资源简介

折叠模型
模型原理
1.折叠问题的实质是对称问题，遇到折叠就要运用对称的性质
折叠性质：①折叠后的图形与原图形关于折痕所在直线成轴对称，全等；
②对应点所在线段被折痕所在直线垂直平分
2.常见解题思路一般为： “有折叠，想勾股，找相似(A字型或K型)”
3.一般步骤：
(1)按照题意画出图形(动点的落点位置有可能会分类讨论)
(2)求出可求线段长度
(3)设未知数，用未知数去表示其他线段
(4)利用勾股定理或相似三角形列方程求未知数
真题精炼
1如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上.沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点. 处，然后还原 .
(1) 若点N在边CD上, 且∠BEF =α, 则. (用含α的式子表示)
(2)再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G ，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D'处，然后还原 .若点D'在线段. 上，且四边形EFGH是正方形，AE=4, EB=8,MN与GH的交点为P ,则PH的长为
272.矩形+折叠模型+相似+中点+全等——24湖北+几何综合压轴+初三
在矩形ABCD中,点E ,F分别在边AD,BC上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A的对应点P落在边CD上,点B的对应点为点G ,PG交BC于点H .
(1) 如图1, 求证:△DEP∽△CPH.
(2) 如图2, 当P为CD的中点, 时，求GH的长.
(3)如图3，连接BG，当P ，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由.
2.如图，在 中， 点D, E分别在AC, AB边上, 连接DE ,将 E沿DE翻折，得到 ,连接CE,CF .若 的面积是 面积的2倍，则
3如图，DE平分等边 的面积，折叠/ 得到 ,AC分别与DF , EF相交于G, H两点 .若. ，用含m，n的式子表示GH的长是 .
4如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、 BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为
5如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，. 点E为AD边上一点( 连接EO并延长,交BC于点F ,四边形ABFE与. 关于EF所在直线成轴对称，线段E 交AD边于点G.
(1)求证:(
(2)当 时，求AE的长；
(3)令
①求证：
②如图2,连接OB', OD , 分别交AD, B'F于点H, K.记四边形OKGH的面积为 的面积为S .当 时，求 的值.
6.矩形纸片ABCD中, E为BC的中点,连接AE,将△ABE 沿AE折叠得到 ,连接CF .若 则CF的长是( )
A. 3
7如图，有一张平行四边形纸片ABCD，. ，将这张纸片折叠，使得点B落在边AD上，点B的对应点为点B'，折痕为EF ，若点E在边AB上，则 长的最小值等于 .
8如图，在矩形ABCD中， 动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN .动点M ，N同时出发，点M运动的速度为v ，点N运 动的速度为v ，且 当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动.在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA'B'N .若在某一时刻，点B的对应点. 恰好与CD的中点重合，则 的值为 .
9如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A ，B的对应点分别为A', B', A'E与BC相交于点G , B'A'的延长线过点C.若 则 的值为() .
10矩形纸片ABCD,AB=6,BC=9, M是BC上的点,且CM=3,将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB的点P处，点C落在点C'处，折痕为MN，则AN长是
11在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E、F分别是边BC、CD上一点,. , 将△ECF沿EF翻折得△EC'F ,连接AC',当BE= 时,△AEC'是以AE为腰的等腰三角形.
12如图，矩形纸片ABCD中，. 点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P ，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM .下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时， 的面积S的取值范围是 其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
13如图,在矩形ABCD中,. 将此矩形折叠，使点C与点A重合 ，点D落在点D'处, 折痕为EF, 则AD'的长为 , DD'的长为 .
14矩形纸片ABCD ,点E、F在矩形边AB、AD上,将矩形纸片沿CE、CF折叠,点B落在H处,点D落在G处,点C、H、G恰好在同一直线,若AB=6,AD=4,BE=2,则DF的长是( ) .
A.2 D.3
15.Rt△ABC纸片中,∠ACB=90°,AC=4, BC=3,点D, E在AB,AC上,连接DE,将△ADE沿DE翻折, 使点A对应点F落在BC延长线上.若FD平分∠EFB,则AD的长为( )
16.如图, AB是⊙O的直径, BC是⊙O的弦, 先将lBC沿BC翻折交AB于点D，再将 沿AB翻折交BC于点E .若 设∠ABC=α,则α所在的范围是( )
A. 21.9°<α<22.3°B. 22.3°<α<22.7°C. 22.7°<α<23.1°
17.如图,在△ABC中, ，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内, 得△ACD .过点A作AE,使 ，与CD的延长线交于点E, 连接BE , 则线段BE的长为( ) .
