资源简介 十字架模型模型原理在正方形ABCD中, AH= BE=CF=DG.【结论】△DAH≌△ABE≌△BCF≌△CDG,推出DH = AE= BF=CG, AE⊥BF.正方形中“十”字:有相等能证垂直,有垂直能证相等.(1) 正方形ABCD 中, EF⊥GH , 则可证: EF=GH证明方法1:平移后证△ABR≌△BCS(AAS)证明方法2:作垂证△EJF≌△GIH(2) 正方形ABCD 中, EF=GH , 则可证: EF⊥GH (证法同上)真题精炼1(1)如图1, 在矩形ABCD中, 点E , F分别在边DC, BC上,. ,垂足为点G .求证:△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2,在正方形ABCD中, 点E , F分别在边DC,BC上,. ,延长BC到点H,使CH=DE,连接DH.求证:∠ADF =∠H.【类比迁移】(3)如图3,在菱形ABCD中, 点E, F分别在边DC,BC上,. ∠AED=60°,求CF的长.2.同学们还记得吗 图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形.受这两个图形的启发,数学兴趣小组提出了以下三个问题,请你回答:(1)【问题一】如图①,正方形ABCD的对角线相交于点O ,点O又是正方形 的一个顶点,OA 交AB于点E,( 交BC于点F,则AE与BF的数量关系为 ;(2)【问题二】受图①启发,兴趣小组画出了图③:直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O,直线m分别与AD、BC交于点E、F ,直线n分别与AB、CD交于点G、H,且 ,若正方形ABCD边长为8, 求四边形OEAG的面积;3.如图,在正方形ABCD中,CE⊥DF.求证:CE=DF.证明:设CE与DF交于点O,∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠DCF=90°,BC=CD.∴∠BCE+∠DCE=90°.∵CE⊥DF,∴∠COD=90°...∠CDF+∠DCE=90°∴∠CDF=∠BCE.∴△CBE≌△DFC .∴CE=DF.某数学兴趣小组在完成了以上解答后,决定对该问题进一步探究(1)【问题探究】如图, 在正方形ABCD中, 点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且EG⊥FH . 试猜想 的值,并证明你的猜想.(2)【知识迁移】如图,在矩形ABCD中,AB=m,BC=n,点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且EG⊥FH.则(3)【拓展应用】如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ABC=60°,AB= BC,点E、F分别在线段AB、AD上,且CE⊥BF.求 的值.4如图,在正方形ABCD中, AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点, 连接DF,若BE=AF ,则∠CDF的度数为( ) .A. 45° B. 60° D.77.5°5如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上, BC=3BE且 AE⊥BF ,垂足为G, O是对角线BD的中点, 连接OG, 则OG的长为 .6如图,在正方形ABCD中, E, F分别是AB, BC的中点, CE, DF交于点G,连接AG.下列结论:①CE= DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF.其中正确的结论是( )A. ①② B. ①③ C. ②③ D.①②③7如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点,满足 连接CE、DF,相交于点G,连接AG,若正方形的边长为2 .则线段AG的最小值为 .8如图,在正方形ABCD中,点M、N分别为边CD、BC上的点,且 AM与DN交于点P ,连接AN , 点Q为AN的中点, 连接PQ , BQ , 若 , 给出以下结论:①AM⊥DN;②∠MAN=∠BAN;③△PQN≌△BQN;④PQ=5 .其中正确的结论有 (填上所有正确结论的序号)9问题解决:如图1, 在矩形ABCD中, 点E , F分别在AB, BC边上, DE =AF ,DE⊥AF于点G.(1)求证:四边形ABCD是正方形.(2) 延长CB到点H , 使得 判断 的形状,并说明理由.(3) 类比迁移:如图2,在菱形ABCD中,点E, F分别在AB, BC边上, DE与AF相交于点G , 求DE的长.10已知:在正方形ABCD的边BC上任取一点F ,连接AF ,一条与AF垂直的直线l(垂足为点P)沿AF方向,从点A开始向下平移,交AB于点E .(1)当直线l经过正方形ABCD的顶点D时,如图所示.求证:(2)当直线l经过AF的中点时,与对角线BD交于点Q ,连接FQ ,如图所示.求 的度数.(3)直线l继续向下平移,当点P恰好落在对角线BD上时,交CD于点G,如图所示.