=2 +1,
∴正方形ABCD的面积为14+4
故答案为
【标注】【知识点】正方形的性质
13.如图,在正方形ABCD外取一点E,连接DE,AE,CE,过点D作DE的垂线交AE于点P,若DE=DP=1,PC= .下列结论:①△APD≌△OED;②AE⊥CE;③点C到直线DE的距离为 ;④Sx DEABCD=5+2 其中正确结论的序号为 .
【答案】①②④
【解析】四边形ABCD是正方形，
∴∠CDA=90°,DC=AD,
∴∠CDP+∠PDA=90°,
∵ED⊥DP,
∴∠EDO+∠CDP=90°,
∴∠PDA=∠EDC,
∵在△APD与△CED中
∴△APD≌△CED(SAS),故①正确;
∵△DEP为等腰直角三角形，
∴∠DEP=∠DPE=45°,
∴∠APD =∠DEC=135°,
∴∠CEP=90°,
∴AE⊥CE,故②正确;
过C作CF⊥DE,交DE的延长线于F,
则CF的长是点C到直线DE的距离，
在△DEP中,DE=DP=1,
根据勾股定理得：
在△CEP中 由勾股定理得：CE=2，
∴∠DEP=45°,
∴EF=CF,
在△EFC中，由勾股定理得： 故③是错误的；
如图所示连接AC，
由△APD≌△CED,
∴PA=CE=2,
故④正确；
故答案为:①②④.
【标注】【知识点】正方形与全等综合
14如图,等边三角形ABC内有一点P ,分别连接AP、BP、CP,若AP=6,BP=8,CP=10,则3
【答案】24+16
【解析】如图,将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B,连接PP',根据旋转的性质可知，
旋转角
.△BPP'为等边三角形,
∴BP'=BP=8=PP';
由旋转的性质可知,AP'=PC=10,
在△AP'P中,AP'=10,PP'=8,AP=6,
由勾股定得的逆定理得，△APP'是直角三角形，
故答案为：
15如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转到平行四边形AB'C'D'的位置，使点B'落在BC上，B'C'与CD交于点E,若AB=3,BC=4,BB'=1,则CE的长为 .
【答案】9/8
【解析】过点C作CM∥C'D'交B'C'于点M,
∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形AB'C'D'，
∴AB=AB',AD=AD',
∴∠BAB'=∠DAD',∠B=∠AB'C',
=CD-DD'
=AB-DD'
=∠ABC+∠BAB'.
∴∠CB'M=∠BAB',
∵B'C=BC-BB'=3,
∴B'C=AB,
∵AB=AB',
∴∠ABB'=∠AB'B=∠AB'O',
∵AB'||C'D',C'D'||CM,
∴AB'//CM,
∴∠AB'C'=∠B'MC,
∴∠AB'B=∠B'MC.
在△ABB'和△B'CM中,
∴△ABB'≌△B'CM(AAS),
. BB'=CM=1,
故答案为：
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
16.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=5,∠ABC=45°,连接AC、BD,若∠DAC=90°.AC=AD,则BD的长为 .
【答案】5
【解析】
如图,以AB为边向外作等腰直角三角形ABE,AE=AB,∠BAE=90°,
∴∠BAD=∠OAE,
在△ACB和△ADB中
∴△ACE≌△ADB(SAS),
∴OE=BD,
∵AE=AB=5,∠BAE=90°,
∴BE= AB=5
∵∠ABC=45°,
∴∠EBC=90°.
∴BD=5
17.如图,P是等边△ABC内部一点,∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5:6:7,则以PA、PB、PC为边的三角形的三个角的大小之比(从小到大)是( ).
A.2:3:4 B.3:4:5 C.4:5:6 D.不能确定
【答案】A
【解析】如图,将△ABP绕B点顺时针旋转60°,得到△CBD,
因为△BDC≌△BPA,
所以△PBD是等边三角形，
因为∠APB:∠BPC:∠CPA=5:6:7,
所以∠APB=100°,∠BPC=120°,∠CPA=140°,
所以∠CPD=120°-60°=60°,∠PDC=100°-60°=40°,
所以∠PCD=80°
所以以PA，PB，PC为边组成的三角形三角大小之比为2：3：4.