B. 3 D.4
18.如图所示,在矩形纸片ABCD中, AB=3,BC=6,点E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点，将该纸片沿直线EF折叠.使点B落在矩形的边AD上，对应点记为点G ，点A落在M处，连接EF、BG、BE, EF与BG交于点N .则下列结论成立的是( )
①BN = AB;②当点G与点D重合时,
③△GNF的面积S的取值范围是 ④当 时，
A. ①③ B. ③④ C. ②③ D.②④
19如图,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF ,EF与AC交于点O .若AE=5,BF=3,则AO的长为( )
A.
20如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处,点C落在BD上的点N处,连接EF,已知AB=3,BC=4,则EF的长为( )
A.3 B. 5
21如图,在Rt△ABC中, 点E在线段AC上，且 D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时, AF= .
22在 中 ,. 点D在边BC上， 连接AD，如果将 沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E ，点E到直线BD的距离为 .
23如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把 沿直线CE对折 ，使点B落在对角线AC上的点F处,连接DF .若点E ,F,D在同一条直线上,. 则
24如图,矩形ABCD中,点G , E分别在边BC, DC上,连接AG, EG, AE,将 和 分别沿AG，EG折叠，使点B ，C恰好落在AE上的同一点，记为点F .若( 则sin∠DAE= .
25矩形ABCD，E为AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在BC上，连接AF交DE于N,连接BN, 若B1 矩形ABCD面积为 .
26在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F.
(1) 求证:△ABF∽△FCE.
(2) 若 求EC的长.
(3) 若AE---DE=2EC,记∠BAF=α,∠FAE=β,求tanα+tanβ的值.
27矩形ABCD中, AB=8, AD=12.将矩形折叠, 使点A落在点P处,折痕为DE.
(1)如图1,若点P恰好在边BC上,连接AP ,求 的值.
(2) 如图2,若E是AB的中点, EP的延长线交BC于点F ,求BF的长.
28如图, 在△ABC中,
(1)求BC边上的高线长.
(2) 点E为线段AB的中点, 点F在边AC上, 连接EF ,沿EF将△AEF折叠得到 ① 如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP的度数.
② 如图3, 连接AP, 当PF⊥AC时, 求AP的长.
29.我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果 那么称点B为线段AC的黄金分割点 .它们的比值为
(1) 在图①中, 若 则AB的长为 cm.
(2)如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG .试说明：G是AB的黄金分割点.
(3)如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点 连接BE,作 交AB于点F ，延长EF、CB交于点P .他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.
1.如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上.沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B'，C'处，然后还原.
(1)若点N在边CD上,且∠BEF=α,则∠C'NM= (用含α的式子表示) .
(2)再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D'处，然后还原.若点D'在线段B'C'上，且四边形EFGH是正方形，AE=4,EB=8,MN与GH的交点为P,则PH的长为 .
【答案】(1)90°-α
(2)3
【解析】(1)∵MN⊥EF,∠BEF=α,
∴∠EMN=90°-α,
∵CD∥AB,
∴∠CNM=∠EMN=90°-α,
∴∠C'NM=∠CNM=90°-α
故答案为:90°-α.
(2)如图,设PH与NO'交于点G',
∵四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，
∴∠A=∠D=∠GHE=90°,GH=EH,
∴∠AHE+∠GHD=∠AHE+∠AEH=90°,
∴∠GHD=∠AEH,
△EAH≌△HDG(AAS),
同理可证△EAH≌△HDG≌△GOF≌△FBE,
. DH=CG=AE=4,DG=EB=8,
:MN⊥GH,且∠C'NM=∠CNM,
.. MN垂直平分GG',目 且NG=NG',
∵四边形CBMN沿MN折叠,
∴CN=C'N,
∴CN-NG=C'N-NG',即C'G'=CG=4,
∵△GDH沿GH折叠得到△GD'H,
∴GD'=GD=8,
∵∠HC'G'=∠HD'G=90°,
∴O'G'//D'G,
又∵
故答案为：3
2.在矩形ABCD中,点E ,F分别在边AD,BC上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H.
