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二次函数线段和周长最值问题
模型原理
1.构造二次函数求面积、线段最值
方法步骤：
①根据点在图象上满足函数解析式，设出动点坐标；
②根据宽高公式、两点间距离公式等表示出三角形的面积、线段长度等；
③根据表示出的函数关系式和动点范围求出最值.
2.依据几何性质求线段和差、周长最值
常用的几何性质：
①直角三角形斜边大于直角边；
②两点之间线段最短；
③点到直线垂线段最短；
④三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
3.借助几何变换进行线段转化
4.借助相似三角形进行线段转化
5.借助三角函数进行线段转化
真题精炼
1如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C ，点A坐标为( 点B坐标为(3,0) .
(1)求此抛物线的函数解析式 .
(2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D ，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值 若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由.
2如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B(3,0),C(0,-3).
(1)求该抛物线的表达式.
(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD最大值及点P坐标.
3如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点(1，3)，且交x轴于点 B两点，交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式 .
(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作1 '于点D ，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求 周长的最大值及此时点P的坐标.
4如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴交于点. 和点B(6,0)两点, 与y轴交于点C(0,6).点D为线段BC上的一动点.
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1, 求△AOD周长的最小值;
5在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和B(0，3)，其顶点的横坐标为1.
(1)求抛物线的表达式.
(2)若直线 n与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得 有最大值，并求出最大值.
6如图,抛物线过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧) ,点C, D在抛物线上, 设B(t,0),当t =2时,
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值 最大值是多少
7如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是(-1，0)，抛物线的对称轴是直线：
(1)直接写出点B的坐标；(2)在对称轴上找一点P ，使 的值最小 .求点P的坐标和PA+PC的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点M ，过点M作 轴，垂足为N ，连接BC交MN于点Q .依题意补全图形，当 的值最大时，求点M的坐标.
8如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线 经过点A(-1, 0)、B(3, 0) , 与y轴交于点C，顶点为点D .在线段CB上方的抛物线上有一动点P ，过点P作PE⊥B( C于点E,作PF∥AB交
(1)求抛物线和直线BC的函数表达式，
(2)当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长.
9如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点A(0,-1), B(4,1) , 直线AB交x轴于点C，点P是直线AB下方抛物线上的一个动点.过点P作 垂足为D，. 轴,交AB于点E.
(1)求抛物线的函数表达式 .
(2) 当 的周长取得最大值时，求点P的坐标和 周长的最大值.
10如图，抛物线 与x轴交于A、B两点 ，与y轴交于点C ，直线 过B、C两点, 连接AC .
(1)求抛物线的解析式.
(2) 求证 :.
(3)点M(3，2)是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过D作 轴交直线BC于E ，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求 的最小值.
1.如图，抛物线 c与z轴交于A,B两点,与y轴交于点C ,点A坐标为(-1,0),点B坐标为(3,0).
(1)求此抛物线的函数解析式.
(2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D ，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值 若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由.
【答案】 的最大值为 ， P点的坐标为
【解析】【分析】
(1)直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；
(2)先求解C(0,2),及直线 设 可得 再建立二次函数求解即可；
【详解】
(1)解:∵抛物线s 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C ，点A坐标为(-1,0),点B坐标为(3,0).
(2)解:当x=0时, 2), 设直线BC为y= kz+2,.3k+2=0,解得 .直线BC为 · 设 当 时，有最大值 ;1此时
2如图，在平面直角坐标系中，抛物线 c与z轴交于点A，B，与y轴交于点O，其中B(3,0),C(0,-3).
(1)求该抛物线的表达式.
(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D ，求PD的最大值及此时点P的坐标.
【答案】
(2) PD的最大值为 此时
【解析】(1)将点B(3,0),
解得
∴抛物线的表达式为
与x轴交于点A，B，
当y=0时.
解得：
∴A(-4,0),
∵σ(0,-3),
设直线AC的解析式为y= kx-3,
-4k-3=0,
解得：i
∴直线AC的解析式为
如图所示，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点Q，
设 则(
∴angleOAC=angleQPD.
