资源简介

二次函数相等角问题
模型原理
1.等角
等角问题中，目标角等于已知角，角定，则正切值定；角等，则正切值等，继而转化为定角问题.此外，若因等角出现相似三角形，则可考虑直接利用相似求解.
2.和差角
1.在遇到一些角度如15°、75°、105°时，可以将其看做是某两个特殊角的和差，如1! 5°等，继而转化为定角问题；
2.在遇到更一般的和差角问题时，一般可以通过导角转化为定角或等角问题.
3.倍半角
倍半角问题主要通过等腰三角形、角分线或轴对称将“倍角”和“半角”转化为常规的定角或等角问题.
如图, 在等腰△ABC中, AB=AC, 则∠CAD=2∠B .
如图,若BP平分∠ABC, 则∠
真题精炼
1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C.
(1) OC= .
(2) 如图, 已知点A的坐标是(-1,0).
①当1≤x≤m,且m>1时, y的最大值和最小值分别是s、t,. 求m的值；
② 连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点(点B除外)，过点P作PD⊥x轴,垂足为D .作∠DPQ=∠ACO,射线PQ交y轴于点Q ,连接DQ、PC.若DQ=PC,求点P的横坐标.
2.如图，在直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A ，B两点，与y轴交于点
C(0,3) , 对称轴为直线x = - 1, 顶点为点D .
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接DA,DC,CB,CA, 如图①所示, 求证:
3.如图1 ，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象经过点. 与y轴交于点C .
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接BC ，在该二次函数图象上是否存在点P ，使 若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线 c与x轴的正半轴相交于点C(1，0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P为线段AB上一点,∠APO=∠ACB ,求AP的长;
5如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点 )和点B(4,0) .
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
(2)点P为该抛物线上一点(不与点C重合)，直线CP将 的面积分成2：1两部分，求点P的坐标.
(3)点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA=∠OCB--∠OMA时, 求t的值.
6.抛物线 过点A(-1,0), 点B(3,0) , 顶点为C .
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标.
(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若 是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标.
(3)如图2，在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A，C不重合)的动点，连接PE，作 边EF交x轴于点F ，设点F的横坐标为m，求m的取值范围.
7如图，抛物线 c与两坐标轴相交于点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3) , D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点.
(1)求抛物线的解析式 ，并写出D点的坐标.
(2) F(x,y)是抛物线上的动点 :
① 当 时，求 的面积的最大值.
② 当 时，求点F的坐标.
8如图，直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点 ，抛物线 经过点B、C,与x轴另一交点为A，顶点为D .
(1)求抛物线的解析式.
(2)在x轴上找一点E，使 的值最小，求 的最小值.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得 若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
9如图，二次函数 的图象与y轴交于点A ，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B, 抛物线过点C(1,0) , 且顶点为D, 连接AC、BC、BD、CD.
(1) 填空:b = .
(2)点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q .若 ，求点P的坐标.
10如图，二次函数 (m是常数，且 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与g轴交于点C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E ，与x轴交于点F, 连接AC, BD.
(1)求A，B，C三点的坐标(用数字或含m的式子表示)，并求 的度数.
(2) 若 求m的值.
(3)若在第四象限内二次函数 (m是常数，且 的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP =75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围.
1如图，在平面直角坐标系中，直线 与a轴交于点A ，与g轴交于点B ，抛物线 经过坐标原点和点A，顶点为点M.
(1)求抛物线的表达式及点M的坐标.
(2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于 时，求E点的坐标.
(3)将直线AB向下平移，得到过点M的直线y=mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2,0),连接DM,求证:∠ADM-∠ACM=45°.
【答案】
(3)证明见解析.
【解析】(1)对于y=- x+3,令
则x=6;令x=0,则y=3.
故点A、B的坐标分别为(6,0)、(0,3),
∴抛物线 c经过坐标原点，故c=0，
将点A的坐标代入抛物线表达式得： 解得b=-2,
故抛物线的表达式为
则抛物线的对称轴为直线x=3，当x=3时，
则点M的坐标为(3,-3).
(2)如图1,过点E作EH//y轴交AB于点H,
设点E的坐标为 则点B
则△EAB的面积
解得x=1或
故点E的坐标为 $
(3)·、直线AB向下平移后过点M(3,-3).
故直线CM的表达式为
令！ 解得x=-3,
故点C(-3,0),
过点D作DH⊥CM于点H.