(1) 如图1,求证:△DEP∽△OPH.
(2)如图2,当P为CD的中点,AB=2,AD=3时,求GH的长.
(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析.
(2)
(3) AB= BG.
【解析】(1)如图,
∵四边形ABCD是矩形.
∴∠A=∠D=∠C=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∴∠EAP=∠EPA,
∴∠BAP=∠GPA,
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA=MP,
∵P为CD中点,
∴设DP=CP=y,
∴AB=PG=CD=2y,
∵H为BC中点,
∴BH=CH,
∵∠BHM=∠CHP,∠CBM=∠PCH,
∴△MBH≌△PCH(ASA),
∴BM=CP=y,HM=HP,
∴MP=MA=MB+AB=3y,
在Rt△PCH中,
∴BC=2CH= y,
∴AD=BC= y,
在Rt△APD中,
∵BG∥AP,
∵,△BMG∽△AMP,
∴AB= BG.
3如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CB=5,CA=10,点D,E分别在AC,AB边上,AE= AD,连接DE,将△ADE沿DE翻折,得到△FDE,连接CE,CF.若△CEF的面积
∵E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点P落在DC上,
∴∠EPH=∠A=90°,
∴∠1+∠2=90°.
∴∠3=∠2.
∴△EDP∽△PCH.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D=∠C=90°,
∵P为CD中点,
设EP=AP=x,
∴ED=AD-x=3-∞,
在Rt△EDP中,
解得
∵△EDP∽△POH,
目
∵PG=AB=2,
(3)如图,延长AB,PG交于一点M ,连接AP,
∵E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点P落在CD上,
∴AP⊥EF,BG⊥直线EF,
∴BG∥AP,
∵AB=EP,
是△BEC面积的2倍,则AD=
【答案】
【解析】∵AE= AD,
∴设AD=z,AE=
∵△ADE沿DE翻折,得到△FDE,
∴DF=AD==,∠ADE=∠FDE.
过E作EH⊥AC于H,设EF与AO相交于M,
则∠AHE=∠ACB=90°,
又∠A=∠A,
∴△AHE∽△AOB,
则DH=AH-AD=x=EH,
∴Rt△EHD是等腰直角三角形，
∴∠HDE=∠HED=45°,
则∠ADE=∠EDF=135°,
∴∠FDM =135°-45°=90°,
在△FDM和△EHM中
∴△FDM≌△EHM(AAS),
∵△CEF的面积是△BEC面积的2倍,
解得 舍去)，
艮
故答案为：3.
4如图,DE平分等边△ABC的面积,折叠△BDE得到△FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H两点.若DG=m,EH=n,用含m,n的式子表示GH的长是 .
【答案】
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°,
.折叠△BDE得到△FDE,
∴△BDE≌△FDE,
∴S△DDE=S△PDE,∠F=∠B=60°=∠A=∠C,
∵DE平分等边△ABC的面积,
又∵∠AGD=∠FGH,∠CHE=∠FHG.
∴△ADG∽△FHG△CHE∽△FHG.
解得 或 不符合题意，舍去)，
故答案为：
5.如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为 .
【答案】 或0.375
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【解析】如下图所示,连接BB',过点F作FH⊥AD于点H,
∵正方形ABCD的边长为1 ,四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3:5,
∵FH⊥AD,
∴四边形CDHF是矩形.
∴CF=DH,FH=CD=1,
设CF=x,则DH=x,BF=1-x,
R
由折叠性质得,BB⊥EF,BF=BF=1-x,
∴∠1=∠3,
又FH=BC=1,∠EHF=∠O,
∴△EHF≌△B'CB(ASA).
在Rt△B'FC中,
即
解得，
因此正确答案为：
6如图1,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=4, AD=8,点E为AD边上一点(0(1)求证:GE=GF;
(2)当AE=2DG时,求AE的长;
(3)令AE=a,DG=b.
①求证:(4-a)(4-b)=4;
②如图2,连接OB',OD,分别交AD, B'F于点H , K、记四边形OKGH的面积为S ,△DGK的面积为S .当a=1时,求S1 S 的值.
【答案】(1)见解析
(3)①见解析:
【解析】(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠GEF=∠EFB.
