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二次函数面积问题
模型原理
①整理条件：确定目标三角形和两顶点的坐标；
②根据点在图象上的坐标特征设出剩下的顶点B的坐标；
③用函数表示出目标三角形的面积——公式法、割补法
1)对于底和高容易表示的三角形，我们可以直接用公式： 底×高；
2)对于没有水平和竖直方向的底和高的三角形，我们可以采用割补法.
如图所示，如果给出点A、B、C的坐标，我们就可以通过下面的三种割补法来计算 的面积。
④根据题目要求解出点B的坐标.
1) “面积最大”转化为二次函数求最值的问题；
2) “面积为定值”转化为一元二次方程求解.
真题精炼
1如图，抛物线 c与直线y=x+2相交于A(-2,0),B(3,m)两点, 与x轴相交于另一点C.
(1)求抛物线的解析式 ；
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A，B重合)，过点P作直线 轴于点D ，交直线AB于点E,当PE =2ED时, 求P点坐标;
(3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半 若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
2如图，二次函数的图象与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D . O为坐标原点，
(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形ACDB的面积;
3如图，二次函数 c的图象与x轴交于A,B两点, 与y轴交于C点, 其中B(1,0),C(0,3)
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得， 若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点Q是对称轴l上一点 ，且点Q的纵坐标为a，当 是锐角三角形时，求a的取值范围.
4如图，抛物线 (b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A, B两点, A(1,0), 点P为线段AB上的动点，过P作 交AC于点Q .
(1)求该抛物线的解析式.
(2) 求 面积的最大值，并求此时P点坐标.
5如图，已知直线 与x轴交于点A ，与y轴交于点C ，抛物线 经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B ，对称轴为直线
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
6已知：y关于x的函数
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是 ；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A(-2,0), B(4,0), 并与动直线l:x=m(01如图，抛物线y 与z轴交于A,B两点,且OA=2OB,与y轴交于点O,连接BC,抛物线对称轴为直线： D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式.
(2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标.
(3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOO相似 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】
(2) D(1,2).
(3)存在,m=1或
【解析】(1)设OB=t,则OA=2t,则点A、B的坐标分别为(2t,0)、(-t,0),
只 解得:t=1$,
故点A、B的坐标分别为(2,0)、(-1,0),
则抛物线的表达式为：
解得:a=-1,b=1,
故抛物线的表达式为：
(2)对于 令z=0,则y=2,故点C(0,2).
由点A、C的坐标得直线AC的表达式为：y=-x+2，
点D的横坐标为m，则点 ,则点F(m,-m+2).
则
∵-1<0,
故DF有最大值,此时m=1,点D(1,2).
(3)存在,
点
则(
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则 或0B00,即
即 或
解得:m=1或-2(舍去)或 或 (舍去) ,
故m=1或
【标注】【知识点】二次函数与动点问题
2如图，抛物线y c与直线y=x+2相交于A(-2,0),B(3,m)两点,与x轴相交于另一点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A，B重合)，过点P作直线PD⊥α轴于点D ，交直线AB于点E,当PE=2ED时,求P点坐标;
(3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半 若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)P的坐标为(1,9)
(3)M的坐标为
【解析】
【分析】
(1)把B(3，m)代入y=z+2求出B(3，5)，再用待定系数法可得抛物线的解析式为
(2)设 则E(t,t+2),D(t,0),由PE=2DE,可得-t +2t+8-(t+2)=2(t+2),解出t的值可得P的坐标为(1，9)；
(3)过M作MK∥y轴交直线AB于K,求出O(4,0),知AC=6,故 设 则K(m,m+2),可得
根据△ABM的面积等于ABC面积的一半，有 可得 即 ，解出m的值可得答案.
【详解】
(1)解:把B(3,m)代入y=x+2得:m=3+2=5,
∴B(3,5),
代入 :
解得
∴抛物线的解析式为
(2)解:设 则E(t,t+2). D(t 0),
∵PE=2DE,
∴-t +2t+8-(t+2)=2(t+2),
解得t =1或t=-2(此时P不在直线AB上方,舍去) ;
∴P的坐标为(1,9);
(3)解：抛物线上存在点M ，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，理由如下：过M作MK∥y轴交直线AB于K,过点B作BE⊥MK ,延长MK交x轴于点F,如图:
在！ 8中,令y=0得(
解得x=-2或x=4,
∴A(-2,0),C(4,0),
∴AC=6,
∵B(3,5),
设/ 则K(m,m+2).
l
·△ABM的面积等于△ABC面积的一半，
解得 求
∴M的坐标为
【点睛】
本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度.
3如图，二次函数的图象与z轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D . O为坐标原点
(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形ACDB的面积;
【答案】.(1)y=-(x+1)(x-5)
(2)30
【解析】(1)∵二次函数的图象与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点.
∴设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x-5)
∴OC=5,
即C的坐标为(0,5)则5=a(0+1)(0-5),得a=-1
∴二次函数的表达式为y=-(x+1)(x-5);
(2)y=-(x+1)(x-5)=-(x-2) +9
.顶点的坐标为(2,9)过D作DN⊥AB于N,
作DM⊥OC于M,四边形ACDB的面积
4如图，二次函数 c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于O点,其中B(1,0),C(0,3)
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得 若存在，请求出P点坐标若不存在，请说明理由；
(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【解析】(1)将点E
得解
∴抛物线解析式为
(2)解:
顶点坐标为(2,1),
当！
得：
则OA=3
∵C(0,3),则OC=3
∴△AOC是等腰直角三角形.
