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.二次函数直角三角形存在性问题
模型原理
1. “两线一圆”
如图，使△ABC为直角三角形的点C必在“两线一圆”上，具体如下：所谓“两线” ，即分别过点A、B作线段AB的垂线，对应∠A、∠B为直角的两种情况；
所谓“一圆” ，即以AB为直径的圆，对应以∠C为直角的一种情形；
此“两线一圆”上除不能构成三角形的点外，皆为所求点C.
【知识复习】
1.对已知线段AB和直线l，要在直线l上找点P、使△ABP为直角三角形，有以下方法：①几何法(两线一圆)
②代数法
设点P的坐标为(m，n)，利用两点间的距离公式表示出AB、AP、BP的长度，然后根据勾股定理逆定理关于斜边的情况作分类讨论 .
注意事项：
对于直角三角形存在性问题，最右图中的圆以线段 AB 为直径、它与直线l的交点. 满足 即此时点. 是所求直角三角形的直角顶点；这里用到了圆周角定理的推论：直径所对圆周角是直角 .
真题精炼
1如图，二次函数 的图象与x轴相交于点A(-2,0)、B,其顶点是C .
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接( 将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点(k，0)作x轴的垂线l.已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围.
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上,连接PC、QC、PQ.已知 是直角三角形，求点P的坐标.
2在平面直角坐标系xOy中，直线l： 与x轴交于点A，与抛物线l 交于
B, C两点(B在C的左边)
(1)求A点的坐标；
(2)如图1，若B点关于x轴的对称点为B'点，当以点A，B'，C'为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；
3.抛物线 与x轴交于A(t,0) , B(8,0)两点, 与y轴交于点C, 直线 经过点B .点P在抛物线上，设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式和t，k的值 .
(2) 如图1, 连接AC, AP, PC,若 是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标.
4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C , 连接AC,BC .
(1) 求线段AC的长;
(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当 时，求点P的坐标；
(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当 为直角三角形时，求点M的坐标.
5如图，抛物线 经过点B(4,0)和点C(0,2) , 与x轴的另一个交点为A, 连接AC
(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；
(2)如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得 是以BD为斜边的直角三角形 若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
6如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与x轴交于A、C两点，与y
轴交于点B, 其中点B坐标为(0, - 4) , 点C坐标为(2,0)
(1)求此抛物线的函数解析式 .(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.
7如图1，抛物线 经过点 ，并交x轴于另一点B ，点P(x，y)在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D .
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2) 当点P的坐标为(1,4)时, 求四边形BOCP的面积.
(3)点Q在抛物线上，当 的值最大且△APQ 是直角三角形时，求点Q的横坐标.
1如图，二次函数 4的图象与z轴相交于点A(-2,0)、B,其顶点是O.
(1)b= ;
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接 将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点(k，0)作z轴的垂线l，已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围.
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上,连接PC、QC、PQ.已知△PCQ是直角三角形,求点P的坐标.
【答案】(1)-1
(2)k≤-3
(3) P(3, 或
【解析】(1)解：由题意得，
∴b=-1;
∴设D(2t,5t),
(舍去),
∴新抛物线设为
(舍去),
在的左侧，平移前后的两条抛物线都下降.
·k≤-3
(3)如图,作PV⊥CQ于V,
设P(t,
∴平移后的抛物线为
当x=1时
..∠CPQ=90°,
∴QV=CV,
(舍去) (舍去),
当t=3时
当t=-1时
或
2.在平面直角坐标系zOy中,直线l:y=a(x+2)(a>0)与x轴交于点A,与抛物线B:y=ax 交于
B,C两点(B在C的左边).
(1)求A点的坐标；
(2)如图1，若B点关于x轴的对称点为B'点，当以点A，B'，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；
【答案】
【解析】【分析】
(1)对于直线l:y=a(x+2),令y=0,求出x,即可求解;
(2)联立先求出点B(-1,a),C(2,4a),可得点B'(-1,-a),从而得到AB ,AC ,CB ,再根据勾股定理，即可求解；
【详解】
(1)解:对于直线l:y=a(x+2),当y=0时,α=-2, ∴A点的坐标为(-2,0); (2)
解：联立得：解得: x=-1或x=2, ∵B在C的左边, .点
B(-1,a),C(2,4a), ∵B点关于x轴的对称点为B'点, ∴点B'(-1,-a),
,
90°,此时 即 解得:a= (负值舍去) ;
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键.
3.抛物线 6与z轴交于A(t,0), B(8,0)两点,与y轴交于点C,直线y= kx-6经过点B .点P在抛物线上，设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式和t，k的值.
(2)如图1,连接AC,AP,PC,若△APC是以CP为斜边的直角三角形,求点P的坐标.
【答案】
【解析】(1)∵B(8,0)在抛物线
∴抛物线解析式为
当
∴t =3,t =8(舍),
. t=3.
·B(8,0)在直线y= kx-6上,
8k-6=0,
.一次函数解析式为
(2)如图,作PM⊥z轴于点M,
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对于 x=0,则y=-6,
∴点C(0,-6),即OC=6,
∵A(3,0),
∴OA=3,
··点P的横坐标为m，
∴∠OAC=∠APM,
∵∠AOC=∠AMP=90°,
∴△COA∽△AMP,
∴OA·MA=OC·MP,即3
∴m =3(舍),m =10,
∴m=10,
【标注】【知识点】二次函数与相似三角形结合
4如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C,连接AC,BC.
(1)求线段AC的长;
(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标；
(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标.