∵直线CM的表达式为 故
则：
则
由点D、M的坐标得，
则 sin 故
∠HMD=45°=∠DMC=∠ADM-∠ACM=45°.
∴∠ADM-∠ACM=45°.
2如图，抛物线 与z轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4，-3).
(1)请直接写出A ，B两点的坐标及直线l的函数表达式.
(2) 若点P是抛物线上的点,点P的横坐标为m(m≥0),过点P作PM⊥z轴,垂足为M ,PM与直线l交于点N ，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标.
(3)若点Q是y轴上的点,且∠ADQ=45°,求点Q的坐标.
【答案】(1) A(-2,0), B(6,0),直线l的函数表达式为
(2) (0,-3)或
(3)(0,9)或
【解析】(1)把y=0代入 3中,
得
解得x =6,x =-2,
∴A(-2,0),B(6,0),
设直线l的函数表达式为y= kx+b(k≠0),
把A(-2,0), D(4,-3)代入y= kz+b中,
得
解得
∴直线l的函数表达式为
(2)如图，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为
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分两种情况：
①当PM=3MN时,得
解得m =0,m =-2(舍去),
当m=0时
∴点P的坐标为(0,-3).
②当PM=3NP时,得
解得m =3,m =-2(舍去)
当m=3时.
∴点P的坐标为
∴当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为(0，-3)或
(3)∵直线 与y轴交于点E，
∴点E的坐标为(0,-1),
分两种情况：①如图，当点Q在y轴正半轴上时，记为点Q .
过点Q 作Q H⊥直线l,垂足为H,则∠Q HE=∠AOE=90°,
又
∴HE=ED,
连接CD,∵点C的坐标为(0,-3),点D的坐标为(4,-3).
∴CD⊥y轴.
∴HE=2 ,Q H=4
∴点Q 的坐标为(0,9).
②如图，当点Q在y轴负半轴上时，记为点Q ，过点Q 作Q G⊥直线l，垂足为G，则
民
又：
∴ED=EG+DG=3BG.
由①可知,ED=2
∴点Q 的坐标为
综上，点Q的坐标为(0，9)或
3如图，抛物线 与z轴交于A(-2,0)、B(6,0)两点,与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4，3).
(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
(3)若点Q是g/轴上的点,且∠ADQ =45°,求点Q的坐标.
【答案】(1)抛物线的解析式为 直线l的解析式为 △PAD的面积的最大值为 ,P(1, (3)Q的坐标为(). 或(0,-9).
【解析】
解: (1)∵抛物线 与x轴交于A(-2,0)、B(6,0)两点,
∴设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-6),
解得,x=-2,或x=6,
∵D(4,3)在抛物线上,
∴3=a(4+2)×(4-6),
解得
∴抛物线的解析式为
∵直线l经过A(-2,0)、D(4,3),
设直线l的解析式为y= kx+m(k≠0),
则
解得
∴直线l的解析式为
(2)如下图1所示,中,过点P作PE//y轴交AD于点F.设 则
∴PF的值最大值时，△PAD的面积最大，
∴m=1时，PF的值最大，最大值为 ，此时△PAD的面积的最大值为
(3)如下图2所示,中,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT,则T(-5,6),
设DT交y轴于点Q ,则∠ADQ=45°,
∵D(4,3),
∴直线DT的解析式为
作点T关于AD的对称点 Tv(1,-6),则直线DT/的解析式为y=3x-9,设DQ/交y轴于点Q',则∠ADQ'=45°.
∴Q'(0,-9),
综上所述，满足条件的点Q的坐标为(0， )或(0,-9).
【标注】【知识点】二次函数与几何综合
4在平面直角坐标系xOy中，二次函数 3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C.
(1)00=
(2) 如图,已知点A的坐标是(-1,0).
①当1≤z≤m,且m>1时,y的最大值和最小值分别是s、t,s-t=2,求m的值;
② 连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点(点B除外)，过点P作PD⊥x轴,垂足为D.作∠DPQ=∠ACO,射线PQ交y轴于点Q,连接DQ、PC.若DQ=PC,求点P的横坐标.
【答案】(1)8
②1或
【解析】(1)当x=0时,y=3,即OC=3.