故选A.
18在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC',其中点A，C的对应点分别为A'，C'.
(1)如图1，当点A'落在AC的延长线上时，求AA'的长.
(2)如图2,当点O'落在AB的延长线上时,连接CC',交A'B于点M ,求BM的长.
(3) 如图3,连接AA',CC',直线CC'交AA'于点D ,点E为AC的中点,连接DE.在旋转过程中，DE是否存在最小值 若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)8.
(2)
(3) 存在, DE的最小值为1.
【解析】(1)∵∠ACB=90°,AB=5, BC=3,
∵∠ACB=90°,△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC',点A'落在AC的延长线上,∴∠A'CB=90°,A'B=AB=5,
在Rt△A'BC中,
∴AA'=AC+A'C=8.
(2)过C作CE//A'B交AB于E,过C作CD⊥AB于D,如图:
7
∴∠A'BC'=∠ABC,BC'=BC=3,
∵CE∥A'B,
∴∠A'BC=∠CEB.
∴∠CEB=∠ABC,
∴CE=BC=3,
在Rt△ABC中,
AC=4,BO=3,AB=5,
在Rt△CED中,
同理
∵CE∥A'B,
(3)存在，理由如下：
过A作AP//A'C'交C'D的延长线于P ,连接A'C,如图:
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC',
∴BC=BC',∠ACB=∠A'C'B=90°,AC=A'C',
∴∠BCC'=∠BC'C.
而∠ACP=180°-∠ACB-∠BCC'=90°-∠BCC'.
∴∠A'C'D=∠A'C'B-∠BC'C=90°-∠BC'C,
∴∠ACP=∠A'C'D.
∵AP//A'C'.
∴∠P=∠A'O'D,
∴∠P=∠AOP.
∴AP=AC,
∴AP=A'O',
在△APD和△A'C'D中,
.△APD≌△A'O'D(AAS),
∴AD=A'D,即D是AA'的中点,
∵点E为AC的中点，
∴DE是△AA'C的中位线.
要使DE的值最小，只需A'C的值最小，此时A'、C、B三点共线，
A'C的最小值为A'B-BC=AB-BO=2,
∴DE的最小值
【标注】【知识点】旋转性质综合应用
19在△ABC中,AB=AC,△CDE中,CE=CD(CE≥CA),BC=CD,∠D=α,∠ACB+∠ECD=180°,点B,C,E不共线,点P为直线DE上一点,且PB=PD.
(1)如图1,点D在线段BO延长线上,则∠ECD = ,∠ABP= , (用含α的代数式表示)；
(2)如图2,点A,b在直线BC同侧,求证:BP平分∠ABC;
(3)若∠ABC=60°,BC= +1，将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长.
【答案】(1)180°-2α,α; (2)见解析; (3)GM的长为 或
【解析】
【分析】
(1)利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可.
(2)如图2中,连接BD.证明∠PBC=∠CDE=α,可得结论.
(3)分两种情形:如图3-1中,设BP交AC于J.图3-2中,设PC交BC于K,当BP⊥PC时，利用三角形的中位线定理，可得 求出PB，可得结论.
【详解】
(1)解:如图1中,
∵CE=CD,
∴∠D=∠E=α,
∴∠ECD=180°-2α,
∴∠ECB=∠E+∠D=2α,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=2α,
∵PB=PD,
∴∠PBD=∠D=α,
∴∠ABP=∠ABC-∠PBD=α,
(2)证明:如图2中,连接BD.
∵CB=CD,PB=PD,
∴∠CBD=∠CDB,∠PBD=∠PDB,
∴∠PBC=∠PDC=α,
∵∠ABC=2α,
∴∠ABP=∠PBC=α,
∴PB平分∠ABC.
(3)解:如图3-1中,设BP交AC于J.
∵BP⊥PD,BP=PD,
∴△PBD是等腰直角三角形，
∵CB=CD,PB=PD,
∴PG垂直平分线段BG，
∴BG=DG,
∵PM=MD,
，△ACB是等边三角形，
∵CE=CD,
∴∠CDE=30°,
∴∠PBC=∠PDO=30°,
∴∠BJC=90°,
如图3-2中,设PC交BC于K,当BP⊥PC时,同法可证
∵∠PBC=30°,∠GPB=∠PBC+∠PCB=45°,
综上所述，GM的长为 或
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等 三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形的性质解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.