【答案】
(2)(1,-1)
(3)(1,-4)或(-2,5)或
【解析】【分析】(1)根据解析式求出A，B，C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长；
(2)求出对称轴为x=1，设P(1，t)，用t表示出PA 和PC 的长度，列出等式求解即可；
(3)设点 分情况讨论，当(
分别列出等式求解即可.
【解析】 与x轴交点：令y=0，解得
即A(-1,0),B(3,0).
3与y轴交点:令x=0,解得y=-3,
即C(0,-3),∴AO=1,CO=3,
(2)抛物线y 3的对称轴为:z=1,设P(1,t),
(3)设点
3) ,
时,m 3) .
解得,m =0(舍) ,m =1,∴M(1,-4);
②当 时,(m ) ,
解得， (舍) ,∴M(-2,5);
③当BM +CM =BC 时,
解得
综上所述:满足条件的M为(1,-4)或(-2,5)或 或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题.
【标注】【知识点】二次函数与几何综合
5如图，抛物线 c经过点B(4,0)和点C(0,2),与x轴的另一个交点为A ,连接AC
(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；
(2)如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形 若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】 (2)存在E(0,3)或(0,-1) ,使得△BDE;是以BD为斜边的直角三角形；
【解析】【分析】
(1)利用待定系数法解答，即可求解；
(2)先根据中点坐标公式可得点 设点E(0，m)，再根据两点坐标公式可得 ，再由勾股定理，即可求解；
(1)解:把点B(4,0)和点C(0,2)代入,得: 解得： ∴抛物线的解析式为 则 解得：
,∴点A(-1,0);
(2)解:存在,理由如下:∵点A(-1,0) ,点C(0,2),点D是线段AC的中点,∴点 ，设点E(0,m),∴
△BDE是以BD为斜边的直角三角形， 整理得 解得:m=3或-1,∴点E的坐标为(0,3)或(0,-1) ;
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的综合题，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键.
【标注】【知识点】二次函数与几何综合
6如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B,其中点B坐标为(0, - 4) ,点C坐标为(2,0).
(1)求此抛物线的函数解析式.
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.
【答案】
(2)(-2,-4)
(3)P点坐标为: (-1,3) , (-1,-5),(-1 , - 2+ ),(-1.-2-
【解析】
(1)解:将B(0,-4) ,C(2,0)代入y=az +z+m,
得：
解得
∴抛物线的函数解析式为
(2)向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时。ABD的面积最大，
0时,x =2,x =-4,
A点坐标为: (-4,0),
设直线AB关系式为:y= kz+b(k≠0),
将A(-4.0) ,B(0,-4) ,代入y= kz+b(k≠0),
得：
解得
∴直线AB关系式为:y=-x-4,
设直线AB平移后的关系式为:y=-z-4+n,
则方程 4有两个相等的实数根，
即 有两个相等的实数根，
∴=-2,
即 0的解为x=-2,
将x=-2代入抛物线解析式得
∴点D的坐标为: (-2, - 4)时,△ABD的面积最大;
(3)①当∠PAB=90°时,
即PA⊥AB,则设PA所在直线解析式为:y=x+z,
将A(-4,0)代入y=z+z得,-4+z=0,
解得:z=4,
∴PA所在直线解析式为:y=x+4,
∵抛物线对称轴为：x=-1，
.当x=-1时,y=-1+4=3,
∵. P点坐标为: (-1,3);
②当∠PBA=90°时,
即PB⊥AB,则设PB所在直线解析式为:y=x+t,
将B(0,-4)代入y=x+t得,t=-4,
∴PA所在直线解析式为:y=x-4,
∴当x=-1时,y=-1-4=-5,
∴P点坐标为: (-1,-5);
③当∠APB=90°时,设P点坐标为:(-1, y,).
∴PA所在直线斜率为： PB在直线斜率为：
∵PA⊥PB,
解得：
∴P点坐标为:(-1, - 2+ ),(-1,-2-
综上所述, P点坐标为: (-1,3) , (-1,-5),(-1,-2+ ),(-1,-2- )时,
△PAB为直角三角形.
7如图1，抛物线 c经过点A(-1,0)、C(0,3),并交x轴于另一点B，点P(x，y)在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)当点P的坐标为(1,4)时,求四边形BOCP的面积.
(3)点Q在抛物线上，当 的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标.
【答案】
(2)
(3)
【解析】(1)∵抛物线y c经过点A(-1,0)、C(0,3).
解得
∴该抛物线的函数表达式为
(2)如图,连接OP,令y=-x +2x+3=0,∴x =-1,x =3,
∴B(3,0),∵C(0,3), P(1,4),
∴OC=3,OB=3, zp=1, yp=4,
(3)如图,作PF//z轴,交直线BC于点F,
贝
∵AB=4是定值,∴当PF最大时, 最大.
设yBc= kz+b,∵C(0,3),B(3,0),
Unc=-x+3,设 则
∴当 时，PF取得最大值 ，此时
设点( 若△APQ是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合，:4≠ 且t≠-1,
下面分三类情况讨论：①若∠APQ=90°，如图，
过点P作PP ⊥z轴于点P ,作QP ⊥P P交P P的延长线于点P ,
则
②若∠PAQ=90°,如图,过点P作直线PA ⊥z轴于点A ,过点Q作QA ⊥α轴于点A
则△APA ∽△QAA .
③若 如图,过点Q作QQ ⊥x轴于点Q ,作PQ ⊥Q Q交Q Q的延长线于点Q ,则

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