(2)① 将点A坐标代入y=-z + bx+3,
得,-1-b+3=0,
解得:b=2,
∴解析式为
而s
∴对称轴为直线：m=1，
当1≤x≤m,且m>1时,
t/随着x的增大而减小，
∴当x=1,8=-1+2+3=4,当x=m时,
由s-t=2得,
解得:m=1+ (舍),
② 在Rt△ACO中,
由题意得..DP//CQ,DQ=PO.
∴四边形DPCQ为平行四边形或等腰梯形，
当点P在α轴上方，四边形DPOQ为平行四边形时，则PD=QC.
∵DP//y轴.
∴∠1=∠DPQ,
∵∠DPQ=∠ACO,
设FD=k,OF=n,则PD=3k,OQ=3n,
∴3k=3+3n,
∴n=k-1,
∴P(2k-1,3k),
将点
得：
解得： (舍).
当四边形DPCQ为等腰梯形时,则PC=QD,过点P作PE⊥y轴于点E,
∵DP//1轴,
∴PE=DO,
∴Rt△POE≌Rt△DQO,
∴CE=QO,
∴QO+OE=QC+QO,
∴QE=OO=3,
设PE=p,则QE=3p,
∴3p=3.
∴p=1,
即 xp=1;
当点P在z轴下方抛物线上时，此时四边形DPCQ是平行四边形，则DP=QC，
设OG=e,DG=g.
∴OQ=3e,DP=3g=QC,
OQ-OC=CQ,
∴3e-3=3g,
∴g=e-1,
∴P(2e-1,3-3e),
将点P坐标代入
得：
解得 或
而当 时,g=e-1<0,故舍,
∴
综上：点P的横坐标为1或
5如图，在直角坐标系中，二次函数 c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点O(0,3),对称轴为直线x=-1,顶点为点D.
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接DA,DC,CB,CA,如图①所示,求证:∠DAC=∠BCO;
【答案】 (2)见解析
【解析】(1)解：通过题意得，∴二次函数的表达式为：
(2)证明:∵当x=-1时,y=-1-2×(-1)+3=4,∴D(-1,4), 由
得，z =-3,x =1, ∴A(-3,0),B(1,0)∴AD =(-1+3) +4 =20,∵C(0,3),∴
【标注】【知识点】二次函数与几何综合
^
6如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 2的图象经过点A(-1,0),B(3,0),
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC 若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
【答案】 )或
【解析】【分析】
(1)待定系数法求解析式即可求解；
(2)通过题意，分情况讨论，①过点C作关于z=1的对称点P，即可求P的坐标，②x轴上取一点D,使得DC=DB,则∠DCB=∠ABC,设D(d,0),根据勾股定理求得CD,BD,建列方程，解方程求解即可；
(1)解：∵由二次函数 ,令z=0,则y=2,∴C(0,2),∵过点A(-1,0),B(3.0)，设二次函数的表达式为 将点C(0,2)代入得,2=-3a, 解得
(2)∵二次函数( 的图象经过点A(-1,0),B(3,0),∴抛物线的对称轴为z=1,①如下图所示,过点C作关于x=1的对称点P,∴CP∥AB,∴∠PCB=∠ABC,∵C(0,2),∴P(2,2).
②x轴上取一点D,使得DO=DB,则∠DCB=∠ABC,设D(d,0),则 解得 即 设直线CD的解析式为 解得 .直线CD的解析式为 联立 解得
综上所述，P(2,2)或
7如图，在平面直角坐标系zOy中，直线y=kx+3分别交z轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线 c与x轴的正半轴相交于点C(1，0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P为线段AB上一点,∠APO=∠ACB,求AP的长;
【答案】
【解析】(1)令x=0,则y=3, ∴点B的坐标为(0.3), 抛物线 经过点B(0,3),C(1,0), 解得∴抛物线的解析式为: (2)令y=0,则 解得:x =1 , z =-3, ∴点A的坐标为(-3,0),∴OA=3,OB=3,OC=1, AB= A +OB = +3 =3
∠APO=∠ACB,且∠PAO=∠CAB,∴△PAO∽△CAB,∴AO=AB,即
【标注】【知识点】二次函数与特殊平行四边形
【知识点】二次函数与平行四边形
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【业务题型】运算题
8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点A(-2,0)和点B(4,0)
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
(2)点P为该抛物线上一点(不与点C重合)，直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标.
(3)点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OOA=∠OCB-∠OMA时,求t的值.
【答案】
(2) P(6,-8).
(3)t=2或10.