∵OA=4,OC=3,
∴AC=5,
∴当t=-2时,PD取得最大值为=,
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3如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2过点(1,3),且交a轴于点A(-1,0), B两点，交y轴于点O.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D ，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标.
【答案】
(2)△PDE周长的最大值为 此时点P(2,3).
【解析】(1)把(1,3)、 得
解得
∴抛物线的表达式为
(2)如图,延长PE交x轴于F,
∵PD⊥BC于点D,PE∥y轴,
∴∠DEP=∠BCO,∠PDE=∠COB=90°,
∴△DPE∽△OBC,
∴△DPB的周长=BC,△OBC周长,
∴当PE最大时△PDE的周长最大，
∵抛物线的表达式为：
∴B(4,0),C(0,2),
∴直线BC的解析式为
则E
∴当m=2时PE最大,最大值为2,此时P(2,3),
∵△BOO的周长为OC+OB+BC=6+2
∴△PDE周长的最大值为 此时P(2,3).即△PDE周长的最大值为 此时点P(2,3).
【标注】【知识点】二次函数与动点问题
4如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 c的图象与x轴交于点A(-2，0)和点B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,6).点D为线段BC上的一动点.
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1, 求△AOD周长的最小值;
【答案】
【解析】(1)解:由题意可知,设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-6),
将(0,6)代入上式得:6=a(0+2)(0-6).
所以抛物线的表达式为
(2)作点O关于直线BC的对称点E,连接BC、EB,
∵B(6,0),C(0,6),∠BOO=90°,
∴OB=OC=6.
∵O、B关于直线BO对称,
..四边形OBEC为正方形，
∴E(6,6),连接AE,交BC于点D ,由对
此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长,
∵△AOD的周长为DA+DO+AO,AO=2,DA+DO的最小值为10,
∴△AOD的周长的最小值为10+2=12;
5在平面直角坐标系中，抛物线y 经过点A(-1,0)和B(0,3),其顶点的横坐标为L
(1)求抛物线的表达式.
(2)若直线m =m与m轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN·MN有最大值，并求出最大值.
【答案】
(2)
【解析】(1)∵抛物线的顶点横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线z=1.、
∵点A的坐标为(-1,0),
∴抛物线与a轴的另一交点坐标为(3，0).
将(-1,0),(3,0),(0,3)代入y=ax + bx+c
得 0得
∴抛物线的表达式为
(2)∵直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为( 点N的坐标为(m,0),
∴当 时，AN+MN有最大值，最大值为
6如图,抛物线过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧) ,点C, D在抛物线上,设B(t,0),当t=2时,BC=4.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，知形ABCD的周长有最大值 最大值是多少
【答案】 (2)当t=1时，矩形ABOD的周长有最大值，最大值为-42【解析】【分析】
(1)设抛物线的函数表达式为y=az(x-10)(a≠0)，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；
(2)由抛物线的对称性得AE=OB=t,则AB=10-2t,再得出 根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
(3)连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形OCHG是平行四边形，则 求出t=2时，点A的坐标为(8,0),则 即可得出结论.
[详解】 (1)解:设抛物线的函数表达式为y= ax(x-10)(a≠0).∵当t=2时,BC=4,∴点C的坐标为(2,-4). 将点C坐标代入表达式,得2a(2-10)=-4.解得 抛物线的函数表达式为
(2)解:由抛物线的对称性得:AE=OB=t,∴AB=10-2t.当x=t时.
∴矩形ABCD的周长为： ∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为2、
7如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是(-1,0),抛物线的对称轴是直线x=1.
(1)直接写出点B的坐标；(2)在对称轴上找一点P ，使PA+PC的值最小.求点P的坐标和
PA+PC的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点M ，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q .依题意补全图形，当MQ+ CQ的值最大时，求点M的坐标.