∵四边形ABFE与A'B'FE关于EF所在直线成轴对称，
∴∠BFE=∠EFG.
∴∠GEF=∠EFG,
∴GE=GF;
(2)解:如图,过点G作GH⊥BO于H,设DG=x,则AE=2m,
∴EG=8-3x=GF,
∵∠GHC=∠C=∠D=90°,
∴四边形GHCD为矩形，
∴CH=DC=4,
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴AE=CF=2π,
在Rt△GHF中,
可得方程(
解得 (此时AE> AD,故舍去0),
{3}解:①证明:过点O作OQ⊥AD于Q,连接OA,OD,OG,
点O为矩形ABCD的对称中心，
∵GE=GF,
∴GO⊥EF,
∴△GOQ∽△OEQ,
∴BQ=AQ-AE=4-a,GQ=DQ-GD=4-b,
∴(4-a)(4-b)=4;
②如图,连接B'D,OG,OB.
由题意可得BF=B'F；∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BF=B'F=ED,
同理可得OD=OB=OB',
由(1)知GF=GB,
∴BF-GF=DE-GE,即BG=DG,
∵OG=OG,
∴△DOGε△B'OG(SSS).
∴∠ODG=∠OBG,
∵DG=B'G,∠DGK=∠B'GH,
∴△DGKu△B'GH(ASA),
∴DK=B'H,GK=GH,
∴OD-DK=OB'-B'H,即OK=OH,
∵OG=OG,
∴△OGKm△OGH(SSS),
∵∠EGF=∠DGB',GE=GF,GD=GB',
∵∠GEF=∠GFE=∠GDB'=∠GB'D,
当a=1时,由①可得(4-1)(4-b)=4,
解得(
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】勾股定理
【知识点】全等三角形
【知识点】矩形的性质
7【答案】D
【解析】连接BF，与AE相交于点G，如下图所示.
E
∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE
∴AABE与△AFE关于AF对称
∴AEB直平分BF,BE=FE,
∴点E是BC中点
∵BE=CE=DF
∴∠EBF=∠EFB,∠EFC=∠ECF
因此正确答案为D
8如图，有一张平行四边形纸片ABCD，AB=5，AD=7，将这张纸片折叠，使得点B落在边AD上，点B的对应点为点B'，折痕为EF ，若点E在边AB上，则DB'长的最小值等于 .
【答案】2
【解析】由折叠性质得,EB=EB',
而B'E≤AE+AB',
∴当E点与A点重合时,EB'= AB=AB'=5,此时DB'的长最小,
因此正确答案为：2.
【标注】【知识点】平行四边形
9如图，在矩形ABCD中， 动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN .动点M ，N同时出发，点M运动的速度为v ，点N运动的速度为D ，且v 【答案】
【解析】如图,设AD交A'B'于点Q.设BN= NB'=x.
∴可以假设AB=2k,CB=3k,
·、四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=3k,CD=AB=2k,∠C=∠D=90°,在Rt△ONB'中,
由翻折的性质可知∠A'B'N=∠B=90°,
∴∠DB'Q=∠CNB',
∵∠D=∠C=90°,
∴△DBQ∽△CNB',
∴DQ:DB':QB'=CB':CN:NB'=3:4:5,
∵DB=k,
∵∠DQB=∠MQA',∠D=∠A',
∴△DQB∽△A'QM,
∴A'Q:A'M:QM=DQ:DB':QB'=3:4:5,
设AM=MA'=y.
∴1/=k.
故答案为
10如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A', B',A'E与BC相交于点G ,B'A'的延长线过点C.:若 则ADAB的值为()
A.2
【答案】A
【解析】方法一:过点G作GT⊥AD于点T.设AB=z,AD=y.
.可以假设BF=2k,CG=3k.
∵点B为AD中点,
由翻折的性质可知EA=BA'= v,BF=FB'=2k,∠AEF=∠GBF,
∵AD∥OB,
∴∠AEF=∠EFG,
∴∠GEF=∠GFE
∴EG=FG=y-5k,
∵C,A',B'共线,GA'//FB',
∴v=8k或y=4k(舍去) ,
∴AE=DE=4k,
∵四边形ODTG是矩形，
∴OG=DT=3k,
∴ET=k,
∵EG=8k-5k=8k,
故选A..
