资源简介

十字架模型
模型原理
在正方形ABCD中, AH= BE=CF=DG.
【结论】△DAH≌△ABE≌△BCF≌△CDG,推出DH = AE= BF=CG, AE⊥BF.
正方形中“十”字：有相等能证垂直，有垂直能证相等.
(1) 正方形ABCD 中, EF⊥GH , 则可证: EF=GH
证明方法1：
平移后证△ABR≌△BCS(AAS)
证明方法2：
作垂证△EJF≌△GIH
(2) 正方形ABCD 中, EF=GH , 则可证: EF⊥GH (证法同上)
真题精炼
1(1)如图1, 在矩形ABCD中, 点E , F分别在边DC, BC上,. ，垂足为点G .求证：△ADE∽△DCF.
【问题解决】
(2)如图2,在正方形ABCD中, 点E , F分别在边DC,BC上,. ,延长BC到点H,使CH=DE,连接DH.求证:∠ADF =∠H.
【类比迁移】
(3)如图3,在菱形ABCD中, 点E, F分别在边DC,BC上,. ∠AED=60°,求CF的长.
2.同学们还记得吗 图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形.受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
(1)【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O ，点O又是正方形 的一个顶点,OA 交AB于点E,( 交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 ；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F ,直线n分别与AB、CD交于点G、H,且 ，若正方形ABCD边长为8, 求四边形OEAG的面积;
3.如图,在正方形ABCD中,CE⊥DF.求证:CE=DF.证明:设CE与DF交于点
O,∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠DCF=90°,BC=CD.∴
∠BCE+∠DCE=90°.∵CE⊥DF,∴∠COD=90°...∠CDF+∠DCE=90°
∴∠CDF=∠BCE.∴△CBE≌△DFC .∴CE=DF.
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
(1)【问题探究】如图, 在正方形ABCD中, 点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且EG⊥FH . 试猜想 的值，并证明你的猜想.
(2)【知识迁移】如图,在矩形ABCD中,AB=m,BC=n,点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且EG⊥FH.则
(3)【拓展应用】如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ABC=60°,AB= BC,点E、F分别在线段AB、AD上,且CE⊥BF.求 的值.
4如图,在正方形ABCD中, AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点, 连接DF,若BE=AF ,则∠CDF的度数为( ) .
A. 45° B. 60° D.77.5°
5如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上, BC=3BE且 AE⊥BF ,垂足为G, O是对角线BD的中点, 连接OG, 则OG的长为 .
6如图,在正方形ABCD中, E, F分别是AB, BC的中点, CE, DF交于点G,连接AG.下列结论:①CE= DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF.其中正确的结论是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D.①②③
7如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，满足 连接CE、DF,相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2 .则线段AG的最小值为 .
8如图，在正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、BC上的点，且 AM与DN交于点P ,连接AN , 点Q为AN的中点, 连接PQ , BQ , 若 , 给出以下结论:①AM⊥DN;②∠MAN=∠BAN;③△PQN≌△BQN;④PQ=5 .其中正确的结论有 (填上所有正确结论的序号)
9问题解决:如图1, 在矩形ABCD中, 点E , F分别在AB, BC边上, DE =AF ,DE⊥AF于点G.
(1)求证：四边形ABCD是正方形.
(2) 延长CB到点H , 使得 判断 的形状，并说明理由.
(3) 类比迁移:如图2,在菱形ABCD中,点E, F分别在AB, BC边上, DE与AF相交于点G , 求DE的长.
10已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F ，连接AF ，一条与AF垂直的直线l(垂足为点P)沿AF方向，从点A开始向下平移，交AB于点E .
(1)当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图所示.求证：
(2)当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q ，连接FQ ，如图所示.求 的度数.
(3)直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交CD于点G，如图所示.设 ，求y与x之间的关系式.
11在正方形ABCD中, AB=2,点E是BC边的中点, 连接DE, 延长EC至点F , 使得 过点F作FG⊥DE,分别交CD、AB于N、G两点, 连接CM、EG、EN , 下列正确的有( )个.
A.4 B. 3 C. 2 D.1
12如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M , N , 点O是正方形ABCD的中心, 连接OM , ON .
(1) 求证:
(2)请判定 的形状，并说明理由.
(3)若点K在线段AD上运动(不包括端点)，设 面积为y ，求y关于x函数关系式(写出x范围)；若点K在射线AD上运动，且△OMN面积为 ，请直接写出AK长.
1.(1)如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE⊥DF,垂足为点G.求证:△ADE∽△DCF.