【答案】(1)(3,0)
(2)点P(1,2), PA+PC的最小值为3
【解析】(1)解：∵点A(-1，0)关于对称轴的对称点为点B，对称轴为直线x=1，
∴点B为(3,0);
(2)当x=0时,y=3,∴C(0,3),连接BO,
∵B(3,0),
∵点A关于对称轴的对称点为点B，
∴PA+PC=PB+PO≥BC,
∴当P,B,C三点共线时, PA+PC的值最小,为BC的长,
设直线BC的解析式为:y= kx+n,
则
解得
∴y=-x+3,
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴P(1,2);
∴点P(1,2),PA+PC的最小值为3
(3)过点M作MN⊥z轴,垂足为N,连接BC交MN于点Q,如图所示,
∵A(-1,0),B(3,0),
设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x-3),
∵C(0,3),
:3=-3a,
'a=-1,
设M
则:N(m,0),
由(2)知:直线BC:y=-x+3,
∴Q(m,~m+3).
∵C(0,3),B(3,0).
∴OO=OB=3,BN=3-m,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∴∠NQB=∠OBC=45°,
∴当 时,MQ+ CQ有最大值，此时M
8如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线 c经过点A(-1,0)、B(3,0) ,与y轴交于点C，顶点为点D .在线段CB上方的抛物线上有一动点P ，过点P作PB⊥BC于点E，作PF∥AB交
(1)求抛物线和直线BO的函数表达式.
(2)当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长.
【答案】(1)抛物线函数表达式为 直线BC的函数表达式为y=-x+3(2)点P的坐标为 △PEF的周长为
【解析】(1)解:将点A(-1,0),B(3,0)代入 得：解得 所以抛物线解析式为 C(0，3)设直线BC的函数表达式 ,将B(3,0),C(0,3)代入得 解得 所以直线BC的函数表达式为y=-x+3(2)与抛物线相切时的解析式为y=-x+p，与抛物线联立得： 整理得 解得 将 代入 解得 将 代入y=-x +2x+3得 即△PEF的周长为最大值时，点P的坐标为 将 代入y=-x+3得 则此时 因为△PEF为等腰直角三角形， 则△PEF的周长最大为
9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y c经过点A(0,-1), B(4,1) ,直线AB交z轴于点C，点P是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE//x轴，交AB于点E.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值.
【答案】
(2) 点P的坐标为(2,-4),△PDE周长的最大值为8
【解析】(1)∵抛物线 c经过点A(0,-1), B(4,1),
解得
∴抛物线的函数表达式为
(2)设直线AB的解析式为
解得
令
∴C点坐标为(2,0),
∴OC=2,
又∵OA=1,
∵PE//x轴,
∴∠PED=∠OCA.
过点P作PH//t/轴交直线AB于点H,
∴PE⊥PH,
∵PD⊥AB,
∴PE=2PH,DE=2PD,
∴PE= PD,
∴C△PDE=PD+DE+PE
=(3+ )PD
设P点坐标为 其中0则H点坐标为
∴当m=2时, PH取得最大值为4,
∵PH越大,△PDE的周长越大,
∴当PH=4时,△PDE周长的最大值为8
此时P点坐标为(2,-4).
10如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点O，直线 2过B、C两点,连接AC.
(1)求抛物线的解析式.
(2) 求证:△AOO∽△ACB.
(3)点M(8，2)是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥z轴交直线BO于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DB的长度最大时，求PD+PM的最小值.
【答案】
(2)证明见解析.
(3)
【解析】(1) 直线 分别与x轴和y轴交于点B和点C，
∴点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,2),
把B(4,0),C(0,2)分别代入
得
解得
∴抛物线的解析式为
(2)方法一：∵抛物线 与x轴交于点A，
解得
∴点A的坐标为(-1,0),
∴AO=1,AB=5,
在Rt△AOC中,AO=1,OC=2,
又∵∠OAO=∠CAB,
∴△AOO∽△ACB.
方法二：利用勾股定理的逆定理可证△ACB是直角三角形，从而证得△AOC∽△ACB，其余略.
(3)设点D的坐标为
则点E的坐标为
∴当x=2时，线段DE的长度最大.
此时,点D的坐标为(2,3),
∵C(0,2),M(3,2),
∴点O和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P ，此时PD+PM最小
连接CM交直线DE于点F，则. ,点F的坐标为(2,2),
∴PD+PM的最小值为

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