【解析】(1)将A(-2,0), B(4,0)代入解析式得·
解得
.抛物线解析式为
(2) 取D(2,0),易得 则
连接CD，与抛物线的交点即为P点坐标，
如图易得CD直线为y=-2x+4.
解方程组
∴P(6,-8).
(3)∵∠OCA=∠OCB-∠OMA,
∴∠OCB=∠OOA+∠OMA=45°.
如图,易得∠OCA=∠OCD,
∠OOB=∠OOD+∠BOD=45°,
∴∠OMA=∠BCD,
过D作DE⊥BC,
在Rt△BDE中,∠DBE=45°, BD=2,
∴DE=BE=
在Rt△OBO中,.
∴CE=BC-BE=3
在Rt△ODE中,
则
∴OM=3OA=6,
当M往y轴正半轴运动时
当M往p轴负半轴运动时
9.抛物线 3过点A(-1,0),点B(3,0),顶点为C.
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标.
(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交：：轴于点D ，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标.
(3)如图2，在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A，C不重合)的动点，连接PE，作∠PEF=∠CAB,边EF交z轴于点F,设点F的横坐标为m,求m的取值范围.
【答案】
11.如图，抛物线 c与两坐标轴相交于点A(-1,0)、B(3,0)、O(0,3), D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点.
(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标.
(2) F(x,y)是抛物线上的动点:
①当x>1,y>0时,求△BDF的面积的最大值.
② 当∠AEF=∠DBE时,求点F的坐标.
【答案】(1)解析式为 D的坐标为(1,4).
(2)① 当x=2时, S△BDP取最大值,最大值为1.
或
【解析】(1)将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入
解得
∴抛物线的解析式为
∴顶点D的坐标为(1,4).
(2)① 过点F作FM//y轴,交BD于点M ,如图1所示.
设直线BD的解析式为y= mx+n(m≠0),
将(3,0)、(1,4)代入y= mx+n,
解得：
∴直线BD的解析式为y=-2x+6.
∵点F的坐标为
∴点M的坐标为(
∴-1<0,
∴当x=2时,S△BDP取最大值,最大值为1.
② 方法一：过点E作EN//BD交y轴于点N，交抛物线于点F ，在y轴负半轴取ON'=ON,连接EN',射线EN'交抛物线于点F ,如图2所示.
∵EF //BD,
∴∠ABF =∠DBE.
∵ON=ON',EO⊥NN',
∵E是线段AB的中点, A(-1,0), B(3,0),
∴点E的坐标为(1,0)
设直线EF 的解析式为 将E(1,0)代入y=-2x+b ,
解得:b =2,
∴直线EF 的解析式为y=-2x+2、
联立直线EF 、抛物线解析式成方程组，
解得：舍去) ,
∴点F 的坐标为(
当x=0时,y=-2x+2=2,
∴点N的坐标为(0,2),
∴点N'的坐标为(0,-2)
同理，利用待定系数法可求出直线EF 的解析式为y=2z-2.
联立直线EF 、抛物线解析式成方程组，
解得：(舍去).
∴点F 的坐标为(- ,-2 -2).
综上所述:当∠AEF=∠DBE时,点F的坐标为( 或
方法二：设F点坐标为
过F点作FH⊥x轴交z轴于H点,则H点坐标为(m,0),
解得： (舍),
(舍) .
故F点坐标为 或
如图，直线y=-x+3与z轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y c经过点B、C,与x轴另一交点为A，顶点为D.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小,求EO+ED的最小值.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB 若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
的最小值为5
(3)存在,(1,2+2 )或(1,-2-2
【解析】(1)直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,则点B、C的坐标分别为(3,0)、(0，3)，将点B、C的坐标代入二次函数表达式得： 解得 故函数的表达式为： 令y=0,则x=-1或3,故点A(-1,0).
(2)如图1，作点C'关于z轴的对称点C'，连接C'D交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，
函数顶点坐标为(1,4),点C'(0,-3),
将CD的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为:y=7x-3,
当y=0时
故点E
则EC+ED的最小值为
(3)①当点P在z轴上方时，如图2，
∵OB=OC=3,则
过点B作BH⊥AP于点H,设PH=BH=m,
则
有勾股定理得 :
解得：
②当点P在x轴下方时，
则 yp=-(2+2 );
故点P的坐标为(1,2+2 )或(1,-2-2 ).

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