【问题解决】
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连接DH.求证:∠ADF=∠H.
【类比迁移】
(3)如图3,在菱形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF=11,DE=8.∠AED=60°,求CF的长.
【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3
【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∵AE⊥DF,
∴∠AED=∠DFO.
∴△ADE∽△DCF;
(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DO,AD∥BO,∠ADE=∠DCF=90°,
∵AE=DF,
∴△ADE≌△DOF(HL),
∴DE=CF,
又∵OH=DE,
∴CF=CH.
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH=∠DCF=90°,
∵DC=DC,
∴△DCF≌△DCH(SAS).
∴∠H=∠DFC.
∵AD∥BC,
∴∠ADF=∠DFC=∠H;
(3)解:如图,延长BC到点G,使CG=DE=8,连接DG,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC,AD//BC,
∴∠ADE=∠DCG.
∴△ADE≌△DCG(SAS).
∴∠DGC=∠AED=60°,DG=AE,
∵AE=DF,
∴DG=DF,
∴△DFG是等边三角形，
∴FG=FC+CG=DF=11,
∴FC=11-CG=11-8=3.
【标注】【知识点】相似三角形
2.同学们还记得吗 图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形.受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
(2)过点O作MN∥AB,交AD于点M ,交BC于点N ,作TR∥AD.交AB于点T,交CD于点R,如图,T ∵点O是正方形ABCD的中心，∴ 又∠A=90°∴四边形ATOM是正方形,..
同(1)可证△OME≌△OTG…
6点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键
【标注】【知识点】特殊平行四边形
3.如图,在正方形ABCD中,CE⊥DF.求证:CE=DF.证明:设CE与DF交于点O,∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠DCF=90°,BC=CD…
∠BCE+∠DCE=90°.∵CE⊥DF,∴∠COD=90°.∴∠CDF+∠DCE=90°.
∴∠CDF=∠BCE.∴CE=DF.
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
(1)【问题探究】如图,在正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA
上,且EG⊥FH.试猜想 的值，并证明你的猜想.
(1)【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A B C O的一个顶点,OA 交AB于点E,OC 交BC于点F ,则AE与BF的数量关系为 ;
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F ,直线n分别与AB、CD交于点G、H,且m⊥n,若正方形
ABCD边长为8,求四边形OEAG的面积;
【答案】(1)AE=BF(2)16
【解析】【分析】
(1)由正方形的性质可得∠BAO=∠OBC,AO=BO,∠AOE=∠BOF,根据ASA可证△AOE≌△BOF ，由全等三角形的性质可得结论；
(2) 过点O作MN∥AB,交AD于点M ,交BC于点N,作TR∥AD.交AB于点T,交CD于点R,证明△OME≌△OTG ,进而证明
(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠ABC=90°∵AC,BD是对角线,∴∠
∵四边形A B C O是正方形,
∠AOE=∠BOF,∴△AOE≌△BOF∴AE= BF故答案为:AE=BF
(2)【知识迁移】如图,在矩形ABCD中,AB=m,BC=n,点E、F、G、H分别在线段AB、
BC、CD、DA上,且EG⊥FH.则
(3)【拓展应用】如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ABC=60°,AB=BC,点E、F分别在线段AB、AD上,且CE⊥BF.求CBE的值.
【答案】((1)1;证明见解析(2)π/m(3)
4如图,在正方形ABCD中, AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( ) .
A.45° B. 60° C. 67.5° D.77.5°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BA,∠DAF=∠ABE=90°,
在△DAF和△ABE中.
∴△DAF≌△ABE(SAS),
∴∠ADF=∠BAE.
∵AE平分∠BAC,四边形ABCD是正方形,
∴∠ADF=22.5°,
故选C.
5.如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,BC=3BE且BE=CF,AE⊥BF,垂足为G,O是对角线BD的中点,连接OG,则OG的长为 .
【答案】
【解析】以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
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∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AB=BC=6,∠ABE=∠BCF=90°,
:BC=3BE,BE=CF,
∴BE=CF=2,
∴B(2,0),F(6,2),A(0,6), D(6,6).