设 ,求y与x之间的关系式.11在正方形ABCD中, AB=2,点E是BC边的中点, 连接DE, 延长EC至点F , 使得 过点F作FG⊥DE,分别交CD、AB于N、G两点, 连接CM、EG、EN , 下列正确的有( )个.A.4 B. 3 C. 2 D.112如图,边长为1的正方形ABCD中,点K在AD上,连接BK,过点A,C作BK的垂线,垂足分别为M , N , 点O是正方形ABCD的中心, 连接OM , ON .(1) 求证:(2)请判定 的形状,并说明理由.(3)若点K在线段AD上运动(不包括端点),设 面积为y ,求y关于x函数关系式(写出x范围);若点K在射线AD上运动,且△OMN面积为 ,请直接写出AK长.1.(1)如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE⊥DF,垂足为点G.求证:△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连接DH.求证:∠ADF=∠H.【类比迁移】(3)如图3,在菱形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF=11,DE=8.∠AED=60°,求CF的长.【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∵AE⊥DF,∴∠AED=∠DFO.∴△ADE∽△DCF;(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DO,AD∥BO,∠ADE=∠DCF=90°,∵AE=DF,∴△ADE≌△DOF(HL),∴DE=CF,又∵OH=DE,∴CF=CH.∵点H在BC的延长线上,∴∠DCH=∠DCF=90°,∵DC=DC,∴△DCF≌△DCH(SAS).∴∠H=∠DFC.∵AD∥BC,∴∠ADF=∠DFC=∠H;(3)解:如图,延长BC到点G,使CG=DE=8,连接DG,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=DC,AD//BC,∴∠ADE=∠DCG.∴△ADE≌△DCG(SAS).∴∠DGC=∠AED=60°,DG=AE,∵AE=DF,∴DG=DF,∴△DFG是等边三角形,∴FG=FC+CG=DF=11,∴FC=11-CG=11-8=3.【标注】【知识点】相似三角形2.同学们还记得吗 图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形.受这两个图形的启发,数学兴趣小组提出了以下三个问题,请你回答:(2)过点O作MN∥AB,交AD于点M ,交BC于点N ,作TR∥AD.交AB于点T,交CD于点R,如图,T ∵点O是正方形ABCD的中心,∴ 又∠A=90°∴四边形ATOM是正方形,..同(1)可证△OME≌△OTG…6点睛】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定,勾股定理等知识,正确作出辅助线是解答本题的关键【标注】【知识点】特殊平行四边形3.如图,在正方形ABCD中,CE⊥DF.求证:CE=DF.证明:设CE与DF交于点O,∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠DCF=90°,BC=CD…∠BCE+∠DCE=90°.∵CE⊥DF,∴∠COD=90°.∴∠CDF+∠DCE=90°.∴∠CDF=∠BCE.∴CE=DF.某数学兴趣小组在完成了以上解答后,决定对该问题进一步探究(1)【问题探究】如图,在正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且EG⊥FH.试猜想 的值,并证明你的猜想.(1)【问题一】如图①,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A B C O的一个顶点,OA 交AB于点E,OC 交BC于点F ,则AE与BF的数量关系为 ;(2)【问题二】受图①启发,兴趣小组画出了图③:直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O,直线m分别与AD、BC交于点E、F ,直线n分别与AB、CD交于点G、H,且m⊥n,若正方形ABCD边长为8,求四边形OEAG的面积;【答案】(1)AE=BF(2)16【解析】【分析】(1)由正方形的性质可得∠BAO=∠OBC,AO=BO,∠AOE=∠BOF,根据ASA可证△AOE≌△BOF ,由全等三角形的性质可得结论;(2) 过点O作MN∥AB,交AD于点M ,交BC于点N,作TR∥AD.交AB于点T,交CD于点R,证明△OME≌△OTG ,进而证明(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠ABC=90°∵AC,BD是对角线,∴∠∵四边形A B C O是正方形,∠AOE=∠BOF,∴△AOE≌△BOF∴AE= BF故答案为:AE=BF(2)【知识迁移】如图,在矩形ABCD中,AB=m,BC=n,点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且EG⊥FH.则(3)【拓展应用】如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ABC=60°,AB=BC,点E、F分别在线段AB、AD上,且CE⊥BF.求CBE的值.