∴P到AC的距离等于B到AC的距离，
A(3,0),C(0,3),设直线AC的解析式为y= kz+3
∴3k+3=0解得:k=-1
∴直线AC的解析式为y=-2+3,
如图所示，过点B作AC的平行线，交抛物线于点P，
设BP的解析式为y=-a+d,将点B(1,0)代入得,
-1+d=0
得:d=1
∴直线BP的解析式为y=-x+1,
解得 或
∴P(2.-1).
∴△ABP是等腰直角三角形,且∠APB=90°,
如图所示，延长PA至D，使得AD =PA，过点D作AC的平行线DE，交x轴于点E，则DA=PA
则符合题意的点P在直线DE上，
△ABP是等腰直角三角形，
DE//AC,AC⊥PD
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴E(5,0)
设直线DE的解析式为y=-x+e
∴-5+e=0
得:e=5
∴直线DE的解析式为y=-z+5
联立
解得
或(
综上所述. P(2,-1)或 或
(3) ①当a>0时,如图所示,
过点C作CG⊥AC交x=2于点G.
当点Q与点G重合时，△ACQ是直角三角形，
当∠AQC=90°时,△ACQ是直角三角形,
设AC交x=2于点H,
:直线AC的解析式为y=-z+3,
则H(2,1),
△CHG是等腰直角三角形，
∴G(2,5).
3
得 (舍去)或
∵△QAC是锐角三角形∴
即.
得 或 (舍去)
由(2)可得AM⊥AC时,M(2,-1)
综上所述，当△QAC是锐角三角形时， 或 【标注】【知识点】二次函数与几何综合
5如图，抛物线 ,c是常数)的顶点为C,与z轴交于A, B两点. A(1,0).AB=4,点P为线段AB上的动点,过P作PQ//BC交AC于点Q.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标.
【答案】
(2) 最大值为2, P点坐标为(-1,0).
【解析】(1)∵抛物线 c是常数)的顶点为C，与z轴交于A，B两点，.A(1,0),AB=4,
∴B(-3,0),
解得
∴抛物线的解析式为
(2)过Q作QE⊥x轴于E,过O作OF⊥x轴于F,
设P(m,0),则PA=1-m,
∴C(-1,-4),
∴CF=4,
:PQ//BC,
∴△PQA∽△BCA,
H
∴QE=1-m,
∵-3≤m≤1,
∴当m=-1时, S△CPQ有最大值2,
∴△CPQ面积的最大值为2,此时P点坐标为(-1,0).
6如图，已知直线 与z轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线 c经过A，C两点，且与z轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=-1.
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
【答案】
【解析】【分析】
(1)先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
(2)作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
(1)解:当x=0时,y=4.∴C (0,4),当y=0时, x+4=0,∴x=-3,∴A (-3,0) ,∵对称轴为直线x=-1,∴B(1,0) ,∴设抛物线的表达式: ·3a,∴a=- ,∴抛物线的表达式为：
(2)如下图1所示, ,
∴当 时 当m= 时-
6已知：y关于z的函数
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是 ；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与z轴有两个公共点A(-2，0)，B(4，0)，并与动直线
l:z=m(0①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S -S 是否存在最大值 若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)0或2或-
(2)①6,②存在,
【解析】
【分析】
(1)根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出a值.
(2)①根据A和B的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标P，从而求出PH长度，再利用A和B的坐标点即可求出BO的直线解析式，结合 mp=2p即可求出F点坐标，从而求出PF长度，最后利用面积法即可求出△PBC的面积.
②观察图形，用m值表示出点P坐标，再根据平行线分线段成比例求出OD长度，利用割补法表示出S 和S ，将二者相减转化成关于m的二次函数的顶点式，利用m取值范围即可求出S -S 的最小值.
【详解】
(1)解：∵的数的图象与坐标轴角两个公共点，
∵a-db,
当函数为一次函数时，a-2=0，
∴a=2.
当函数为二次函数时，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与x轴，y轴分别只有一个交点时，
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点，即其中一点经过原点，
∴b=0,
∵a=4b,
∴a=0.
综上所述,a=2或0.
故答案为：0或2或- -
(2)解：①如图所示，设直线l与BO交于点F，直线l与AB交于点H.
依题意得： 解得：
∴抛物线的解析式为：
∵点P为抛物线顶点时,P(1,9),O(0,8).
∴PH=9.=p=1,
由B(4,0),C(0,8)得直线BC的解析式为y=-2z+8,
∵F在直线BO上，且在直线l上，则F的横坐标等于P的横坐标，
∴F(1,6),
∴FH=6,OH-1,
∴PF=PH-FH-9-6-3,BH=OB-OⅡ=4-1-3
故答案为：6.
②S -S 存在最大值，理由如下：
如图，设直线x =m交x轴于H.
由①得:OB=4,AO=2,AB=6,OC=8,AH=2+m,P(m,-m +2m+8)
∵OD⊥x,PH⊥AB,
·. OD∥PH,
:OD=8-2m
∵-3<0,0∴当 时， 2有最大值，最大值为
故答案为：

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