方法二:不妨设BF=2,CG=3,连接CE,则Rt△CA'E≌Rt△GDE,
推出
推出GF=CG=3,BC=8,
在Rt△OB'F中,勾股定理得 则
故选A.
11如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=9,M是BC上的点,且CM=3,将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C/处，折痕为MN，则线段AN的长是 .
【答案】4
【解析】解：连接PM，如图所示：
∵AB=6,BC=9,CM=3,∴BM=BC-CM=9-3=6,由折叠性质得,
CD=PC'=6,∠C=∠PC'M=∠PBM=90°,C'M=CM=3,在Rt△PBM和Rt△MC'P中/ Rt△PBMυRt△MC'P(HL),∴PB=C'M=3,
∴PA=AB-PB=6-3=3.设AN=x,则ND=9-x=PN,在Rt△APN中, 即 解得x=4,∴AN的长是4.故答案为:4.
12如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E、F分别是边BC、CD上一点,EF⊥AE,将△BCF沿EF翻折得△EC'F,连接AC',当BE= 时,△ABC'是以AE为腰的等腰三角形.
【答案】 或
【解析】设BE=x,则EC=4-z.
由翻折得：.
当AE=EC'时,AE=4-x,
∵四边形ABCD是矩形.
..∠B=90°,
由勾股定理得：
解得：
当AE=AC'时,如图,作AH⊥EC'..
∵BF⊥AE.
∵△BCF沿EF翻折得△BC'F,
∴∠AEB=∠AEH.
∵∠B=∠AHE=90°,AE=AE,
∴△ABE≌△AHE(AAS),
∴BE=HE==,
∵AE=AC',AH⊥EO',
即4-∞=2x,
解得
综上所述： 或
故答案为：
【标注】 【知识点】矩形的性质
13.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点M、N分别在矩形的边AD、BO上,将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q,连接CM .下列结论:①四边形CMPN是菱形;②点P与点A重合时,MN=5;③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D.②③
【答案】C
【解析】∵将矩形ABCD沿MN折叠,
∴∠CNM=∠PNM,PM=CM,PN=CN,
又∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,
∴∠PMN=∠CNM,
∴∠PMN=∠PNM,
. PN=PM,
∵PM=PN=CM=ON,
∴四边形PNCM是菱形，故①正确；
若P,A重合,设PN=NC=x,则BN=8-x,
在Rt△ABN中,
解得x=5,
∴MN=2 故②错误；
当MN过点D时,如图所示,此时四边形PNCM为正方形,CN=CD=4,
此时，CN最短，四边形CNPM的面积最小，则△PQM的面积最小，
S的最小值为
当P点与A点重合时，CN最长，四边形CNPM的面积最大，则△PQM的面积最大，
S的最大值为
∴A≤S≤5,故③正确.
故选C.
14.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,将此矩形折叠,使点C与点A重合,点D落在点D'处,折痕为EF,则AD'的长为 , DD'的长为 .
【答案】6;
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
. AB=CD=6,∠ADC=90°,
由折叠性质可知AD'=CD=6,FD=FD',
∠AD'F=∠ADC=90°,
设D'F=DF=x,则AF=8-x,
在Rt△AD'F中,
解得
过D'作D'H⊥AD于H,
15.如图，在矩形纸片ABCD中，点B、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CB、CF折叠，点B落在H处,点D落在G处,点C、H、G恰好在同一直线上,若AB=6,AD=4,BB=2,则DF的长是( ) 、
A.2 B. D.3
【答案】A
【解析】如图,延长EH交CF于点P,过点P作MN⊥CD于N,
∵矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处.点D落在G处，
∴BC=CH=2,∠DCF=∠GCF,
BE=EH=2,∠B=∠CHE=90°,
在△CPH和△CPN中.
∴△CPH≌△CPN(AAS),
∴NP=PH,CH=CN=4,
∵∠B=∠BCD=90°,MN⊥CD,
∴四边形BCNM是矩形，
又∵CN=CB=4,
∴四边形BONM是正方形.
∴MN=BM=4,
∴EM=2.
∴DP=2.
故选:A.
16.如图,在Rt△ABO锥片中,∠AOB=90°,AO=4,BO=3,点D,E分别在AB,AC上,连接DE,将△ADB沿DB翻折,使点A的对应点F落在BO的延长线上.若FD平分∠BFB,则AD的长为( )
A D.