【答案】((1)1;证明见解析(2)π/m(3)4如图,在正方形ABCD中, AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( ) .A.45° B. 60° C. 67.5° D.77.5°【答案】C【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BA,∠DAF=∠ABE=90°,在△DAF和△ABE中.∴△DAF≌△ABE(SAS),∴∠ADF=∠BAE.∵AE平分∠BAC,四边形ABCD是正方形,∴∠ADF=22.5°,故选C.5.如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,BC=3BE且BE=CF,AE⊥BF,垂足为G,O是对角线BD的中点,连接OG,则OG的长为 .【答案】【解析】以B为原点,BC所在直线为x轴,建立直角坐标系,如图:中小学教育资源及组卷应用平台∵四边形ABCD是正方形,边长为6,∴AB=BC=6,∠ABE=∠BCF=90°,:BC=3BE,BE=CF,∴BE=CF=2,∴B(2,0),F(6,2),A(0,6), D(6,6).设直线AE解析式为y= ax+b,则解得∴直线AE解析式为y=-3x+6,设直线BF解析式为y=cx,则2=6c,解得∴直线BF解析式为∵O为BD中点,∴O(3.3)故答案为:6如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG.下列结论:①CE=DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF.其中正确的结论是( )。A. ①② B. ①③ C. ②③ D.①②③【答案】D【解析】解:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°,∵E,F分别是AB,BC的中点,∴BE=OF,在△CBE与△DCF中,∴△CBE≌△DCF(SAS),∴∠EOB=∠CDF,CE=DF,故①无误;∵∠BOE+∠EOD=90°,∴∠ECD+∠CDF=90°,∴∠CGD=90°,∴OE⊥DF,故②无误;∴∠EGD=90°,如下图所示,延长OE交DA的延长线于H,∵点E是AB的中点,∴AE=BE,∵∠AHE=∠BCE,∠AEH=∠CEB,AE=BE.∴△AEH≌△BEC(AAS).∴BC=AH=AD,∵AG是斜边的中线,∴∠ADG=∠AGD,∵∠AGE+∠AGD=90°,∠CDF+∠ADG=90°,∴∠AGE=∠CDF.故③无误;因此正确答案为:D、【标注】【知识点】正方形的性质【知识点】正方形的判定7.如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点,满足AE=BF,连接CE、DF,相交于点G,连接AG,若正方形的边长为2.则线段AG的最小值为 .【答案】 -1【解析】∵四边形ABCD是正方形,正方形边长为2,∴AB=DC=BC=AD=2,∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°,∵AE=BF,∴AB-AE=BC-BF,∴BE=CF.在△DCF和△CBE中,∴△DCF≌△CBE(SAS),∴∠CDF=∠BCE,∵∠BCE+∠DCE=90°,∴∠CDF+∠DCE=90°,∴∠DGC=90°,∴点G在以DC为直径的⊙O上移动,连接OG、OA.∴OG=OD=OC=1,在Rt△ADO中,·AG≥AO-OG,∴当且仅当A、G、O三点共线时,AG取得最小值,. AG的最小值为 -1.故答案为:8如图,在正方形ABCD中,点M、N分别为边CD、BC上的点,且DM=CN,AM与DN交于点P,连接AN,点Q为MN的中点,连接PQ,BQ,若AB=8,DM=2,给出以下结论:①AM⊥DN;②∠MAN=∠BAN;③△PQN≌△BQN;④PQ=5.其中正确的结论有 (填上所有正确结论的序号)【答案】①④【解析】解:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADM=∠DCN=90°,在△ADM和△DCN,∴△ADM≌△DCN(SAS).∴∠DAM=∠CDN,∴AM⊥DN,故①无误,不妨假设∠MAN=∠BAN,在△APN和△ABN中,∴△PAN≌△ABN(AAS),∴AB=AP.∵这个与AP∴假设不成立,故②有误,不妨假设△PQN≌△BQN,则∠ANP=∠ANB,同法可证△APN≌△ABN,∴AP=AB,∵这个与AP∴假设不成立,故③有误,∵DM=CN=2,AB=BC=8,∴BN=6,∵∠ABN=90°,故④无误,因此正确答案为:①④.9问题解决:如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE=AF,DE⊥AF于点G.(1)求证:四边形ABCD是正方形.(2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状,并说明理由.(3) 类比迁移:如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED=60°,AE=6,BF=2,求DE的长.【答案】(1)证明见解析.(2)等腰三角形;证明见解析.(3)8.【解析】(1)如图1,∵四边形ABCD是矩形,∠ABC=∠DAB=90°∠BAF+∠GAD=90°:DE⊥AF,.∠ADG+∠GAD=90°.∴∠BAF=∠ADG.