设直线AE解析式为y= ax+b,
则
解得
∴直线AE解析式为y=-3x+6,
设直线BF解析式为y=cx，
则2=6c,
解得
∴直线BF解析式为
∵O为BD中点,
∴O(3.3)
故答案为：
6如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG.下列结论:①CE=DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF.其中正确的结论是( )
。
A. ①② B. ①③ C. ②③ D.①②③
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°,
∵E,F分别是AB,BC的中点,
∴BE=OF,
在△CBE与△DCF中,
∴△CBE≌△DCF(SAS),
∴∠EOB=∠CDF,CE=DF,故①无误;
∵∠BOE+∠EOD=90°,
∴∠ECD+∠CDF=90°,
∴∠CGD=90°,
∴OE⊥DF,故②无误;
∴∠EGD=90°,
如下图所示，延长OE交DA的延长线于H，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE,
∵∠AHE=∠BCE,∠AEH=∠CEB,AE=BE.
∴△AEH≌△BEC(AAS).
∴BC=AH=AD,
∵AG是斜边的中线，
∴∠ADG=∠AGD,
∵∠AGE+∠AGD=90°,∠CDF+∠ADG=90°,
∴∠AGE=∠CDF.故③无误;
因此正确答案为：D、
【标注】【知识点】正方形的性质
【知识点】正方形的判定
7.如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点,满足AE=BF,连接CE、DF,相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2.则线段AG的最小值为 .
【答案】 -1
【解析】∵四边形ABCD是正方形，正方形边长为2，
∴AB=DC=BC=AD=2,∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°,
∵AE=BF,
∴AB-AE=BC-BF,
∴BE=CF.
在△DCF和△CBE中,
∴△DCF≌△CBE(SAS),
∴∠CDF=∠BCE,
∵∠BCE+∠DCE=90°,
∴∠CDF+∠DCE=90°,
∴∠DGC=90°,
∴点G在以DC为直径的⊙O上移动，
连接OG、OA.
∴OG=OD=OC=1,
在Rt△ADO中,
·AG≥AO-OG,
∴当且仅当A、G、O三点共线时，AG取得最小值，
. AG的最小值为 -1.
故答案为：
8如图,在正方形ABCD中,点M、N分别为边CD、BC上的点,且DM=CN,AM与DN交于点P,连接AN,点Q为MN的中点,连接PQ,BQ,若AB=8,DM=2,给出以下结论:①AM⊥DN;②∠MAN=∠BAN;③△PQN≌△BQN;④PQ=5.其中正确的结论有 (填上所有正确结论的序号)
【答案】①④
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC,∠ADM=∠DCN=90°,
在△ADM和△DCN,
∴△ADM≌△DCN(SAS).
∴∠DAM=∠CDN,
∴AM⊥DN,故①无误,
不妨假设∠MAN=∠BAN,
在△APN和△ABN中,
∴△PAN≌△ABN(AAS),
∴AB=AP.
∵这个与AP∴假设不成立，故②有误，
不妨假设△PQN≌△BQN,
则∠ANP=∠ANB,同法可证△APN≌△ABN,
∴AP=AB,
∵这个与AP∴假设不成立，故③有误，
∵DM=CN=2,AB=BC=8,
∴BN=6,
∵∠ABN=90°,
故④无误，
因此正确答案为：①④.
9问题解决:如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE=AF,DE⊥AF于点G.
(1)求证：四边形ABCD是正方形.
(2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状,并说明理由.
(3) 类比迁移:如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED=60°,AE=6,BF=2,求DE的长.
【答案】(1)证明见解析.
(2)等腰三角形；证明见解析.
(3)8.
【解析】(1)如图1,
∵四边形ABCD是矩形，
∠ABC=∠DAB=90°
∠BAF+∠GAD=90°
:DE⊥AF,
.∠ADG+∠GAD=90°.
∴∠BAF=∠ADG.
又∵AF=DE,
∴△ABF≌△DAE(AAS).
∴AB=AD.
∴矩形ABCD是正方形.
(2)△AHF是等腰三角形.理由如下：
∵AB=AD,∠ABH=∠DAE=90°,BH=AE,
∴△ABH≌△DAE(SAS),
∴AH=DB.
又∵DE=AF,
∴AH=AF,即△AHF是等腰三角形.
(3)类比迁移：
如图2,延长CB到点H,使得BH=AE=6,连接AH.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC,AB=AD,
∴∠ABH=∠BAD.
∵BH=AE,
∴△ABH≌△DAE(SAS).
∴AH=DE,∠AHB=∠DEA=60°
又∵DE=AF,
∴AH=AF.
∵∠AHB=60°,
∴△AHF是等边三角形.
∴AH=HF.
∴DE=AH=HF=HB+BF=6+2=8.
【标注】【知识点】正方形的判定
10已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F ，连接AF，一条与AF垂直的直线l(垂足为点P)沿AF方向，从点A开始向下平移，交AB于点E.