【答案】D
【解析】作DH⊥BC于H,
在Rt△ABC纸片中,∠AOB=90°,
由勾股定理得：
∵将△ADE沿DE翻折得△DEF,
∴AD=DF,∠A=∠DFE,
∵FD平分∠EFB,
∴∠DFE=∠DFH,
∴∠DFH=∠A.
设DH=3x.
在Rt△DHF中, sin
∴DF=5x,
∴BD=5-5x,
∵△BDH∽△BAC,
故选:D.
17如图，AB是⊙O的直径，BO是⊙O的弦，先将BO沿BO翻折交AB于点D，再将BD沿AB翻折交BC于点E,若BE=DE,设∠ABC=α,则 kx所在的范围是( ).
B.22.3°D.23.1°【答案】B
【解析】如图,连接AC,CD,DB,过点C作CH⊥AB于点H ,过点D作DJ⊥OB于点J,
∵∠ABC=∠DBC=∠DBE,
∴AO=OD=DB.
∴AC=OD=DE,
∴∠A=∠ODA,∠DEO=∠DOE.
∵OH⊥AD,DJ⊥OE,
∴AH=HD,CJ=JE,
∵DB=BE,
∴ED=EB,
∴∠EDB=∠BBD=∠ABC=α,
∴∠DEO=∠DCE=∠EDB+∠EBD=2α.
∴∠A=∠CDA=∠DOE+∠EBD=3α,
∵AB是直径,
∴∠ACB=00°,
∴3c+α=00°,即a=22.5°.
故选B.
18.如图,在△ABO中,AC=2 ,∠ABO=45°,∠BAC=15°,将△AOB沿直线AC翻折至△ABO所在的平面内,得△AOD .过点A作AE,使∠DAE=∠DAC,与CD的延长线交于点E,连接BE,则线段BE的长为( ) .
A. B.3 C.2 D.4
【答案】C
【解析】如图,延长BC交AE于H,
∴∠ABC=45°,∠BAC=15°.
∠ACB=120°,
.将△ACB沿直线AC翻折.
.∠DAC=∠BAC=15°,∠ADC=∠ABC=45°,∠ACB=∠ACD=120°,
∴∠DAE=∠DAC.
..∠AED=∠EAC.
∴AC=EC,
又∵∠BCE=360°-∠ACB-∠ACE=120°=∠ACB,BC=BC,
△ABC≌△EBC(SAS),
∴AB=BE,∠ABC=∠EBC=45°,
∴∠ABE=90°,
∵AB=BE,∠ABC=∠EBC,
. AH=EH,BH⊥AE.
∵∠CAE=30°,
由翻折的性质可知FB=FG，
∠EFB=∠EFG,
∴∠GEF=∠EFG,
∴GE=GF=BF.
:GE//BF,
∴四边形BEGF是平行四边形，
∵FB=FG,
·四边形BEGF是菱形.
BE=BG,
当D. G重合时,设BE=DE=x,则AE=6-x,
在Rt△ABE中,
解得
:∠A=90°,AB=3,AD=6,
故②正确；
当D. G重合时，△GNF的面积最大，最大值
故③错误；
如图2，当 时，
∴AE=2
∵AB=BE,∠ABE=90°,
故选C.
19如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=6,点E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点，将该纸片沿直线EF折叠.使点B落在矩形的边AD上，对应点记为点G ，点A落在M处，连接EF、BG、BE,EF与BG交于点N .则下列结论成立的是( ) .
①BN=AB;
②当点G与点D重合时，
③△GNF的面积S的取值范围是
④当 时
A. ①③ B. ③④ C. ②③ D.②④
【答案】D
【解析】∵AB=3是定值, BG的长是变化的，
∴BN的值也是变化的.
∴BN与AB不一定相等，故①错误；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.
∴∠DEF=∠EFB,
故④正确.
故选:D.
20如图,将矩形ABCD折叠,使点O和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O、若AE=5,BF=3,则AO的长为( ) .
A. C.2 D.4
【答案】C
【解析】解:∵矩形ABOD,
∴AD∥BO,AD=BC,AB=OD,
∴∠EFC=∠AEF.
∵∠AFE=∠CFE.