又∵AF=DE,∴△ABF≌△DAE(AAS).∴AB=AD.∴矩形ABCD是正方形.(2)△AHF是等腰三角形.理由如下:∵AB=AD,∠ABH=∠DAE=90°,BH=AE,∴△ABH≌△DAE(SAS),∴AH=DB.又∵DE=AF,∴AH=AF,即△AHF是等腰三角形.(3)类比迁移:如图2,延长CB到点H,使得BH=AE=6,连接AH.∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,AB=AD,∴∠ABH=∠BAD.∵BH=AE,∴△ABH≌△DAE(SAS).∴AH=DE,∠AHB=∠DEA=60°又∵DE=AF,∴AH=AF.∵∠AHB=60°,∴△AHF是等边三角形.∴AH=HF.∴DE=AH=HF=HB+BF=6+2=8.【标注】【知识点】正方形的判定10已知:在正方形ABCD的边BC上任取一点F ,连接AF,一条与AF垂直的直线l(垂足为点P)沿AF方向,从点A开始向下平移,交AB于点E.(1)当直线l经过正方形ABCD的顶点D时,如图所示.求证:AE=BF.(2)当直线l经过AF的中点时,与对角线BD交于点Q,连接FQ,如图所示.求∠AFQ的度数.(3)直线l继续向下平移,当点P恰好落在对角线BD上时,交CD于点G,如图所示.设AB=2,BF=z,DG=v,求y与x之间的关系式.【答案】(1)证明见解析.(2)∠AFQ=45°.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠EAD=∠FBA=90°,∵AF⊥ED,∴∠BAF+∠AEP=∠AEP+∠ADE=90°.∴∠FAB=∠EDA,∴△ABF≌△DAE(ASA),∴AE=BF.(2)连接AQ,过点Q作QM⊥AD于点M,并延长MQ,交BC于点N,如图所示:点P是AF的中点, AF⊥BQ,. AQ=FQ,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°,∠ADB=45°.∴四边形MNCD是矩形,△MDQ是等腰直角三角形,∴MN=CD=AD,MD=MQ,∴AM=QN.∴Rt△AMQ≌Rt△QNF(HL),∴∠AQM=∠QFN,∴∠FQN+∠AQM=90°,即∠AQF=90°,∴△AQF是等腰直角三角形,∴∠AFQ=45°.(3)过点D作DH//BG,交AB于点H,如图所示:∴四边形HEGD是平行四边形,∴DG=HE,∵AF⊥EG,∴AF⊥HD,由(1)中结论可得AH= BF,∵AD∥BF,AB∥CD,∴△APD∽△FPB,△BPE∽△DPG,∵AB=2,BF=∞,DG=y,∴AD=AB=2,AH=BF=x,HE=DG=y,∴BE=2-x-y,∴y与x之间的关系式为x11在正方形ABCD中,AB=2,点E是BC边的中点,连接DE,延长EO至点F,使得EF=DE,过点F作FG⊥DE,分别交CD、AB于N、G两点,连接CM、EG、EN ,下列正确的有( )个.②MN=NC;A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】 故①正确.②∵∠DMN=∠NOF=90°,∠MND=∠CNF,..∠MDN=∠CFN,∵∠ECD=∠EMF,EF=BD,∠MDN=∠CFN,∴△DEO≌△FEM(AAS),∴EM=EC,∴DM=FC,:∠MDN=∠CFN,∠MND=∠CNF,DM=FC,∴△DMN≌△FCN(AAS),∴MN=NC,故②正确.③∵BE=EC,ME=EC,∴BE=ME,∵在Rt△GBE和Rt△GMB中:BE=ME,GE=GE,∴Rt△GBE≌Rt△GME(HL),∴∠BEG=∠MEG,∵ME=EC,∴∠EMC=∠ECM,又∵∠EMC+∠ECM=∠BEG+∠MEG,∴∠GEB=∠MCE,. MC//GE,故③错误.④由上述可知:BE=EC=1,CF= -1,故④正确.12.如图,边长为1的正方形ABCD中,点K在AD上,连接BK ,过点A,C作BK的垂线,垂足分别为M,N,点O是正方形ABCD的中心,连接OM,ON.(1) 求证:AM=BN(2)请判定△OMN的形状,并说明理由.(3)若点K在线段AD上运动(不包括端点),设AK =x,△OMN的面积为y,求y关于z的函数关系式(写出x的范围);若点K在射线AD上运动,且△OMN的面积为 ,请直接写出AK长.【答案】(1)证明见解析.(2)等腰直角三角形,证明见解析.3或【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,. AB=BC,∠ABO=90°,.∠ABM+∠CBM=90°,∴AM⊥BM,CN⊥BN,∴∠MAB=∠CBM,∴△ABM≌△BCN(AAS),∴AM=BN,(2)如图,连接OB,∴点O是正方形ABCD的中心,∴OA=OB,∠OBA=∠OAB=45°=∠OBC,AO⊥BO,∵∠MAB=∠CBM,∴∠MAB-∠OAB=∠CBM-∠OBC,∠MAO=∠NBO,又∵AM=BN,OA=OB,.△AOM≌△BON(SAS),. MO=NO,∠AOM=∠BON,∵∠AON+∠BON=90°,.∠AON+∠AOM=90°,.∠MON=90°.∴△MON是等腰直角三角形.(3)在Rt△ABK中,.当点K在线段AD上时,则解得:x =3(不合题意舍去).当点K在线线AD的延长线时,同理可求解得: (不合题意舍去),综上, k的值为3或 时,△OMN的面积为【标注】【知识点】动点与特殊平行四边形问题 展开更多...... 收起↑ 资源预览