20.如图,∠ABC=15°,∠ACB=37.5°,∠DAC=75°, DC=2,则BD的长为 .
【答案】
【解析】如图,作∠AEB=15°,把△ABD绕点A逆时针旋转150°得到△AEF,连接CF,DF,作CH⊥EF,则∠CEF=30°,
∵∠ABC=15°,∠ACB=37.5°,
∴∠BAC=127.5°,∠CAE=22.5°,
又∠DAC=75°,
∴∠BAD=52.5°,∠BDA=112.5°,
∴∠EAF=52.5°,∠AFE=112.5°,
∴∠OAF=75°,
又AD=AF,AC=AC,
∴△ACD≌△AOF,
∴DC=CF=2,∠AFO=∠ADC=∠ABC+∠BAD=67.5°,
∴∠CFE=45°,
又OH⊥EF,
∴CH=FH= ,HE= CH=
∴EF=FH+HE= +
故答案为
【标注】【知识点】构造旋转全等
21.如图,四边形ABOD中,AB=AD,BC=BD,若 则∠BDC的度数为( ).
A.2a C. 90°-α D.180°-3α
【答案】A
【解析】
作∠MBA=∠DBA,交CA延长线于M、如图所示:
∴∠CAD=180°-4a,
∴∠BAM=180°-2a,∠BAD=180°-2α,
∵∠BAM=∠BAD,
在△BAM和△BAD中,
∴△BAM≌△BAD(ASA).
∴∠M=∠ADB=α,BM=BD=BC,
∴AB=AM,∠ACB=∠M=α.
∴∠ABM=∠M=α,
∵BC=BD,
∴∠BCD=∠BDC,
设∠ACD=x,则∠BDC=x+α,
由八字形得:∠ACD+∠BDO=∠M+∠DBM,
即x+(x+a)=a+a+a,
∵=a,
∴∠BDC=2a.
故选:A.
【标注】【知识点】构造旋转全等
22如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=1,D为△ABC内部的一动点(不在边上)，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°,使点A到达点E的位置,连接AD,CD,AE,AF,BF,EF.
(1)求证:△BDA≌△BFE.
(2)解答下列问题：
①CD+DF+FE的最小值为
②当CD+DF+FE取得最小值时,求证:AD//BF.
(3)如图2,M,N,P分别是DF,AF,AE的中点,连接MP,NP,在点D运动的过程中,请判断∠MPN的大小是否为定值.若是，求出其度数；若不是，请说明理由..
【答案】(1)证明见解析.
(2)①
② 证明见解析
(3)是.30°,证明见解析.
【解析】(1)∵BD=DF,∠BDF=60°
∵△BDF是等边三角形，
.∠DBF=60°,BD=BF,
∴∠DBF=∠ABE,
∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF,
∴∠ABD=∠EBF,
在△BDA和△BFE中,
∴△BDA≌△BFE(SAS).
(2)①∵两点之间，线段最短，
即C、D、F、E共线时CD+DF+FB的值最小,
. CD+DF+FE的最小值为CB的长,
∵∠AOB=90°,∠ABO=30°,AC=1,
∴AB=2,∴BE=AB=2,
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°,
故答案为：
②∵BD=DF,∠BDF=60°,
∴△BDF为等边三角形，
即∠BFD=60°,
∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE的值最小,
∴∠BFE=120°
∵△BDA≌△BFE,
∴∠BDA=120°,
∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°,
∴∠ADF=∠BFD,
∴AD//BF.
(3)∠MPN的大小是定值,
理由：如图，连接MN，
∵M,N,P分别是DF,AF,AE的中点,
∴MN//AD,MN= AD,且
∵AB=BE且∠ABE=60°,
∴△ABE为等边三角形，
设∠BEF=∠BAD=α,∠PAN=β,
则∠AEF=∠APN=60°-α,
∠EAD=60°+α,
∴∠PNF=60°-α+β,
∠FNM=∠FAD=60°+α-β,
∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°,
∵△BDA≌△BFE,
∴AD=EF,

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