∴∠AFE=∠AEF.
∴AE=AF=5,
由折叠得,FC=AF,OA=OC.
∴BC=BF+AF=3+5=8,
在Rt△ABF中,
在Rt△ABC中,
∴OA=OO=2
故选:C.
21.如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处,点C落在BD上的点N处,连接EF,已知AB=3,BC=4,则EF的长为( )
A.3 B. 5 D.
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=4,
设AE的长度为x，
由折叠可得:△ABE≌△MBE,
∴EM=AE=z,DE=4-x,BM=AB=3,DM=5-3=2,
在Rt△EMD中,
解得
设CF的长度为y，
由折叠可得:△CBF≌△NBF.
∴NF=CF=y,DF=3-y,BN=BC=4,DN=5-4=1,
在Rt△DNF中,
解得
在Rt△DEF中,
故选C.
22如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2 ,AC=6,点E在线段AC上,且AE=1,D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时,AF= .
【答案】
【解析】连接BG, BE,
由翻折得：
在Rt△ABG中
:AE=EF=1,∠BED=∠GED,∠AED=∠FED,
∴∠AEB=∠FEG,
∴∠AEF=∠BEG,
∴△AEF∽△GEB,
即
23如图,在△ABC中,AB=4,BC=7,∠B=60°,点D在边BC上,CD=3,
连接AD，如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为 .
【答案】
【解析】如图,过点E作EH⊥BC于H,
∵BC=7,CD=3,
∴BD=BC--CD=4,
∵AB=4=BD,∠B=60°,
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°,
∴∠ADC=∠ADE=120°,
∴∠EDH=60°,
∵EH⊥BC,
∴∠EHD=90°,
∵DE=DC=3,
∴E到直线BD的距离为
故答案为：
24如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CB对折，使点B落在对角线AC上的点F处,连接DF.若点E,F,D在同一条直线上,AE=2,则DF= ,BE= .
【答案】2;
【解析】如图，
由折叠性质可得,∠CEB=∠CEF,BE=EF,∠B=∠CFE=90°.
在矩形ABCD中,CD//AB,CD=AB,
∴∠CEB=∠DCE=∠OEF,
∴OD=DE,即AE+BE=EF+DF.
∴DF=AE=2,
∵∠AFE=∠EAD=90°,∠AEF=∠DEA,
∴△AEF∽△DEA,
设BE=x,则2 =x(x+2),
解得 (舍),
故答案为：2； -1.
25如图,矩形ABCD中,点G,E分别在边BC,DC上,连接AG,EG,AE,将△ABG和△ECG分别沿AG,BG折叠,使点B,C恰好落在AE上的同一点,记为点F.若CE=3,CG=4,则sin∠DAE= .
【答案】
【解析】矩形ABCD中,GC=4,CE=3,∠C=90°,
根据折叠的性质:BG=GF,GF=GC=4,CE=EF=3,∠AGB=∠AGF,∠EGC=∠EGF,∠GFE=∠C=90°,
∴BG=GF=GC=4,
∴BC=AD=8,
∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180°,
∴∠AGE=90°,
∴Rt△EGF∽Rt△EAG,
即
故答案为：25·
【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用
26如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上,连接AF交DB于点N,连接BN,若BF·AD=15. tan∠BNF=V ,则矩形ABCD的面积为 .
【答案】15
【解析】由折叠可得:AN=NF,AF⊥DE,AE=EF,
∴∠ABN=∠BAF,
∵∠BNF=∠BAF+∠ABN=2∠BAF,
且易得∠ADF=2∠ADE=2∠BAF,
∴∠ADF=∠BNF=∠OFD,
∵∠BFE+∠CFD=90°,∠BFE+∠BEF=90°.
..∠OFD=∠BEF,
即
在Rt△BEF中,
解得
∵BF. AD=15,
∴AB·AD=15
故答案为：15
【标注】【知识点】翻折问题与勾股定理
27在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F.
(1)求证:△ABF∽△FCE.
(2)若AB=2 ,AD=4,求EC的长.
(3)若AE-DE=2EC,记∠BAF=α,∠FAE=β,求tanα+tanβ的值.
【答案】(1)证明见解析
【解析】
又∵∠B=90°,
∴∠EFC=∠BAF且∠B=∠C,
∴△ABF∽△FCE.