(1)当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图所示.求证：AE=BF.
(2)当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图所示.求∠AFQ的度数.
(3)直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交CD于点G，如图所示.设AB=2,BF=z,DG=v,求y与x之间的关系式.
【答案】(1)证明见解析.
(2)∠AFQ=45°.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠EAD=∠FBA=90°,
∵AF⊥ED,
∴∠BAF+∠AEP=∠AEP+∠ADE=90°.
∴∠FAB=∠EDA,
∴△ABF≌△DAE(ASA),
∴AE=BF.
(2)连接AQ,过点Q作QM⊥AD于点M,并延长MQ,交BC于点N,如图所示:
点P是AF的中点, AF⊥BQ,
. AQ=FQ,
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°,∠ADB=45°.
∴四边形MNCD是矩形，△MDQ是等腰直角三角形，
∴MN=CD=AD,MD=MQ,
∴AM=QN.
∴Rt△AMQ≌Rt△QNF(HL),
∴∠AQM=∠QFN,
∴∠FQN+∠AQM=90°,即∠AQF=90°,
∴△AQF是等腰直角三角形，
∴∠AFQ=45°.
(3)过点D作DH//BG,交AB于点H,如图所示:
∴四边形HEGD是平行四边形，
∴DG=HE,
∵AF⊥EG,
∴AF⊥HD,
由(1)中结论可得AH= BF,
∵AD∥BF,AB∥CD,
∴△APD∽△FPB,△BPE∽△DPG,
∵AB=2,BF=∞,DG=y,
∴AD=AB=2,AH=BF=x,HE=DG=y,
∴BE=2-x-y,
∴y与x之间的关系式为x
11在正方形ABCD中,AB=2,点E是BC边的中点,连接DE,延长EO至点F,使得EF=DE,过点F作FG⊥DE,分别交CD、AB于N、G两点,连接CM、EG、EN ,下列正确的有( )个.
②MN=NC;
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】 故①正确.
②∵∠DMN=∠NOF=90°,∠MND=∠CNF,
..∠MDN=∠CFN,
∵∠ECD=∠EMF,EF=BD,∠MDN=∠CFN,
∴△DEO≌△FEM(AAS),
∴EM=EC,
∴DM=FC,
:∠MDN=∠CFN,∠MND=∠CNF,DM=FC,
∴△DMN≌△FCN(AAS),
∴MN=NC,故②正确.
③∵BE=EC,ME=EC,
∴BE=ME,
∵在Rt△GBE和Rt△GMB中:BE=ME,GE=GE,
∴Rt△GBE≌Rt△GME(HL),
∴∠BEG=∠MEG,
∵ME=EC,
∴∠EMC=∠ECM,
又∵∠EMC+∠ECM=∠BEG+∠MEG,
∴∠GEB=∠MCE,
. MC//GE,
故③错误.
④由上述可知:BE=EC=1,CF= -1,
故④正确.
12.如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK ，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M,N,点O是正方形ABCD的中心,连接OM,ON.
(1) 求证:AM=BN
(2)请判定△OMN的形状，并说明理由.
(3)若点K在线段AD上运动(不包括端点)，设AK =x，△OMN的面积为y，求y关于z的函数关系式(写出x的范围)；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为 ，请直接写出AK长.
【答案】(1)证明见解析.
(2)等腰直角三角形，证明见解析.
3或
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
. AB=BC,∠ABO=90°,
.∠ABM+∠CBM=90°,
∴AM⊥BM,CN⊥BN,
∴∠MAB=∠CBM,
∴△ABM≌△BCN(AAS),
∴AM=BN,
(2)如图,连接OB,
∴点O是正方形ABCD的中心，
∴OA=OB,∠OBA=∠OAB=45°=∠OBC,AO⊥BO,
∵∠MAB=∠CBM,
∴∠MAB-∠OAB=∠CBM-∠OBC,
∠MAO=∠NBO,
又∵AM=BN,OA=OB,
.△AOM≌△BON(SAS),
. MO=NO,∠AOM=∠BON,
∵∠AON+∠BON=90°,
.∠AON+∠AOM=90°,
.∠MON=90°.
∴△MON是等腰直角三角形.
(3)在Rt△ABK中,.
当点K在线段AD上时，则
解得：x =3(不合题意舍去).
当点K在线线AD的延长线时，
同理可求
解得： (不合题意舍去)，
综上， k的值为3或 时，△OMN的面积为
【标注】【知识点】动点与特殊平行四边形问题

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