(2)设EF为x,则ED=x,EC=2 -x,
:AF=AD=4,AB=2
∴BF=2,CF=CB-BF=2,
在Rt△BCF中有
解得
故答案为：
(3)∵AE-DE=2EC,
∴AE=DE+2EC=DC+CE=AB+CE,
设AB=m,CE=n,则可得DE=m-n,AE=m+n,
根据勾股定理，可求得
∵△ABF∽△FCE,
.有 同时平方可得
整理可得 即m=3n.
将m=3n代入可得
故答案为：
28矩形ABCD中,AB=8,AD=12.将矩形折叠,使点A落在点P处,折痕为DE.
(1)如图1,若点P恰好在边BC上,连接AP,求-ABB的值.
(2)如图2,若E是AB的中点, EP的延长线交BC于点F,求BF的长.
【答案】(1)
(2)3
【解析】(1)方法一:如图1中,取DE的中点M ,连接PM.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠C=90°.
由翻折可知,AO=OP,AP⊥DE,∠2=∠3,∠DAE=∠DPE=90°.
在Rt△EPD中,
∵EM=MD,
∴PM=EM=DM,
∴∠3=∠MPD,
∴∠1=∠3+∠MPD=2∠3,
∵∠ADP=2∠3,
∴∠1=∠ADP,
∵AD∥BC,
∴∠ADP=∠DPC.
∴∠1=∠DPC,
∵∠MOP=∠C=90°,
∴△POM∽△DCP.
方法二：由翻折可知，AP⊥DE，
∴∠BAP+∠AED=90°,
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠B=90°,
∴∠AED+∠ADE=90°,
∴∠BAP=∠ADE,
∴△ABO∽△DAE,
(2)如图2中,过点P作GH∥BC交AB于G,交CD于H.则四边形AGHD是矩形,设EG=x,则BG=4-x.
∵∠A=∠EPD=90°,∠EGP=∠DHP=90°,
∴∠EPG+∠DPH=90°,∠DPH+∠PDH=90°,
∴∠EPG=∠PDH.
∴△EGP∽△PHD,
∴PH=3EG=3z,DH=AG=4+x,
在Rt△PHD中,
解得 或-4(舍弃) ,
在Rt△EGP中,
∵GH∥BC,
∴△EGP∽△EBF,
∴BF=3.
28如图,在△ABC中,AB=4 ,∠B=45°,∠C=60°.
(1)求BC边上的高线长.
(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连接EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数.
②如图3,连接AP,当PF⊥AC时,求AP的长.
【答案】(1)4.
(2)① ∠AEP=90°.
② AP=2
【解析】(1)如图1,
过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中,
(2)① 如图2,
由题意,得△AEF≌△PEF.
∴AE=EP.
又∵AE=BE.
② 如图3,
由(1)可知:在Rt△ADC中.
∵PF⊥AC,
∵△AEF≌△PEF,
∴∠AFE=∠PFE=45°,则∠AFE=∠B.
又∵∠EAF=∠CAB,
∴△EAF∽△CAB,
即
在Rt△AFP中,AF=PF,则
29我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果 那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为
(1)在图①中,若AC=20cm,则AB的长为 cm.
(2)如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点.
(3)如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点B(AE>DE)，连.接BE,作CF⊥BE,交AB于点F ,延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点、请猜想小明的发现，并说明理由.
【答案】
(2)见解析
(3)见解析
【解析】(1)解:∵点B为线段AC的黄金分割点,AC=20cm,
故答案为：10 -10.
(2)解:延长EA,CG交于点M,
∵四边形ABCD为正方形，
∴DM∥BC,
∴∠EMC=∠BCG,
由折叠的性质可知,∠ECM=∠BCG ,
∴∠EMC=∠ECM,
∴EM=BC,
∵DE=10,DC=20,
.. EM=10
民
.. G是AB的黄金分割点.
(3)解:当BP=BC时,满足题意.
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠BAE=∠CBF=90°,
∵BE⊥CF,
又∵∠ABE+∠CBE=90°,
∴∠BOF=∠ABE.
∴△ABE≌△BCF(ASA),
.. BF=AE,
∵AD∥CP,
∵△AEF∽△BPF,
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵AE>DE,
∵BF=AE,AB=BC,
∴BP=BC.

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